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集合与简易逻辑

高考数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑

一、大纲解读

集合部分的考点主要是集合之间的关系和集合的交并补运算，重点掌握集合的表示法和用图示法表示集合之间的关系；简易逻辑部分的考点主要是逻辑联结词、四种命题和充要条件，重点掌握充要条件和含有逻辑联结词的复合命题.

二、高考预测

根据考试大纲的要求，结合2008年高考的命题情况，我们可以预测2009年集合与简易逻辑部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.

三、高考风向标

集合是每年高考的必考内容，主要从两个方面考查:一方面，考查对集合概念的认识和理解，如对集合中涉及的特定字母和符号、元素与集合间的关系，集合与集合间的比较；另一方面，考查对集合的知识应用以及利用集合解决问题的能力．

简易逻辑主要是考查命题与命题间的逻辑关系以及判断、推理能力，其中对于充要条件的考查方式非常灵活，其试题内容多结合其他章节的内容来命制．

下面结合2008年高考试题，对集合与简易逻辑这部分内容的考点加以透析：考点一对集合中有关概念的考查

例1 （2008广东卷文1）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）

A ．A ?

B B ．B ?

C C ．A ∩B =C

D ．B ∪C =A 分析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．

解析：易知选D ．

点评：本题是典型的送分题，对于子集的概念，一定要从元素的角度进行理解．集合与集合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．

考点二对集合性质及运算的考查

例2．（2008 湖南卷文1）已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则 ( ) A ．{}4,6M

N = B ．M

N U = C ．U M N C u = )( D ．N N M C u = )(

分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用．解析：由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，故选B ．

点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．考点三对与不等式有关集合问题的考查

例3．（2008辽宁卷理 1）已知集合{}30,31x M x N x x x ?+?

=<=-??-??

…，则集合{}1x x …为

( ) A ．M

N B ．M

N C ．()R M N e D ．()R M

N e

分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应

的不等式，然后再考虑集合的运算．

解析：依题意：{}{}

31,3M x x N x x =-<<=-…，∴{|1}M N x x ?=<，

∴()R M

N =e{}1.x x …故选C ．

点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．考点四对与方程、函数有关的集合问题的考查

例4．（2008陕西卷理2）已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，

{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

分析：本题集合A 表示方程的解所组成的集合，集合B 表示在集合A 条件下函数的值域，故应先把集合A 、B 求出来，而后再考虑)(B A C U ．

解析：因为集合{}{}1,2,2,4A B ==，所以{}1,2,4A

B =，所以{}()3,5.U

C A B =故选B ．

点评：在解决同方程、函数有关的集合问题时，一定要搞清题目中所给的集合是方程的根，或是函数的定义域、值域所组成的集合，也即要看清集合的代表元素，从而恰当简化集合，正确进行集合运算．考点五对充分条件与必要条件的考查

例5．(2008福建卷理2)设集合{|0}1

A x x =<-,{|03}

B x x =<<，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

分析：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，需首先对命题进行化简，然后再进行判断．解析：由

x <-得01x <<,可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件，故选A ．点评：充分条件和必要条件，几乎是每年高考必考内容，且此考点命题范围广泛，形式灵活多样，因此在解答时要特别细心．此考点的解题关键是要分清条件和结论，然后判断是由条件推结论，还是由结论推条件，从而得出条件和结论的关系．从集合的包含关系来判断条件与结论间的逻辑关系常用有如下结论：设p 包含的对象组成集合A ，q 包含的

对象组成集合B ，若A ?≠B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B ?≠A ，则p 是q 的必要不充分条件；若A B =，则p 是q 的充要条件；若A ?≠B 且B ?≠

A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 考点六对新定义问题的考查

例6．（2008江西卷理2）定义集合运算：{}

,,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,

{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（）

A ．0

B ．2

C ．3

D ．6

分析：本题为新定义问题，可根据题中所定义的*A B 的定义，求出集合*A B ，而后再进一步求解．解析：由*A B 的定义可得：*{0,2,4}A B =，故选D ．

点评：近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆．

四扫雷先锋

易错点一：集合的概念

【例1】已知集合M=，，，，}13|{}3|{Z n n x x N Z n n x x ∈+==∈=}13|{Z n n x x P ∈-==，，且P c N b M a ∈∈∈，，，

