2016年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U=R，A={x|0.3x＜1}，B={x|x＜x2﹣2}，则A∩（?U B）=（）
A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0＜x≤1}
2．已知复数z1=2+2i，z2=1﹣3i（i为虚数单位），那么复数所对应的点在复平面的（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设命题p：?x＞0，lnx＞lgx，命题q：?x＞0，=1﹣x2，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．￢p∧￢qC．p∧￢qD．￢p∧q
4．某同学有6本工具书，其中语文1本、英语2本、数学3本，现在他把这6本书放到书架上排成一排，则同学科工具书都排在一起的概率是（）
A．B．C．D．
5．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，一条渐近线的方程为y=x，则e=（）
A．B．C．2D．
6．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）
A．2B．﹣C．3D．
7．某几何体的三视图细图所示，则该几何体的体积为（）
A ．12
B ．13
C ．18
D ．20
8．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||=3||，当=x +y 时，x ﹣y=（ ） A ．﹣2B ．﹣2C ．2D ．3
9．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是
先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为
．后
人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V 牟=r 3﹣V 方盖差，r 为球的半径，也即正方形的棱长均为2r ，为从而计算出V 球=πr 3．记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方
盖差
，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜
）的图象（部分）如图所示，把f （x ）的图象
上各点向左平移单位，得到函数g （x ）的图象，则g （）=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣
D ．
11．已知O 为坐标原点，M （x ，y ）为不等式组表示的平面区域内的动点，点A 的坐标为（2，
1），则z=?的最大值为（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．1D ．0
12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=1，c=2（b ﹣cosC ），则△ABC 周长的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．[2，4]C ．（2，3]D ．[3，5]
二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知函数y=f （x ）+x 3为偶函数，且f （10）=10，若函数g （x ）=f （x ）+6，则g （﹣10）= ． 14．如图所示的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下： 4=22
4+12=16=42
4+12+20+36=62
4+12+20+28=64=82
…
由上述事实，请推测关于n的等式：．
15．已知a=dx，则（ax+）6展开式中的常数项为．
16．已知e是自然对数的底数，实数a，b满足e b=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＜0，且1，a2，81成等比数列，a3+a7=﹣6．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求{}的前n项和T n取得最小值时n的值．
19．某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；
（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．
20．如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭圆分别交于点P、Q，
且，求四边形MPNQ的面积S的最小值．
21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB2=AF?AD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的参数方
程（α为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3
（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（2）求圆C上任一点P到直线l距离的最小值和最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．
2016年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U=R，A={x|0.3x＜1}，B={x|x＜x2﹣2}，则A∩（?U B）=（）
A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0＜x≤1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分别求出集合A，B，以及B的补集，再求出其和A的交集即可．
【解答】解：U=R，A={x|0.3x＜1}={x|x＞0}，
B={x|x＜x2﹣2}={x|x＞2或x＜﹣1}，
∴?U B）={x|﹣1≤x≤2}，
∴A∩（?U B）={x|0＜x≤2}，
故选：B．
2．已知复数z1=2+2i，z2=1﹣3i（i为虚数单位），那么复数所对应的点在复平面的（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接把复数z1，z2代入复数，由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面对应
的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：已知复数z1=2+2i，z2=1﹣3i（i为虚数单位），
则==，
∴复数在复平面所对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．
故选：B．
3．设命题p：?x＞0，lnx＞lgx，命题q：?x＞0，=1﹣x2，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．￢p∧￢qC．p∧￢qD．￢p∧q
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：是假命题，例如取x=1，则lnx=lgx=0．命题q：画出图象：即可判断出结论．
【解答】解：命题p：?x＞0，lnx＞lgx，是假命题，例如取x=1，则lnx=lgx=0．
