初二课本“将正方形的四个顶点用线段连接的最短路径问题”的证明
盐步三中 赖振平
北师大初二下第246页第1题（现初三版）：将正方形的四个顶点
用线段连接，什么连法最短？如图的连法最短。为什么？
引理一：在如图的△ABC 中，如果∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°，则O 为△ABC 内到A ，B ，C 三顶点距离的和最小的点。
证明如下：分别过点A ，B ，C 作OA ，OB ，OC 的垂线，则易证得三垂线围成的△A 1B 1C 1是等边三角形，设其边长为a ，在△ABC 中任取不同点O 的点'o ，作△A 1B 1C 1三边的垂线段，垂足为C B A ''',,。
因为111111OB A OC A OC B S S S ???++=111)(2
1C B A S OC OB OA a ?=++ =''+''+'=
++???)(2
1'1'11'11'1'C O B O A O a S S S B O A C O A C O B 111C B A S ? 所以C O B O A O OC OB OA ''+''+''=++ 因为垂线段最短，有B O B O A O A O ''''''
,，C O C O ''' ， 则C O B O A O C O B O A O ''+''+'''+'+'
因C O B O A O OC OB OA ''+''+''=++
所以OC OB OA C O B O A O ++'+'+'
所以O 为△ABC 内到A ，B ，C 三顶点距离的和最小的点
C
B 1A 1
A '
A
C D A
现在的问题是如何找到这个O 点, 方法如下:
引理二：在△ABC 的外侧作等边三角形1ABC 、等边三角形1ACB 、等边三角形1BCA 。连接A 1A 、1BB 交于O ，则点O 为到三顶点距离的和最小的点。
证明如下：连接OC 。
因为AC=B 1C ，CA 1=CB ，∠BCB1=∠A 1CA=60°+∠BCA 。
所以△BCB 1≌△A 1CA ，得∠1=∠2。所以点B 、A 1、C 、O 四点共圆，∴∠5=∠3=60°=∠7，∠4=∠8=60°，∴∠BOC=∠AOC=∠AOB=120°因此，根据引理一，点O 为所求的点。
C 1B 11
现对原题证明如下：设边长为a 。
分类讨论如下：
（1） 如图1，不加其它的连接点时，则此时最短路径为3a
（2） 如图2，在内部增加1个连接点，这点在对角线交点时路径最短，路径和为a 22
（3） 如图3，在内部增加2个连接点E 、F 时，要使得AE+BE+EF+FD+FC 的和最小。 假设AE+BE 的和不变，则点E 可以看作是以A 、B 两点为焦点的椭圆的动点，同样假设FD+FC 的和不变，则点F 可以看作是以C 、D 两点为焦点的椭圆的动点，当且仅当AE=BE ，FD=FC 时，即EF 成为AB 的垂直平分线时，EF 较短。
如图4，设点M 为垂直平分线段EF 上的任意一点，根据引理一，对△AMB 来说，当∠AEB=∠AEM=∠BEM=120°时，点E 到三顶点A 、B 、M 的距离和最小；对△CDM 来说，当∠DFM=∠CFM=∠CFD=120°时，点F 到三顶点C 、D 、M 的距离和最小。即在内部增加2个连接点的情况下，图4的连接：AE+BE+EF+FD+FC 值最小，最小值为
()a 13+
A B C
D
A
B
C D
（4） 如图5，在内部增加3个连接点时，连接线比增加2个连接点时的连接线要长。
如：AE+EG+GB+EF+FD+FC AE+BE+EF+FD+FC
（5） 如图6，在内部增加4个连接点时，连接线比增加2个连接点时的连接线要长。 如：AE+EG+GH+BH+EF+FD+FC AE+BE+EF+FD+FC
…..