设c b a d +-=，则（） A ．M d ∈ B ．N d ∈ C ．P d ∈ D ．P M d ∈

【分析】三个集合都是整数集的子集，集合M 中的整数都能被3整除，集合N 中的整数被3整除余数是1，集合P 中的整数被3整除余数是2．三个集合中的整数n ，在进行c b a d +-=的运算时，n 只代表整数的意思．考生可能忽视了集合元素的无序性，认为三个集合中的n 必须是同一个值．

【解析】 ()331313()2311d n l s n l s n l s N =--+-=-+-=-+-+∈，选B ．

【点评】集合{}

3,M x x n n Z ==∈中的n 可以用任何一个字母表示，只要这个字母是整数就可，即

{}{}{}(){}

3,3,3,31,x x n n Z x x k k Z x x t t Z x x n n Z =∈==∈=

==∈==+∈等，这就是集合中的元素无序

性的体现，这和数列中的项有确切的位置是不同的．易错点二集合的运算

【例2】已知向量()(){}

|1,23,4,M a a R λλ==+∈，()(){}

|2,24,5,N a a R λλ==--+∈，

则=N M （） A.(){}1,1 B.()(){}2,2,1,1-- C.(){}2,2-- D.Φ

【分析】集合()(){},,4,32,1|R a a M ∈+==λλ ()(){},,5,42,2|R a a N ∈+--==λλ

均是坐标形式的向量的集合，两个集合中的λ并非同一个值．两个集合的代表元素均是有序实数对．【解析】令121234224

5λλ+=--+（，）（，）（，）（，）得方程组 12121324124252λλλλ+=-+??

+=-+?…………（）

…………（）解得12

10λλ=-??=?，故=N M (){}2,2--．选Ｃ．【点评】本题的两个集合实际上是以向量的形式给出的两条直线上的点的集合，如集合M 中，如果我们设(),a x y =，

则有1324x y λ

λ=+??=+?

（这实际上是直线的参数方程），消掉λ得4320x y -+=，我们所求的是这两条直线的交点坐标．本

题易出错的地方是将两个集合中的λ误认为是同一个值，而那样的λ是不存在的，从而选Ｄ．

易错点三：逻辑连接词

【例3】已知命题p ：函数0.5()log (3)f x x =-定义域为(,3)-∞；命题q ：若0k <，则函数()k

h x x

在(0,)+∞上是减函数．则下列结论中错误的是_______．

①．命题“p 且q ”为真；②．命题“p 或非q ”为假；③．命题“p 或q ”为假；④．命题“非p 且非q ”为假．【分析】本题既涉及函数的知识又涉及命题真假的判断．可能出错的地方，一是对函数的性质认识不足，导致对命题,p q 的真假判断出错；二是对含有逻辑连接词的命题真假判断的法则掌握不准确，导致解答失误．【解析】由30x ->，得3x <，所以命题p 为真，所以命题非p 为假．

又由0k <，易知函数()k

h x x

=在(0,)+∞上是增函数，命题q 也为假，所以命题非q 为真．所以命题“p 且q ”为假，命题“p 或非q ”为真，命题“p 或q ”为真，命题“非p 且非q ”为假．故答案为①②③．【点评】解答本题的关键是首先要根据题设条件判断命题p 与命题q 的真假，由此作出命题非p 与非q 的真假，命题p 的真假是通过求函数定义域来判断的，而命题q 的真假是根据反比例函数的增减性来判断的．注意“p 或q 为真的充要条件是p ，q 至少有一真”，“p 且q 为真的充要条件是,p q 同时为真”，“p 和p ?一真一假”这些含有逻辑连接词的命

题真假的判断法则．易错点五：充要条件

【例5】 “1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【分析】一是对函数()||f x x a =-认识不清，这个函数实际上是分段函数()()()x a x a f x x a x a -+≤??=?->??

