A B E C F D O B D C E D C O F B A 平行四边形性质及判定练习题 一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿，ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8， 则两短边间的距离为_____________． 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___ 对。 二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 （ ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 14、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 16、如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形， 还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 18、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 19、若ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（ ） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm
综合滚动练习：平行四边形的性质与判定 时间：45分钟分数：100分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．在?ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A的度数是() A．100°B．120°C．80°D．60° 2．如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是() A．AB∥CD B．AB＝CD C．AC＝BD D．OA＝OC 第2题图第5题图 3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是() A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5 4．平面直角坐标系中，已知?ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是() A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(－1，2) 5．如图，?ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为() A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2 6．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则BC的长为() A．8 B．10 C．12 D．14 第6题图第7题图7．如图，在?ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于() A．40°B．50°C．60°D．80° 8．(2017·龙东中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是() A．22 B．20 C．22或20 D．18 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．已知AB∥CD，添加一个条件____________，使得四边形ABCD为平行四边形．10．如图，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．
平行四边形的性质和判定 一、角度的运算 1、在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝________，∠B＝________． 2、在平行四边形ABCD中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度. 3、如图,在平行四边形ABCD中, BC=2AB, CA⊥AB,则∠B=______度, ∠CAD=______度. 4、已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数． 二、求边长（取值范围）、周长 1、已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB的长是________________. 2、若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为_______． 3、□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是__________． 4、□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝__________，BC＝__________． 5、在□ABCD中CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝__________，AB＝__________． 6、如图,平行四边形ABCD中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E, 求AE, EF, BF的长? F E D C B A 7、□ABCD中，E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，求CF的长. F E D C B A 8、如图，□ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，求△DCE的周长 D C B A
10月15日平行四边形的性质1 预习评估 1. __________________________________的四边形叫做平行四边形。 __________________________叫做平行四边形的对角线 平行四边形的对角线把它分成的两个三角形______________. 2. 平行四边形对边___________，对角____________ 3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则 AD=________,CD=______,∠D=__________,∠ A=_________,∠C=__________. 4. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 相交于点O ，边AB 可以看成由_____________ 平移得来的，△ABC 可以看成由__________绕点O 旋转______________得来。 例题与练习 例题1、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,求各边长。 变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。 例题2.平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。 变题3.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC=34°, ∠ACB=26°，求∠DAC 与∠D 的度数。 例题3.如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ，∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。 变题5.如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15， ∠ABC=60°，求平行四边形面积。 A B C D A B C D O A B C D E A B C D F E A B C D A B C D
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各 点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________． 10. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. (1)求证：△ABC≌△DEF；
E D C O F B A 18.1~18.2平行四边形的性质与判定 一、选择题 1、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 2、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列说法中错误的是（ ） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 4、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 （ ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 5、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 6、 四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 7、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形，还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 8、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、A B ＝CD ，AD ＝B C B 、AB ∥C D ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 9、如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 9题图 10题图 11题图 12题图 10、如图，线段a 、b 、c 的端点分别在直线l 1、l 2上，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l 1∥l 2，则a=b B ．若l 1∥l 2，则a=c C ．若a∥b，则a=b D ．