基于BP神经网络和GM(1,1)灰色模型的中国人口预测分析
黄俸强李晶邓健萍
摘要
人口预测对国民经济的发展有着非常重要的作用. 如何用操作性强, 可信度高的方法来预测人口的变化, 这是一个值得探讨的问题.
本文主要根据《中国人口统计年鉴》上收集到的2001年到2005年部分数据, 在灰色预测的基础上, 引入BP神经网络模型, 建立了中国人口增长的GM(1,1)和BP神经网络组合模型, 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测.
我们通过输入原始数据资料, 应用灰色模型进行预测, 得到预测数列, 然后将预测值作为输入量, 原始数据作为期望值, 对BP神经网络进行训练, 得到相应的权值和阀值, 最后输入预测年份, 即可得到具有较高精度的预测量. 由此可以知道, 中国人口增长的中短期和长期趋势为：
人口总量在中短期内继续增长, 增速较为平稳, 每年以0.11亿人口数增长. 人口总量在未来30年还将净增2亿人左右, 总人口将于2010年, 2020年分别达到13.63亿人和14.67亿人, 2033年前后达到峰值15.01亿人, 之后人口总量缓慢下降.
我国育龄妇女( 15-49岁) 人数在短期内持续增加, 在2014年达到顶峰, 之后开始缓慢下降, 到2033年左右, 下降速度加快；我国生育旺盛期育龄妇女( 20-29岁) 人数在短期内持续下降, 在2015年达到低谷, 之后开始缓慢回升, 但是一段时期后, 又开始缓慢下降, 如此波动变化.
全国人口死亡率继续保持较低水平( 维持在7?以下) , 并缓慢下降, 从1990年的6.67?下降到2050年的5.66?, 减少了1.01个千分点；我国男性人口死亡率高于女性人口死亡率, 乡人口死亡率高于城镇人口死亡率.
我国人口城镇化速度在未来20年里每年增长1.10-1.50个百分点, 之后人口城镇化开始放慢增长速度, 2021-2050年间仅增加11.41个百分点. 到本世纪中叶, 城镇化水平在75%左右.
2005年我国老年人口已超过1亿人, 到2020年, 65岁以上老年人口将达到1.74亿人, 比重从2005年的8.09%增长到12.02%. 预计2050年, 65岁以上老年人口达3.38亿多人, 比重达23.23%. 老龄化进程加速. 老年人口数量多, 老龄化速度快, 高龄趋势明显.
出生人口性别比总体呈上升趋势. 中短期变化不大, 都在初始值附近波动；从2010年到2050年平均每年增长了0.75.
此组合模型兼有灰色预测和BP神经网络预测的优点, 既利用灰色系统理论具有所需要的样本数据少, 原理简单, 运算方便, 短期预测精度高, 可检验等优点, 也发挥神经网络并行计算, 容错能力强, 自适应能力强等优点, 模型既克服了原始数据少, 数据波动性大对预测精度的影响, 也增强了预测的自适应性.
关键词：BP神经网络 GM(1,1)灰色预测模型人口预测
一, 问题重述
1.1, 问题背景
中国自古以来是一个人口大国. 新中国成立后, 我国人口进入飞速发展阶段. 1949年到1957年8年时间, 人口增长了1亿；1964年总人口超过7亿,1969年总人口超过8亿, 1974年总人口超过9亿. 这一时期每增长１亿人时间间隔为5年. 中国人口净增长率波动比较剧烈. 80年代以后, 由于我国实行了计划生育, 人口膨胀得到了有效的控制. 实行近30年来, 使我国少生了4亿多人, 为中国现代化建设, 全面实现小康社会打下了坚实的基础, 同时也为世界人口控制做出了杰出贡献. 但是由于中国人口基数大, 人口增长问题依然十分严峻.
在我国现代化进程中必须实现人口与经济, 社会, 资源, 环境协调发展和可持续发展, 而人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一. 要发展, 必须进一步控制人口数量, 提高人口质量, 改善人口结构. 对中国未来人口的准确预测, 能够为中国经济和社会发展的重大决策提供科学依据, 这对加速推进我国现代化建设有着极为重要的现实意义. 因此, 根据已有数据, 运用数学建模的方法, 对中国人口做出分析和预测是一个重要问题.
1.2, 问题提出
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点, 例如, 老龄化进程加速, 出生人口性别比持续升高, 以及乡村人口城镇化等因素, 这些都影响着中国人口的增长. 2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析.