，它在(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增；二是对充要条件缺乏明确的判断方法．

【解析】函数()||f x x a =-的图象是由()||=f x x 的图象左右平移而得到的，函数()||=f x x 在[)0,+∞上单调递增，

只要a 1≤函数()||f x x a =-就在区间[)1,+∞ 上单调递增．由此知“a 1=时函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”是真命题，而“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞ 上为增函数时1a =”是假命题．故“1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)1,+∞ 上为增函数” 充分不必要条件．选A ．

【点评】设原命题为“若p 则q ”．则四种命题的真假和充要条件的关系是：①若原命题为真，则p 是q 的充分条件；②若逆命题为真，则p 是q 的必要条件；③若原命题和逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；

④若原命题为真而逆命题为假，则p 是q 的充分而不必要条件；⑤若原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要而不充分条件；⑥若原命题和逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件．易错点六：量词

【例6】命题“对任意的x R ∈，3

10x x -+≤”的否定是

A ．不存在x R ∈，3

10x x -+≤ B ．存在x R ∈，3

10x x -+≤

C ．存在x R ∈，3

10x x -+> D ．对任意的x R ∈，3

10x x -+>

【分析】本题是对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，可能的错误是“顾此失彼”，忽略了细节．

【解析】一个命题的否定其实就是推翻这个命题，要推翻“对任意的x R ∈，3

10x x -+≤”，我们只要有一个x ，使

3210x x -+>就足够了．即存在x R ∈，3210x x -+>．选Ｃ．

【点评】许多同学对全称命题的否定是一个特称命题心存疑惑，实际上我们要肯定一个结论，必须对这个结论所包括的所有对象都适合，我们要否定一个结论只要有一个反例就足够了．同时要注意命题的否定是我们推翻这个命题，故我们之否定它的结论，而否命题是命题之间的一种特定的关系，是对一个命题从形式上做的变化，故对否命题我们必须按照其定义，是既否定它的条件也否定它的结论．注意体会下表

五规律总结

1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握．

2.弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3.抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．

5.求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

6.含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

7.集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

8.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 9.通常命题“p 或q ”的否定为“p ?且q ?”、“p 且q ”的否定为“p ?或q ?”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

10.有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式； 11.判断充要关系的关键是分清条件和结论；

12.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假； 13.判断充要条件关系的四种方法：

①定义法：若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ?，则p 是q 的充要条件。

②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。 p q ?等价于q p ??

③利用集合的包含关系：对于集合问题，记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B 若A B ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；

若A B ü，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；若A B =，则A 是B 的充要条件；

若A B à且B A à，则p 是q 的既不充分也不必要条件 ④利用“?”传递性

14. “否命题”与“命题的否定”的区别：

否命题是对原命题“若p 则q ”的条件p 和结论都否定，即“若p ?则q ?”；

而原命题的否定是：“若p 则q ?”，即只是否定原命题的结论。

15.探索充要条件：在探索一个结论成立的充要条件时，一般先探索必要条件，再确定充分条件；也可以一些基本的等

价关系来探索。

六能力突破

【例1】已知集合{}

60A x x x =+-=，{}

10B x mx =+=，若B A ü，求实数m 的值．

【分析】由于空集是任何非空集合的真子集，B A ü就有B =?的可能，而对于集合B 可能是空集心存疑虑，判断不出当0m =时集合B 中的方程无解，此时集合B 就是空集，本题考生可能在这些问题上考虑不周，导致漏解．【解析】由已知，易得 {}32A =-，，B A ∵ü，{}3B =-∴或{}2或?．

若{}3B =-，由(3)10m -+=，得13

m =

；若{}2B =，由210m +=，得1

2m =-；

若B =?，由10mx +=无解，得0m =．13m =∴或1

m =-或0m =．

【点评】空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集在集合中的作用类似于

数零在整数中的作用，正是由于空集的这个特殊性，它隐蔽在数学问题中，很容易被考生忽视，如本题如不把隐蔽的空集找出来参加解题，是很容易漏解的．【例2】命题甲：2

2,2

,)2

1(1x x

x -成等比数列，命题乙：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙成立的

（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【分析】本题的两个命题都可以转化为方程，求出其命题成立时x 的集合，可以通过这两个集合之间的关系判断出甲是乙的什么条件．可能的问题是对指数式和对数式的运算法则不熟练，将这两个方程转化为代数方程时出现错误，特别是对命题乙中的对数方程忽视了真数大于零的限制．

【解析】由2

2,2,2

1(1x x x -成等比数列得()

x 2212222x x x x x 202-??

