新疆巴州蒙中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B“的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）函数的定义域为（）
A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]
4．（5分）如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f=（）
A．2B．﹣2 C．8D．﹣8
6．（5分）若f（x）=x2﹣ax+1有负值，则实数a的取值范围是（）
A．a≤﹣2 B．﹣2＜a＜2 C．a＞2或a＜﹣2 D．1＜a＜3
7．（5分）若函数f（x）=a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）=，则f（x）的单调递减区间是
（）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2] 8．（5分）函数y=lg|x﹣1|的图象是（）
A． B．C． D．
9．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）
A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1
10．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
11．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（）
A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0
12．（5分）设函数在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范
围是（）
A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤3
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A={1，3，a}，B={1，a2﹣a+1}且B?A，则a=
14．（5分）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=．
15．（5分）若函数y=mx2+x+5在[﹣2，+∞）上是增函数，则m的取值范围是．
16．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为．
三、解答题（共70分）
17．（12分）若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．（13分）已知函数f（x）=+lnx（a≠0，a∈R），求函数f（x）的极值和单调区间．19．（14分）已知f（x）是二次函数且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．
20．（16分）已知函数f（x）=x|m﹣x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；
（4）若方程f（x）=a只有一个实数根，求a的取值范围．
21．（15分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2），且
当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．
新疆巴州蒙中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
解答：解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B={﹣1，0}．
故选B
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B“的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．
专题：简易逻辑．
分析：先有a=3成立判断是否能推出A?B成立，反之判断“A?B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．
解答：解：当a=3时，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；
反之当A?B时，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3
故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件
故选A．
点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．
3．（5分）函数的定义域为（）
A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]
考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．
解答：解：要使函数有意义，
必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．
所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．
故选B．
点评：本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．
4．（5分）如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
考点：二次函数的性质．
专题：计算题；数形结合；分类讨论．
分析：由于a值不确定，此题要讨论，当a=0时，函数为一次函数，当a≠o时，函数为二次函数，此时分两种情况，当a＞0时，函数开口向上，先减后增，当a＜0时，函数开口向下，先增后减．
解答：解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=2x﹣3为递增函数，
（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（﹣∞，4）上不可能是单调递增的，故不符合；
（3）当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴，
解得a，又a＜0，故．
综合得，
故选D．
点评：此题主要考查函数单调性和对称轴的求解，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想．属于基础题．
5．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f=（）
A．2B．﹣2 C．8D．﹣8
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意知函数的周期为4，故f=f（﹣1），又由奇函数可求f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．解答：解：∵f（x+4）=f（x），
∴f=f（504×4﹣1）=f（﹣1），
又∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故选B．
点评：本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
6．（5分）若f（x）=x2﹣ax+1有负值，则实数a的取值范围是（）
A．a≤﹣2 B．﹣2＜a＜2 C．a＞2或a＜﹣2 D．1＜a＜3
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：欲使f（x）=x2﹣ax+1有负值，利用二函数的图象知，f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，再根据根的判别式即可求得实数a的取值范围．
解答：解：f（x）有负值，
则必须满足f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
其充要条件是：△=（﹣a）2﹣4＞0，a2＞4
即a＞2或a＜﹣2．
故选：C．
点评：本小题主要考查一元二次不等式的应用、函数的解析式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
7．（5分）若函数f（x）=a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）=，则f（x）的单调递减区间是
（）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
考点：指数函数的单调性与特殊点．
专题：计算题．
分析：由f（1）=，解出a，求出g（x）=|2x﹣4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f（x）的单调递减区间．
解答：解：由f（1）=，得a2=，于是a=，因此f（x）=（）|2x﹣4|．
因为g（x）=|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，
所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．
故选B
点评：本题考查指数函数的单调性，复合函数的单调性，考查计算能力，是基础题．8．（5分）函数y=lg|x﹣1|的图象是（）
A． B．C． D．
考点：对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数函数的性质和图片进行判断即可．
解答：解：当x＞1时，y=lg|x﹣1|=lg（x﹣1），
当x＜1时，y=lg|x﹣1|=lg（1﹣x）．
故函数的图象为A．
故选A．
点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用分段函数或特殊值法是解决函数图象题目中的基本方法．
9．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）
A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化．
专题：函数的性质及应用．
分析：首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．
解答：解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，