关于中国人口问题已有多方面的研究, 并积累了大量数据资料. 现在得到了《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据(见附录2). 其中包含2001至2005年的市, 镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比, 死亡率, 生育率, 每年人口抽样调查的样本容量( 人数) 数据. 1994至2005年的市, 镇和乡男女出生比例. 1995至2005年的市, 镇和乡育龄妇女生育率的千分比( ‰) .
根据已知数据( 或搜索相关文献和补充新的数据) , 解决以下的问题：从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发, 建立中国人口增长的数学模型, 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测.
二, 问题的分析
一个国家人口的准确预测, 是制定相应宏观经济政策的重要依据, 对我国经济的发展有着巨大的作用. 预测是控制和规划的基础, 预测的精度是控制和规划成功的前提, 而选择预测的方法是提高预测精度的关键. 传统的人口预测方法主要有逻辑方法, 常微分方程方法和动态预测方法等. 这些方法在人口预测领域起到了一定的作用, 但采用这些方法时都要对数据进行模型假设. 由于真实模型往往是非线性的, 如果在一些简单的模型假设下就进行数据模拟, 常常不能达到较好的模拟效果. 神经网络对复杂非线性系统具有曲线拟合能力, 基于BP神经网络和GM(1,1)模型的组合模型进行动态预测. 既利用灰色预测的需要数据资料少的优点, 又吸收了BP神经网络容错能力, 自适应能力强的优点. 由于神经网络的功能之强大, 型式之多样, 若能将其它网络形式同灰色模型相结合, 则有可能进一步提高预测精度.
三, 模型的假设与符号说明
3.1, 模型假设与约定
( 1) 未来人口的死亡模式保持不变；
( 2) 所研究的人口为封闭人口；
( 3) 农村人口一旦迁入城镇或者城镇化, 其人口行为和特征即与城镇人口相同, 即忽略城镇人口与迁入城镇人口或城镇化人口的差别. ( 4) 人口数据质量高, 无误报和漏报等.
( 5) 在分析老年人口问题时, 是以65岁作为老年人口的起点年龄； 3.2, 名词定义 主要统计指标解释
人口数 指一定时点, 一定地区范围内有生命的个人总和.
出生率 指在一定时期内( 通常为一年) 一定地区的出生人数与同期内平均人数( 或期中人数) 之比, 用千分率表示. 其计算公式为：
0001000=
?年出生人数
出生率年平均人数
死亡率 指在一定时期内( 通常为一年) 一定地区的死亡人数与同期内平均人数( 或期中人数) 之比, 用千分率表示. 其计算公式为：
0001000=
?年死亡人数
死亡率年平均人数
人口自然增长率 是指在一定时期内( 通常为一年) 人口自然增加数( 出生人数减死亡人数) 与该时期内平均人数( 或期中人数) 之比, 用千分率表示. 计算公式为：
000=
1000?年出生人数-本年死亡人数
人口自然增长率=人口出生率-人口死亡率年平均人数
预测时期 短期( <10年) , 中期( 10-25年) , 长期( >25年) ；
出生人口性别比 是活产男婴数与活产女婴数的比值, 通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示. 正常情况下, 出生性别比是由生物学规律决定的, 保持在103～107之间.
人口抚养比 指人口总体中处于供养年龄( 一般指15岁以下和64岁以上) 的人口与处于“经济活动”年龄( 15-64岁) 人口的比率. 用百分铝表示. 计算公式为：
001564100+?岁以下人口岁以上人口
人口抚养比=
15-64岁人口
总和生育率：一定时期( 如某一年) 各年龄组妇女生育率的合计数, 说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期, 平均可能生育的子女数, 是衡量生育水平最常用的指标之一.
四, 模型的建立和求解
4.1, GM(1,1)预测模型的基本原理 ( 1) GM(1,1)灰色系统[1]
所谓灰色系统是指既含有已知信息, 又含有未知信息的系统, 是由邓聚龙教授在1986年提出的. 灰色理论自诞生以来, 发展很快, 由于它所需因素少, 模型简单, 特别是对于因素空间难以穷尽, 运行机制尚不明确, 又缺乏建立确定关系的信息系统, 灰色系统理论及方法为解决此类问题提供了新的思路和有益的尝试.