=??-=-+?+-= ???

，解得x 12=-或，故满足命题甲的x 的集合是{}1,2-．由

)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列得

x 0

x 10x 0x 1x 30(x 1)x(x 3)2lg(x 1)lg x lg(x 3)

>??+>>??

??=??+>+=+??

?+=++?，故满足命题乙的x 的集合是{}1．由于满足命题乙的x 的集合是满足命题甲的x 的集合的真子集，故甲是乙成立的必要非充分条件．选B ．

【点评】设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ．则集合的包含关系和充要条件的对应关系是：①若A ?B ，则p 是q 的充分条件；②若B ?A ，则p 是q 的必要条件；③若A =B ，则p 是q 的充要条件；④若A ?B ，则p 是q 的充分而不必要条件；⑤若B ùA ，则p 是q 的必要而不充分条件；⑥若A B ú，且B A ú，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

【例3】已知集合{}

(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A

B φ≠，求

实数m 的取值范围．

【分析】可能误以为集合A 是一个一元二次方程的解集导致失误，也可能不考虑集合B 中对x 的限制从而在整个实数集上解决这个问题．实际上本题的几何背景是：抛物线2

2y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．

【解析】

方法一：由{

220

x mx y x y +-+=-+=得2(1)10x m x +-+= ①

∵A B φ≠，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，首先，由2(1)40m ?=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-．设方程①的两个根为1x 、2x ，

（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ?=知1x 、2x 都是负数，不合题意；

（2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ?=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数，故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

解法二：问题等价于方程组

{

y x mx y x =++=+在[0,2]上有解，即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，

令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点

等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ① 或22

(1)401022(2)22(1)10

m m

f m ?=--≥?-?<? ② 由①得32m ≤-，由②得3

m -<≤-，∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

【点评】在解决以集合为背景的综合解答题时，明确集合的意义是解决问题的先决条件．中学阶段接触到的集合主要

是“数集（各种约定的数集、方程的解集、不等式的解集、函数的定义域、值域等）”和“点集（函数图象、直线、曲线、平面区域等）”，高考中往往依此为背景命制综合解答题．本题中的两个集合实际上是“点集”，明确了这点，就可以脱掉“集合”的外衣，实现问题的转化，找到解决问题的途径，不至于掉入“集合”这个陷阱而不能自拔．

七、实战演习

1．设集合P ＝{3，4，5}，Q ＝{4，5，6，7}，定义P※Q＝{(a ，b )|a ∈P，b ∈Q}，则P※Q 中元素的个数为

（）

A ．3

B ．4

C ．7

D ．12

2. I 为全集，A 、B 、C 均为I 的非空子集，且A ∪B =A ∪C ，则下列等式一定成立的是( ) A .B =C B .A ∩B =A ∩C

C .(?I A )∩(?I B )= (?I A )∩(?I C )

D .A ∩(?I B )=A ∩(?I C )

3．（08年北京文）若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A

B 等于

（）

A ．{}

|34x x x >或≤ B ．{}

|13x x -<≤

C ．{}

|34x x <≤

D ．{}

|21x x --<≤

4.设M ＝{A 的子集}，N ＝{B 的子集}，若A ∩Ｂ＝?，那么，M ∩N ＝( )

A ．?

B ．{}?

C ．M

D ．N

5．已知2()f x x =，集合{}|(1)M x R f x ax =∈+=，若M R +

?，

则a 的取值范围为（）

A ．(0,)+∞

B ．[4,)+∞

C ．(2,)+∞

D ．[0,)+∞ 6. 3．若关于x 的不等式2

x x mx +>的解集为{}02x x <<，则实数m 的值为 A.1 B.-2 C.-3 D. 3

7.已知命题tan 1p x R x ?∈=：，使，命题2320q x x -+<：的解集是{|12}x x <<，下列结论：①命题“p q ∧”

是真命题； ②命题“p q ∧?”是假命题；③命题“p q ?∨”是真命题； ④命题“p q ?∨?”是假命题.其中正确的是（）

A.②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④

8. （08年湖北文）若集合{1,2,3,4},{05,},P Q x x x R ==<<∈则（） A ．“x R ∈”是“x Q ∈”的充分条件但不是必要条件 B ．“x R ∈”是“x Q ∈”的必要条件但不是充分条件 C ．“x R ∈”是“x Q ∈”的充要条件

