线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节：二阶与三阶行列式
把表达式11221221a a a a -称为
1112
2122
a a a a 所确定的二阶行列式，并记作1112
2112a a a a ，
即1112
112212212122
.a a D a a a a a a =
=-结果为一个数。
（课本P1） 同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数
表1112
1321
22
233132
33
a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作11121321
22
233132
33
a a a a a a a a a 。 即11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---
二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组：
对二元方程组1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=??
+=?
设1112
2122
a a D a a =
≠1121222
b a D b a =
111
2212
.a b D a b =
则1122
22111112
2122
b a b a D
x a a D a a ==，
1112122211122122
.a b a b D
x a a D
a a ==（课本P2）
对三元方程组111122133121122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=??
++=??++=?，
设11
1213
21
222331
32
33
0a a a D a a a a a a =≠，
1
121312
22233
32
33b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，11121321
22231
32
3
a a
b D a a b a a b =， 则11D x D =
，22D
x D =，33D x D
=。（课本上没有） 注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数
全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）。
n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用P n (或A n )表示。（课本P5）
逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）
计算排列逆序数的方法： 方法一：分别计算出排在1,2,
,1,n n - 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n
-这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）
第三节：n 阶行列式的定义
定义：n 阶行列式11
121212221
2
=
n n n n nn
a a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积
1212n p p np a a a 的代数和，其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ，n 的一个排列，每一项的符号由其
逆序数决定。()
()
11
1211222211221122010
n t n n nn nn nn
a a a a a D a a a a a a a =
=-=也可简记为
()det ij a ，其中ij a 为行列式D 的（i ，j 元）。（课本P6）
根据定义，有()(
)
12
1212
11
12121222121
2
1=
=
-∑
n n n
n t p p p n p p np p p p n n nn
a a a a a a D a a a a a a
说明：
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程
组的需要而定义的;
2、n 阶行列式是!n 项的代数和;
3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;
4、12
12n p p np a a a 的符号为()1t
-，t 的符号等于排列12,,...n p p p 的逆序数
5、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆。
推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。
即()
()
11
1211222211221122010
n t n n nn nn nn
a a a a a D a a a a a a a =
=-=
推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于()()12
1n n --乘
以其副对角线上各元的乘积。
即
1
2
12
n n
λλλλλλ=
，
()
()
1
12
2
121n n n n
λλλλλλ-=-（上述二推论证
明课本P7例6）
第四节：对换
定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 （上述二定理证明课本P8） 定理2
n 阶行列式det()ij D a =的项可以写为1212
1122()()
(1)
n n n n t q q q t p p p q p q p q p a a a +-，
其中q 1q 2…q n 是行标排列，p 1p 2 …p n 是列标排列 。（证明课本P9） 推论
设有n 阶行列式det()ij D a =，则12
12()
12
(1)n n t q q q q q q n D a a a =
-∑
或
12
12
1122
()()
(1)+=-∑n n n n t q q q t p p p q p q p q p D a a a 或12
12
()
12(1)n n t q q q p p np D a a a =-∑（行列
式三种不同表示方法） 推论
在全部n 阶排列中()2n ≥，奇偶排列各占一半。
证明 设在全部n 阶排列中有s 个奇排列，t 个偶排列，现来证=s t 。
将s 个奇排列的前两个数对换，则这s 个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，
所以s t ≤。
若将t 个偶排列的前两个数对换，则这t 个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不
同，于是有t s ≤。综上有s=t 。
第五节：行列式的性质
定义
记11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
，112111222212n n T
n
n
nn
a a a a a a D a a a =
，行列式T
D 称为行列式
D 的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。（证明课本P9）
说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。 性质2 互换行列式的两行()
?i j r r 或列()
?i j c c ，行列式变号。（证明课本P10） 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列
式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（证明课本P10） 性质5
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
11
12111212222212()()()i i n i
i n n n ni ni
nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+=
'+11121111121
12122222122221
2
1
2
i n i n i n i n n n ni
nn
n n ni
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+'
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
行列式的值不变。（课本P11）
计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算
+i j r kr 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。 说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。
第六节 行列式按行（列）展开
余子式 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。
代数余子式 ()
1i j
ij ij A M +=-记，叫做元素ij a 的代数余子式。（课本P16）
引理
一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i ，j ）(,)i j 元外ij a 都为零，那么这
行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =。（证明课本P16）
定理
n 阶行列式 11
121212221
2
=
n n n n nn
a a a a a a D a a a 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应
的代数余子式的乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++，(1,2,
,)
i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或，(1,2,
,)j n =。
（证明课本P17） 扩展
范德蒙德(Vandermonde)行列式1
2
2
2
21
2
1
1
1
112111()≥>≥---==
-∏
n
n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x 的证
明见课本P18
展开定理推论
n 阶行列式 11
121212221
2
=
n n n n nn
a a a a a a D a a a 的任意一行（列）的各元素与另一
行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即11220()
i s i s in sn a A a A a A i s +++=≠11220()j t j t nj nt a A a A a A j t ++
+=≠或（证明课本P19）
第七节 克拉默法则
如果线性方程组1111221121122
2
221122+++=??+++=??