灰色预测方法是根据过去及现在已知的或非确知的信息, 建立一个从过去引申到将
来的GM 模型, 从而确定系统在未来发展变化的趋势, 为规划决策提供依据. 在灰色预测模型中, 对时间序列进行数量大小的预测, 随机性被弱化了, 确定性增强了. 此时在生成层次上求解得到生成函数, 据此建立被求序列的数列预测, 其预测模型为一阶微分方程, 即只有一个变量的灰色模型, 记为GM(1,1)模型.
灰色GM(1,1)预测模型在计算过程中主要是以矩阵为主, 它和MATLAB 的结合可以有效的解决了灰色系统理论在矩阵计算中的问题, 为灰色系统理论的应用提供了一种新的方法.
( 2) GM(1,1)预测模型的基本原理
GM(1,1)模型是灰色预测的核心, 它是一个单个变量预测的一阶微分方程模型, 其离散时间响应函数近似呈指数规律. 建立GM(1,1)模型的方法是：
设()()(){}(0)(0)(0)(0)1,2,,X X X X n = 为原始非负时间序列, ()(1)X t 为累加生成序列, 即
()()(1)
(0)1
,1,2,,i
m X
t X m t n ===∑ ( 1)
GM(1,1)模型的白化微分方程为：
(1)
(1)dX aX u dt
+= ( 2) 式( 2) 中, a 为待辨识参数, 亦称发展系数；u 为待辨识内生变量,亦称灰作用量. 设待辨
识向量?a a
u ??
= ???
, 按最小二乘法求得1?()T T a B B B y -=式中 ()()()()()()()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)1
12121
2312
1
112
X X X X B X n X n -
+-+=--+
()()
()
(0)(0)(0)23X X y X n =
于是可得到灰色预测的离散时间响应函数为：
()()(1)(0)11at u u X t X e a a -?
?+=-+ ??
? ( 3)
()(1)1X t +为所得的累加的预测值, 将预测值还原即为：
()()()()(0)(1)(1)???11,1,2,3X
t X t X t t n +=+-= ( 4)
( 3) GM(1,1)预测模型的MATLAB 程序
根据上述GM(1,1)模型的数学思想, 结合MATLAB 语言的特点编制了一套可读性强, 容易理解的预测程序. 该程序操作简单灵活, 稳定性好, 直接面向用户. 4.2, BP 神经网络模型的基本原理 ( 1) 神经网络的定义简介[2]
神经网络是由多个神经元组成的广泛互连的神经网络, 能够模拟生物神经系统真实世界及物体之间所做出的交互反应. 人工神经网络处理信息是通过信息样本对神经网络的训练, 使其具有人的大脑的记忆, 辨识能力, 完成名种信息处理功能. 它不需要任何先验公式, 就能从已有数据中自动地归纳规则, 获得这些数据的内在规律, 具有良好的自学习, 自适应, 联想记忆, 并行处理和非线性形转换的能力, 特别适合于因果关系复杂的非确定性推理, 判断, 识别和分类等问题. 对于任意一组随机的, 正态的数据, 都可以利用人工神经网络算法进行统计分析, 做出拟合和预测.
基于误差反向传播(Back propagation)算法的多层前馈网络(Multiple-layer
feedforward network, 简记为BP 网络), 是目前应用最成功和广泛的人工神经网络. ( 2) BP 模型的基本原理[3]
学习过程中由信号的正向传播与误差的逆向传播两个过程组成. 正向传播时, 模式作用于输入层, 经隐层处理后, 传入误差的逆向传播阶段, 将输出误差按某种子形式, 通过隐层向输入层逐层返回, 并“分摊”给各层的所有单元, 从而获得各层单元的参考误差或称误差信号, 以作为修改各单元权值的依据. 权值不断修改的过程, 也就是网络学习过程. 此过程一直进行到网络输出的误差准逐渐减少到可接受的程度或达到设定的学习次数为止. BP 网络模型包括其输入输出模型, 作用函数模型, 误差计算模型和自学习模型.
BP 网络由输入层, 输出层以及一个或多个隐层节点互连而成的一种多层网, 这种结构使多层前馈网络可在输入和输出间建立合适的线性或非线性关系, 又不致使网络输出限制在-1和1之间. 见图( 1) .