D ．“x R ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件 9. 3x 2

－4x －32＜0的一个必要不充分条件是

（）

A ．－3

＜x ＜4

B ．－

＜x ＜1 C ．－

＜x ＜3 D ．－

＜x ＜6 10.(08年广东文) 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是

（）

A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 11.已知命题“若p ，则q ”为真，下列命题中一定为真的是

A ．若?p ，则?q

B ．若?q ，则?p

C ．若q ，则p

D ．若?q ，则p

12. 已知2:{|10}p A x x ax =++≤，2

:{|320}q B x x x =-+≤，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值

范围为（）

A ．22a -<<

B ．a=-2

C ．?

D ．22a -≤<

二、填空题

13.（文）已知集合A ＝{x ∈N|2n

}，若c a rd(A)＝2，则n ＝．

14.若},31)(|{,2)2(,4)1(,)(<++==-=-t x f x P f f x f 设且上的增函数是R }4)(|{-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是

15.（文）设[x ]表示不超过x 的最大整数，则满足不等式[x ]2-3[x ]-10≤0的解集是

16. （08年福建文）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、a

∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域； ③若有理数集Q ?M ,则数集M 必为数域;

④数域必为无限集.

其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题

17.设集合}4232/1{≤≤=-x x A ，{}

01232

2<--+-=m m mx x x B .

（1）当Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数；（2）若B=φ，求m 的取值范围；（3）若B A ?，求m 的取值范围.

17.解： A={}52≤≤-x x ，集合B 可写为{}

0)12)(1(<--+-=m x m x x B . (1）

{},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--,即A 中含有8个元素，

∴A 的非空真子集数为254228=-（个）；

(2)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=φ； (3)当B=φ即m=-2时，A B ?=φ. 当B φ≠即2-≠m 时

（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要A B ?，只要??

?≤≤-?≤--≥+623

1212m m m ，所以m 的值不存在；

（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要A B ?，

只要?

??≤≤-?≤+-≥-2151221m m m .

综合，知m 的取值范围是：{m ︱m=-2或12m -≤≤}. 18.若()1

13x p f x -=，||232)(y x x f -?=，12,x R p p ∈、为常数，

且()()()()()()()

112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤??=?

>??,

求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）. 18.解：()()1f x f x =恒成立?()()12f x f x ≤?1

x p x p --≤?12

3log 23

3x p x p ---≤

?1232x p x p log ---≤（*）恒成立.

因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤---=-, 所以，故只需12p p -32log ≤即可满足（*）恒成立.

综上所述，()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件是：12p p -32log ≤.

19.（本小题满分12分）：已知命题P ：方程2

20m x mx +-=在[－1，1]上有解;命题Q ：,x R ?∈012

≥++mx x 。（1）写出命题Q 的否命题Q ?,并求出实数m 的取值范围，使得命题?Q 为真命题；（2）如果“Q P ∨” 为真命题，“Q P ∧”为假命题，求实数m 的取值范围。

19.解：（1）Q ?：R x ∈?0，0102

0<++mx x ,

若Q ?为真命题，则,042>-=?m 解得：,2-m . 故所求实数m 的取值范围为：()()+∞?-∞-,22,. （2）若P 为真命题，

]2221

20(2)(1)00,.21

1,1,|

|1||1,|| 1.m x mx mx mx m x x m m

x m m m

+-=+-=≠∴=-=?∈-≤≤∴≥?由，得，显然或故或

由“Q P ∨” 为真命题，“Q P ∧”为假命题，故命题P 、Q 中有且仅有一个真命题. 当P 真Q 假时，实数m 的取值范围为：()()()(),22,,11,-∞-?+∞?-∞-?+∞; 当P 假Q 真时，实数m 的取值范围为：()()1,12,2-?- 综上可知实数m 的取值范围为R.