若l 1∥l 2，且a∥b，则a=b 11、如图，△ABC 中，AB=AC=15，D 在BC 边上，DE∥BA，DF∥CA，那么四边形AFDE 的周长是（ ） A .30 B ． 25 C ． 20 D ． 15 12、如图，AB=CD ，BF=ED ，AE=CF ，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（ ） A ． 1组 B ． 2组 C ． 3组 D ． 4组 13、若□ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（ ） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm 14、平行四边形的对角线长分别是x 和y ，一边长为12，则下列各组数据可能是x 与y 的值的是（ ） A 、8与14 B 、10与14 C 、18与20 D 、10与36 15、□ABCD 中,∠A:∠B=13：5，则∠A 和∠B 的度数分别为（ ） A ．80° ，100° B ．130°，50° C ．160°，20° D ．60°，120° 16、一个平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 17、E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、DC 中点，DE 、BF 交AC 于M 、N ，则( ) A.AM=ME B.AM=DF C.AM=NC D.AM ⊥MD 18、在□ABCD 中若∠A ＞∠B ，则∠A 的补角与∠B 的余角之和( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定 19、从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形( ) A.周长 B.周长的一半 C.腰长 D.两腰长的和 20、已知平行四边形两条邻边的长分别是6厘米和4厘米，它们的夹角是60°，则它的面积是( )
平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定归纳如表：类 别 性质判定对称性 平行四边形①对边平行 ②对边相等 ③对角相等 ④对角线互相平分 (⑤邻角互补) ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 中 心 对 称 矩形①具有平行四边形的 一切性质 ②四个角都是直角 ③对角线相等 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 中轴 心对 对称 称 菱形①具有平行四边形的 一切性质 ②四条边都相等 ③对角线互相垂直 (平分每组对角) ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 (④对角线垂直且平分的四边形) 中轴 心对 对称 称 正方形①具有平行四边形、矩 形、菱形的一切性质 (②对角线与边的夹角 为450) ①有一个角是直角且有一组邻边 相等的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 （④对角线垂直且相等的平行四 边形） 中轴 心对 对称 称 四种特殊四边形的性质 边角对角线对称性 平行 四边形 对边平行 且相等 对角相等互相平分中心对称 矩形对边平行 且相等 四个角 都是直角 互相平分 且相等 轴对称 中心对称 菱形对边平行 四条边相等 对角相等互相垂直平分（且 每条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 正方形对边平行 四条边相等 四个角 都是直角 互相垂直平分且相等，（每 条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 四种特殊四边形常用的判定方法： 平行 四边形 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 矩形 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 菱形 ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ④对角线垂直且平分的四边形 正方形 ①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 ②一组邻边相等的矩形 ③一个角是直角的菱形 ④对角线垂直且相等的平行四边形
平行四边形的性质与判定专题练习题 1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以 AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴 影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°， 则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交 CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________．
C F B E D A 一、平行四边形基本定义： 1、平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 ２、平行四边形性质： ３、扩展性质： 二.平行四边形的面积： 平行四边形的面积： 等于底和高的积，即S □ABCD =ah ，其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。 平行四边形中的等积法使用： DF BC DE AB ?=? 三、总结： （1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。 （2）平行四边形中对角线是常用辅助线。 平行四边 形性质 平行四边形对边相等； 平行四边形对角相等； 平行四边形对角线互相平分。 平行四边形对角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。 平行四边形对角线分平行四边形成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差 平行四边形对角线的一半和大于任意一边长 过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分
例题1如图，在?ABCD 中，AD=2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE=3，则AB 的长为（ ）A ．4 B ．3 C ． 2 5 D ．2 例题2如图，平行四边形ABCD 中，A E 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点 F ．下列结论中：①△ABC ≌△AED ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CDE ；⑤S △ABE =S △CEF ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．① ③④ 平行四边形的面积问题 实例：如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC ． （1）求证：△BAD ≌△AEC ； （2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积． 平行四边形中的折叠 实例：如图，在?ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B′G． 求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． DE=B′F，∴△DEG ≌△B′FG，∴DG=B′G．
第十九章四边形 平行四边形的性质 第一课时 一、自主学习 目标导学 1、理解平行四边形有关概念以及记作方法。 2、探索并掌握平行四边形的有关性质、平行线间的距离。并能运用性质解决实际问题。 ●自学生疑 1、叫平行四边形 2、平行四边形的性质 1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 3.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________. 二、合作学习 合作探究 【探究一】平行四边形的定义 1、定义： 2、表示方法： 3、平行四边形与长方形、正方形、菱形、梯形的关系： 【探究二】平行四边形的性质 1、根据定义可得到什么性质 用几何语言叙述： 2、根据定义如何判定一个四边形为平行四边形 用几何语言叙述：
2、通过量一量.折一折.看看平行四边形的边、角、对角线、对称性还存在什么性质 边：；角：；对角线：；对称性：。 3、证明你所得到的性质： 4、用几何语言叙述平行四边形的性质： 练一练： 1.已知：平行四边形的周长为28cm.相邻两边的差为4cm.则相邻两边长为、。 2.如图,在ABCD中.对角线AC、BD相交于点O.图中全等三角形共有________对. 中.若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=_____.∠B=______.∠C=______.∠D=_____. 4.如图.ABCD的对角线AC和BD相较于点O.如果AC===m.那么m的取值范围是 。
● 精讲精练 例：如图.E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点.CE AF 请你猜想：BE 与 DF 有怎样的位置．．关系和数量．． 关系并对你的猜想加以证明．（多种方法） 变式：1、已知ABCD 的对角线交于O .过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F .求证： OE =OF . 2、（07日照）如图.在周长为20cm 的□ABCD 中.AB ≠、BD 相交于点⊥BD 交AD 于E .则△ABE 的周长为 cm. A B C D E F A B C D O E
《平行四边形的性质》典型例题 例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由. 例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF = 例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______. D C A B O
例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ， 若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.