O 1 O 2 O i O m
( 大于等于一层) W (1)…W
( 3) BP 神经网络的训练
BP 算法通过“训练”这一事件来得到这种输入, 输出间合适的线性或非线性关系. “训练”的过程可以分为向前传输和向后传输两个阶段：
输入层 输出层
隐含层
图1 BP 网络模型
[1]向前传输阶段：
①从样本集中取一个样本,i j P Q , 将i P 输入网络；
②计算出误差测度1E 和实际输出(1)
(2)()21(...((())...))L i L i
O F F F PW W W =； ③对权重值L W W W ,...,)2()1(各做一次调整, 重复这个循环, 直到i E ε<∑. [2]向后传播阶段——误差传播阶段：
①计算实际输出p O 与理想输出i Q 的差； ②用输出层的误差调整输出层权矩阵；
③21
1()2m
i ij ij j E Q O ==-∑；
④用此误差估计输出层的直接前导层的误差, 再用输出层前导层误差估计更前一层的误差. 如此获得所有其他各层的误差估计；
⑤并用这些估计实现对权矩阵的修改. 形成将输出端表现出的误差沿着与输出信号相反的方向逐级向输出端传递的过程.
网络关于整个样本集的误差测度：
i i
E E =∑
4.3, 应用步骤
( 1) 输入原始数据资料；
( 2) 应用灰色模型进行预测, 得到预测序列；
( 3) 将预测值作为输入量, 原始数据作为期望值, 对BP 神经网络进行训练, 得到相应的权值和阀值；
( 4) 输入需要预测的年份, 即可得到具有相当精度的预测量. 4.4, 预测与结果分析
( 1) 未来我国总人口变化情况
通过查询中国人口与发展研究中心在中国人口信息网上所公布的数据, 获知我国1996—2005年的人口总数, 出生率和死亡率数据.
根据此数据, 应用灰色模型预测我国未来10年人口总数, 出生率和死亡率, 将其作为训练样本( 输入量) , 1990—2005年的原始数据作为检验样本( 期望值) , 对BP 神经网络进行训练.
在此基础上, 对我国未来45年人口总数进行预测. 并且我们还分别使用单独的GM(1,1)模型和BP 神经网络模型对中国未来45年人口总数进行预测, 预测数据见下表[4], 每年详细数据见附录表1.
将所得数据制成图表, 如下图所示
图2 未来我国总人口预测图
按此预测, 从以上图表中可以知道我国人口增长的中短期和长期趋势为：中国人口自然增长率继续保持平稳下降, 人口总量在中短期内继续增长, 增速较为平稳. 人口总
量在未来30年还将净增2亿人左右, 总人口将于2010年, 2020年分别达到13.63亿人和14.67亿人, 2033年前后达到峰值15.01亿人, 之后人口总量缓慢下降.
对比国家人口计生委2003年预测结果, 单独的GM(1,1)模型和神经网络模型都能非常精确的预测出在短期内我国未来人口总数, 在中期预测中, 也能较好的反映出人口变化趋势. 在长期预测时, GM(1,1)的预测数据偏差非常大, 神经网络虽然变化趋势较符合我国未来人口变化情况, 但偏差还是较大. 而组合模型在这三个时期内, 都能够很好的预测出中国未来人口总量的及其变化情况. 显然组合模型的预测效果最佳. 关于GM(1,1)长期预测的局限性将在模型评价中讨论.
( 2) 妇女生育水平变化情况
根据题中附录1的数据, 利用组合模型分别预测出未来全国育龄妇女人数变化情况及未来我国生育旺盛期育龄妇女( 20-29岁) 人数预测, 结果见下图
图3.1 未来我国育龄妇女( 15-49岁) 人数预测
图3.2 未来我国市镇乡育龄妇女( 15-49岁) 人数预测
图3.3 未来我国生育旺盛期育龄妇女( 20-29岁) 人数预测
图3.4 未来我国市镇乡生育旺盛期育龄妇女( 20-29岁) 人数预测
未来我国育龄妇女( 15-49岁) 人数在短期内持续增加, 在2014年达到顶峰, 之后开始缓慢下降, 到2033年左右, 下降速度加快.
相反, 我国生育旺盛期育龄妇女( 20-29岁) 人数在短期内持续下降, 在2015年达到低谷, 之后开始缓慢回升, 但是一段时期后, 又开始缓慢下降, 如此波动变化.
由表3.2和表3.4可知城市面临生育水平降低农村则一直持续较高的生育水平. ( 3) 人口死亡率变化情况
人口死亡水平是造成人口数量和结构变化的重要因素之一, 随着我国社会经济的迅速发展医疗卫生条件的进一步改善我国人口的健康水平有了明显改善, 人口的死亡率较低.