20.（本小题满分12分）求同时满足以下两个条件的实数m 的取值集合：（1）集合A={x|2

x -5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A ∪B=A ；（2）|x|≤1，方程2

x -x+m=0无实数根. 20.解：由（1）A={x|2

x -5x+6=0}={2，3}，A ∪B=A ，B ?A ， ①m=0时B=?，B ?A ；

②m ≠0时，由mx+1=0，得x=-1

，∵B ?A ， ∴-1m =2或-1m

=3，解得m=-12或-13.

所以适合（1）的m 的集合为{0，-12，-1

3}.

（2）将方程变形，整理得：(x-12)2=1

-m.

若方程有实数根，则有|x|≤1，得0≤(x-

12)2≤94，即0≤14-m ≤94，由此解得-2≤m ≤1

. 所以方程2

x -x+m=0无实数根时实数m 的取值范围为：{m ＝｜m ＞1

或m ＜-2}. 综上所述：不存在实数m 同时满足条件（1）（2）.

21.对于函数)0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f ，若存在实数0x ，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点．

（1）当a ＝2，b ＝－2时，求)(x f 的不动点；

（2）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若)(x f y =的图象上A 、B 两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且直线1

212++

=a kx y 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．

21.解),0(2)1()(2≠-+++=a b x b ax x f

（1）当a ＝2，b ＝－2时， 2()24f x x x =-- .设x 为其不动点，即.422

x x x =--

则.04222

=--x x )(.2,121x f x x 即=-=∴的不动点是－1，2. （2）由x x f =)(得：022

=-++b bx ax ．由已知，此方程有相异二实根，

0>?x 恒成立，即.0)2(42>--b a b 即0842>+-a ab b 对任意R b ∈恒成立．

20163200 2.b a a a ∴?<∴-<∴<<，

，

（3）设),(),,(2211x x B x x A ，直线1

212

=a kx y 是线段AB 的垂直平分线， 1-=∴k .记AB 的中点

).,(00x x M 由（2）知,20a

b x -

= .121

22,1

2122++=-∴++=a a b a b a kx y M 上在

化简得：2

(4212211211

22=

≥+

=+-

=a a

a a

a a a

b 当时，等号成立）,

即b ≥.

22．文科前两问，理科三问（本小题满分14分）已知a ＞0，函数f (x )=ax －bx 2, （Ⅰ）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ；

（Ⅱ）当b ＞1时，对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件是b －1≤a ≤b 2；（Ⅲ）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件．（Ⅰ）证明：∵f (x )=224()a a

b b

b x --

+，∴任意x ∈R ，2

max 24[()](a a

f x f ==.

对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，等价于max [()]1f x ≤，即2

41a b

≤.

∵a ＞0，b ＞0，∴a ≤2b . （Ⅱ）证明：必要性

对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1 ? －1≤f (x )≤1，据此可以推出－1≤f (1)，即 a －b ≥－1，∴a ≥b －1；

对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1 ? f (x )≤1，因为b ＞1，可以推出)1(b

f ≤1，

即a ·

1－1≤1，∴a ≤2b ；

∴b －1≤a ≤2b 。充分性

因为b ＞1，a ≥b ，对任意x ∈[0，1]，可以推出 ax －bx 2≥b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1，即 ax －bx 2≥－1；因为b ＞1，a ≤2b ，对任意x ∈[0，1]，可以推出

ax －bx 2≤2x －bx 2≤1，即 ax －bx 2≤1;

∴ －1≤f (x )≤1。

综上，当b ＞1时，对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件是b －1≤a ≤b 2。（Ⅲ）解：因为a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈[0，1], f (x )= ax －bx 2≥－b ≥1，即f (x )≥－1； f (x )≤1 ? f (1)≤1? a －b ≤1，即a ≤b ＋1. a ≤b ＋1? f (x )≤(b ＋1) x －bx 2≤1，即f (x )≤1。

所以当a ＞0，1＜b ≤1时，对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1的充要条件是a ≤b ＋1.

参考答案

1.D

2.C 提示：画出满足条件A ∪B =A ∪C 的文氏图，可知有五种情况，以观察其中一种，如图，显然只要图中阴影部分相等，B 、C 未必要相等，条件A ∪B =A ∪C 仍可满足，对照四个选择支，A 、B 、D 均可排

除，故选C . 3.D

4.B 提示：由题意知，?∈Ｍ，?∈Ｎ，因此，?∈

（ＭＮ），又A ∩Ｂ＝?，故集合Ａ、Ｂ的子集中没有相同的集合，可知Ｍ、Ｎ中没有其他的公共元素，故正确的答案是M ∩N ＝{}?.