因此，当在内部增加n 3(≥n ）个连接点时，连接线都比增加2个连接点时的连接线要长。 综合比较的以上分类的结论，且a a a )13(223+ ，可得证图4的连接线最短。
A B C D
A
B C D
几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○ 1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○ 2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800 ． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝13 求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为Δ BCF 的中位线．∴DE=12FC=12 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，分ABC ∠．求证：BD 平BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接Ｄ Ｅ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=， 36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ， 过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． 求证：45EAF ∠=． 分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易 证ΔAGE ≌ΔAFE ． ∴ 1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠= 13、如图，点E 在ΔABC 外部，D 在边BC 上，DE 交AC 于F ．若123∠=∠=∠， ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C 213E D B A
八年级数学上册三角形全等证明题专项练习 1、如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 2、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 3、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 4、已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DE F ． 5、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：AE=AF 6、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 7、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 8、已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥． A D E C B F M F E C B A D C B A C F E D C B A
9、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD 10、如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. 11、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE. 12、如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． 13、已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC． (1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值； (2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值． 解：（1）EG⊥CG，=， 理由是：过G作GH⊥EC于H， ∵∠FEB=∠DCB=90°， ∴EF∥GH∥DC， ∵G为DF中点， ∴H为EC中点， ∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC）， 即GH=EH=HC， ∴∠EGC=90°， 即△EGC是等腰直角三角形， ∴=； （2） 解：结论还成立， 理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中 ∴△EFG≌△HDG（SAS）， ∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG， ∴EF∥DH， ∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4， ∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC， 在△EBC和△HDC中 ∴△EBC≌△HDC． ∴CE=CH，∠BCE=∠DCH， ∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°， ∴△ECH是等腰直角三角形， ∵G为EH的中点， ∴EG⊥GC，=， 即（1）中的结论仍然成立； （3） 解：连接BD， 初二数学全等三角形证明经典例题 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A A 1 2 1 2 A F B E C D B C E D CFD B 第 1题图第 2题图第 3题图 2、已知： BC=DE，∠ B=∠E，∠ C=∠D，F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠2 3、已知：∠ 1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A B C D 第 4题图第 5题图第 6题图 4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C 5、已知： AC平分∠ BAD，CE⊥AB，∠ B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 6、已知： AB=4，AC=2， D 是 BC中点， AD是整数，求 AD 7、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C A A D B D C B C 第 7题图第 8题图第 9题图 8、如图，四边形 ABCD中， AB∥DC， BE、CE分别平分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD上。求证： BC=AB+DC。 9、已知： AB=CD，∠ A=∠D，求证：∠ B=∠C C D A D C P F B A B E 第 10题图第 11题图第 12题图 10、 P 是∠ BAC平分线 AD上一点， AC>AB，求证： PC-PB 12、已知， E 是 AB 中点， AF=BD ，BD=5，AC=7，求 DC P C A E D E O D A B B C 第 13题图 第 14题图 第 15题图 第 16题图 13、如图，在△ ABC 中， BD DC ，∠ ∠ ，求证： AD ⊥BC ． = 1= 2 、．如图， OM 平分∠ POQ ，MA ⊥ OP MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足， AB 交 OM 于点 N ． 14 , 求证：∠ OAB ∠OBA = 15、如图，已知 AD BC PAB CBA E CE 的连线交 AP D ∥ ，∠ 的平分线与∠ 的平分线相交于 ， 于 ．求 证： AD+BC=AB ． 16．已知：如图， DC ∥AB ，且 DC=AE ，E 为 AB 的中点， （1）求证：△ AED ≌△ EBC ． （2）在不添辅助线的情况下， 除△ EBC 外，请再写出两个与△ AED 的面积相等的三角形．（直 接写出结果，不要求证明） ： 17．如图，△ ABC 中，∠ BAC 度， AB AC ， BD 是∠ ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过 C 点 =90 = 的直线于 E ，直线 CE 交 BA 的延长线于 F ． BD CE ． 