利用组合模型对人口死亡率变化情况进行预测. 所得结果下图
图4.1 全国人口死亡率预测
图4.2 全国城市男女死亡率预测
图4.3 全国镇男女死亡率预测
图4.4 全国乡男女死亡率预测
由上图4.1可以知道, 全国人口死亡率继续保持较低水平( 维持在7?已下) , 并缓慢下降, 从1990年的6.67?下降到2050年的5.66?, 减少了1.01个千分点.
从上图4.2, 4.3, 4.4可以知道, 我国男性人口死亡率高于女性人口死亡率, 乡人口死亡率高于城镇人口死亡率.
( 4) 城镇化水平变化情况；
城镇人口比重是衡量经济发展水平特别是工业发展水平的重要标志, 随着我国改革开放和经济建设的发展, 城镇化水平有了较大提高.
表2 2001-2050年我国人口城镇化水平变化趋势
图5 2001-2050年我国人口城镇化水平变化趋势
可以知道我国人口城镇化速度在未来20年里每年增长1.10-1.50个百分点, 之后人口城镇化开始放慢增长速度, 2021-2050年间仅增加11.41个百分点. 到本世纪中叶, 城镇化水平在75%左右, 达到中等发达国家城镇化水平.
( 5) 老龄化人口问题
随着人口年龄结构的不断老化, 人口年龄结构的类型就会从年轻型进入成年型, 最后进入老年型, 我国人口年龄结构的变化也是经过了不同类型的变化. 从2000年开始我国65岁以上人口占总人口的比重达到7%, 14岁人口比例为22.9%, 老少比为30.4%, 年龄中位数为30.8岁表, 这就意味着我国即将开始进入老龄社会.
根据中国人口与发展研究中心在中国人口信息网上所公布的数据, 获知我国2001—2005年的老年人口总数. 见下表3
表3 我国2001—2005年的老年人口数据
分别使用GM(1,1)和组合模型, 对老龄化情况作出预测, 其结果见下图5.1, 5.2
图6.1 我国未来65岁以上人口数预测
图6.2 我国未来人口老龄化程度预测
图6.3 我国城市人口年龄结构预测
图6.4 我国镇人口年龄结构预测
图6.5 我国乡人口年龄结构预测
2005年我国老年人口已超过1亿人, 到2020年, 65岁以上老年人口将达到1.74亿人, 比重从2005年的8.09%增长到12.02%. 预计2050年, 65岁以上老年人口达3.38亿多人, 比重达23.23%. 老龄化进程加速. 老年人口数量多, 老龄化速度快, 高龄趋势明显.
人口老龄化将导致抚养比不断提高, 尤其是乡老年人口变化显著, 50年增加了30多个百分点.
老年人口比重的不断提高和老年人口绝对数的大量增加, 在如何搞好老年人口的衣食住行和老有所养, 老有所乐, 老有所为等方面是国家和社会不容忽视的问题. ( 6) 出生人口性别比问题( 持续升高)
中国出生人口性别比自1984年开始失调, 伴随着出生人口性别比异常升高的速度从缓慢到加速, 失调从轻度到重度, 因而对于出生人口性别比的预测就显得相当重要. 由组合模型和题中附录1中1995-2005年的数据, 对出生人口性别比问题进行预测, 所得结果如下图( 图7) 所示, 详细数据查看附录表3.
图7 2006-2043年全国城, 镇, 乡出生人口性别比变动趋势
出生人口性别比呈上升趋势. 城乡失调程度都较高, 其中农村失调程度最为严重, 镇人口失调程度略轻于乡人口失调程度, 城市人口失调程度又略轻与镇人口失调程度. 如果随着失调情况的进一步增长, 导致我国男女人口比例不正常而产生一系列问题. 例如婚姻挤压问题凸现, 导致的社会秩序混乱将成为影响社会稳定的严重隐患.
五, 模型检验
现有我国1990—2005年的人口总数, 出生率和死亡率数据. 用MATLAB 编写的灰色GM(1,1)模型和BP 神经网络模型的程序, 首先根据我国1990-2004年的数据, 利用此组合模型进行预测, 将所预测得到的2005年全国人口总数与已有数据进行比较, 并验证组合模型的短期预测精度.