命题q：?x＞0，=1﹣x2，画出图象可知：q为真命题．
则下列命题为真命题的是￢p∧q．
故选：D．
4．某同学有6本工具书，其中语文1本、英语2本、数学3本，现在他把这6本书放到书架上排成一排，则同学科工具书都排在一起的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由题意可得：将6本不同的书排成一排放到书架上共有A66中排法，把2本英语捆绑在一起，把3本数学捆绑在一起，和1本语文，全排，根据概率公式计算即可得到答案．
【解答】解：把这6本书放到书架上排成一排，共有A66=720种，
把2本英语捆绑在一起，把3本数学捆绑在一起，和1本语文，全排，故有A22A33A33=72，
故同学科工具书都排在一起的概率是=，
故选：C．
5．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，一条渐近线的方程为y=x，则e=（）
A．B．C．2D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，由条件可得=，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可
得到所求值．
【解答】解：由题意可得e=，
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
由题意可得=，
由b=，可得==，
即为e2=2e，解得e=2（0舍去）．
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）
A．2B．﹣C．3D．
【考点】循环结构．
【分析】根据题意，本程序框图为求S的值，利用循环体，代入计算可得结论．
【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值
第一次进入循环体后，i=1，S=；
第二次进入循环体后，i=2，S=﹣；
第三次进入循环体后，i=3，S=3
第四次进入循环体后，i=4，S=；
退出循环
故选D．
7．某几何体的三视图细图所示，则该几何体的体积为（）
A．12B．13C．18D．20
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知几何体为侧放的四棱锥．
【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是边长为4和5的矩形，高为3，∴V==20．
故选：D．
8．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||=3||，当=x +y 时，x ﹣y=（ ）
A ．﹣2
B ．﹣2
C ．2
D ．3
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】可作出图形，然后由条件便可得到，根据向量加法的几何意义及向量的
数乘运算便可得到，从而由平面向量基本定理即可得出x ，y 的值，从而求出x ﹣y 的值．
【解答】解：如图，
根据条件，；
∴；
∴=；
又；
∴
；
∴x ﹣y=﹣2．
故选：A ．
9．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是
先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为
．后
人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V 牟=r 3﹣V 方盖差，r 为球的半径，也即正方形的棱长均为2r ，为从而计算出V 球=πr 3．记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方
盖差
，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】计算出V 方盖差，V 正，即可得出结论
【解答】解：解：由题意，V 方盖差=r 3﹣V 牟=r 3﹣×
××π×r 3=r 3，
=×=r3，
所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V
正
∴==，
故选：C．
10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，把f（x）的图象
上各点向左平移单位，得到函数g（x）的图象，则g（）=（）
A．﹣1B．1C．﹣D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得要求式子的值．
【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，
可得A=2，?=﹣，求得ω=π．
再根据五点法作图可得π?+φ=，求得φ=，故f（x）=2sin（πx+）．
把f（x）的图象上各点向左平移单位，得到函数g（x）=2sin[π（x+）+]=2cos（πx+）的图象，
则g（）=2cos（+）=2cos=﹣1，
故选：A．
11．已知O为坐标原点，M（x，y）为不等式组表示的平面区域内的动点，点A的坐标为（2，
1），则z=?的最大值为（）
A．﹣5B．﹣1C．1D．0
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，利用向量的坐标运算得到线性目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
z=?=（2，1）?（x﹣2，y﹣1）=2x﹣4+y﹣1=2x+y﹣5，
化为直线方程的斜截式：y=﹣2x+z+5，
由图可知，当直线y=﹣2x+z+5过A（2，2）时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1．
故选：C．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，c=2（b﹣cosC），则△ABC周长的取值范围是（）
A．（1，3]B．[2，4]C．（2，3]D．[3，5]
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由余弦定理求得cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故
a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．
【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．
∵bc≤（）2，
∴（b+c）2﹣1≤3×（）2，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
故a+b+c≤3．
再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a=1，故有a+b+c＞2，
故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故选：C．
二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+6，则g（﹣10）=2016．【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数y=f（x）+x3为偶函数、f（10）=10，由偶函数的性质列出方程求出f（﹣10）的值，代入函数g（x）=f（x）+6求出g（﹣10）的值．
【解答】解：因为函数y=f（x）+x3为偶函数，
所以f（10）+103=f（﹣10）+（﹣10）3，