5．A 提示：由(1)f x ax +=得2(2)10x a x +-+=，当M φ=时，△2

40a a =-<，得04a <<，当M φ≠时，△2

40a a =-≥，且1220x x a +=->，即4a ≥ 所以0a > 6.A

7.D

8.A

9.D 提示：设3x 2－4x －32＜0的一个必要不充分条件是为Q ，P=2

{34320}x x x --<.由题意知：P 能推出Q ，但Q 不能

推出P.也可理解为：P ?Q. 10.A 11.B 12.D

提示：由2

{|320}{|12}B x x x B x x =-+≤?=≤≤，又因为p 是q 的充分而不必要条件，所以p q ?，

即A B ?。可知A=?或方程2

10x ax ++=的两根要在区间[1，2]内，也即以下两种情况：

（1）2

4022a a ?=-

(C I A )∩(C I B ) B

(C I A )∩(C I C )

（2）0122

4210110

a a a ?≥???≤-≤???++≥?++≥?? 2a ?=-；综合（1）、（2）可得22a -≤<。二、填空题

13.3 14. 3>t

15. -2≤x ≤6 提示：由[x]2-3[x]-10≤0得-2≤[x] ≤5，则-2≤x ≤6. 16. ①④

集合与简易逻辑知识点归纳(1)

{}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根有意义的

①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题?逆命题.）②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（原命题?逆否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。充分条件与必要条件答案见下一页

数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-x ，∴}32 1 |{<2 1}. 方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x -3|-|x +1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点 ∴原不等式的解集为{x |x > 2 1 }. 例19答：{x |x ≤0或1??????????-<>-<>≤≤--≠????? ? ? ???>+-<+-≤-+≠+13 21 0121 0)1(2230)1(24020 12k k k k k k k k k k k k k 或或. 1 3 212<<-<<-?k k 或∴实数k 的取值范围是{k|-2?=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2, |2||2|2. 2,2,1|2|121.,,2 11 0.,, 1.(0,][1,). 22 x c x c x x c y x x c c c x c x x c R c c P c P c c -?+-=∴=+-??>?> <≥?+∞R ≥函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且Q 不正确则≤如果不正确且Q 正确则所以的取值范围为例26答：552x x x >?><或. 例27答既不充分也不必要解:∵“若 x + y =3,则x = 1或y = 2”是假命题,其逆命题也不成立. ∴逆否命题: “若12x y ≠≠或,则3x y +≠”是假命题, 否命题也不成立. 故3≠+y x 是12x y ≠≠或的既不充分也不必要条件. 例28选B 例29选A

高中数学专题集合与简易逻辑

一. 本周教学内容：集合与简易逻辑知识结构：【典型例题】例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时，是[1，3] 小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。例3. 解：

小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一：综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1} 解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。解：小结：解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。例6. 解：依题意有：

小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件解：设有自然数n1

集合与简易逻辑试卷及详细答案

集合与简易逻辑一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( ) A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2] 2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于() A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2} 3．已知Z A＝{x∈Z|x＜6}，Z B＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是() A．AB B．AB C．A＝B D．Z A Z B 4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是() A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d

B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第二象限 C．p：x＝1，q：x2＝x D．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数 6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是() A．(非p)或q B．p且q C．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q) 7．下列命题中，真命题是() B．x∈R,2x>x2 C．a＋b＝0的充要条件是a b＝－1 D．a>1，b>1是ab>1的充分条件 8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a c2>b c2”是“a>b”的充要条件，则() A．“p或q”为真B．“p且q”为真 C．p真q假D．p，q均为假 9．命题p：x∈R，x2＋1>0，命题q：θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝，则下列命题中真命题是() A．p∧q B．(非p)∧q C．(非p)∨q D．p∧(非q) 10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为() A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行 B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行 C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行 D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行 11．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()

