线性代数模拟试题及答案

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131

《 线性代数期末模拟试题一 》

一、填空（本题20分每小题2分）

1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代

数余子式，则23M +23A = 。

2．三阶行列式33

31

2213

11

00

0a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n 阶行列式

（填成立或不成立）。

3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵

),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=

A 。

4．设矩阵???

? ??-=????

?

?

?-=?????

??-=45

8

271,13

1027

241,2130

12C B A ，则=-C B A T

2。

5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。

6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定

可以由向量

唯一的线性表示。

得分

阅卷人

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132

7．非齐次线性方程组b Ax =有 唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。

8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。 9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=

B 。

10．向量组：[][]1,12

1,1,

12

121-=

=

p p

（填是或不是）向

量空间2R 一个规范正交基。

二、单项选择（本题10分，每小题2分）

注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！

1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（ ）不正确

（A ） 若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ） 若方程组无解，则系数行列式0=A ;

（C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;

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133

（D ） 系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。

3. 奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变。 (A) 初等变换； (B) 左乘初等矩阵；

(C) 左、右同乘初等矩阵； (D) 和一个单位矩阵相加。

4．设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 是54?矩阵，且A 的行向量组线性无关，则有（ ）。

(A) A 的列向量组线性无关；

(B) 增广矩阵B 的行向量组线性无关；

(C) 增广矩阵B 的任意4个列向量组线性无关； (D) 增广矩阵B 的列向量组线性无关。 5．设2=λ

是非奇异矩阵

A 的一个特征值，

则矩阵1

231-??

?

??A 有一个特征值为 ( )

(A) 4/3； (B) 3/4；(C) 1/2； (D) 1/4。

三、计算（2道题，共16分）

1．设行列式D=

2

2

3

5

00702

222

0403--，求34333231M M M M +++（其中34

33

32

31

,,,M

M

M

M

分别是第三行各个元素的对应的余子式）。

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134

2．计算

1

n

11111-n 22222

11111b b b b 11111+----n n

n

n

n n n n n a b b b a b b b a a a b a a a a

（)1≥n

四、（本题12分）

已知A ，B 为3阶矩阵，E 表示3阶单位阵，且????

? ?

?-=10

1020

101A （1） 求1-A ；（2）证明矩阵)E A (-为逆矩阵；

（3）若矩阵A ，B 满足B A E AB +=+2，证明E A B +=。

五、（本题12分） 问k 取何值时，方程组

?

???

???

=+--=+--=+++=+++1

1210531533631324321432143214321x x x x x kx x x x x x x x x x x ⒈有唯一解；2.有无穷多解，并求通解。

六、（本题10分）

得分

阅卷人

得分

阅卷人

得分

阅卷人

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135

向量组A ：,,,,4321αααα由四个向量组成，其中

??????

? ??=31111α， ??????? ??--=15312α

，??????? ??-=41233α，????

??

? ??--=210624α， 求：（１）向量组A 的秩A R ；（2）向量组A 线性相关性；（3）向量组A 的一个最大无关组。

七、（本题10分）

已知二次型313223222132122),,(x x x ax x x x x x x f ++++=（其中a 为待定系

数）经过正交变换Py x =化为23222y y f +=，试回答下列问题：

(1) 写出二次型的矩阵A 可以含待定系数a ； (2) 写出A 的全部特征值； (3) 利用（1）、（2）求出a 的值

八、（本题5分）

在R 中，取两组基

α组：T )1,0,1(1-=α，T )0,1,1(2-=α，T )2,1,0(3-=α β组：T )0,1,2(1=β，T )1,2,1(2-=β，T )0,1,1(3=β

若向量b 在基321,,ααα下的坐标为()1,1,1--，求它在基321,,βββ下的坐标

九、（本题5分）

得分

阅卷人

得分

阅卷人

得分

阅卷人

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136

设非齐次方程组β=Ax 有解,,,321ξξξ其中

()()T

T

3,

2,1,

0,4,

3,

2,

1321=+=ξξξ，并且,3)(=A R

试回答：

（1）非齐次方程组β=Ax 是几元的？

（2）若0=Ax 是β=Ax 对应的齐次方程组，则写出它的一个基础解系。 （3）写出方程组β=Ax 的通解。

《 线性代数期末模拟试题二 》

一、填空题（6×4=24分），将答案填在横线上。 1．若=????