由f（10）=10得，f（﹣10）=2010，
因为函数g（x）=f（x）+6，所以g（﹣10）=2016，
故答案为：2016．
14．如图所示的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：
4=22
4+12=16=42
4+12+20+36=62
4+12+20+28=64=82
…
由上述事实，请推测关于n的等式：4+12+20+…+（8n﹣4）=（2n）2（n∈N*）．
【考点】数列递推式；归纳推理．
【分析】由已知中的点阵分隔所得的等式，归纳变化规律，可得答案．
【解答】解：由已有中正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：
4=22
4+12=16=42
4+12+20+36=62
4+12+20+28=64=82
…
归纳可得：等式左边是一个以8为公差，以4为首项的等差数列，右边是正偶数的平方，
故第n个式子为：4+12+20+…+（8n﹣4）=（2n）2（n∈N*），
故答案为：4+12+20+…+（8n﹣4）=（2n）2（n∈N*）
15．已知a=dx，则（ax+）6展开式中的常数项为160π3．
【考点】定积分；二项式系数的性质．
【分析】由定积分的几何意义可求a值，再由二项式定理可得．
【解答】解：a=dx表示圆x2+y2=4面积的一半，
故a=×π×22=2π，∴（ax+）6=（2πx+）6，
展开式通项为T k+1=（2πx）6﹣k（）k=（2π）6﹣k x6﹣2k，
令6﹣2k=0可解得k=3，故展开式中的常数项为T4=（2π）3=160π3，
故答案为：160π3．
16．已知e是自然对数的底数，实数a，b满足e b=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为3．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用已知条件化简表达式，利用构造法以及函数的导数求解函数的最值．
【解答】解：e是自然对数的底数，实数a，b满足e b=2a﹣3，2a﹣3＞0，可得b=ln（2a﹣3），
|2a﹣b﹣1|=|2a﹣ln（2a﹣3）﹣1|，令2a﹣3=x，上式化为|x﹣lnx+2|，
令y=x﹣lnx+2，可得y′=1﹣，由y′=0，可得x=1，当x∈（0，1）时，y′＜0，函数是减函数，
x＞1时，y′＞0，函数是增函数，x=1时，y=x﹣lnx取得最小值：3．
则|2a﹣b﹣1|的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；
（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣
2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．
因为0＜A＜π，所以．
（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．
又由正弦定理得．
18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＜0，且1，a2，81成等比数列，a3+a7=﹣6．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求{}的前n项和T n取得最小值时n的值．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（I）由a3+a7=﹣6=2a5，解得a5．由1，a2，81成等比数列，=1×81，a2＜0，解得a2．可得等
差数列{a n}的公差d=．可得a n．
（II）S n=n2﹣12n.=n﹣12．由n﹣12≤0，解得n即可得出．
【解答】解：（I）∵a3+a7=﹣6=2a5，解得a5=﹣3．
∵1，a2，81成等比数列，=1×81，a2＜0，∴a2=﹣9．
∴等差数列{a n}的公差d===2．
∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n﹣13．
（II）S n==n2﹣12n．
=n﹣12．
由n﹣12≤0，解得n≤12，
∴当n=11，12时，{}的前n项和T n取得最小值．
19．某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；
（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为60，在时间段[95，100）小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望与方差．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为：200×0.06×5=60，在时间段[95，100）小时的职工人数为200×0.02×5=20，
∴抽取的200位职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为80，
∴从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为：
p==．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）=，
∴随机变量X
∵X～B（3，），EX==，DX=3×=．
20．如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭圆分别交于点P、Q，
且，求四边形MPNQ的面积S的最小值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程，利用，，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用，确定l1⊥l2．再分类讨论，分别计算四边形MPNQ的面积，利用基本不等式，可确定四边形形MPNQ的面积S的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为（a＞b＞0），
则由题意知c=1，
又∵
∴（a+c）（a﹣c）=1=a2﹣c2
∴a2=2
∴b2=a2﹣c2=1，
故椭圆的方程为：；
（Ⅱ）设M（x M，y M），N（x N，y N），P（x P，y P），Q（x Q，y Q）．
则由题意：
整理得：（x N﹣x M）（x P﹣x Q）+（y N﹣y M）（y P﹣y Q）=0．
所以l1⊥l2．
①若直线l1，l2中有一条斜率不存在，不妨设l2的斜率不存在，则可得l2⊥x轴，
∴|MN|=2，|PQ|=，
故四边形MPNQ的面积S=．
②若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程：y=k（x﹣1）（k≠0），则
代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．
∴|MN|===
同理可求得，|PQ|=．
故四边形MPNQ的面积：S==≥
当且仅当k=±1时，取“=”．
综上，四边形形MPNQ的面积S的最小值为．
21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成
立，求实数b的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出当a=1时，f（x）的表达式和导数，及切线的斜率，切点，求出切线方程；
