第13章 整式的乘除（ 幂的运算）
一、知识点归纳：
1、 同底数幂的乘法法则 (m 、n 是正整数)
2、 幂的乘方法则 (m 、n 是正整数)
3、 积的乘方法则 (n 是正整数)
4、 同底数幂的除法法则 (m 、n 是正整数，m >n )
5、 推广p
n m p
n
m
a
a a a
-+=÷?
()np
mp p
n
m b a b a = (m 、n 、p 是正整数)
6、 零指数和负指数法则=0
a
()0≠a =-n
a (0≠a ，n 是正整数)
7、 科学记数法： n
a N 10?=(1≤a <10，n 为整数)
二、典型例题:
例1：用科学记数法表示：
(1)0.00034= (2)0.00048= (3)-0.00000730= (4)-0.00001023=
例⒉⑴计算:(－2)n +2(－2)n －1. ⑵比较2100与375
的大小.
例⒊若a=8131，b=2741，c=961
，则a 、b 、c 的大小关系为 .
例⒋已知: 8·22m －1·23m =217
.求m 的值.
例⒌若2x+5y —3=0，求4x －1·32y
的值．
例⒍已知x m －n ·x 2n+1=x 11，且y m －1·y 4－n =y 7
，则m=____，n=____.
例⒎⑴已知:2a ·27b ·37c =1998,其中a,b,c 是自然数,求(a-b-c)2004
的值.
⑵已知:2a ·27b ·37c ·47d =1998,其中a,b,c,d 是自然数,求(a-b-c+d)2004
的值.
例⒏若整数a,b,c 满足,4169158320=??
?
?????? ?????? ??c
b a 求a,b,
c 的值.
例⒐已知10m
=20,10n
=
5
1,的值求n
m 239÷.
例⒑⑴设x=3m ，y=27m+2
，用x 的代数式表示y 是_____.
⑵已知x=2m+1，y=3+4m
，用x 的代数式表示y 是_____.
例⒒解关于x 的方程:3
3x+1
·5
3x+1
=15
2x+4
. 例⒓已知: ()
124
2=--x x ,求x 的值.
三、基础练习 一、选择题
1．下列各式中，正确的是（ ）
A ．844m m m = B.25552m m m = C.9
33m m m = D.66y y 122y = 2.下列4个算式 (1)()()-=-÷-2
4
c c 2
c (2) ()y -()
246y y -=-÷
(3)3
3
z z z =÷ (4)4
4a a a m m =÷其中,计算错误的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3. 计算82332()()[()]p p p -?-?-的结果是( ) A.-20p B.20p C.-18p D.18p
4.已知n 是大于1的自然数,则()c -1
-n ()
1
+-?n c 等于 ( )
A. ()
1
2--n c B.nc 2- C.c -n
2 D.n
c
2
5. 计算19992000(2)(2)-+-等于( ) A.3999
2
- B.-2 C.1999
2- D.1999
2
6. 已知5544332,3,4a b c ===,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a 7.计算()+-0 32 21-?? ? ??-÷2-的结果是 ( )A.1 B.-1 C.3 D. 8 9 8. 如果a m ÷a x =a m 3，那么x 等于（ ） A ．3 B.-2m C.2m D.-3 9计算（-4×103 ）2 ×（-2×103 ）3 的正确结果是（ ） A ．1.08×1017 B.-1.28×1017 C.4.8×1016 D.-1.4×1016 10.下列计算正确的( ) A.5 3 2 2x x x =+ B.6 3 2 x x x =? C.) (3 x -62 x -= D.x x x =÷363 二、填空题 1. 104 ×107 =______；b 2m ·b 4n-2m =_______；234x x xx + =________；25()()x y x y ++= 2. 若2,5m n a a ==,则m n a +=________；若1216x +=,则x=________. 3. (x 4)3 =_______； (a m )2 =________；3( ) 214()a a a ?=；(2x 2y)2=______； (a 2)n ·(a 3)2n =_______； (3×102)3 =______； 27a ·3b =_______。 4. 9 20 ÷2710÷37 = ；(a-b)11÷(b-a)5 =_______；（-a 2）5÷（-a ）3 = 。 5. (－2)64 +(－2)63 =_________， 2 2004 ×(－2) 2004 ×(－1 4 ) 2004 =_______。 6. 若4x =5，4y =3,则4x+y =________若2,x a =则3x a = 。 7. 若5x-3y-2=0,则5310 10x y ÷=_________ ；如果3,9m n a a ==,则32m n a -=________。 8．若a －b=3，则[(a －b)2]3·[(b －a)3]2=________。(用幂的形式表示） 9.氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529厘米。用科学记数法表示这个距离为 10. 1083与1442的大小关系是 。 三、计算题： （1）a 2 ·a 3 +a ·a 5 （2） 323221?? ? ???????? ??-z xy （3） () m m x x x 23 2 ÷? （4） a 3 ·a 3 ·a 2 +(a 4)2 +(－2a 2)4 （5）（-2a 2 b ）3+8（a 2 ） 2 ·（-a ） 2 ·（-b ）3 ； (6) （-3a 2）3·a 3+（-4a ）2·a 7-（5a 3）3 (7) (n-m)3·(m-n)2 -(m-n)5 (8) 2 3 2 3 ()()()()x y x y y x y x -?-?-?- (9) 2 3 4 4 ()()2()()x x x x x x -?-+?---? (10) （x-y ）10÷（y-x ）5÷（x-y ） (11)2421[()]()n n x y x y ++÷-- (n 是正整数). (12) 312 3121()(4)4 n m n a b a b ---+- ? （13） 23×8×16×32 (结果用幂的形式表示） 四、用简便方法计算 (1)()5.1)3 2(2000 ?1999()19991-? (2) ()5.1)3 2 (2000?1999()19991-? 五、化简求值：（2x-y ）13 ÷[（2x-y ）3 ]2 ÷[（y-2x ）2 ]3 ，其中x=2，y=-1。 