??++
+=?n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，
即11
121212221
2
0=
≠n n n n nn
a a a a a a D a a a ，那么该方程组有唯一解
312123,,,,n
n D D D D
x x x x D D D
D
=
===
其中D i 是用非齐次项代替D 中第i 列元素后所得的行列式。（证明课本P53，第二章） 注意 克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。
定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。 逆否定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理5 若齐次线性方程组111122121122221122...0...0. 0
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++??+++??
?
?+++?＝
＝＝
的系数行列式0D ≠，则其次
线性方程组没有非零解。（即解唯一，只有零解）
逆否定理 如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式D 必为零。（课本P25）
第二章 矩阵
第一节 矩阵 定义
由m n ?个数()1,
2,,;
1,2,,ij
a i m j n ==排成
的m 行n 列的数表11121212221
2n n
m m mn a a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作1112121
2221
1
n n m m mn a a a a a a A a a a ??
?
?
= ?
???
，简记为()
()m n ij ij m n
A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展
几种特殊的矩阵：
方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可
表示为E )（课本P29—P31）
注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
第二节 矩阵的运算
矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵()()
ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，
规定为1111121211212122222211
22
n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++??
?
+++ ?
+= ?
?
+++??
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律
()1A B B A +=+；
()()()2A B C A B C ++=++
()()
11121212221
1
3,()n n ij ij m n
m n
m m mn a a a a a a A a A a a a a ??---??
?--- ?
=-=-= ? ?---??
设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵
()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
（课本P33） 数与矩阵相乘
,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为
1112
12122211
,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ??
? ?
== ?
???
数与矩阵的乘积记作或规定为
数乘矩阵的运算规律（设A B 、为m n ?矩阵，,λμ为数）
()()()1A A λμλμ=； ()()2A A A λμλμ+=+；
()()3A B A B λλλ+=+。
（课本P33） 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ?矩阵，(b )ij B =是一个s n ?矩阵，那么规定矩阵
A
与矩阵
B
的乘积是一个
m n ?矩阵(c )ij C =，其中
()1212
1122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ??
? ?
=+++ ? ? ???
1
s
ik kj k a b ==∑，()1,2,
;1,2,
,i m j n ==，
并把此乘积记作C AB = 注意
1。A 与B 能相乘的条件是：A 的列数＝B 的行数。
2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB BA ≠，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
3。对于n 阶方阵A 和B ，若AB=BA ，则称A 与B 是可交换的。
矩阵乘法的运算规律
()()()1AB C A BC =；
()()()()2AB A B A B λλλ==
()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+
()4m n n n m m m n m n A E E A A ?????==
()5若A 是n 阶方阵，
则称 A k 为A 的k 次幂，即k
k A A A A =个
，并且m k m k
A A A +=，
()k
m mk A A =(),m k 为正整数。规定：A 0＝E
注意 矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，()k
k k
AB A B ≠（但也有例外）（课本P36）
纯量阵 矩阵0E 0λ
λ
λλ??
?
?= ? ???
称为纯量阵，作用是将图形放大λ倍。且有()(E )E A A A λλλ==，A 为n 阶方阵时，有()(E )n n n n n E A A A λλλ==，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36） 转置矩阵
把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T
，
如122458A ??= ???，142528T
A ??
?= ? ?
??
。
转置矩阵的运算性质
()()
1T
T A
A =；
()()2T
T T A B A B +=+；
()()
3T
T A A λλ=；
()()
4T
T T AB B A =。（课本P39）
方阵的行列式
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A 或
记住这个符号）
注意 矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n
阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 运算性质
()
1T A A =；
()2n
A A λλ=；
(3)AB A B B A BA ===（课本P40）
对称阵 设A 为n 阶方阵，如果满足A =A T ，即(),1,2,,ij ji a a i j n ==那么A 称为对称
阵。 说明
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果T A A =-则称矩阵A 为反对称
的。即反对称矩阵A =（a ij ）中的元素满足a ij ＝－a ji ，i ，j =1，2，…n 伴随矩阵
行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵
1121112
22212n n n
n
nn A A A A A A A A A A *
?? ? ?
