当前位置:文档之家› 浅谈新课程理念下数形结合”思想在集合与函数中的应用

浅谈新课程理念下数形结合”思想在集合与函数中的应用

浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的

应用

单位:天津市大港一中

姓名:贾宝山

学科:数学

浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的

应用

摘要:"数形结合"思想方法是解决数学问题的重要方法,本文对高中数学中的问题,谈谈如何运用"数形结合"的思想方法解题.

关键词:数形结合.图形.集合.函数.

数学是研究空间形式和数量关系的科学,“数”与“形”的结合是中学数学最完美的珠联璧合. “数”是“形”的抽象,“形”是“数”的直观表现.数形结合思想是充分应用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的描述代数的论证来解决数学问题的一种重要思想方法.纵观历年高考试题,利用数形结合思想解题占一定比例,尤其是选择、填空,更突出其重要性,其应用主要是“以形助数”、“以数定形”.

著名的数学家华罗庚先生说过:"数形结合千般好,数形分离万事休."有些繁难的代数题,若我们借助于图形的性质,可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化.简单化,从而探索出巧妙的解法.下面就高中数学的几个重要应用“数形结合”方面进行研究.

一.利用“数形结合”求解集合问题.

初中阶段会用数轴上的点表示有理数,建立实数与数轴上的点的一一对应关系,借助数轴理解相反数及绝对值的意义.高中阶段会用数轴表示集合间的包含关系,会用数轴进行数集的运算:

例1.已知集合M=﹛x|x2-3x-28≤0﹜,N=﹛x|x2-x-6>0﹜则M∩N为( A )

A、﹛x|-4≤x<-2或3<x≤7﹜

B、﹛x|-4≤x<-2或3≤x<7﹜

C、﹛x|x<-2或x>3﹜

D、﹛x|x<-2或x≥3﹜

解题策略:此题以一元二次不等式的解集为载体,考查了其解法及交集运算.结合数轴,以形助数.

例2.设集合A=﹛x|-2<x<-1或x>1﹜, B=﹛x|(x-a)(x-b)≤0﹜,(a<b)若A∪B=﹛x|x>-2﹜,A∩B=﹛x|1<x≤3﹜,求a,b的值.

分析:由于本题较复杂,应先化简集合.B=﹛x|a≤x≤b﹜,A∩B=﹛x|1<x≤3﹜

欲求a,b的值,它是集合B的两个端点,此题不能直接看出答案,由数想形,以形助数,需画出一条数轴,标出A,A∪B及A∩B.由A∪B={x|x>-2}知B的两端点落在E的右侧,由A ∩B={x|1<x≤3}可知B的右端点H必落在3的位置,下面确定左端点的位置,若落在F的左侧,与A∩B矛盾.若落在G,H中间与A∩B也矛盾.若落在F,G之间,则与A∪B矛盾,当且仅当它落在F处满足题意,即a=-1,b=3

解题策略:本题以不等式为载体,考查了交集、并集的运算,我们用数轴这一数形结合重要工具解决了它,由数想形,以形助数. “复杂数集先化简,画出数轴是关键,抽象问题具体化,运动变化定端点.”

二.利用“数形结合”求解函数问题.

(一).利用“数形结合”求函数的定义域

面对求函数的定义域问题,有些人常常是顾此失彼,所以在看到题目后,首先的应该把所有使函数有意义的条件列出,待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来,再逐一判断,这样才能尽量避免失误,得出正确的答案.

例1:已知函数f(x)的定义域是[a,b]其中a<0b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.

分析:若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A.B ,

则有M=A ∩B ,利用数轴分析得知,阴影部分即为所求.

如图

解:∵函数f(x)的定义域为[a,b]

∴a ≤x ≤b

若使f(x)e 有意义,必须有a ≤-x ≤b ,即有-b ≤x ≤-a

∵a <0<b ∴-b <0<-a

又∵|a|>b >0 ∴.a <-b

∴函数g(x)的定义域{x|a ≤x ≤b}∩{x|-b ≤x ≤-a}={x|

-b ≤x ≤b}

解题策略:这样的题目要是改为选择题,图形一画那就简单

明了,不用解题,若像上面的求解,则图形有助于解题.

(二).利用“数形结合”求函数的值域

对于一些给了的定义域求值域的函数,若只采用代数的方法

思考问题,往往会太过于抽象或无从下手.但如果根据函数的定

义,引入图象,使所求的问题具体化,可从图中一目了然,则达

到事半功倍的效果.

例2.求函数y=|x-2|-|x+4|的值域.

分析:就自变量x 的范围讨论去掉绝对值,将函数表示为分

段函数,画出分段函数的图象, 6()226f x x ??=--??-? 4422x x x ≤--<<≥ 函数的图象如图,由图象即可得y ∈[-6化,能使问题灵活直观地获解,于运用这种数学思想.

(三).利用数形结合求函数的单调区间

例3.设函数f(x)=-(x-1)2+2|x-1|+1(-5≤x ≤3).指出函数

f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)函数. 解:当x ≥1时,f(x)= -(x-1)2+2(x-1)=-(x-2)2+2

当x <1 时,f(x)=-(x-1)2+2(1-x )+1

=-x 2+2

即22(2)2()2x f x x ?--+?=?-+??