高中数学复习讲义第一章集合与简易逻辑

高中数学复习讲义第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】 1.集合用列举法表 2.设集合，，则 3.已知集合，，则集合_ 4.设全集，集合，，则实数a 的值为_____．【范例解析】例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B . 【反馈演练】 1．设集合，，，则=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =，则P +Q 中元素的个数是______个． 3．设集合，. （1）若，求实数a 的取值范围； {(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈{21,}A x x k k Z ==-∈{2,}B x x k k Z ==∈A B ?={0,1,2}M ={2,}N x x a a M ==∈M N ?={1,3,5,7,9}I ={1,5,9}A a =-{5,7}I C A =R 2{320}A x x x =-+≤R B C A R ?={01R B C A x x ?=<<23}x <<{ }2,1=A {}3,2,1=B {}4,3,2=C ()C B A U ?},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q 2{60}P x x x =--<{23}Q x a x a =≤≤+P Q P ?=

集合与简易逻辑知识点

集合、简易逻辑知识梳理： 1、集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法：列举法、描述法。集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?；

集合与简易逻辑测试题

[课题]第一章集合与简易逻辑测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|x≤}，a=3，则( ) A.a A B.a A C.{a}∈A D.{a} A 2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) A.S Q M B.S=Q M C.S Q=M D.S Q=M 3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是( ) A.a≤10 B.a≥9 C.a≤9 D.9≤a≤10 6.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为( ) A.0＜a＜1 B.0＜a≤1 C.a＞1 D.a≥1 7.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( ) A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4} B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4} C.{1，2，3，4} D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3} 8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是( ) A.0＜m≤3 B.m≥9或m≤1 C.0＜m≤1 D.m＞9 9.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是( )

2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑

专题一集合与简易逻辑一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}，则A ∩(C R B)的元素个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-11或x<-1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤-1，则x 2≥1 3．若集合M={0, 1, 2}, N={(x, y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0, x 、y∈M}，则N 中元素的个数为（） A ．9 B ．6 C ．4 D ．2 4．对于集合M 、N ，定义M-N={x|x∈M，且x ?N}，M ○+N=(M-N)∪(N -M)．设A={y|y=x 2-3x, x∈R}, B={y|y=-2x , x∈R}，则A ○+B=（） A ．],094(- B ． )0,4 9[- C ．),0()49,(+∞--∞ D ．),0[)4 9,(+∞--∞ 5．命题“对任意的x∈R ，x 3-x 2+1≤0”的否定是（）

{x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①_____________________；充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线．三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}．（1）求A ∪B ；（2）求(C U A)∩B ．

高一数学上册第一章集合与简易逻辑精品教案

课题：1.1集合－集合的概念（1）教学过程：一、复习引入： 1．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）； 2．“物以类聚”，“人以群分”；二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合． 1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合。记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R {} 数轴上的点所对应的数 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集，记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性

集合与简易逻辑知识点

高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一）集合与简易逻辑基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。（答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。（答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。（答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或

集合与简易逻辑专题训练

集合与简易逻辑专题训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列表示方法正确的是 A 、1?{0,1,2} B 、{1}∈{0,1,2} C 、{0,1,2}?{0,1,3} D 、φ {0} 2、已知A={1，2，a 2－3a －1},B={1,3},=B A {3,1}则a 等于 A 、-4或1 B 、-1或4 C 、-1 D 、4 3、设集合},3{a M =，},03|{2 Z x x x x N ∈<-=，}1{=N M ，则N M 为 A 、 {1,3,a} B 、 {1,2,3,a} C 、 {1,2,3} D 、 {1,3} 4、集合P=},2|),{(R x y x y x ∈=-，Q=},2|),{(R x y x y x ∈=+，则P Q A 、（2，0） B 、{（2，0 ）} C 、{0，2} D 、{}|2y y ≤ 5、下列结论中正确的是 A 、命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。 B 、命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题 C 、命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题 D 、命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题 6、“0232=+-x x ”是“x=1”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A 、真命题的个数一定是奇数 B 、真命题的个数一定是偶数 C 、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D 、上述判断都不正确 8、设集合},2|{Z n n x x A ∈==，},2 1 |{Z n n x x B ∈+==，则下列能较准确表示A 、B 关系的图是 9、命题“对顶角相等”的否命题是 A 、对顶角不相等 B 、不是对顶角的角相等