求证： =2 F A A D E F C A E F D B D C B C M B A B E C 第 17题图 第 18题图 第 19题图 第 20题图 18、如图： DF=CE ，AD=BC ，∠ D=∠ C 。求证：△ AED ≌△ BFC 。 19、如图： AE 、BC 交于点 M ，F 点在 AM 上， BE ∥CF ， BE=CF 。求证： AM 是△ ABC 的中线。 20、如图：在△ ABC 中， BA=BC ， D 是 AC 的中点。求证： BD ⊥ AC 。 21、 AB=AC ，DB=DC ，F 是 AD 的延长线上的一点。求证： BF=CF A A B D F B C E F C D D E A C F B 第 21题图 第 22题图 第 23题图 第 24题图 第 25题图 22、如图： AB=CD ，AE=DF ， CE=FB 。求证： AF=DE 。 23、 . 公园里有一条“ Z ”字形道路 ABCD ，如图所示，其中 AB ∥CD ，在 AB ，CD ， BC 三段路旁各 有一只小石凳 E ，F ，M ，且 BE ＝CF ，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳 E ，F ， M 恰好在一条直线 上. 24．已知：点 A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ ABE ≌△ CDF ． 25. 已知：如图所示， AB ＝AD ， BC ＝DC ，E 、F 分别是 DC 、 BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 2 （1）求证：BG FG =； （2）若2 ==，求AB的长． AD DC 二：如图，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，连结AE并取中点F，连结AE并取中点F，连结BF、DF，求证BF⊥DF。 三：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD. 四、（本题7分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12， AC=18，求DM的长。 五、（本题8分）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 交于点O ， 且AC ⊥BD ，DH ⊥BC 。 ⑴求证：DH=2 1（AD+BC ） ⑵若AC=6，求梯形ABCD 的面积。 六、(6分) 、如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP 的长. 七、(8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论； （2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形？ （3）当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时？四边形MENF 是正方形（直接写出结论，不需要证明）． 选择题： 15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如 图，依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 16、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为 （―1，―3），若一反比例函数x k y 的图象过点D ，则其 解析式为 。 M F E N D C A B 八年级下册第一章三角形的证明测试题 一．选择题 1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( ) A ．270° B ．135° C ．90° D ． 315° 2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有（ ） ①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为a )22( ；③△B C ′D 是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长。 A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个。 3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8 cm D ．10cm 4．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。其中结论正确的是（ ） A ．(1)，(3) B ．(2)，(3) C ．(3)，(4) D ．(1)，(2)，(4) 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ） A ．4 B ．10 C ．4或10 D ．以上答案都不对 7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为 A B C A B C B C D E C ′ E 初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。 6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3 探索三角形全等的条件练习题 1、已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗？说明理由。 2、已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，问AE ∥CF 吗？ 3、已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，问AB ∥CD 吗？ 4、已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，问AB ∥CD 吗？说明理由。 C B D E F D C F E A B A B C D F E 5、已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？ 6、已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗？说明理由。 7、已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C .问AF =DE 吗？ 8、已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，问EB ∥DF 吗？说明理由。 A D E B C 1 2 A D C E F B A C D B E F B A D F E C 9、已知，M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，问∠C =∠D 吗？说明理由。 10、已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，问AB =CD 吗？说明理由。 11、已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC =AD 吗？说明理由。 12、已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，问AE =DF 吗？说明理由。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 M A B C D 1 2 D C F E A B 全等三角形的判定班级：姓名： 1．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，求证BE=CF。2．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证AE∥CF 3．已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，求证AB∥CD 4．已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证AB∥CD 5．已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，求证⊿ABD≌⊿ACE. 6．已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，求证AF=CE 7．