六、解答题 1. 若 2·8n ·16n =222，求正整数m 的值. 2、已知21 32793=??m m ，求，)()(2 332m m m ?÷-的值。 3、已知105,106a b ==,求(1)2310 10a b +的值;(2)2310a b +的值 第13章 整式的乘除 一、单元设计总体分析 本章教学内容 本章是继七年级代数式中学习了整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是七年级的延续和发展。本章的主要内容有同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，以及单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式、因式分解等运算，整式的乘除法既是七年级上册整式的加减的后续学习，也是分式学习的基础，因此，本章内容的地位也至关重要。多项式的乘法运算最终都转化为同底数幂的乘法进行，因此同底数幂的乘法是整式乘法的基础，所以同底数幂的运算法则和整式的乘法是本章教学的重点。而其中多项式与多项式相乘的运算要综合运用乘法分配律、交换律及幂的运算法则，是本章教学的难点。因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢固地掌握。因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。 本章教学目标 1、了解正整数指数幂的运算法则，会进行正整数指数幂的计算。 2、探索了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。 3、会由整式的乘法推导乘法公式：22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a +±=±，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。 4、通过从幂的运算到整式乘法，再到乘法公式的学习，了解乘法公式来源于整式乘法，又应有于整式乘法的辩证过程，并初步认识到事物发展过程中“特殊→一般→特殊”的一般规律。 5、探索了解单项式与单项式、多项式与单项式的法则，会进行简单的整式除法运算。 6、了解因式分解的意义及与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互 第12章 整式的乘除测试题（一） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算3 212ab ??- ???的结果正确的是（ ） A. 6381b a B. 6361b a C. -6361b a D. -6381b a 2.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. 2（x-y ）=2x-2y B. x 2-2x+1=x （x-2）+1 C. x 2-x-2=（x-1）（x+2） D. x 2y+y=y （x 2+1） 3. 下列单项式中，与单项式-6a 2b 3相乘，所得到的乘积是-2a 3b 4的是（ ） A.3ab B.3 1ab C. 3a 5b 7 D.12a 5b 7 4. 已知a+2b=5，ab=2，则代数式（a-5）（2b-5）的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 小虎在利用两数和（差）的平方公式计算时，不小心用墨水将式子中的两项染黑：（2x ＋■）2＝4x 2＋12xy ＋■，则被染黑的最后一项应该是（ ） A.3y B.9y C.9y 2 D.36y 2 6.若长方形的面积是4a 2+8ab+2a ，它的一边长为2a ，则它的周长为（ ） A.2a+4b+1 B.2a+4b C.4a+4b+1 D.8a+8b+2 7. 若要得到（a-2b ）2，则代数式（a+b ）（a+4b ）应加上（ ） A. ab B. -ab C. 9ab D. -9ab 8.若2x+y-2=0,则9x ×3y -1的值为（ ） A.-10 B.8 C.7 D.6 9. 若n 是正整数，则关于多项式（n+2）2-n 2的说法不正确的是（ ） A. 一定能被2整除 B. 一定能被4整除 C. 一定能被8整除 D. 一定能被n+1整除 10. 如果图1-①的阴影部分的面积为S 1，图1-②的阴影部分的面积为S 2，那么（S 12-2S 1S 2+S 22）÷b 2的值为（ ） A. a 2-2ab+b 2 B. a 2+b 2 C. a 2-2ab D. 2ab+b 2 整式的乘除复习学案 复习目标： 1、 整式的混合运算，提高整式的运算能力； 2、 整式的综合应用，对全章知识体系的梳理和把握； 3、 通过实践，培养学习数学的严谨态度。 学习重点：整式的综合应用，特别是乘法公式的灵活应用。 学习难点：乘法公式的灵活应用。 知识梳理：（温馨提示：查阅课本，准确填写） 整式加减的方法步骤：① ② ③ 一、基本知识点： 1、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即：n m n m a a a +=?（m ,n 都是正整数）。 （1）()()= -?-6 5 33 （2）= ?+12m m b b 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：() mn n m a a =（m ,n 都是正整数） 。 （1）() 232＝_______ （2）()=55b （3）() =-3 12n x 3、积的乘方等于每一个因数乘方的积。即：()n n n b a ab =（n 是正整数） 填空：（1）()=2 3x （2）()=-32b （3）4 21??? ??-xy ＝ 4、同底数幂相除，底数不变，指数相减。 即：n m n m a a a -=÷（n m n m a ＞都是正整数，且,,0≠）， =0a ，=-p a （是正整数p a ,0≠） （1）=÷47a a （2）()()=-÷-36x x （3）()()=÷xy xy 4 (4)、已知9,4==b a x x ，求b a x 2 -的值。 （5）.已知的值。求n m n m a a a 432,7,5-== （6）、若32=+y x ，求y x 24?的值。 （7）.已知16)(2=+y x ，4)(2 =-y x ，求xy 的值。 5、整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。如：() =??? ??-xy z xy 3122。 （2）单项式与多项式相乘，() b a ab ab 2 2324+＝ （3）多项式与多项式相乘，()()=-+y x y x 22 6、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。