线性代数第1-5章习题详解

前言

解肖斌

因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学 线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）2

22111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y

y

x y x +++. 解 （1）=---3

811411

02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-

=416824-++-=4-

（2）=b

a c a c

b c

b a cc

c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=

（3）=2

221

11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=

（4）y

x y x x y x y y

x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为

2

)

1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个

（6）逆序数为)1(-n n

3 2 1个 5 2，5

4 2个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个

3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．

由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

4.计算下列各行列式：

（1）????

?????

???71

10

025*********

4； （2）????????????-26

52321121314

1

2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?????

????

???---d c b a

1

00

110011001

解

(1)

71100251020214

214

34327c c c c --0

10014

23102

02110

214---=34)1(1431022

11014+-?---=14

31022110

14-- 3

21132c c c c ++14

171720010

99-=0

(2)

260

5232112131

412-24c c -2605032122130

412-24r r -0412032122130

412- 14r r -0

000032122130412-=0

(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1

111111

11---adfbce =abcdef 4

(4)

d c b a 100110011001---21ar r +d

c b a ab 1001

100

110

10---+=12)1)(1(+--d

c a ab 1011

1--+

2

3dc c +0

10111-+-+cd c ad

a a

b =23)1)(1(+--cd

ad

ab +-+111=1++++ad cd ab abcd

5.证明: (1)1

11222

2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3

3+;

(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

2222222

2

2222222

=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;

(4)4

44422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;

(5)1

22

110000

0100001a x a a a a x x x n n n +-----

n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明

(1)0

0122222221

312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)

1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a

(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开

按第一列

左边

bz

ay by ax x by ax bx az z bx

az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分

bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z

y x y x z x

z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分

右边=-+=233)1(y

x z x z y z

y x b y x z x z y z y x a

(3) 22

2

22222

2222

2

222

)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9

644129644129

644129644122

2221

41312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964

49644964496442

22

2

2

++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列9

64

41964419

6441964412

22

2+++++++++d d d c c c b b b a a a

94

94949494642

2

22

24232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项

第一项

06416416416412

22

2=+d

d d c c c b

b b a a a (4) 4

44444422222220

001a

d a c a b a a

d a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222

222a d d a c c a b b a d a c a b a

d a c a b --------- =)

()()(1

11))()((222a d d a c c a b b a d a c a

b a d a

c a b ++++++--- =?---))()((a

d a c a b )

()()()()(0

0122222a b b a d d a b b a c c a b b b

d b c a b +-++-++--+ =?

-----))()()()((b d b c a d a c a b )

()()()(1

12222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++

=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-

(5) 用数学归纳法证明

.,1

,22121

22命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-=

=

假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即

,122

111-----++++=n n n n n a x a x a x D

:1列展开按第则n D

1

110

010001)1(1

1----+=+-x x

a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.

6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得

n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11

113a a a a D n n

nn =，

证明D D D D D n n =-==-32

)1(21,)1(.

证明 )det(ij a D =

n

nn

n n

n n nn n a a a a a a a a a a D 22111111111

1

1)1(

--==∴ =--=--n

nn n n

n

n n a a a a a a a a 3311

22111121)1()1( nn

n n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)

1()

1()2(21)1()

1(--+-+++-=-= 同理可证nn

n n n n a a a a D 11112

)1(2)

1(--=D D n n T

n n 2)

1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2

)1(2

)1(22

)1(3)1()

1()

1()1(

7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：

(1)a

a

D n 11

=

,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；

(2)x

a a a

x a

a a x D n =

; (3) 1

1

11)()1()()1(11

11

n a a a n a a a n a a a D n n n n

n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n

n

n n

n d c d c b a b a D

000

01

11

12=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;

(6)n

n a a a D +++=

11

11

111

112

1 ,021≠n a a a 其中.