通过计算, 可知单独利用GM(1,1)模型进行预测得到的2005年全国人口总数为13.1727亿人, 利用组合模型得到的预测数据为13.0615亿人, 实际数值为13.0756亿人.
由此得出GM(1,1)预测的数据与实际数值的绝对误差1ε?是0.0961, 相对误差1?ε?是0.0074, 均方差1MSE 为0.0687. 组合模型得到的仿真数据与实际数值的绝对误差2ε?是
0.0143, 相对误差2?ε
?是0.00108, 均方差2MSE 为0.00997. 显而易见, 12εε?
ε?
六, 模型评价及推广
1, 灰色GM(1,1)模型评价推广
( 1) 灰色GM(1,1)模型优点
灰色GM(1,1)预测模型在计算过程中主要以矩阵为主, 它与MATLAB 的结合解决了它在计算中的问题. 由MATLAB 编制的灰色预测程序简单实用, 容易操作, 预测精度较高.
( 2) 灰色GM(1,1)模型的缺点
该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法, 因此它对历史数据有很强的依赖性, 而且GM (1,1)的模型没有考虑各个因素之间的联系. 因此, 误差偏大, 尤其是对中长期预测, 例如对中国人口总数变化情况做长期预测时, 误差偏大, 脱离实际. 下面我们来讨论GM(1,1)模型的适用范围.
GM(1,1)模型的白化微分方程：
(1)
(1)dX aX u dt
+= 其中a 为发展系数,
有命题 当GM(1,1)发展系数2a ≥时,GM(1,1)模型无意义.
通过分析,可得下述结论：
当0.3a -≤时,GM(1,1)可用于中长期预测；
当0.30.5a <-<时, GM(1,1)可用于短期预测,中长期预测慎用； 当0.50.8a <-≤时, GM(1,1)作短期预测应十分谨慎； 当0.81a <-≤时, 应采用残差修正GM(1,1)； 当1a ->时,不宜采用GM(1,1)
在对中国人口总数变化情况做长期预测时, a =-0.3572, 因此只能做短期的预测.
如果要考虑到多因素的联系和影响, 此时我们不妨建立GM( 1, n) 模型. GM( 1, N) 模型能模拟系统发展的动态过程, 不但吸收了传统的灰色模型的建立, 而且建立了多中改进的灰色模型, 提高了预测精度. 具体参考[5] 2, BP 神经网络模型评价推广
( 1) 运用BP 神经网络进行人口预测的可行性
一个好的人口预测模型首先应符合人口基本理论和数学建模要求, 这是选择模型的关键. 其次要保证模型数据可得, 一致和可比性, 在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据,特别是有波动的数据, 因为波动性数据往往蕴藏了系统重要信息. 具有P 个输入, Q 个输出的BP 网络可看作P 维欧氏空间到Q 维欧氏空间的一个非线性映射, 含一个隐含层的BP 网络可以逼近任何连续函数. BP 网络的非线性映射与人口非线性特征是相近的, 对于未知的人口动力学系统可通过神经网络来学习系统的表征量并进行预测, 已有定理从数学上保证了网络用于时间序列预测的可行性. 网络的输入向量和结构参数可由相空间重构技术予以确定, 同时BP 网络的动态学习能力对人口波动性数据具有较强的识别
和拟合能力, 克服了以往人口预测模型剔除奇异值或划分阶段处理的缺陷. 因此从模型映射性质, 输入变量的选择和波动性数据拟合等方面表明BP神经网络模型用于人口预测是可行的. 用神经网络对人口历史数据进行分析拟合, 是人口预测的有效方法. 与传统的人口预测方法相比, 将基于BP神经网络的时间序列预测方法用于人口预测, 避免了繁琐的常规建模过程. 神经网络模型良好的适应和自学习能力, 使预测系统计算简单, 灵活, 运用计算机强大的组合能力, 可以更好地实现人口分类预测和管理, 大大提高人口预测效率和预测精度.
( 2) BP神经网络模型的不足：
BP神经网络需要大量的样本数据用来训练和测试, 当样本数量不够时, 预测的误偏差很大.
针对这些问题, 我们提出GM(1,1)和BP神经网络的组合模型, 这样利用灰色系统理论具有所需要的样本数据少, 原理简单, 运算方便, 短期预测精度高等优点, 也发挥了神经网络并行计算, 容错能力强, 自适应能力强等优点.