即：()()2 2b a b a b a -=-+。 （1）()()=-+x x 8585 7、完全平方公式：()2222b ab a b a ++=+，()222 2b ab a b a +-=-。 同时，也可以用观察情境来推导，如图所示. 由图(1)可知，(a +b)2=a 2+2a b+b 2 ， 由图(2)可知，(a -b)2=a 2-2a b+b 2 . 整 式的除 法 单项式除以单项式法则： 多项式除以单项式法则： 整 式概念 单项式： 多项式： 系数： 次数： 定义： 次数： 定义： 同底数幂的乘法法则，用字母表示： 幂的乘方法则，用字母表示： 积的乘方法则，用字母表示： 同底数幂的除法法则，用字母表示： 特殊规定：a 0= a -p = 幂的运 算 整 式乘法 单项式乘单项式法则： 单项式乘多项式法则： 多项式乘多项式法则： 平方差公式，用字母表示： 完全平方公式，用字母表示： 第3章整式的乘除复习 教学内容 复习整式乘除的基本运算规律和法则、方法。通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。 教学目标 通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。 教学分析 重点：根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法是本课重点。 难点：整式的除法是本课难点。 教学方法与手段 采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。本课教学以练习为主。 教学过程 一．回顾知识点 （一）整式的乘法 1、同底数的幂相乘 2、幂的乘方 3、积的乘方 4、同底数的幂相除 5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式 7、多项式乘以多项式8、平方差公式 9、完全平方公式10、整式的化简 （二）整式的除法 1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式 二．练习巩固 （一）单项式乘单项式 （二）单项式与多项式的乘法 （三）乘法公式应用 （四）整式的除法 )31()43()32)(4(),())(3() 4()3)(2(),2()5)(1(25322323223c ab c bc a b a b a b ab y x x n m ?-?--?--?--?)212)()(3()2)(1()3)(2)(2(),32()2)(1(y x y x y x y x c y x a --+-+-++-+?-) 73)(73)(3()9)(4)(2()6)(6)(1(y x y x y x y x y x y x --+-+--+-)5.0()4 331)4()6()645)(3(])(3 1[)(6)2()2(()41)(1(21231221223233225346y x y x y x y x x x y x y x b a b a c a c b a m m m n m -+--÷+-÷+--÷-÷- 第12章(整式乘除)单元测试(一) 一.选择题(每小题3分，共30分). 1.计算32()x -的结果是( ). A. -5x B. 5x C. -6x D. 6x 2.下列等式成立的是( ). A.x+x ＝2x B. 2x x x ?= C. 2x ÷2x ＝0 D. 22 (3)6x x = 3.若(x-b)(x-2)展开式中不含有x 的一次项，则b 的值为( ). A.0 B.2 C.-2 D.±2 4.三个连续偶数，若中间的一个为m ，则它们的积是( ). A.366m m - B.34m m - C.34m m - D.3m m - 5.已知M 2(2)x -＝53328182x x y x --，则M ＝( ). A.33491x xy --- B.33491x xy +- C.3349x xy -+ D.33491x xy -++ 6.若a+b=0，ab=-11，则22a ab b -+的值是( ). A.33 B.-33 C.11 D.-11 7.下列各式能分解因式的是( ). A.21x -- B.214 x x -+ C.222a ab b +- D.2 a b - 8.若22(3)16x m +-+是完全平方式，则常数m 的值等于( ). A.3 B.-5 C.7 D.7或-1 9.已知a+b=2，则224a b b -+的值是( ). A.2 B.3 C.4 D.6 10.已知x 为任意有理数，则多项式2114 x x -+-的值一定是( ). A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 备用题： 1.若3122m m n n x y x y -++99x y =，则m-n 等于( ). A.0 B.2 C.4 D.无法确定 2.设2(32)m n +＝2(32)m n P -+，则P 是( ). A.12mn B.24mn C.6mn D.48mn 二.填空题(每小题3分，共30分). 11.计算：2232a b ÷(-4ab)＝ . 12.计算1600-39.8×40.2＝ . 13.分解因式:224129x xy y -+＝ . 14若m x ＝9，n x ＝6，k x ＝4，则m n k x -+＝ . 15.地球与太阳的距离为81.510?km ，光速是5310?km/s ，则太阳光射到地球上约需＿＿s. 16.方程(3x+2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)的解为 . 17.已知1x x -＝2，则221x x +＝ . 18.已知a+b=4，ab=3，则代数式32232a b a b ab ++的值是 . 19.若232x x --＝2 (1)(1)x B x C -+-+,则B ＝ ，C ＝ . 20.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”产生的密码，方便记忆，原理是：如多项式44x y -＝22 ()()()x y x y x y -++，若x ＝9，y ＝9时，则各因式的值为x-y=0， 2020-2021学年华东师大新版八年级上册数学《第12章整式的 乘除》单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．如果a m﹣1?a3＝a6，那么m的值是（） A．4B．3C．2D．1 2．下列计算中正确的是（） A．a3?a2＝a6B．（a2b）3＝a6b C．a3+a2＝a5D．（﹣x）5?（﹣x）3＝x8 3．计算16a÷4a的结果是（） A．4B．12C．4a D．12a 4．