解

(1) a

a a a a D n 000100000000

00001000 =

按最后一行展开

)

1()1(10000

000

0001

0000)1(-?-+-n n n a

a a

)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a

(再按第一行展开)

n n n n

n a a a

+-?-=--+)

2)(2(1)1()1(

2--=n n a a )1(22-=-a a n

(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得

a

x x a a

x x a a x x a a

a a x D n ------=00

00000 再将各列都加到第一列上，得

a

x a

x a x a

a

a a n x D n ----+=00000000

0)1( )(])1([1

a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，

经2)

1(1)1(+=

++-+n n n n 次行交换，得 n

n

n n n n n n n n a a a n a a a n a a a

D )()1()()1(111

1)1(1112)1(1

-------=---++

此行列式为范德蒙德行列式

∏≥>≥++++--+--=1

12

)1(1)]1()1[()

1(j i n n n n j a i a D

∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?

-?-=---=1

11

)1(2

)1(1

12

)1()][()

1()

1()]([)

1(j i n n n n n j i n n n j i j i

∏≥>≥+-=

1

1)(j i n j i

(4) n

n n

n

n d c d c b a b a D 0

1

1112

=

n

n n n n n

d d c d c b a b a a 0000

0000

11111111

----

展开

按第一行0

00

0)

1(111

11111

1

2c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+-+

2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开

由此得递推公式：

222)(--=n n n n n n D c b d a D

即 ∏=-=

n

i i i i

i

n D c b d

a D 2

22)(

而 11111

11

12c b d a d c b a D -==

得 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

2)(

(5)j i a ij -=

4

3214012331

0122

210113210)det( --------=

=n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0

432111111111111111111111 --------------n n n n

,,141312c c c c c c +++1

5242321022210

22100

02100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n

(6)n

n a a D a +++=

11

11111

1

12

1 ,,433

221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100

001000100001000100010000114

3

3221

展开（由下往上）

按最后一列

))(1(121-+n n a a a a n

n n a a a a a a a a a --------000

000000000000000000000000224

3

3221 n

n n a a a a a a a a ----+

--00

000000000000

00

01133221 +

+ n

n n a a a a a a a a -------00

000000

0000000

00

1143322

n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---

)1

1)((1

21∑

=+=n

i i

n a a a a

8.用克莱姆法则解下列方程组：

??????

?=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(43214321

4

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ????

?????=+=++=++=++=+.15,

065,065,065,165)2(545434323212

1x x x x x x x x x x x x x

解 (1)1121

35132412

11111----=

D 8120735032101111------=145008130032

101111---=

142142

0005410032101

111-=---= 1121

05132412211151------=

D 1121

05132905

01115----=

1121023313090509151------=23

3130905011

2109151------=

1202300461000112109151-----=14200038100112109

151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139

0112300231011

51-=

284284

00

0191002

3101151-=----=

426110135232422115113-=----=D ; 1420

21321322

1215

1114=-----=

D

1,3,2,144332211-========

∴

D

D

x D D x D D x D D x (2) 5

1000651000

6510

0651

00065=D 展开按最后一行

6

10005100

65100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=?-?=

(,11的余子式中为行列式a D D ',11

的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5

1001

651000

6510

065000061

1=D 展开按第一列

6

51

006510

0650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=

5

10106

51000

6500

06010

00152=D 展开

按第二列510

06510065

0006

1-6

5100

6500

0610

005-

365510651065?-= 1145108065-=--= 5

1100

6500006010

00051001653=D 展开

按第三列51

006500061000516

5

00

6100

0510

065+

6100510656510650061+= 703114619=?+= 510006010000510

00651010654=D 展开

按第四列6

1000

5100

6510

0655000610005100651-

-5

106510

6565--=395-= 1

1

00510006510

00651100655=D 展开

按最后一列

D '+1

00051006

51006512122111=+= 665

212

;665

395

;665

703

;665

1145

;665

1507

44321=

-=

=

-

==

∴

x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ???