七, 我们的一些建议
( 1) 今后20年前后我国人口趋于年青化的发展态势, 之后人口老年化的趋势逐渐显著, 且成年群体的负担会越来越重. 鉴于此, 要加强发展基层的养老保险等社会保障事业, 现在的年轻群体可以投入这样的组织来保障老年的生活, 同时也减轻年轻一代的负担.
( 2) 继续实施计划生育政策, 促使人口健康, 稳定发展, 并利用教育, 宣传等形式来. 引导男女性别比的协调发展, 如果按照上述的态势发展, 势必会造成一系列严重的社会问题.
( 3) 发挥地区优势, 创造就业机会, 我国的优势, 发展自己的经济, 活跃市场, 给上述的群体创造更多的就业和再就业机会.
结语：
此组合模型将灰色GM(1,1)模型与BP神经网络模型相结合, 既利用灰色预测的需要数据少的优点, 又吸收了BP神经网络容错能力, 自适应能力强的优点. 此组合模型简单, 实用, 特别是在原始数据非常有限的情况下, 可以得到相当精度的拟合数据, 并能得到可靠的预测数据.
由于神经网络的功能之强大, 型式之多样, 若能将其它网络形式同灰色模型相结合, 则有可能进一步提高预测精度, 并能在人口预测方面发挥更大的作用.
参考文献：
[1]邓聚龙, 灰预测与灰决策, 武汉：华中科技大学出版社, 2002年.
[2]闻新周露李翔张宝伟, MATLAB神经网络仿真与应用, 北京：科学出版社, 2003.
[3]飞思科技产品研发中心, MATLAB6.5辅助神经网络分析与设计, 北京：电子工业出版社, 2003.
[4] 2001-2050年全国总人口变动情况预测,
https://www.doczj.com/doc/a513887185.html,/tjsj/tjsj_cy_detail.asp?id=1422, 2007年9月21日.
[5]邓聚龙, 多维灰色规划, 武汉：华中理工大学出版社, 1989年.
附录
附表1 2001-2050年全国总人口变动情况预测
实验四 1． 实验项目名称 灰色系统预测模型 2．实验目的 要求掌握灰色系统检验方法，尤其是GM(1.1)模型 2． 实验环境 使用灰色系统理论建模软件 4．实验内容与实验步骤 1.灰色预测时关于残差、关联度、方差比和小误差概率的检验准则 M(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。 （1）残差检验：对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算(1)?(1)x i +，将(1)?(1)x i +累减生成(0)?()x i ，最后计算原始序列(0)()x i 与(0)?()x i 的绝对残差序列及相对残差序列，并计算平均相对残差。给定α，当φα<，且n φα<成立时，称模型为残差合格模型。 （2）关联度检验:即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述 的关联度计算方法，计算出 (0) ?()x i 与原始序列(0)()x i 的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。 （3）后验差检验:即对残差分布的统计特性进行检验。若对于给定的00C >，当 0C C <时， 称模型为均方差比合格模型；如对给定的 00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格 模型。若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。 2.实验的基本程序、基本步骤和运行结果 现在已知我国从2002年-2013年的每年的专利申请量的数据，试建立灰色预测模型并且预测2014年我国的专利申请量的情况。 2.1在excel 表格中输入以下数据
2.2计算并累加 设时间序列为 X(0)=（x(0)(1), x(0)(2), x(0)(3)，x(0)(4)………………………………. x(0)(12)）=（205396，251238，278943，345074…………… 1505574） 计算并累加 X(0)的1-AGO序列为(累加) (1)(1)(1)(1)(1)x(1)(12)）得到下图 2.3对X(1)做紧邻均值生成 令Z(1)（k）=（0.5x(1)(K)+0.5X(1)(K-1)），k=1,2,3,4…….13;
数学模型与数学实验数 课程报告 题目：灰色预测模型介绍专业： 班级： 姓名： 学号： 二0一一年六月
1. 模型功能介绍 预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。 灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚 龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个 变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。 现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点： 为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 关联度]1[
灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程 邓聚龙，jq ，佚名 摘要：从灰色系统的预备知识、灰色系统预测模型GM(1,1)的计算、灰色系统预测模型的检验、GM(1,1)预测应用举例以及GM(1,1)模型的特点等五个方面阐述了灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程，这对于地理科学本科生学会运用该方法解决实际的地理预测问题，改进思维方式，提高实践能力具有一定的意义。 关键词：预测；灰色系统；模型检验；模型特点 1 预备知识 1.1 灰色系统 白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。 1.2 灰色预测 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。 2 灰色系统预测模型GM(1,1) 2.1 GM(1,1)的一般形式 设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列： X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n} 其中 X (1) (k )＝ ∑ =k i 1 X (0)(i) ＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：
1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测 从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。 鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。 (1) 模型的选择 经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下： 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为) 0(X 的原始非负数据序列 )0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)() 0(n x ] （1.1） 则) 0(X 的一阶累加生成序列 )1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)() 1(n x ] （1.2） 式中 ) ()(1)0() 1(i x k x k i ∑== k=1,2…n ② 对) 0(X 进行准光滑检验和对进行准指数规律检验
管理预测与决策的课程设计报告 灰色系统理论的研究 专业：计算机信息管理 姓名：XXX 班级：xxx 学号：XX 指导老师：XXX 日期2012年11月01 日
摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型， 另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给 出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。 关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论