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（） A．（y+x）2＝y2+xy+x2B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 5．把多项式8a2b2﹣16a2b2c2分解因式，应提的公因式是（） A．8a2b2B．4a2b2C．8ab2D．8ab 6．下列计算：①a9÷（a7÷a）＝a3；②3x2yz÷（﹣xy）＝﹣3xz；③（10x3﹣16x2+2x）÷2x＝5x2﹣8x；④（a﹣b）6÷（a﹣b）3＝a3﹣b3，其中运算结果错误的是（）A．①②B．③④C．①④D．②③ 7．计算1.252019×（﹣）2021的值是（） A．B．﹣C．D．﹣1 8．化简：（﹣2a）?a﹣（2a）2的结果是（） A．0B．2a2C．﹣4a2D．﹣6a2 9．如果（x2+x﹣3）（x2﹣2x+a）的展开式中不含常数项，则a的值是（） A．B．0C．5D．﹣5 10．计算20192﹣2018×2020的结果是（） A．﹣2B．﹣1C．0D．1 二．填空题（共10小题） 11．计算：3a2b3?2a2b＝；﹣2x（x﹣2）＝． 12．因式分解：x3y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）＝． 13．李明爬山时，第一阶段的平均速度是v，所用时间为t1；第二阶段的平均速度为，所用时间是t2；下山时，李明的平均速度保持为3v，上山路程和下山路程相同．李明下山所用时间是． 14．计算（﹣3x2y3）（﹣）2＝． 15．计算：（﹣2）2019×（﹣）2018＝． 16．分解因式：x3﹣2x2﹣3x＝． 17．计算： （1）（a m）3?a2÷a m＝． （2）22a?8a?42＝2（）． （3）（x﹣y）（x+y）（x2﹣y2）＝． （4）32005×（）2006＝． 18．（﹣ab2）5?（﹣ab2）2＝，（﹣x﹣y）（x﹣y）＝，（﹣3x2+2y2）（）＝9x4﹣4y4． 19．计算：（﹣12）15÷（﹣12）8＝（结果用12的幂的形式表示）． 20．232﹣1必能被10～20之间的整除． 三．解答题（共7小题） 21．（﹣2x3）2﹣（3x2）3﹣[﹣（2x）3]2． 22．用简便方法计算： （1）99×101； （2）752+252﹣50×75． 23．计算下列各题： （1）[（xy2）2]3+[（﹣xy2）2]3； VIP 个性化辅导教案（华宇名都18-1-3） 学生 学科 数学 教材版本 北师大版 教师 胡清清 年级 七年级 课时统计 第（ ）课时，共（ 2 ）课时 课 题 整式的运算 授课时间 2013年 7 月 6 日 授课时段 教学目标 1、 巩固幂的运算法则与整式的乘除； 2、 综合运用。 重点、难点 1、 幂的运算； 2、 整式的乘除。 考点及考试要求 详见教学内容 教学内容 整式运算 考点1、幂的有关运算 ①=?n m a a （m 、n 都是正整数） ② =n m a )( （m 、n 都是正整数） ③ =n ab )( （n 是正整数） ④=÷n m a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0 a （a ≠0） ⑥ =-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 例：在下列运算中，计算正确的是（ ） （A ）326a a a ?= （B ）235()a a = （C ）824a a a ÷= （D ）2224()ab a b = 练习： 1、() ()10 3 x x -?-=________. 2、()()()3 2 10 1036a a a a -÷-÷-÷ = 。 3、2 3 132--??-+ ??? = 。 4、322(3)---?- = 。 5、下列运算中正确的是（ ） A ．336x y x =； B ．235()m m =； C ．22 122x x -= ； D ．633 ()()a a a -÷-=- 6、计算() 8p m n a a a ?÷的结果是（ ） A 、8 mnp a - B 、()8 m n p a ++ C 、8 mp np a +- D 、8 mn p a +- 7、下列计算中，正确的有（ ） ①325a a a ?= ②()()()4 2 2 2ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()7 52a a a -÷=。 A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、②④ 8、在①5x x ? ②7x y xy ÷ ③()3 2x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ） A 、① B 、①② C 、①②③④ D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102 a b +的值； 点评： 2a 、532(2)b b =中的5(2)b 分别看作一个整体，通过整体变换进行求值，则有： 第12章 整式的乘除知识点总结（1） 、同底数幕的乘法 1. _________________________________________________ 法则：同底数幕相乘， ______________________________________________ 2?公式:a m a n _____________ . 3该公式可以反向利用，即a mn _______________ 4.相关的结论： ______ （n 为偶数） ______ （n 为奇数） _____________ （ n 为偶数） ______________ （ n 为奇数） 二、幕的乘方 1?法则:幕的乘方, _____________________________________ 2?公式：a m n ___________ . 3该公式可以反向利用，即a mn __________ = _______ . 三、积的乘方 1. 法则：积的乘方, _________________________________________________ 2. 公式:ab n ____________ . 3该公式可以反向利用，即a n b n ____________ . 4若 a 2 3,b 3 2,则a 4b 6 ____________ . 2014 (1) (2) A 5计算：2 2013 四、同底数幂的除法 1.法则: 同底数幂相除, ____________________________________ . 2. _________________________________ 公式: . 