??=++=++=++0

200321

321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

解 μλμμμλ-==1

21111

1

3D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D

即 0=-μλμ 得 10==λμ或

不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.

10.齐次线性方程组取何值时问,λ???

??=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321

321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？

解

λλλ----=111132421D λ

λλλ--+--=1011124

31

)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ

齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或

不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.

第二章 矩阵及其运算

1. 已知线性变换:

?????++=++=++=3

21332123

2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.

解 由已知:

?????

??????? ??=?

????

? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ?

?=???? ??-3211

221323513122x x x y y y ?

??? ?????? ??----=321423736

947y y y , ?????-+=-+=+--=3

21332123

211423736947x x x y x x x y x x x y .

2. 已知两个线性变换

?????++=++-=+=3

21332123

11542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,

求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.

解 由已知

???? ?????? ?

?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???

?

?????? ??--???? ??-=32131

0102

013514232102z z z

???

?

?????? ??----=321161109412316z z z ,

所以有?????+--=+-=++-=3

21332123

2111610941236z z z x z z z x z z z x .

3. 设???? ??--=111111111A , ???

?

??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T

B .

解 ????

??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB

???

?

??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503,

???

? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T .

4. 计算下列乘积:

(1)???

?

?????? ??-127075321134;

解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374???? ??=49635.

(2)???

? ??123)321(;

解 ???

?

??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10).

(3))21(312-???

?

??;

解 )21(312-????

?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2???

?

?

?---=6321

42. (4)????

?

??---??? ??-20

4

131

210131

43110412 ; 解 ????

?

??---??? ??-20

4

131

210131

43110412??? ??---=6520876.

(5)???

? ?????? ??32133231323

2212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;

解

???

? ?????? ??32133231323

2212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x

=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)???

? ??321x x x 3223311321122

33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.

5. 设

??? ??=31

21A , ??

? ??=2101B , 问:

(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .

因为??? ??=64

43AB , ??

? ??=8321

BA , 所以AB ≠BA .

(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2

吗? 解 (A +B)2

≠A 2

+2AB +B 2

.

因为

??? ??=+5222B A ,

??? ?

???? ?

?=+5222

52

22)(2B A ??

? ??=2914148,

但

??? ?

?+??? ??+??? ??=++43011288611483222B AB A ??

? ??=27151610,

所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.

(3)(A +B)(A -B)=A 2

-B 2

吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2

-B 2

.

因为

??? ??=+52

22B A , ??? ?

?=-1020

B A ,

??

? ??=??? ????? ?

?=-+90

6010

2052

22))((B A B A ,

而

??

? ??=??? ??-??? ??=-718243011148322B A ,

故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.

6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2

=0, 则A =0;

解 取

??

? ?

?=00

10A , 则A 2

=0, 但A ≠0. (2)若A 2

=A , 则A =0或A =E ;

解 取

??

? ??=0011A , 则A 2

=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取

??? ??=0001A , ??? ??-=1111X , ??

? ??=1011

Y ,

则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .

7. 设

??

? ??=101λA , 求A 2

, A 3

, ? ? ?, A k

.

解

?

?? ??=??? ????? ??=12011011012λλλA ,

?

?

? ??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A , ? ? ? ? ? ?,

?

?

? ??=101λk A k .

8. 设???

?

??=λλλ001001A , 求A k

.

解 首先观察

???? ?????? ??=λλλλλλ0010010010012A ???? ??=222002012λλλλλ,

???

? ??=?=3232323003033λλλλλλA A A ,

????

??=?=43423434004064λλλλλλA A A ,

???

?

??=?=545345450050105λλλλλλA A A ,

? ? ? ? ? ?,

?

?=k

A k

k k

k k k k k k k λλλλλλ0002)1(1

21----????

?

. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，

???? ???????

? ??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002

)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A

?????

?

??+++=+-+--+1

1111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:

?????

? ??-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.