?

?????=A A A T

则, 00

1

011122

2．方程组===???

??=+-=-=++321321

31321 52 3

x x x x x x x x x x x 的唯一解为

3．=

?????????

???-1

12

130000210031

4．

=

a b

a b a b b a 0

000000

5．若 )( , )( , )(,0||,13

2253

12133=

==≠???

?

?

???

??=?AB R B R A R B A 则

得分

阅卷

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137

6．若=

+==---1

12)

2( , ,7E A A E A A 则

二、方程组（12分）

当k 为何值时，方程组

?????=++=-+=+--k

x x kx x kx x x x x 321

321321 20

221

1．有唯一解；2．有无穷多解；3．无解。

三、（10分） 设

????

?

??

???=??????????=432113

, 23

2

021

002C A

1．已知B

E A

B AB

，求 2

-=+ 2．已知Y

C Y AY ，求

+=

四、（12分）

设。

，使和对角阵求正交矩阵Λ=Λ???

?

?

??

???-=-AQ Q

Q A 1

, 02

2

210201

五、（8分）

设向量组],,[ , 3 , 13 , 311321321ααα=???

?

??????=α??????????=α??????????=αA k k k 1．|A|=

2．该向量组线性无关的充要条件是k 满足

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3．方程组Ax =0有非零解的充要条件是k 满足k=3 ork=-4 4．若Ax =0的基础解系为[1，1，1]T

，则k =

。

六、单项选择题（5×2=10分）

在括号内填上唯一选择项的代号：

1．设3个同阶方阵A ，P ，Q 分别为对称阵，可逆阵，正交阵，下列四个矩阵变换中，保持A 的秩、行列式的值、特征值和对称性都不变的矩阵变换是（ ）。

H

AQ Q

F AP P C PAQ B AP P

T ====--1

1

)4( ,)3( ,)2( ,)1(

2．设A ，B 均为n 阶方阵，在下列各项中只有（ ）正确。 （1）若A ≠0，B ≠0，则AB ≠0；

（2）若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵； （3）若AB 不可逆，则A 和B 都不可逆；

（4）若AB 可逆，则A 和B 都可逆

3．设n 阶矩阵A ，B ，C 满足关系式ABC=I,则（2 ）成立。

(1) ACB=I ; (2) BCA=I ;(3) BAC=I ; (4) CBA=I 。

4．设[][]m n ij n m ij b B a A ??== , ，则（ 3 ）。

（1）当m n 时，AB 不可逆； （4）当m >n 时，AB 可逆。 5．设[]n

m

, <=?若n m ij a A ，则（ ）。

（1）A 的列向量组线性无关； （2）A 的列向量组线性相关；

（3）A 的行向量组线性无关；（4）A 的行向量组线性相关。 七、（12分） 设

43212

42

32

22

143214)2()(5),,,(x x x x x x k x x x x x x f +++++=

1．求该二次型对应的对称阵A ；

2．当k 满足什么条件时A 正定？

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139

八、证明下列各题（2×6=12分）

1．证明：若n 阶实对称阵A 的两个不同的特征值q

P 和对应的特征向量依次为和μλ，

则p 和q 正交。

2． 设同解

与则维向量，为阶方阵，

都是和 00)(,)()(====Bx x AB r B r AB r n x n B A 。

《 线性代数期末模拟试题三 》

一、填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）

1．设),,2,1,(n j i a ij =为n 阶行列式D 的元素，ij ij a A 为元素的代数余子式，则

=+++kn in k i k i A a A a A a 2211 （其中k

i ≠）。

2．设3阶矩阵A 与矩阵???

?

?

