热力学·统计物理Thermodynamics & Statistical Physics
6.l 粒子运动状态的经典描述l 、粒子运动状态的经典描述方法：
)
,,;,,(2121r r p p p q q q εε=r 个广义坐标)
(,,,21q q q q r
→r 个广义动量)
(,,,21p p p p r
→经典力学中自由度为r 的一个粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标和与之共轭的r 个广义动量的数值确定。
粒子的自由度数（r）：
能够完全确定一个质点空间位置的独立坐标数目。（无外力场）能量掌握
6.l 粒子运动状态的经典描述
2、[定义]μ空间（相空间）
由共2r 个变量为直角坐标构成的一个2r 维空间，称为μ空间（相空间）．
;,,21r q q q r p p p ,,21粒子运动状态),(p q 代表点
因此，微观粒子的一个运动状态可由μ空间中一点表示,这个点称为代表点。
1212,,,,r r q q q p p p （；）（1）μ空间中一点的坐标（2）当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在
μ空间中移动，描画出一条轨迹，称相轨迹。
（4）μ空间中的体积元：
各轴上截取dq 1,dq 2 , …, dq r , dp 1, dp 2 , …, dp r , 则围成μ空间中的体积元：
d ω= dq 1dq 2…dq r ·dp 1dp 2…dp r
（3）等能面：
相空间中具有相同能量的代表点连成的面（线）
6.l 粒子运动状态的经典描述
统计物理中用到的几个例子
（一）自由粒子不受力的作用而作自由运动的粒子一维自由粒子在边长为L 的一维容器中运动：
x m p x
22
=ε∞
<<∞?≤≤x p L x
,0如不存在外场时理想气体的分子或金属中的自由电子)(x m p x =相空间(μ空间)
相轨迹
C
p x =6.l 粒子运动状态的经典描述
6.l 粒子运动状态的经典描述
三维自由粒子m
p p p z
y x 22
22++=ε相轨迹：对于给定能量的状态, 在相空间为5维“曲面”
自由度：3
μ空间维数：6
z m p p y m p p x m p p z y x
======321 广义动量：z q y q x q ===321 广义坐标：能量：
粒子能量ε= ( p x 2 +p y 2+ p z 2 ) /2m
动量子空间的半径
ε
m p p p p z y x 2222=++=等能面（在动量子空间中）是半径为
的球面。相空间的体积（动量小于p时）
2
/3)2(3
4
επm V dp dp dp dxdydz z y x ==Ω∫∫∫∫∫∫ε
m 26.l 粒子运动状态的经典描述
6.l 粒子运动状态的经典描述
（二）线性谐振子
*在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐运动．
定义：经典力学中，质量为m 的粒子在弹性力F = -kx 作用下，将在原点附近作简谐振动，称为(一维）线性谐振子．
振动的圆频率m
k /=ω022=+x m k dt x d m k
=2ω0
222=+x dt x
d ω
εm a 2=1
222
2
2=+ωεεm x
m p ω
πε
π2==ab S 2
22
221
2)(2x m m p x v m p ωε+=+=;22ωεm b =等能面（能量恒定时振子的相轨迹）是一椭圆。两个半轴：自由度：1, μ空间维数：2广义坐标：, 广义动量：p mx = q x =线性谐振子:记住,p211用
6.l 粒子运动状态的经典描述
1.转子特例：
考虑质量为m 的质点被具有固
定长度的轻杆系于原点O 时所
作的运动。
(三) 转子(,,)r θ?描述自由质点的位置
()?θP P ,广义动量广义坐标)
2~0(),~0(π?πθ四维相空间
}可见转子：自由度2
转子，
C l r ==
6.l 粒子运动状态的经典描述
?
θcos sin r x =?
θsin sin r y =θ
cos r z =222
221(sin )
2m r r εθθφ=+ ()
22221
z y x m ++=ε
6.l 粒子运动状态的经典描述
()
22222sin 21
?θθε r r m +=??????+=222
sin 121?θθεp p I 引入与共轭的动量
,θ?r m p θθv =φθ ?=22sin mr θθ 2r mr r m =??=θv φφsin r m p ?=其中转动惯量
2
mr I =v
v θ?θ?
和分别
为沿e 和e 方
向的速度分量
第7章p202,p211用
无外力矩作用时,转子的总角动量是一个守恒量
P r M ×=M r
⊥若选取，那么M z //2π
θ=2
20M
p p ==?θ???
???+=222sin 121?θθεp p I I
M I p 222
2
==?ε质点的运动是在垂直于的平面内运动。
M 代入以后要用到这两个转子能量的表达式
6.l 粒子运动状态的经典描述
6.l 粒子运动状态的经典描述
2 转子定义：是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴在空间的方位角(θ,φ)确定． 以细棒联结的质量为m 1和m 2的两个质点
(如哑铃) 绕其质心的转动是一个转子；
双原子分子绕其质心的转动近似看作转子； ……
（旋转对称刚体的对称轴就是刚体的一根主轴）
双粒子刚性转子由两个质量分别为m
A 、m
B
的两个
微粒(可视为质点)A、B相联结组成，如图所示。
O点是两粒子的质心，r a, r b分别为粒子A及B 与质心的距离，
R＝r a＋r b，R恒定不变，整个转子则围绕质心O转动，
这样的转子也叫线型刚性转子，可作为双原子分子转动的近似模型。
z
x
y
θ
?
A
B
r a
r b
O
根据经典力学对刚性转子的
讨论，表明线型刚性转子的
转动可等效地看成一个质量
μ的质点被具有长度R ＝r a ＋
r b 的轻杆系于原点O 的运动.
??????+=222sin 121?θθεp p I 2
2//22p M M Z I I φε== 轴
z
x y θ?A B r a r b
O 12
12
m m m m μ=+约化质量
17
第六章近独立粒子的最概然分布粒子性与波动性的联系：
德布罗意关系:
p k
εω== 其中s
J 10055.1234?×==?πh 都称为普朗克常数, 量纲为：
能量为ε、动量为p 的自由粒子联系着圆频率为ω、波矢为k的平面波，称为德布罗意波。
h 和 §6.2 粒子运动状态的量子描述重点掌握一粒子微观运动状态的量子描述
（1）微观粒子具有波粒二象性（粒子性与波动性）
h p q ≈ΔΔ要若用Δq 表示微观粒子在相应坐标轴上位置坐标的不确定值，
用ΔP 表示同一微观粒子同一时刻在该坐标方
向上动量分量的不确定值，
则在量子力学所容许的最精确的描述中，有
不确定关系
（2）微观粒子运动满足不确定关系
微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标，这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，其运动状态也就不能用坐标和动量描述。
（3）微观粒子运动状态的量子描述
在量力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。通常可由一组量子数来表征。
这组量子数的数目等于粒子的自由度数。
状态所对应的力学量(如角动量、能量ε等)不连续—状态量子化。
第六章近独立粒子的最概然分布
微观粒子的能量是不连续的,每一个不连续的能量值按高低排序称为能级。
（4）能级与简并
量子态可以位于不同的能级上。
如果一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。
如果一个能级上的量子态不止一个，则该能级就称为简
并的。
一个能级上的的量子态数称为该能级的简并度,用g表示.n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
……
20
第六章近独立粒子的最概然分布