（Ⅱ）求出导数f′（x），并分解因式，讨论a=0，a≠0时分0＜a＜，a=，a＞，a＜0，求出单调区间；（Ⅲ）若对于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立?g（x）在[0，1]上的最小值
不大于f（x）在[1，2]上的最小值．由（Ⅱ）知f（x）在[1，2]上递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值
为f（1）=﹣，就b讨论：b＜0，0≤b≤1，b＞1时g（x）的最小值，再解不等式即可得到．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，f′（x）=﹣1，
∴f′（1）=0，f（1）=﹣2，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2．
（Ⅱ）f′（x）=﹣a﹣=（x＞0）
当a=0，f′（x）=，f（x）的增区间是（1，+∞），减区间是（0，1），
当a≠0时，＞1，即0＜a＜时，f（x）的增区间是（1，），减区间是（0，1），（，+∞），=1，即a=，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
＜1，即a＞或a＜0，a＞时，f（x）的增区间是（，1），减区间是（0，），（1，+∞），
a＜0，f（x）的增区间是（0，），（1，+∞），减区间是（，1）；
（Ⅲ）当a=时，由（Ⅱ）知f（x）在[1，2]上递增，
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=﹣，
若对于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立?g（x）在[0，1]上的最小值
不大于f（x）在[1，2]上的最小值．
又g（x）=x2﹣2bx﹣=（x﹣b）2﹣b2﹣，x∈[0，1]，
①当b＜0，g（x）在[0，1]上递增，g（x）min=g（0）=﹣＞﹣，不成立；
②当0≤b≤1，g（x）min=g（b）=﹣b2﹣，由﹣b2﹣≤﹣及0≤b≤1，≤b≤1；
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上递减，g（x）min=g（1）=﹣2b≤﹣，此时b＞1，
综上，b的取值范围是[，+∞）．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB2=AF?AD．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）可根据切割线定理先得出关于FD，FA，FC，FB的比例关系，然后得出三角形FDC和FBA 相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是对顶角，因此只要证得∠ABC=∠ADB相等即可，
AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又对应同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本题的结论；
（2）关键是证△ABD，△ABF相似，已经有一个公共角，根据（1）中证明的过程我们不难得出
∠ABC=∠CDF，得到两三角形相似后根据相似三角形的对应边对应比例即可得出所求的结果
【解答】证明：（1）根据切割线定理的推论可知：FD?FA=FC?FB
∵∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBA，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB（所对的弧相等）
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF；
（2）由（1）知∠ADB=∠ABC．
又∵∠BAD=∠FAB，
∴△ADB∽△ABF，∴=，
∴AB2=AF?AD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的参数方
程（α为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3
（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（2）求圆C上任一点P到直线l距离的最小值和最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）根据参数方程和极坐标方程和普通方程的关系进行转化即可．
（2）求出圆心和半径，利用直线和圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3
∴ρcosθ+ρsinθ=3，即x+y﹣3=0．
∵圆C的参数方程，
∴消去参数得（x﹣1）2+y2=1．
即圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1．
（2）由圆的普通方程得（x﹣1）2+y2=1，得圆心C（1，0），半径r=1，
则圆心C到直线l的距离d=＞1，
则直线与圆C相离，
则圆C上任一点P到直线l距离的最小值是，最大值是．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，
当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．
当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈?．
当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．
综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．
（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．
由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．
2016年7月21日
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，
它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 高考理科数学数学导数专题复习 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义： 第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形， 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D ∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π 高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 (1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1- 考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2） 全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ . 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3高考数学试卷及答案-Word版
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