已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，求证AF=DE A B C D F E C D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A E H A C M E F B D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，求证AB ∥DE 。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，求证∠3=∠4。 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，求证⊿ABC ≌⊿DEF 。 18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，求证AC =AB 。 19．已知AD ⊥BC ，BD =CD ，求证AB =AC 20．已知∠1=∠2，BC =AD ，求证⊿ABC ≌⊿BAD 。 A B C E F D A B C E D F A D E B C A B C D A D E B C 1 2 3 4 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长. 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E B A C D F 2 1 E A 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。 对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到的原理 要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 一：已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =． （1）求证：BG FG =； （2）若2AD DC ==，求AB 的长． 二：如图，已知矩形ABCD ，延长CB 到E ，使CE=CA ，连结AE 并取中点F ，连结AE 并取中点F ，连结BF 、DF ，求证BF ⊥DF 。 D C E B G A F 三：已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ ED.求证:AE 平分∠BAD. 四、（本题7分）如图，△ABC 中，M 是BC 的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD 于D ， AB=12，AC=18，求DM 的长。 （第23题） E D B A F 五、（本题8分）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 交 于点O ，且AC ⊥BD ，DH ⊥BC 。 ⑴求证：DH= 2 1 （AD+BC ） ⑵若AC=6，求梯形ABCD 的面积。 六、(6分) 、如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP 的长. 七、(8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论； （2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形？ （3）当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时？四边形MENF 是正方形（直接写出结论，不需要证明）． 选择题： 15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如 M F E N D C A B 全等三角形 3、（1）已知△ABC中，AB=4cm ,BC=6cm ,BD是△ABC 的中线,求BD的取值范围. （2）在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值 范围是( ) A.1 F C B A E D 13、如图A D∥BC ，∠1=∠2 ，∠3=∠4 ，直线DC过E点并交AD于D，交BC 于C 。求证：AD+BC=AB 、 15、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD ，C E⊥AB于E ，并且AE=1/2（AB+AD），求证：∠B+∠D=180°。 E A B D C 16、如图：四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AE ⊥BE 。 A B E 17、如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D. 求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长. E D C B A F 18、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 是垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E 。求证：（1）∠ABD=∠FAD ；（2）AB=2CE D 19、在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE 。 （1）求证：CE=CF 。 （2）在图中，若G 点在AD 上，且∠GCE=45° ，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？ 21、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且FD ⊥ED ， 求证：BE+CF ﹥EF B 22、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是多少？ 初二数学证明有答案证 明题有过程 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8- 23．（本题8分）.如图,已知:△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F.求证:FD 2=FB.FC. 24．（本题8分）已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． （1）求AE AC 的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长． 25.（本题8分）如图：已知△ABC 中，AB=5， BC=3，AC=4，PQ∥AB，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 在BC 上． (1) 当△PQC 的面积等于四边形PABQ 面积的3 1，求CP 的长． (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长． (3)试问：在AB 上是否存在一点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出PQ 的长． 23、连接FA,证明FAC Δ∽FBA Δ,由于FD FA =,命题获证。 24、法一：连接AD FC ,;法二：过F E 或者 做平行线，命题获证，在命题获证的基础上第二问求出。 25、(1)用相似CPQ Δ∽CAB Δ (2)设出x PC 表示出CQ,利用周长列出方程，求出PC （3）当∠PQM=90°时（画图） 过P作PN⊥AB于N 设PQ=QM=PN=MN=a ∠QMB=∠ANP=90° ∠B=90°-∠A=∠APN ∴△MQB∽△NAP∽△CAB ∴AN:PN=AC:BC，BM:QM=BC:BC ∴MB=3/4a，AN=4/3a ∵AB=AN+NM+MB ∴3/4a+4/3a+a=5 ∴PQ=a=60/37 当∠QPM=90°时 同理有PQ=60/37 一：已知：如图，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC，∠ ABC＝90°， DE⊥ AC于点 F， 交 BC于点 G，交 AB的延长线于点 E，且 AE AC ． A D （1）求证： BG FG ； （2）若 AD DC 2 ，求 AB的长． F B C G E 二：如图，已知矩形 ABCD，延长 CB到 E，使 CE=CA，连结 AE并取中点 F，连结AE并取中点 F，连结 BF、DF，求证 BF⊥DF。 三：已知 : 如图 , 在矩形 ABCD中 ,E 、F 分别是边 BC、AB上的点 , 且 EF=ED,EF⊥ ED. 求证 :AE 平分∠ BAD. E B C F A D （第 23题） 四、（本题 7 分）如图，△ ABC中，M是 BC的中点， AD是∠ A 的平分线， BD⊥ AD于 D，AB=12， AC=18，求 DM的长。 五、（本题 8 分）如图，四边形A BCD为等腰梯形， AD∥BC，AB=CD，对角线 AC、BD交于点 O， 且AC⊥ BD， DH⊥ BC。 ⑴求证： DH=1 （AD+BC）2 ⑵若 AC=6，求梯形ABCD的面积。 六、 (6 分)、如图，P是正方形ABCD对角线 BD 上一点， PE⊥ DC， PF⊥ BC， E、 F 分别为垂 足，若 CF=3,CE=4,求 AP 的长 . 七、 (8 分 ) 如图，等腰梯形ABCD中， AD∥ BC，M、N分别是 AD、BC的中点， E、F 分别是 BM、CM的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形请直接写出结论； （2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形 （3）当等腰梯形ABCD的高 h 与底边 BC满足怎样的数量关系时四边形MENF是正方形（直接 M D 写出结论，不需要证明）．A E F B N C 选择题： 第十三章 全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟 总分：100分） 班级 姓名 得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1． 对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；②AC=DF ； ③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④ 2． 下列说法正确的是( ) A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3． 下列数据能确定形状和大小的是（ ） A ．A B =4，B C =5，∠C =60° B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4． 在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB = DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证明△ ABC ≌△DEF ( ) A ．AC = DF B ．B C = EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5． OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6． 如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（ ） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7． 如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是（ ） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8． 如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB = CD ，AE = CF ， 则图中全等三角形共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） B A C E D （第6题） 2 1 2010年期末复习水平测试（二） 参考答案与试题解析 一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线，结 论是这两条直线互相平 行． 考点：命题与定理。 分析：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 解答：解：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线，结论是这两条直线互相平行． 点评：本题考查了命题的条件和结论的叙述． 2．一个人从A地出发沿北偏东60°方向走到B地，再从B地出发沿南偏西20°方向走到C地，那么∠ABC=40度． 考点：方向角；三角形内角和定理；三角形的外角性质。 分析：根据方位角的概念，画图正确表示出行驶的过程，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和与外角的关系求解． 解答：解：如图，A沿北偏东60°的方向行驶到B，则∠BAC=90°﹣60°=30， B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠BCO=90°﹣20°=70°， 又∵∠ABC=∠BCO﹣∠BAC，∴∠ABC=70°﹣30°=40°． 点评：解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和与外角的关系求解． 3．如果直角三角形的一个外角为130°，则它的两个锐角是40°，50°． 考点：三角形的外角性质。 分析：先根据三角形内角与外角的关系求出与已知外角不相邻的一个锐角的度数，再根据直角三角形的性质求出另一个内角的度数即可． 解答：解：∵直角三角形的一个外角为130°， ∴与已知外角不相邻的一个锐角的度数为130°﹣90°=40°， ∴另一个锐角的度数为90°﹣40°=50°， ∴它的两个锐角是40°，50°． 点评：本题考查的是三角形内角与外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和． 三角形证明题 1、求证：三角形一边的中线小于其他两边和的一半。 （1）已知△ABC 中，AB=4cm ,BC=6cm ,BD 是△ABC 的中线,求BD 的取值范围. （2）在△ABC 中,AC=5,中线AD=7,则AB 边的取值范围是( ) A.1 5、如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE, 垂足为F,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. 求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD 的长. E D C B A F 6、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 是垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E 。求证：（1）∠ABD=∠FAD ；（2）AB=2CE F A C B E D 7、如图所示，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50，而AB+BD+AD=40，则AD 为多少？ A D C B 8、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且FD ⊥ED ，求证：BE+CF ﹥EF A B C D F E 9、ABCD 为正方形，CE 平分∠DCF ，M 为线段BC 上的点，连接AM 、ME ， 问：AM 和ME 有何大小关系？当M 点在射线BC 上运动时，AM 和ME 的大小关系改变吗？ 几何证明初步练习题1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1作CM∥AB，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○2作MN∥BC，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF∥AD，∠1 =∠2. 求证：∠AGD＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB是L的斜线，CD是L的垂线。 求证：AB与CD必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12 FC=12 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得： 18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝ CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ， 过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作 DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝ CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． B B初二数学压轴几何证明题含答案
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