参考答案 例 1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数. 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x ∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°. 例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长. 解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB === 60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB 8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB ∴.11,19====AD BC CD AB 答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm. 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ?????????,,，从而可说明.OF OE = 证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO = CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,， ∴)(AAS CFO AEO ???，∴.OF OE = 例4 分析 观察图形，AFD ?与DCE ?都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ?与AFE ?全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。 证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴?=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥Θ，∴?=∠=∠90C AFD ，
一、平行四边形基本定义: 1、平行四边形 定义:有两组对边分别平行得四边形就是平行四边形。 表示:平行四边形用符号“□”来表示、 2、平行四边形性质: ３、扩展性质: 平行四边形得面积: 等于底与高得积,即S□ＡBＣD=aｈ,其中a可以就是平行四边形得任何一边,h必须就是a边到其对边得距离,即对应得高。 平行四边形中得等积法使用: 三、总结: (１)平行四边形得性质与扩展性质要能够理解并灵活运用。 (2)平行四边形中对角线就是常用辅助线。 例题1如图,在?ＡＢCD中,ＡD=２AB,CE平分∠BＣD交ＡD边于点Ｅ,且AE=3,则AB得长为()A.4 B.3 C. Ｄ.2 例题2如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠ＢAＤ,交BC于点E,且AB=ＡE,延长ＡB与DE得延长线交于点F.下列结论中:①△ABC≌△AＥD;②△ABＥ就是等边三角形;③ＡＤ=AF;④S△ABE=Ｓ△CDE;⑤Ｓ△ＡBE=S△ＣEF.其中正确得就是()Ａ.①②③B。①②④Ｃ.①②⑤Ｄ。①③④ 平行四边形得面积问题 实例:如图,已知四边形AＢDＥ就是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连结AC、CＥ,使AB＝AC.?(１)求证:△BAD≌△ＡEC; (2)若∠Ｂ=３０°,∠AＤC=４5°,ＢＤ=10,求平行四边形ABDE得面积。 平行四边形中得折叠 实例:如图,在?AＢCD中,点E,F分别在边ＤC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B′,C′处,线段EC′与线段AＦ交于点G,连接ＤG,B′G.
求证:(1)∠1=∠2; (2)DＧ=B′G. ＤＥ=B′Ｆ,∴△DEG≌△Ｂ′FG,∴DG=B′G。 一、选择题 1、如图,平行四边形ＡBCＤ得对角线交于点O,且AB＝5,△ＯCD得周长为２3,则平行四边形ABＣD得两条对角线得与就是()Ａ、18 Ｂ.28 Ｃ.36 Ｄ、 46 Ａ、246 B.2１6 C、－216Ｄ。２７4 ２如图,在Rt△AＢC中,∠B=９0°,AB=３,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线得所有?ADＣＥ中,ＤE最小得值就是( )Ａ.2Ｂ、3 Ｃ.4 D、5 ＊3如图,在平行四边形AＢCD中,AB〉ＣD,按以下步骤作图:以Ａ为圆心,小于AＤ得长为半径画弧,分别交AＢ、CＤ于E、F;再分别以E、F为圆心,大于EＦ得长半径画弧,两弧交于点Ｇ;作射线AG交ＣD于点H、则下列结论:①AG平分∠DAB,②CH=DＨ,③△ＡＤH就是等腰三角形,④Ｓ△ＡDH=S四边形ABCH、其中正确得有()A。①②③B.①③④C、②④Ｄ、①③. ＊＊4如图,平行四边形ABＣD中,ＡB:ＢＣ=3:２,∠DＡB＝60°,E在AB上,且ＡE:ＥＢ＝1:2,F就是BC得中点,过D分别作ＤP⊥AF于P,DＱ⊥CE于Ｑ,则DＰ:DＱ等于( ) A、３:4 B:２C:2 D。2: *＊5、如图,四边形ABCＤ就是平行四边形,BＥ平分∠ＡBＣ,ＣF平分∠ＢCD,BE、ＣＦ交于点Ｇ、若使ＥF＝AD,那么平行四边形AＢCD应满足得条件就是()A.∠ABC=60°B.AB:BC=1:４C.ＡB:BC＝5:2 D.AB:ＢC＝5:８ *＊６如图,在?ＡBCＤ中,分别以ＡB、AD为边向外作等边△ＡBE、△ADF,延长CB交AＥ于点G,点Ｇ在点A、E之间,连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确得就是( )①△CD Ｆ≌△EBC;②∠CＤF=∠EAF;③△ECF就是等边△;④CG⊥ＡE。A.只有①②B、只有①②③C.只有③④Ｄ、①②③④ 二、填空题: ＊7如图,过?ABＣＤ得对角线BＤ上一点Ｍ分别作平行四边形两边得平行线EF与GH,那么图中得?ＡＥMG得面积S1与?ＨＣFＭ得面积S２得大小关系就是 ＊*8 在?ＡBCD中,∠DＡB得平分线分对边BC为3cｍ与５cm两部分,则?ABCD 得周长为 ＊＊9、如图,?ABCＤ中,对角线AC与BD相交于点Ｅ,∠ＡＥB＝４5°,BD=2,将△AＢC沿ＡＣ所在直线翻折180°到其原来所在得同一平面内,若点B得落点记为B′,则ＤB′得长为、 三、解答题: ＊１０如图,在?ABCD中,点E就是AB边得中点,DE与ＣB得延长线交于点F、?(1)求证:△ADE≌△BＦE; (２)若DＦ平分∠ADＣ,连接CE、试判断CＥ与DF得位置关系,并说明理由. ＊＊１１如图,在平行四边形ABCD中,∠BAＤ=32°.分别以ＢＣ、ＣD为边向外作△ＢCE与△ＤCＦ,使BE=ＢC,DF=DＣ,∠EBC=∠CDF,延长AB交边ＥC于点G,点G在E、C两点之间,连接AE、AF. (1)求证:△ＡＢE≌△ＦDＡ;?(2)当AE⊥AF时,求∠EBG得度数. ＊＊12(２00７?黑龙江)在△AＢC中,AＢ＝ＡC,点P为△ABC所在平面内一点,过点Ｐ分别作PE∥ＡC交AＢ于点E,PＦ∥AB交BＣ于点D,交ＡＣ于点F、若点P在BＣ边上(如图