3. _____________________________________________ 该公式可以反向利用,即 ____________________________________________ . 10 3 4. a a ________________ . 74 5. 2a 72a 4 ___________ . 63 6. a b a b ______________________ . 五．单项式乘以单项式 1. ____________________ 2. ____________________ 3. 对于只在一个单项式中出现的字母,则要在结果里面保留. 六、单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的______________ ,再将所得的积__________ . 1.在进行运算时,要用到乘法______________ ,同时还要注意符号问题: 同号________ ,异号_________ . 七、多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 八、多项式的标准形式多项式的标准形式中,各个单项式之间是相加的. 1.把多项式2x2 3x 6 化为标准形式为_____________________________ . 九、多项式中不含某项的问题 6、1同底数幂的乘法 教学目标： 同底数幂的乘法法则: n m n m a a a+ = ?(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 p n m p n m a a a a++ = ? ?（其中m、n、p均为正数）； ⑤公式还可以逆用：n m n m a a a? = +（m、n均为正整数） 教学过程 (一)创设情境，引入课题 在乘方意义的基础上，学生开展探究，采用观察分析、探究归纳，合作学习的方法，易使学生体会知识的形成过程，从而突破难点，同时也培养了学生观察、概括与抽象的能力。 具体做法： 1．将学生视情况分成若干小组，要求各小组合作探究 例观察下列两小题中的两个幂有什么共同点? (1) a3· a2 = ( ) (2) 102×105 = ( ) 2．展示合作学习的成果，加深对幂的意义的理解，总结得到。 a3·a2 = ( a · a · a ) ·( a · a ) = a · a · a · a · a =a( 5 ) =a(3 )+( 2 ) 102× 105 = (10×10 ) × (10×10×10×10×10 ) =10×10×10×10×10×10×10 =10(7) = 10( 2 )+( 5 ) 3.形成法则 a m·a n等于什么（m,n都是正整数）？ a m·a n =（a·a·…·a）（a·a·…·a） m个a n个a = a·a·…·a （m+n）个a = a(m+n) 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 (三) 应用新知 通过课本例题和做一做，使学生体会到运用同底数幂的运算性质，可以解决一些实际问题，进一步让学生发展数感 例1 计算下列各式,结果用幂的形式表示 (1) 10 5× 10 3 (2) x 3· x4 (3) 3 2×33 ×34 (4) y ·y2·y4 例2 计算下列各式,结果用幂的形式表示 (1) (-a) · (-a)3 (2) y n· y n+1 《整式的乘除》复习课教学设计 灵璧县黄湾中学张公坤 一、课标分析： 了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行简单的整式乘法运算。 会推导平方差、完全平方公式，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算。 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。 二、学习目标： 1、理解整式乘、除运算的算理，累计数学活动经验。 2、了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算。 3、能推导乘法公式：平方差公式与完全平方公式，并能利用公式进行简单的计算；了解公式的几何背景，发展几何直观。 4、进一步用科学记数法表示小于1的正数，能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感。 5、进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行时思考与运算，发展运算能力，并进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识。 6、在整式乘、除、幂的学习过程中，发展勇于探究、质疑及合作交流的精神。 三、教学方法 自主探究为主讲练结合为辅 四、教学重难点 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。 五、教学设计 （一）知识结构 本章知识属于中考必考内容，难度较低，单独考查时，考查内容主要包括：同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，整式的化简等，与其他知识结合考查时，常与因式分解、分式的化简等知识结合起来考查． （二）主要知识梳理 1、知识间的内在联系 单项式×单项式—>单项式×多项式—>多项式×多项式—>乘法公式 () () n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+ 单项式÷单项式—>多项式÷单项式 同底数幂的乘法 a m ?a n =a m+n (m 、n 都是正整数) 幂的乘方 (a m )n =a mn (m 、n 都是正整数) 积的乘方 (ab)=a n b n (n 是正整数) 同底数幂的除法 a m ÷a n =a m －n (a≠0，m 、n 都是正整数，m>n) a 0=1，(a≠0 ) 单项式乘法 单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 多项式乘以单项式 多项式乘以单项式，用单项式去乘以多项式的每一项，并把所得的积相加。 p p n m n m a a a a a a 1 1 ===÷-- 第12章 整式的乘除练习题 资料编号:202008062326 1. 计算()2 3a -的结果是 【 】 （A ）5a （B ）5a - （C ）6a - （D ）6a 2. 下列运算正确的是 【 】 （A ）()42 222x x = （B ）523x x x =? （C ）()52 3x x = （D ）()1122 +=+x x 3. 计算()()22-+x x 的结果是 【 】 （A ）42-x （B ）24x - （C ）24x + （D ）22x + 4. 