11x x ≥< 根据二次函数的作图方法,可得函数图象,如图,函数f(x)

单调区间为

[-5,-2),[-2,-1),[-1,0), [0,3].

由图形可看出函数在区间[-5,-2),[-1,0)上为增函

数,在区间 [-2,-1),[0,3]上为减函数.

解题策略:用数形结合的方法,先画出函数的图象,由图象

可直观得解.

(四).用“数形结合”求函数的最值

求函数的最值的类型题有很多种,例如:给出函数,根据其

定义域求最值.这种题型与求函数的值域是相类似的,另一种类

型的求最值的题型则是给出x,y 所满足的方程,再求另一个关于

x,y 的函数式的最值,我们常用数形结合来解这类问题,正确地

作出图像,必要时还要配合一定的计算.

例4.求函数x

x y cos 3sin 2++=的最大值和最小值 分析:首先我们用代数方法来解决本题,原式可化为: 3y+ycosx=2+sinx

)32(11

)cos(2y y y x -+=+

∵|cos(x+v)|≤1 ∴1|)32(11

||)cos(|2≤-+=+y y y x ∴11

129422≤+-+y y y ∴8y 2 -12y+3≤0 4

33433+≤≤-y ∴4

33max +=y 433min -=y 对于这种纯代数方法我们能够解决本题,但我们发现在解题

过程中利用了三角函数的相关知识的转化,如果不是对三角函数

这部分知识比较熟悉,相信学生可能无从下手.而对于这种特殊

的函数,应注意观察,利用其特殊的性质,把函数看作是定点(-

3,-2)与单位圆上的点P (cosx,sinx )连线的斜率.

解:)

()(3cos 2sin cos 3sin 2----=++=

x x x x y 这可以看作是定点A (-3,-2)与单位圆上的点P (cosx,sinx )连线的斜率.因此,y 的最

值就是当直线AP 与单位圆相切时的斜率.

∵单位圆x 2+y 2=1中斜率为k 的切线方程为21k kx y +±=

由于该切线过点A (-3,-2),故

2132k k +±-=- ∴4

33±=k ∴433max +=k , 433min -=k 通过以上两种解题方法,我们就会发现“数形结合”思想方

法在解题中的优势所在.

例5求5

24122222++-+++++y x y x x y x 的最小值.

分析:这是一道含有两个根式的函数最值的

问题.看似一道求二元函数的最值问题,显然用

现阶段的初等数学知识很难求解出.于是我们将

函数解析式变形为

2222)1()2()0()1(++-+-++=y x y x u ,就不难发现这正是平面直角坐标系oxy 内的一

个动点),(y x P 与两个定点)0,1(-A 、)1,2(-B 之间的距离之和的最小值

问题,所以,当且仅当点P 位于A 、B 两点所定的直线上且在两

点A 、B 之间(含A 、B 两点)时:

10

)01()12(|||)||(|22min min =--++==+=AB PB PA u

解题策略:类似这种y='''22C x B x A C Bx Ax ++±++形式

的函数求其最值,常采用这种找出对称点,并利用两点之间线段

最短的形式来解.

(五).用“数形结合”求函数的零点个数

求函数零点的个数是函数零点知识的常见题型,例如:给出

函数,根据其定义域求函数零点的个数.这种题型之中的函数一

般为一个复杂函数,解方程比较繁琐甚至不能达到目的,

所以我

们常用数形结合来解这类问题,把复合方程转化成基本初等函数相等的形式,求函数的公共解、函数图像的交点.正确地作出图像,从而判断出结果.

例6.求函数y=lgx-sinx 在[0,10]上的零点的个数.

分析:这是一道典型的利用二分法求函数零点、方程的根的问题.它是由两个初等函数组成的复杂函数,利用求解方程lgx-sinx=0的根或画函数y=lgx-sinx图象,观察它与x轴的交点的方法都不易实现.但若转化成求解方程lgx=sinx的根、即求函数y=lgx与y=sinx的图象的交点,则由复杂函数的问题转化成了简单的初等函数的问题,求解起来简单易行.

解:求函数y=lgx-sinx 在[0,10]上的零点可以转化成方程lgx=sinx在x∈[0,10]的解.即函数y=lgx与y=sinx在x∈[0,10]交点.作出函数图象,观察图象的交点.

由图象可知,函数y=lgx与y=sinx在x∈[0,10]交点的个数为3个.

所以函数y=lgx-sinx 在[0,10]上的零点的个数为3个.

解题策略:函数的零点和方程的根的问题都可以采用如上做法:用“数形结合”的方法,先画出函数的图象,由图象可直观得解.

以上是从集合与函数两部分知识内容上谈谈高中数学中“数形结合”重要思想方法的应用举例.对于高中数学中“数”和“形”是数学学习的两个基本对象,对于某些问题,单纯的从“数”的角度去分析探求需要分类讨论,运算会较繁冗,因此应当从“形”的角度去构造直观图形来刻划问题的条件和结论,使错综复杂的代数关系变得清晰可辨,解题思路顿开.本文浅谈集合与函数中的几个题型中的“数形结合”思想方法,而“数形结合”思想方法在整个高中数学的学习中有着重要的作用,我们应根据题目的结构特征,提倡使用“数形结合”思想方法.

相关主题
相关文档 最新文档