= ? ???
称为矩阵A 的伴随矩阵。 性质
AA A A A E **==（易忘知识点）
（课本P41） 共轭矩阵 （略）（课本P42）
总结
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩
阵相乘不满足交换律。
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。
第三节 逆矩阵
定义
对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB ＝BA ＝E 则说矩阵A 是可逆的，
并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。1A A -的逆矩阵记作，1
A B -=即。 说明
1 A ，B 互为逆阵， A = B -1
2 只对方阵定义逆阵。
3.若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。 定理1
矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，并且当A
重要）（证明见课本P43） 奇异矩阵与非奇异矩阵
当0A =时，A 称为奇异矩阵，当0A ≠时，A 称为非奇异矩
阵。即0A A A ??≠可逆为非奇异矩阵。 推论
若(A=E)AB E =或B ，则1
B A -=（证明见课本P43）
求逆矩阵方法
**
1(1)||||021(3)||
A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；
（）求；
求。
逆矩阵的运算性质
()()
1
111,,A A A A ---=若可逆则亦可逆且
()()
1
11
2,0,,A A A A λλλ--≠=
若可逆数则可逆且。
()1113,,,A B AB AB B A ---=若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。
（以上证明见课本P43）
()()
()
1
14,,T
T
T
A A A
A
--=若可逆则亦可逆且。
()1
1
5,A A A --=若可逆则有。
方阵的多项式
设2012()m m x a a x a x a x ?=+++
+为x 的m 次多项式，
A 为n 阶矩阵，记2(A)m a E a A a A a A ?=++++称(A)?为矩阵A 的m 次多项式。
（课本P46） 注意
矩阵A 的任意两个多项式j (A )与f (A )可交换，即(A)()()()f A f A A φφ=，矩阵A
多项式可以像x 的多项式一样相乘或因式分解。
矩阵多项式的计算
11(1),k k A P P A P P --=Λ=Λ如果则，则
2012(A)m
m a E a A a A a A ?=++++112111012()P m m Pa EP Pa P Pa P Pa P P ?-----=+Λ+Λ+
+Λ=Λ（重要）
总结
逆矩阵的计算方法
()1待定系数法；()1
2A A A *
-=利用公式；()()3初等变换法下一章介绍
第四节 矩阵分块法
矩阵分块 将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。 分块矩阵的运算规则 加法 A 与B 同型，且A 、B 的分块方法相同，则A 与B 的和定义为对应子块相加。 数乘
()ij A A λλ=。
转置
11
2111
12131222
21
22
2313
23,T T T
T T T T A A A A A A A A A A A A A A ???? ?== ? ??? ???
设则。 乘法 首先AB 有意义，其次A 的列的分法与B 的行的分法相同。
,,A m l B l n ??设为矩阵为矩阵分块成
()1212,,
(),()
t n B B
A A A A
B B ?? ? ?== ? ???
即列向量组即行向量组，
1212,,,,,
,,i i it j j tj A A A B B B 其中的列数分别等于的行数那么1111r s sr C C AB C C ??
?=
? ???
，()1
1,
,;1,
,t
ij ik kj
k C A B i s j r ====∑其中。
结论 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。
分块对角阵（准对角矩阵）
设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，
且非零子块都是方阵，即12
s A A A A ??
?
?= ? ??
?
，()1,2,
i
A i s =其中都是方阵，则
有：
121)s A A A A =。
1
2
2)0,,i s A A A A A A ??
?
?≠= ? ? ???
若每个则可逆且有，
()111
1121,2,
,,,,i s A A i s A diag A A A ----?==可逆可逆且（diag （A ）表示对角阵A ）
（课本P50）
有用的结论
T A A O,A O P5117==设则（证明见课本例） 线性方程组的分块表示
线性方程组1111221121122222
m11m22m ..............................................n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?，
1111121122
21
22
221
2......A (), , , ...n n
ij n m m m mn
m x b a a a b x b a a a b a x b B x b a a a b ?????? ? ? ? ? ? ?
==== ? ? ? ? ? ???????