下列等式错误的是 【 】 （A ）()222 42n m mn = （B ）()222 42n m mn =- （C ）()663 2282n m n m = （D ）()553 2282n m n m -=- 5. 一种计算机每秒可做8104?次运算,则它工作4102?秒运算的次数为 【 】 （A ）9108? （B ）10108? （C ）11108? （D ）12108? 6. 下列计算正确的是 【 】 （A ）()222 b a b a +=+ （B ）()222 2b ab a b a --=- （C ）()()22222b a b a b a -=-+ （D ）()222 2a ab b a b +-=- 7. 若()()n x x mx x ++=-+3152,则m 的值为 【 】 （A ）5 （B ）5- （C ）2 （D ）2- 8. 若12,7==+mn n m ,则22n mn m +-的值是 【 】 （A ）11 （B ）13 （C ）37 （D ）61 9. 若c b a ,,为三角形的三边长,则代数式()22 b c a --的值 【 】 （A ）一定为正数 （B ）一定为负数 （C ）可能为正数,也可能为负数 （D ）可能为0 10. 若1,3=+=+y x b a ,则代数式2008222+--++y x b ab a 的值为 【 】 整式的乘除复习教学设计（教材52—53） 学校：麻塘山九年义务制学校备课教师：米洪波电话： QQ号： 一审教师：电话：二审教师：电话： 学科七年级数学教材名称义务教育教科书教材出版社湘教版 课题整式的乘除复习年级七年级学期下册第几章第二章教 材分析 本节内容在七年级下册第二章，在刚刚学了整式的乘除的情况下，进一步复习整式的乘除。通过对公式的应用和反复使用来进一步理解和掌握整式的乘除。 设 计 理 念 增强学生的动手能力，知道数学从生活中来，到生活中去。提高学生学习数学的兴趣。 教学目标1．掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方。2．能灵活运用单项式和多项式的乘法。 3．熟练平方差公式和完全平方公式 教学重点重点：掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方。 能灵活运用单项式和多项式的乘法。 难点：熟练和灵活运用平方差公式和完全平方公式 教 学思路 先复习整式乘除一系列的方法和公式，通过自己动手对一些题目的分析和理解，然后学会整式乘除一系列的计算。 主要教学方法引导 学生动手 升华学生的思维能力 教 学 准 备 教学过程预设 环节教师活动（教学内容的呈现）学生活动（学习活动 的设计） 设计意图 一、检查 （2分钟）？ 整式的乘除学了那些东西？学生回答 二、复习旧知（5分钟）？①同底数幂的乘法；②幂的乘方和积的乘方； ③单项式和多项式的乘法④平方差公式和完 全平方公式 由学生回忆并写出 来 课堂复习25分钟把学生分成八组，每组完成课本52页中一个大题，然后每组 派一个代表讲解，然后教师总结。 提起学生的兴趣 提高学生的动手 能力 提高学生的语言 表达能力 提高学生的逻辑 思维能力 六、课堂小结 （2分钟）？ 通过本节课学习，让学生谈谈收获与体会。 七、巩固拓展 （10分钟）？ 完成课本53页B组的习题组长检查 八、布置作业 （1分钟）？ 课本53页C组习题 板书设计（内容、位置、何人何时书写）主黑板 次黑板 自我反思 主要特色 与 创新之处 存在的问题 与不足 注意 打“？”处是参赛教师可以根据自己的实际情况及本校的实际情况另行设计教学环节。 第12章 《整式的乘除》单元测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．计算22(3)x x ?-的结果是（） A ．26x - B ．35x C ．36x D ．36x - 2．下列运算中，正确的是（） A ．2054a a a = B ．4312a a a =÷ C ．532a a a =+ D ．a a a 45=- 3．计算)3 4()3(42y x y x -?的结果是（） A.26y x B.y x 64- C. 264y x - D. y x 83 5 4．÷c b a 468（）=224b a ，则括号内应填的代数式是（） A 、c b a 232 B 、232b a C 、c b a 242 D 、 c b a 2421 5．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（） A. 1)1)(1(2-=-+x x x B. 1)2(122+-=+-x x x x C. )4)(4(422y x y x y x -+=- D. )3)(2(62-+=--x x x x 6．下列多项式，能用公式法分解因式的有（） ①22y x +②22y x +-③22y x --④2 2y xy x ++ ⑤222y xy x -+⑥2 244y xy x -+- A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7．如果()()q px x x x ++=+-232恒成立，那么q p ,的值为（） A.=p 5，=q 6 B.=p 1，=q －6 C.=p 1，=q 6 D.=p 5，=q －6 8．如果()1593 82b a b a n m m =?+，那么（） A.2,3==n m B.3,3==n m C.2,6==n m D.5,2==n m 9．若()(8)x m x +-中不含x 的一次项，则m 的值为 （ ） A.8 8.－8 C.0 D.8或－8 10．若等式()()22b a M b a +=+-成立，则M 是（） A.ab 2 B.ab 4 C.－ab 4 D.－ab 2 二、填空题（每题3分，共24分） 11．计算：._______53=?a a ._______2142=÷-a b a ._____)2(23=-a 12．计算：.___________________)3)(2(=+-x x 13．计算：._________________)12(2=-x 14．因式分解：.__________42=-x 15．若35,185==y x ，则y x 25-= 16．若122=+a a ，则1422++a a = 17．若代数式2439x mx ++是完全平方式，则m ＝___________. 18．已知03410622=++-+n m n m ，则n m +=． 三、解答题（共46） 19．计算题（12分） 《整式的乘除与因式分解》初中数学教案 15．1．1 整式 教学目标 1．单项式、单项式的定义． 2．多项式、多项式的次数． 3、理解整式概念． 教学重点 单项式及多项式的有关概念． 教学难点 单项式及多项式的有关概念． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题 1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？ 