目录 1、引言 (1) 1.1、研究背景 (1) 1.1.1、国内研究现状 (1) 1.1.2、国外研究现状 (1) 1.2、研究意义 (1) 2、灰色系统及灰色预测的概念 (2) 2.1、灰色系统理论发展概况 (2) 2.1.1、灰色系统理论的提出 (2) 2.1.2、灰色系统理论的研究对象 (2) 2.1.3、灰色系统理论的应用范围 (2) 2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 (3) 2.2、灰色系统的特点 (3) 2.3、常见灰色系统模型 (4) 2.4、灰色预测 (4) 3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测 (5) 3.1、GM(1,1)预测模型的基本原理 (5) 4、小结 (8) 参考文献： (8)
灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab 实现 预备知识 (1)灰色系统 白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。 (2)灰色预测 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。 1 灰色系统的模型GM(1,1) 1.1 GM(1,1)的一般形式 设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列： X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n} 其中 X (1)(k )＝ ∑ =k i 1 X (0)(i) ＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程： dt dX )1(十) 1(aX ＝u (2) 即GM(1,1)模型。 上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧ X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－ a u )ak e -＋a u (3) 或 ∧ X (1)(k )＝(X (0)(1)－ a u ))1(--k a e ＋a u (4)
灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 1.1灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 1.2灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。 上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进行预测，比如 灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。
§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律， 然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为
?????? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B M M （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0(Λ= （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5） 这就是要建立的灰色预测模型。 二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。 1、建立GM （1,1）模型 表中一次累加数列)() 1(k X 是根据断裂时间数列)()0(k X ，由公式（2）得到的。例如，
灰色预测模型及应用论文Newly compiled on November 23, 2020
灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展 摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。 关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论 The Research of Grey System Theory GM（1,1) prediction and the expansion of correlation xueshenping Instructor: tangshaofang Abstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant achievements. This paper is derived GM (1,1) model, the other on the gray correlation was further improved, so that the improved formula is unique and normative. University by giving examples of the incidence of infectious diseases, establishing the GM (1,1) prediction model and predict the incidence of infectious diseases in 1993. In addition to the high incidence of infectious diseases, dysentery, hepatitis, malaria, made the three diseases, correlation analysis, found that dysentery is most closely with the infectious disease, and hepatitis, malaria and infectious diseases, the closeness of the order of hearing. Key words：Grey prediction model ; Grey relational grade;Grey system theory
灰色预测模型 灰色预测是就灰色系统所做的预测. 所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统. 一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统. 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具. 一、GM(1,1)模型 灰色系统理论是邓聚龙教授在1981年提出来的，是一种对含有不确定因素系统进行预测的方法. 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进行关联分析，并通过对原始数据进行生成处理来寻找系统的变化规律，生成较强规律性数据序列，然后建立相应微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态. 目前使用最广泛的灰色预测模型是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型. GM(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型. 其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型. 经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的. 1.1 GM(1,1)模型的建立 灰色理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程. 数据处理不去寻找其统计规律和概率分布, 而是对原始数据作一定处理后, 使其成为有规律的时间序列数据, 在此基础上建立数学模型. GM(1,1)模型是指一阶，一个变量的微分方案预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于时间序列预测的离散形式的微分方程模型. 设时间序列()0 X 有n 个观察值，()()()()()()(){ } 00001,2, ,X x x x n =，为了使其