记， 其中A 为系数矩阵，x 称为未知数向量，b 称为常数向量，B 称为增广矩阵。增广矩阵可以
分块表示为：12(,)(,,...,,)n B A b B a a a b ==或
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
初等行变换
()1()i j r r ?对调两行，记作。
()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。
()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。
初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价
A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。
等价关系的性质
（1）反身性 A~A
2 A ~B , B ~A;（）对称性若则
3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）
行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。
行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.
标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r
m n
E O
F O O ???
=
???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么
(1);r
A B m P PA B ?=存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c
A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使
(3)P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
初等矩阵的性质
设A 是一个m ×n 矩阵，则
（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；
~;r
A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使
（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c
A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使
(3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =使。
（5）~r
A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P61—P63） 初等变换的应用
（1）求逆矩阵：()
1(|)|A E E A -????
→初等行变换
或1A E E A -????
????
→ ? ?????
初等列变换。 （2）求A -1
B ：A (,) ~ (,),r
A B E P 即()
1(|)|A B E A B -??
→行
，则P =A -1B 。或1E A B BA -??
??????
→ ? ?????
初等列变换. 第二节 矩阵的秩 矩阵的秩 任何矩阵m n A ?，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩
阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）
矩阵的秩
在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)
全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.
说明
1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };
2. R (A ) = R (A T );
3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;
4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵
矩阵()ij m n A a ?=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若()R A n =，
称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。
()n A R A n =若阶方阵满秩，即
0A ?≠；
1A -?必存在；
A ?为非奇异阵；
,~.n n A E A E ?必能化为单位阵即 矩阵秩的求法
定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。
矩阵A m ×n ，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。（证明课本P67） 推论
()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则（课本P67）
矩阵秩的性质总结
(1)0()min{,}m n R A m n ?≤≤ (2)()()T R A R A =
()()(3)~, A B R A R B =若则 ()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则
(5)max{(),()}(,)()()
()(,)() 1.R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有
(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤
(8),()().m n n l A B O R A R B n ??=+≤若则
(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。（课本P71）
第三节 线性方程组的解
线性方程组1111221121122222
1122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容
的。
定理2 n 元齐次线性方程组 Ax =0
（1）R(A) = n ?Ax=0 有唯一解，零解 （2）R(A) < n ?Ax=0 有非零解. 定理3 n 元非齐次线性方程组Ax b =
（1） 无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R < （2） 有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R ==
（3） 有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)n R =<（证明课本P71） 基础解系
齐次线性方程组0Ax =的通解具有形式1122x c c ξξ=+(c 1, c 2为任意常数)，称
通解式()
112212,x c c c c ξξ=+为任意常数中向量12,ξξ构成该齐次线性方程组的基础解系。 线性方程组的解法
齐次线性方程组：将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n －R (A )，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。
非齐次线性方程组：将增广矩阵B =(A ,b )化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。
非齐次线性方程组解的通解具有形式*
1122x c c ξξη=++
(c 1, c 2为任意常数)，不带参数部
分*
η是非齐次方程组的一个解；带参数部分1122c c ξξ+的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。 定理 矩阵方程AX ＝B 有解的充分必要条件是R(A)＝R(A,B) 定理 ,()min{(),()}AB C R C R A R B =≤设则
第四章 向量组的线性相关性
第一节 向量组及其线性组合
n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为
1212()(,,
,)...T n n a a
a a a a αα?? ? ?== ? ???
列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量
的第i 个分量。
说明
1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则
进行运算；
3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。行向量可看作是列向量的转置。
零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同) 负向量 12(,,
,)T n a a a α-=---。
向量相等
设
1212(,,,)(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,,i i a b i n ==则
αβ=。
向量运算规律：
① αββα+=+
② ()()αβγαβγ++=++
③ 0αα+=（0是零向量，不是数零）
④ ()0αα+-= ⑤ 1αα=
⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+
满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。
向量与矩阵的关系 向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
设矩阵A=(a ij )m ×n
有n 个m 维列向量，即11
121121
22
221
2j n
j
n m m mj
mn A a a a a a a a a
a a
a
a ?? ? ?=
? ? ???
，12n a ,a ,,a A 向量组称为矩阵的列向量组。同理，也可说矩阵A 有m 个行向量组组成。
1212,,, (,,,)m m m n n m A αααααα?=个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵，
1212,,
, T T T T T m T m m n m n B ββ
ββββ??
? ??= ? ? ???