2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？ 结论： 1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC 的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，?那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为 ch． 2．小王的平均速度是． 问题：这些式子有什么特征呢？ （1）有数字、有表示数字的字母． （2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接． 归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式． 判断上面得到的三个式子：a+b+c、 ch、是不是代数式？（是） 代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式． Ⅱ．明确和巩固整式有关概念 （出示投影） 结论：（1）正方形的周长：4x． （2）汽车走过的路程：vt． （3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，?所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长宽高，即a3． （4）n的相反数是－n． 分析这四个数的特征． 它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、 ch、中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同． 请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念． 根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、 ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数． 结论:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、? ch都是二次单项式；a3是三次单项式． 问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？ 结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式． 生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？ 写出下列式子（出示投影） 结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z． 第12章 整式的乘除检测题 （时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若3·9m ·27m =321 ，则m 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2.已知实数满足，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 3.若与互为相反数，则的值为（ ） A.1 B.9 C.–9 D.27 4.下列运算中，准确的个数是（ ） ①，②，③ ④ ， ⑤1 . A.1 B.2 C.3 D.4 5.将一多项式，除以后，得商式为，余式为0，则（ ） A.3 B.23 C.25 D.29 6. 下列运算准确的是（ ） A ．a +b =ab B ．a 2?a 3=a 5 C ．a 2+2ab -b 2=（a -b ）2 D ．3a -2a =1 7.多项式①；②；③ ； ④，分解因式后，结果中含有相同因式的是（ ） A.①和② B.③和④ C.①和④ D.②和③ 8.下列因式分解中，准确的是（ ） A. B. C. D. 9.设一个正方形的边长为，若边长增加，则新正方形的面积增加了（ ） A. B. C. D.无法确定 10.在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个矩形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，能够验证（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若把代数式x 2 -2x -3化为（x -m ）2 +k 的形式，其中m ，k 为常数，则m + k = . 12.现在有一种运算：，能够使： ，，如果 ，那么 ___________. 第10题图 1.1同底数幂的乘法 1.理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点) 2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点) 一、情境导入 问题：2015 年9 月24 日，美国国家航空航天局(下简称：NASA)对外宣称将有重大发现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注．早在2014 年，NASA 就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星，这颗行星环绕红矮星开普勒186，距离地球492 光年.1 光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：这颗行星距离地球多远(1 年＝3.1536×107s)? 3×105×3.1536×107×492＝3×3.1536×4.92×105×107×102＝4.6547136×10×105×107×102. 问题：“10×105×107×102”等于多少呢？ 二、合作探究 探究点：同底数幂的乘法 【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法 计算：(1)23×24×2； (2)－a3·(－a)2·(－a)3； (3)m n＋1·m n·m2·m. 解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 解：(1)原式＝23＋4＋1＝28； (2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8； (3)原式＝m n＋1＋n＋2＋1＝a2n＋4. 