?????10

050

002

相似，A 的特征值为 。

3．设A 为n 阶矩阵，若 ，则称 A 为正交矩阵。

4．n 元非齐次线性方程组b Ax =存在解的充分必要条件为 。

二、选择填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）

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得分 阅卷人 得分 阅卷人

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140

1.设A 和B 均为n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ） (A)B A B A +=+ ； (B)2222)(B AB A B A ++=+； (C) B A k kAB = ； (D) B A k kAB n = 。

2.设A 为n 阶方阵，且1)(-=n A R ，21,αα是非齐次线性方程b Ax =的两个不同的解向量，则b Ax =的通解为（ ）（其中k 、1k 、2k 为任意常数） (A) 21αα+k (B) 12211ααα++k k (C) 121)(ααα+-k (D) 221)(ααα++k

3. 设??????????=3332

31232221131211

a a a a a a a a a A ，???

?

?

??

???+++=313332

31

11131211

21232221

a a a a a a a a a a a a B ， ???

?

?

?????=100001

010

1P ，且有B AP P =21，则=2P （ ）。 (A) ??????????10

1

010001 (B) ???

??

??

???-10

1

010001 (C) ??????????10

010101

(D) ????

?

??

???-10

010101

4.设A 为n 阶矩阵，且A 的行列式|A |=0，则A 中（ ）

(A) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(B) 必有一列元素全为0； (C) 必有两列元素成比例； (D) 任意一列向量是其余列向量的线性组合。 三、（每小题6分，共12分）计算下列行列式

1．计算4阶行列式

得分 阅卷人

班级： 姓名： 学号：

141

3

12

4

025*********-----

2．计算n+1阶行列式

n

n a a a a 01

1

11

1

1

1110010000001101

000121

-

四、（10分）

已知A ，B 为3阶矩阵，满足BA A B =+b a ，其中a 和b 都是不为0的常数 （1） 计算)aE A )((--bE B ，其中E 是3阶单位矩阵 （2） 证明E A a -及bE -B 均可逆；

（3） 若=a 2，4b =，???

?

?

?

?-=20

0021

021B ，求矩阵A 。 五、（10分）

设 ?????

????

???--=1

3

1

014421013

2721A 1．求矩阵A 的秩；

2．判别A 的列向量组的线性相关性；

3．求矩阵A 的列向量组的一个极大线性无关组； 六、（12分）

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得分

阅卷人

得分 阅卷人

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142

求非齐次线性方程组?????

????-=

+-+=++-=++-+=+-+--=-+-+41

11x

6x

5x

5x 326x

15x -8x 7x -4x 11x 2x x x 3x 14x 4x 3x

x 2x 5x 3x x 2x x 4

3

2

1

5

432154321

543

2

15432

1

通解，并指出对应齐次方程组的基础解系。

七、（14分）

已知二次型

3

231212

3222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=

1．写出二次型的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表达式； 2．求A 的全部特征值；

3．求一个正交变换PY X =将二次型化为标准形；并指出二次型的正定性。

八、证明下列各题（每小题5分，共10分）

1．设n 阶矩阵B A 与相似，证明T T B A 与相似 2．设3维向量组321,,ααα线性无关，133322211,,α+α=α-α=α-α=b b b ，

证明：321,,b b b 线性无关

《 线性代数期末模拟试题四 》

一、填空题（本题18分，每小题3分）

得分

阅卷人

得分 阅卷人 得分

阅卷

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143

1、若3

3

3

2224

3

2

1

432143211111=

A ， 则=A 。

2、若对一个矩阵实施一次行变换等价于在该矩阵的 边乘以一个相应的初等矩阵。

3、A 为四阶的方阵，且*,A k A =是它的伴随阵，则=*A 。

4、，则该矩阵的秩至少是－矩阵初等变换??

???

