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圆的几个重要定理

2010年·暑假·短期班 圆·第2讲·学生版 page 1 of 1

第二讲-圆的几个重要定理

中考要求

内容 基本要求

略高要求

较高要求

圆的有关概念 理解圆及其有关概念

会过不在同一直线上的三点作圆;能利用圆的有关概念解决简单问题

圆的性质 知道圆的对称性,了解弧、弦、圆心角的关系

能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题

能运用圆的性质解决有关问题

圆周角

了解圆周角与圆心角的关系;了解直径所对的圆周角是直角

会求圆周角的度数,能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题

能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题

知识点睛

一、圆周角定理

圆心角和圆周角

1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也

称这样的弧为1︒的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 2. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径.

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦

相等,所对的弦的弦心距相等.

推论:在同圆或等圆中,如
果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它

们所对应的其余各组量分别相等.

圆是平面几何中的一个重要内容.由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题,所以它经常出现在数学竞赛中. 圆的基本性质有: ⑴ 直径所对的圆周角是直角. ⑵ 同弧所对的圆周角相等. ⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦.

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,其它各组量都相等。

三、相交弦定理(选讲)

相交弦定理:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等.

如图,弦AB 和C D 交于O ⊙内一点P ,则PA PB PC PD ⋅=⋅.

P O

D

C B

A

相交弦定理的推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

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