个维行向量所组成的向量组构成一个矩阵。
另外，线性方程组的解也可以用一个向量来描述；线性方程组的解集合(通解)可以用一个向量组来描述。
向量，向量组，矩阵与方程组的关系 向量组?矩阵：12 (,,
,)m A ααα=
向量方程 ?方程组：11112122122212n n1n2n ...m m m m a a a b a a a b x x x a a a b ???????? ? ? ? ? ?
? ? ?+++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
， 可简写作1122n n x x x αααβ++
+=
向量方程?方程组?矩阵形式112212 (,,
,)m n n x b x b Ax b x b ααα????
? ? ? ?=?= ? ? ? ?????
线性组合
给定向量组12:,,,m A ααα和向量b ，如果存在一组数12,m λλλ，，使
1122m m b λαλαλα=++
，则向量b 是向量组A 的线性组合，这时称b 向量能由向量组A
线性表示。 定义
给定向量组12:,,
,m A ααα，对于任一组实数12,m k k k ，，，向量
1122m m k k k ααα++
+称为向量组的一个线性组合。 1
2,m k k k ，，称为这个线性组合的系数。
定理1
向量b 能由向量组12:,,,m A ααα线性表示的充分必要条件是矩阵
12(,,
,)m A a a a =的秩等于矩阵12(,,
,,b)m B a a a =的秩。即R(A)=R(A,b)。
定理2
向量组12:b ,b ,,b l B 能由向量组12:,,,m A a a a 线性表示的充分必要条件是矩阵12(,,,)m A a a a =的秩等于矩阵121(,)(,,
,,b ,
,b )m l A B a a a =的秩，
即R （A ）=R(A,B)。 推论
向量组12:,,,m A a a a 与向量组12:b ,b ,,b l B 等价的充分必要条件是
()()(,)R A R B R A B ==，其中A 和B 是向量组A 和B 所构成的矩阵。（证明课本P84） 定理3
设向量组12:b ,b ,
,b l B 能由向量组12:,,,m A a a a 线性表示，则
11(b ,,b )(a ,a )l m R R ≤（易忘知识点）
向量组的线性表示
设有两个向量组1212:
,,,:,,,m s A B αααβββ及，若B 组中每
个向量都能由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示，若向量组A 与向
量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。 扩展
向量组12:b ,b ,
,b l B 能由向量组12:,,
,m A a a a 线性表示
K B=AK AX=B ??有矩阵，使方程有解
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关 给定向量组12m :,,
,A ααα，如果存在不全为零的数12,,,m
k k k 使11220m m k k k ααα+++=，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅
当120m k k k ==
==时上式成立，则称向量组A 线性无关。
注意
1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。
2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面。
3.,0 ,0,ααααα=≠向量组只有一个向量时若则说线性相关若则说线性无关。
4.包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k ，使得
1200000n k ααα++
++
+=
线性相关性的判定
定理 向量组12,,
,m ααα（当2m ≥时）
线性相关的充分必要条件是12,,,m ααα中
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
线性代数知识点总结归纳 第一章行列式 知识点1：行列式、逆序数 知识点2：余子式、代数余子式 知识点3：行列式的性质 知识点4：行列式按一行（列）展开公式 知识点5：计算行列式的方法 知识点6：克拉默法则 第二章矩阵 知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律 知识点8：矩阵的乘法运算及运算律 知识点9：计算方阵的幂 知识点10：转置矩阵及运算律 知识点11：伴随矩阵及其性质 知识点12：逆矩阵及运算律 知识点13：矩阵可逆的判断 知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解 知识点16：初等变换的概念及其应用 知识点17：初等方阵的概念 知识点18：初等变换与初等方阵的关系
知识点19：等价矩阵的概念与判断 知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式 知识点21：矩阵的秩的概念与判断 知识点22：矩阵的秩的性质与定理 知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例 第三章向量 知识点25：向量的概念及运算 知识点26：向量的线性组合与线性表示 知识点27：向量组之间的线性表示及等价 知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念 知识点29：线性表示与线性相关性的关系 知识点30：线性相关性的判别法 知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系 知识点33：求向量组的最大无关组 知识点34：有关向量组的定理的综合运用 知识点35：内积的概念及性质 知识点36：正交向量组、正交阵及其性质 知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法 知识点38：向量空间（数一） 知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：
行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5
线性代数公式总结
()0A r A n A Ax A A οο??
③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ????????? ? ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=??? ? ???? ????? ? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοοο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? 11112222 kk kk A B A B AB A B ο ο ????? ?=????? ?
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L
③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法：
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行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
√ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ??????????
⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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