???????---???→?10

31001

1103021

a a A 。

5、设n 阶矩阵()n n A ααααα1

3

21-=

的行列式，A 0≠

()13

211-=n A αααα

，则方程组n

X A α=1（有，无）解

6、若2，4，6，8是四阶矩阵A 的4个特征值，则矩阵)3(I A -的4个特征值

。

二、选择填空（每小题只选择一个答案，选错或不选一律不得分，每小题3分，共18分）

1、设矩阵()γβα,,=A ，行列式3=A ，若矩阵)2,,3(αγγβα+-+=B

行列式=B （ ）

（A ）1-8 ； (B)81- ； (C) –24 ； (D) -216 。

得分 阅卷人

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144

2、设A 、B 、C 为n 阶矩阵，且矩阵A 可逆，则下列四个结论中不正确的是（ ）。 (A) BA AB =； (B) 若C B AC AB ==则,； (C) 若0,0==C AC 则； (D) 若 00==B ，AB 则。

3、设非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 是,,r A ）n m =?且秩（矩阵则方程组（ ）。

（A ）在m r =时一定有解； （B ）在n m =时有唯一解； (C) 在n r <有无穷解； （D ）在n r =时有唯一解。 4、向量组m ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是（ ）。

(A) 存在一组全不为零的数m k k k ,,,21 ，使等式02211≠+++m m k k k ααα 成立； (B)存在一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使等式02211=+++m m k k k ααα 成立； (C)每个i α都不能用其他向量线性表示； (D)有线性无关的部分组。 5、若02=-A I 其中A 是n 阶矩阵，则下列四个结论中正确的是（ ）。 (A)1±都是2A 的特征值 ； (B) 1是A 的特征值； (C) -1或1至少有一个是A 的特征值； (D) -1是A 的特征值

6、n 阶矩阵A 与n 阶矩阵B 相似，则下列四个结论中不正确的是（ ）。

(A) A 与B 有n 个相同特征值； (B) A 与B 有相同的特征向量； (C) A 与B 有相等的行列式； (D) A 与B 有相同的秩

三、计算（每小题6分，共12分）

得分

阅卷人

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145

1、

4

2

1

412049323511---- 2，

a

b

b

b

b a b b b b a b b b b a a b

b a 0

00000000000000

四、（11分）

设向量组

()()()()()

试求：

8,

9,2,

1,1,

2,0,

1,

3,

4,

1,0,3,5,1,1,3,

2,

1,25

4321=

--=

---=-==ααααα

（1）该向量组的秩；

（２）该向量组的一个最大无关组；

（３）将向量组中不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 五、（12分）

试求方程组()()??

?

?

?

?

?

=+++++=+++=-=+++1

113022004321432

1324321x x x x x x x x x x x x x x λλλλλ

当λ为何值时有唯一一组解、无解或有无穷多组解 ? 并在有无穷多组解时求其通解。 六、（10分）

矩阵????

?

?????----=????

?

?????--=+=11

1

111

120

,10

210

0012C A B C

BA ABA C B 、A 、T T 。其中求满足

七、（14分）

得分 阅卷人

得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人

班级： 姓名： 学号：

146

已知二次型212322213212422),,(x x x x x x x x f +++=， ⒈写出二次型的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表达式； ⒉求A 的特征值；

⒊求一个正交变换PY X =将二次型化为标准形； ⒋指出二次型的秩与正定性。

八、证明题（5分）

已知向量组 t

s ，，βββααα

2121,

,和是

并且每个i α和每个i β都正交。

证明：向量t

s ，，βββααα

2121,,,线

《 线性代数期末模拟试题五 》

一、填空题（每小题5分，共20分）

⒈设k c c c b b b a a a =3

2

1

321

3

21

，则=---3

32

21

1321321222333a c a c a c b b b c c c

⒉设???

?

??????=-22

340

002

211

A ，则A = ⒊设m ααα,,,21 均为n 维向量（n m >），则向量组m ααα,,,21 必线性 关。 ⒋设=-I A A m m λλ则的特征值是矩阵, （其中m 为正整数） 二、选择填空（每小题只选择一个答案，选错或不选一律不得分，每小题5分，

得分 阅卷人 得分 阅卷人

得分

阅卷人

班级： 姓名： 学号：

147

共20分）

⒈设）矩阵，则（是矩阵，是 m n B n m A ?? (A)0≠>AB n m 时，必有行列式当；(B) 0=>AB n m 时，必有行列式

当； (C) 0≠

当；

（D ）0=

⒉如果向量β可由向量组m ααα,,,21 线性表示，则必有（ ）。

(A)存在一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，使等式m m k k k αααβ++=2211成立； (B)存在一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使等式m m k k k αααβ++=2211成立； (C)对β的表示式不唯一；