1.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( ) A. 6 第六章平行四边形 一．大脑扫描 1.平行四边形的有关概念 （1）平行四边形：_______________________________________________________________ （2）对角线：___________________________________________________________________ 2.平行四边形的性质 （1）边：<1>____________________________________________________________________ <2>____________________________________________________________________ （2）角：_______________________________________________________________________ （3）对角线：___________________________________________________________________ （4）对称性：___________________________________________________________________ 3.平行四边形的判定 （1）边：<1>__________________________________________________________________ <2>__________________________________________________________________ <3>__________________________________________________________________ 角：____________________________________________________________________ 对角线：________________________________________________________________ 补充：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 4.平行线之间的距离 概念：__________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 5.平行四边形的面积 (1)如图①，． A B E C F D O A B D C 平行四边形性质及判定练习题 班级： 姓名： 一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 : 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿， ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8， 则两短边间的距离为_____________． ~ 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O, 且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___对。 # 二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题： ①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形； ③对角线相等的四边形； ④对角线互相平分的四边形。 其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3 平行四边形的性质 、课中强化（10分钟训练） 1?如图3,在平行四边形 ABCD 中，下列各式不一定正确的是 （ ） A. / 1 + Z 2=180 ° B. / 2+ / 3=180 ° C. / 3+Z 4=180 的周长为（ ） 3. 如图5,」ABCD 中,EF 过对角线的交点 O,如果AB=4 cm,AD=3 cm,OF=1 cm,则四边形 BCFE 的周长为 ____________________ . 4. 如图6,已知在平行四边形 ABCD 中，AB=4 cm , AD=7 cm , / ABC 的平分线交 AD 于点E , 5. 如图7,在平行四边形 ABCD 中，点E 、F 在对角线 6. 如图 8,在 ABCD 中,AE 丄BC 于 E,AF 丄 CD 于 F,BE=2 cm,DF=3 cm, / EAF=60° ,试求 CF 的长. D. / 2+ / 4=180 O , OE 丄AC 交AD 于丘，则厶DCE A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 交CD 的延长线于点 F ,贝U DF= _____________ cm. BD 上，且 BE=DF ，求证:AE=CF. 图3 2?如图4,二ABCD 的周长为 图5 图6 图7 图8 三、课后巩固（30分钟训练） 1?二ABCD中 ，/A比/ B大20。，则/ C的度数为（） A.60 ° B.80 ° C.100 ° D.120 2?以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点,作形状不同的平行四边形 ，一共可以作（ A.0个或3个 B.2个 C.3个 D.4个 3?如图9 所示，在—ABCD 中,对角线AC、BD交于点0,下列式子中一定成立的是（） A.AC 丄BD B.OA=OC C.AC=BD D.AO=OD 4?如图10,平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ,将厶AOD平移至△ BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5?如图11,在平行四边形ABCD中，EF // AB , GH // AD , EF与GH交于点O,则该图中的平行四边形的个数共有（） 6?如图12,平行四边形ABCD中，AE丄BD , CF丄BD，垂足分别为E、F，求证：/ BAE= / DCF. 7、如图13所示,已知平行四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，且BE=DF. 求证:△ ABE CDF. A.7个 B.8个 C.9个 D.11 个 图12 图13北师大版八年级下册第六章：平行四边形专题一【平行四边形的性质】知识点+经典例题+变式训练(无答案)
10. 平行四边形性质及判定练习题
平行四边形的性质及判定(提升版)
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