方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1 的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1. 【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法 计算： (1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4； (2)(x－y)2·(y－x)5. 解析：将底数看成一个整体进行计算． 解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n； (2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7. 方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b)n＝（b－a）n（n为偶数）， {－（b－a）n（n为奇数）.)【类型三】运用同底数幂的乘法求代数式的值 若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b 的值． 解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b 的关系，根据a、b 的关系求解．解：∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9. 方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相 同．变式训练：本课时练习第 6 题 【类型四】同底数幂的乘法法则的逆用 已知a m＝3，a n＝21，求a m＋n 的值． 《整式的乘除》复习课 导学案 【学习目标】 理解整式的有关概念和整式的加减乘除运算法则，并熟练运用整式的运算法则． 【知识梳理】 （1）同底数幂相乘，底数_____，指数_____.即:_____=?n m a a （m ,n 都是正整数）． （2）幂的乘方，底数_____，指数_____.即:() _____=n m a （m ,n 都是正整数）. （3）积的乘方等于____________________的乘方的积.即：()_____=n ab （n 是正整数） （4）同底数幂相除，底数_____，指数_____.即:_____=÷n m a a ( ) （5）零指数幂，负整数指数幂: 0a = （0≠a ），p a -=______(是正整数p a ,0≠) （6）单项式乘以单项式：_____________、_____________分别相乘，其余字母连同它的指 数作为_________ ________. （7）单项式乘以多项式：根据______________用单项式去________________________， 再把所得的积 ． （8）多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以__________________________, 再把所得的积 ． （9）整式的乘法公式：①平方差公式：________________________________； ②完全平方公式：______________________________；___________________________. （10）单项式除以单项式：_____________、_____________分别相除，只在被除式中出现的 字母则连同它的指数作为________________________. (11)多项式除以单项式：先把多项式的每一项分别除以___________,再把所得的商_______． 【知识专题训练】 一、幂的运算。 1.计算: (1)3 3 22 )()(a a a ÷-- (2)1 20)5 1()31()31(---?-÷ 2.（1）已知：64=m a ，16=n a ，求：n m a 43- （2） 20112012)5 3 2()135( -? 二、整式的乘除法运算. 专题训练(一) 整式乘法中六种常见错误?易错点一忽略指数“1” 1．计算(x－y)(y－x)2的结果是( ) A．(y－x)3B．(x－y)3 C．－(y－x)2D．－(x－y)2 2．计算2m·(－m2)·(－m)3的结果是________． ?易错点二错用幂的运算法则 (一)合并错把指数加 3．计算：(1)a3＋a3＝________； (2)a3·a3＝________． (二)相乘错将指数乘 4．计算：a n＋1·a4＝________． (三)相除错将指数除 5．计算：m6÷m2＝________． ?易错点三忽略底数 (一)错将相反作同底 6．在下列各式中，应填入“(－y)”的是( ) A．－y3·________＝－y4 B．2y3·________＝－2y4 C．(－2y)3·________＝－8y4 D．(－y)12·________＝－3y13 7．计算：(－x3)·(－x)5. 8．计算：(a－b)2·(b－a)3·(a－b)． (二)忽视括号外的负号 9．计算：－(y2)3＝________． 10．化简－(－a)3·2a－(－2a2)2的结果是________． ?易错点四忽略积的因数 11．已知关于x，y的单项式mx2y的平方等于4x4y2，则m的值等于( ) A．4 B．±4 C．2 D．±2 12．计算：(－2a2b)3＝________． ?易错点五出现符号错误 13．计算(－a)3·(a2)3·(－a)2的正确结果是( ) A．a11B．－a11C．－a10D．a－13 14．计算：5x2－(2x－1)(3x＋1)＝________． 15．计算：x(x2－xy＋2y2)－y(x2－xy－y2)． ?易错点六整式乘法时易出现漏乘 16．计算：－x(x3＋2x－1)＋(2x－1)(3x＋2)． 17．如果关于x的多项式x＋2与x2＋mx＋1的乘积中不含x项，求m的值．整式的乘除教学设计
第12章 整式的乘除测试题(一)
鲁教版六年级整式的乘除复习学案
第3章《整式的乘除》复习教案
2020-2021学年最新华师大版八年级数学上册第12章(整式的乘除)单元测试(一)及答案-精编试题
2020-2021学年华东师大新版八年级上册数学《第12章 整式的乘除》单元测试题(有答案)
整式的乘除知识点及题型复习.
(完整版)第12章整式的乘除知识点总结1
整式的乘除教案
《整式的乘除》复习课 教学设计
第12章 整式的乘除练习题(附参考答案)
整式的乘除复习教学设计
华师大八年级数学上第12章整式的乘除单元测试题含答案-整理版
《整式的乘除与因式分解》初中数学教案
第12章 整式的乘除检测题
(完整版)最新北师大版七年级数学下第一章整式的乘除教案(最新整理)
整式的乘除复习课-学案
第12章整式的乘除专题训练一整式乘法中六种常见错误练习
相关主题
文本预览