(D)向量组m αααβ,,,,21 线性相关。

⒊n 元方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是（ ）。 (A)秩n A =)( ； (B) A 为方阵且0≠A ；

(C)n b A =) 秩（ ； (D)秩n A =)(，且b 可由A 的列向量组线性表示。 ⒋设2-=λ是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵1)3(-A 有一个特征值为（ ）。 (A)

2

3 ； (B) 2

3-

； (C) 6

1-

； (D)

6

1。

三、计算下列行列式（每小题6分，共12分）

⒈

2

2

2

2

222222222227

6

5

4

654354324321

⒉计算n 阶行列式(n>2)

n

x x x n x x x n x x x n n n +++++++++

2

1

2121222111

得分 阅卷人

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148

四、（10分）

问λ取何值时，方程组

??

?

??-=++-=++-=+-1

455122321321321x x x x x x x x x λλ ⒈无解；

⒉有唯一解；

⒊有无穷多解，并求通解。 五、（7分）

设 ??????????=30

052021A ，???

?

?

??

???=01

1

101110

B ,求1)(-AB

六、（7分）

设矩阵和分别为和可逆阶矩阵，且和分别为和n m m n C B A n m D A ??,，证明：

⒈??

?

???-=??????-??????????

??----B CA D A

I B A I D C

B A I CA

I 1

1

1

0 ⒉

B

CA D A D

C

B A 1

--=

⒊??

?

?

??D C B A 可逆的充分必要条件是矩阵B

CA D 1

--可逆。

⒋)()(1

B CA D A D C

B A --+=???

?

????????秩秩秩

七、（14分）

得分 阅卷人

得分 阅卷人

得分

阅卷人

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班级： 姓名： 学号：

149

已知二次型)0(2332),,(322

32221321>+++=a x ax x x x x x x f ，

且已知二次型的矩阵A 的一个特征值为1。

⒈写出二次型的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表达式； ⒉求a 得值，并求A 的另两个特征值；

⒊求一个正交变换PY X =将二次型化为标准形； ⒋指出二次型的秩与正定性。

八、（每小题5分，共10分）证明下列各题

⒈已知n 维向量),,,(21n w w w w =的各分量均大于零，即),,2,1(0n i w i =>，又设n 阶矩阵

??????

???

??????????

?

=1112

1212

121

w w w w w w w

w w w w w A n n n n ，即矩阵j

i

ij

w w a j i A =列元素行第的第。

⑴证明秩1)(=A ； ⑵证明向量A w 是的特征向量，并求所对应的特征值。 ⒉已给2n 维向量组),,2,1(),,,(221n i a a a T n i i i i ==α和2n 维向量组

),,2,1(),,,(221n i b b b T

n i i i i ==β，而且该向量组是方程组

00

22221222222122122121??

?

??

?

?=+++=+++=+++1111n n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的基础解系。

证明向量组),,2,1(),,,(221n i a a a T n i i i i ==α是方程组

班级： 姓名： 学号：

150

(2) 00

022221222222122122121??

?

??

?

?=+++=+++=+++1111n n n n n n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的基础解系。

《 线性代数期末模拟试题六 》

一、填空（每题2分，共20分）

1、排列134782695的逆序数为。

2、当k 满足

时，矩阵???

?

??=12

1k A 可逆。

3、若A 是5阶方阵，且A

=1，则 A 2= 。

4、当X 为 行 列矩阵时,下列运算可以进行 ()???

?

??7654321X ;其结果是 行 列矩阵。 5、矩阵???

?

??-=43

21A 的伴随矩阵*A = ， 逆阵1-A = 。

6、向量组()()T

T

3,1,1,3,1,221--=-=αα是线性____关的。 7、2是A 的特征值，则=

-E A 2。

8、向量空间{}

R x x x x x V n T

n ∈==,,),,,0(22 的维数为 。 9、若E

AA T

=，则=

-1

A 。

10，如果与四元线性方程组AX =O 的同解方程组是???=-=0

3231x x x ，则有R(A)= ，

AX =O 的基础解系有 个解向量。

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