而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．
故选D．
点评：本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．
10．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
考点：函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间．
解答：解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在
区间（﹣1，0）上，
故选B．
点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．
11．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（）
A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0
考点：导数的几何意义；两条直线垂直的判定．
分析：切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程．
解答：解：设切点P（x0，y0），
∵直线x+4y﹣8=0与直线l垂直，且直线x+4y﹣8=0的斜率为﹣，
∴直线l的斜率为4，
即y=x 4
在点P （x 0，y 0）处的导数为4， 令y ′
=4x
03
=4，得到x 0=1，进而得到y 0=1，
利用点斜式，得到切线方程为4x ﹣y ﹣3=0． 故选：A ．
点评： 熟练应用导数的几何意义，考查两条直线垂直，直线的斜率的关系
12．（5分）设函数
在区间[a ﹣1，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范
围是（） A ． 1＜a ≤2 B ． a ≥4 C ． a ≤2 D ．0＜a ≤3
考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m 的范围即可．
解答： 解：∵
，
∴函数f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）=x ﹣，
∵x ＞0，∴由f ′（x ）=x ﹣＜0，得0＜x ＜3． ∵函数在区间[a ﹣1，a+1]上单调递减，
∴
，解得1＜a ≤2．
故选A ．
点评： 此题是个中档题．考查学生掌握利用导数研究函数的单调性，以及分析解决问题的能力．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A={1，3，a}，B={1，a 2
﹣a+1}且B ?A ，则a=﹣1或2
考点： 集合的包含关系判断及应用．
分析： 根据题意，分析可得：若B ?A ，必有a 2﹣a+1=3或a 2
﹣a+1=a ，分2种情况讨论可得答案．
解答： 解：∵B ?A ，∴a 2﹣a+1=3或a 2
﹣a+1=a ．
①由a 2﹣a+1=3得a 2
﹣a ﹣2=0解得a=﹣1或a=2．
当a=﹣1时，A={1，3，﹣1}，B={1，3}，满足B ?A ， 当a=2时，A={1，3，2}，B={1，3}，满足B ?A ．
②由a 2﹣a+1=a 得a 2
﹣2a+1=0，解得a=1，
当a=1时，A={1，3，1}不满足集合元素的互异性， 综上，若B ?A ，则a=﹣1或a=2； 答案为﹣1或2．
点评：本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．
14．（5分）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=0．
考点：偶函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a的值．
解答：解：∵f（x）为偶函数
∴f（﹣x）=f（x）恒成立
即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立
即|x+a|=|x﹣a|恒成立
所以a=0
故答案为：0．
点评：本题考查偶函数的定义：f（x）=f（﹣x）对于定义域内的x恒成立．
15．（5分）若函数y=mx2+x+5在[﹣2，+∞）上是增函数，则m的取值范围是．
考点：函数单调性的性质．
专题：计算题；分类讨论．
分析：据函数的单调性与导函数符号的关系，将问题转化为不等式恒成立；对m分类讨论求y′最小值，求出m的范围．
解答：解：∵函数y=mx2+x+5在[﹣2，+∞）上是增函数
∴y′=2mx+1≥0在[﹣2，+∞）恒成立
y′最小值≥0求
①m=0和题意
②m＞0时，只要最小值2m×（﹣2）+1≥0解得m≤
即0＜m≤
③m＜0时，不满足y′=2mx+1≥0在[﹣2，+∞）恒成立
总之0≤m≤
故答案为
点评：本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：导函数为正，函数单增；导函数为负，函数单减．
16．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
分析：先对函数y=e﹣2x+1求导，求出y在x=0处的斜率，根据点斜式求出切线方程，再利用面积公式进行求解；
解答：解：∵y=e﹣2x+1，
∴y′=﹣2e﹣2x，
∴切线的斜率k=y′|x=0=﹣2，且过点（0，2），
∴切线为：y﹣2=﹣2x，∴y=﹣2x+2，
∴切线与x轴交点为：（1，0），与y=x的交点为（，），
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为：s=×1×=，
故答案为：；
点评：此题利用导数研究曲线山的点的切线，注意斜率与导数的关系，此题是一道基础题．
三、解答题（共70分）
17．（12分）若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据题意可转化为：求解m即可．
解答：解：∵x2﹣2x﹣3＞0，
∴x＞3或x＜﹣1，
∵若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，
∴即0≤m≤2，
故实数m的取值范围为：[0，2]
点评：本题考查了充分必要条件的定义，不等式的解法，属于容易题．
18．（13分）已知函数f（x）=+lnx（a≠0，a∈R），求函数f（x）的极值和单调区间．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值．
解答：解：因为f′（x）=，
令f′（x）=0，得x=1，
又f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x）﹣0 +
f（x） 极小值
所以x=1时，f（x）的极小值为1．
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
点评：本题考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，比较基础．
19．（14分）已知f（x）是二次函数且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题．
分析：设出二次函数的解析式由f（0）=0可求c=0，再由f（x+1）=f（x）+x+1构造方程组可求a、b的值，可得答案．
解答：解：设二次函数f（x）=ax2+bx+c
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax2+bx，
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+x+1
∴ax2+2ax+a+bx+b=ax2+bx+x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴，解得
∴f（x）=
故答案为f（x）=
点评：本题为二次函数解析式的求解，待定系数法是解决问题的方法，属基础题．
20．（16分）已知函数f（x）=x|m﹣x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；
（4）若方程f（x）=a只有一个实数根，求a的取值范围．
考点：函数图象的作法；函数单调性的判断与证明；函数的零点．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）直接解方程f（4）=0即可
（2）将绝对值去掉化为分段函数，再根据分段函数作图象
（3）根据图象即可求出单调区间
（4）根据图象数形结合易得交点个数．
解答：解：（1）∵f（x）=x|m﹣x|（x∈R），且f（4）=0，4|m﹣4|=0，∴m=4．
（2），由（1）可知，f（x）=x|4﹣x|=，故函数图如下：
函数的递增区间为：（﹣∞，2），（4，+∞）；递减区间为：[2，4]．
（3）∵f（2）=2，∴方程f（x）=a只有一个实数根?方程组只有一组解
?函数y=f（x）的图象与直线y=a只有一个交点
?a∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）
故a的取值范围（﹣∞，0）∪（2，+∞）
点评：本题考查含有绝对值的函数图象画法，以及根据图象数形结合讨论函数的性质，属于基础题．
21．（15分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2），且
当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）由条件可令x1=x2，得f（1）=0；
（2）令x1＞x2＞0，则＞1，由条件即可得到f（x1）＜f（x2），由单调性的定义即可得到；（3）由于f（3）=﹣1，则f（）=f（9）﹣f（3），即可求得f（9），再由单调性，即可得到最小值．
解答：解：（1）由于函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2），
则令x1=x2，得f（1）=0；
（2）令x1＞x2＞0，则＞1，由当x＞1时，f（x）＜0，
得f（）=f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）由于f（3）=﹣1，则f（）=f（9）﹣f（3），
即f（9）=2f（3）=﹣2．
由（2）得f（x）在[2，9]上递减，
则f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）=﹣2．
点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的判断，以及应用求最值，属于中档题．