9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T

AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T

=A , 所以

(B T

AB)T

=B T

(B T

A)T

=B T A T

B =B T

AB ,

从而B T AB 是对称矩阵.

10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T

=A , B T

=B , 且AB =BA , 所以 (AB)T

=(BA)T

=A T B T

=AB ,

即AB 是对称矩阵.

必要性: 因为A T

=A , B T

=B , 且(AB)T

=AB , 所以

AB =(AB)T =B T A T

=BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:

(1)

??

? ??5221; 解

??

? ?

?=5221A . |A|=1, 故A -1

存在. 因为

??? ?

?--=??? ??=1225*22122111A A A A A ,

故

*||11A A A =-?

?

? ??--=1225.

(2)

??

? ??-θθθθcos sin sin cos ; 解

??

? ??-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A|=1≠0, 故A -1

存在. 因为

??? ?

?-=??? ??=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,

所以

*||11A A A =-?

?

? ??-=θθθθcos sin sin cos .

(3)???

?

??---145243121;

解

???

?

??---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1

存在. 因为

???? ?

?-----=???? ??=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,

线性代数典型例题

线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

居于马线性代数第一章答案

1、2222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、 22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=?--?=+= 3、 222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行() 8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式： 解： 10100 00 10 010 02000020 10(1)10 080000 800900009 10 +-?按第行展开

11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 5 04211111111210 1121112102 1 143247412041200324153 1 1 11 5 42 0153 ----- =- =----=----------第，行交换 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 根据课本20页公式（1.21），原式012 11 2003*41203 022 = -=-=-（） 15、 12 00340012132*160013 345 1 00 5 1-= =---（）（）=32 16、1234512345 123678910678910 21 3567810*220000********* 0100002400024 01011 00013 -=-=-=-第，行对换 17、根据课本20页公式（1.22） 18、100 12 01*2*33!123 A ===， 所以 3*5*(1)||||3!5!0 A A B B =-=- 19、证： 20、111111112111110 031111100 411 1 1 10 0x x x x x y x y y x y ++----= -+-----第行第行左第行第行第行第行

线性代数考试练习题带答案(6)

线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0

线性代数第1章行列式试卷及答案

第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A.32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000 a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222a d b c - D.2222 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 8751----= D ，则5A 14 + A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 1 5751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1111 )(32 1 3213 21321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加

线性代数机械工业出版社第一章答案

线性代数第一章行列式 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 13132 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：() (1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 1224314 a a a a 的系数：()(1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 22 111a a b b c c =222222 ()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- 5.行列式 1 13 6 104 204 710501 λ --中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 071 01-3 41+-?）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设3 1-2031 2 22 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0

解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 121112 22 -=0 二、 单项选择题 1、设x x x x x x f 1111231 11 2 12)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解： x 3 的系数为 ） （） （）（1-21341234 +=-1 2、 设333231232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 3231312322 212113 121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 23222113 12114-4-4-a a a a a a a a a =-4m 212j j +?→33 32 3131 23222121 13 1211114-24-24-2a a a a a a a a a a a a =-4m 31?j →33 32 3131 23222121 13 121111 4-234-234-23a a a a a a a a a a a a =-12m 3.行列式 k-12 2k-1 ≠0的充分必要条件是（C ） (A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式 0000 00 a b c d e f g h 中元素g 的代数余子式的值为（B ） （A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf

线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

线性代数第1章行列式试卷及答案

第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

北大版 线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且

所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。

例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=

方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。

线性代数习题参考答案

第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)

《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 3. 求解下列线性方程组： ???????=++++=++++=++++---11113221 12132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠

4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231 230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解？ 5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=?有非零解？ 二、计算题2 6. 计算61 4230 21510 3212 1----=D 的值。 7. 计算行列式5241 421 3183 2052 1------=D 的值。 8. 计算01111 0111 1011 110=D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算4124 1202 10520 0117的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---????-= ? ?----????