7.【2015高考北京理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?-
=?--??
???≥
①若1a =，则()f x 的最小值为
；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
．
【答案】(1)1，(2)
1
12
a ≤<或2a ≥. （5）函数图象及其应用
函数图象变换：讲清三种变换实质
应用：解方程、解不等式。强化作图技能、识图能力
1、【13北京理5】函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线x
y e =关于y 轴对
称，则()f x =（ D ） （A ）1
x e
+ （B ）1
x e
- （C ）1
x e
-+ （D ）1
x e
--
2.【2015高考安徽理9】函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >
（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <
【答案】C
（6）函数应用问题与不等式、导数小综合（积分）
1.【2015高考四川理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系b
kx e
y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。若该食品在0C 的保鲜
时间设计192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是 小时.
【答案】24
【解析】由题意得：221122192
4811,,1924248b
k k k b
e e e e
+?=?∴===?=??，所以33x =时，331131
()192248
k b k b y e e e +==?=?=.
2、【2014北京文8】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.特定条件下，
可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2
p at bt c =++（a 、b 、c 是
常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间（ B ）
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
3、【13全国2文12】若存在正数x 使2()1x
x a -<成立，则a 的取值范围是（ D ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞
4、【13全国1理11】已知函数??
?>+≤+-=0),1ln(0
,2)(2x x x x x x f 若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是
（ D ）
A.]0,(-∞
B.]1,(-∞
C.]1,2[-
D.]0,2[-
5.【2015高考新课标1理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是 （ ）
(A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[3
2e
，1）
【答案】D
6.【2015高考新课标2，理12】设函数'
()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当
0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)-+∞
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)+∞ 【答案】A
7.【2015高考天津理11】曲线2
y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】
1
6
8.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2
（7）重要载体分段函数（建议单独训练）
1、设2
lg 0()30
a
x x f x x t dt x >??=?+???…，若((1))1f f =，则a = ．
【答案】1 （函数概念）
2、【2015高考福建理14】若函数()6,2,
3log ,2,a x x f x x x -+≤?=?+>?
（0a > 且1a ≠）的值域是
[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】(1,2]
【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()3log a f x x =+（2x >）的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是(1,2]．
3、（2011江苏）已知实数0≠a ，函数???≥--<+=1
,21
,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a
的值为________ 答案：3
4
a =-
（分类讨论） 4、（09天津）已知函数22
4,0()4,0
x x x f x x x x ?+≥=?-
(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 （A ）(,1)(2,)-∞-+∞ （B ）(1,2)- （C ）(2,1)- （D ）(,2)(1,)-∞-+∞ 【答案C 】单调性
5、（2011天津理）设()()2
12
log ,0log ,0x x f x x x >??=?--，则a 的取值范围是（ ）．
Ａ．()()1001,,U - Ｂ．()()11,,-∞-+∞U Ｃ．()()101,,-+∞U Ｄ．()()101,,-∞-U 【答案】C 奇偶性
6、【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}
|12x x -<≤
A
B O
x
y
-1
2
2C
【答案】C 数形结合解不等式
高频考点重要载体分段函数：考什么？如何应对？主要解决方法是什么？
7、设函数?
??>-≤=-1,log 11
,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞]
D ．[0，+∞]
【答案】D （数形结合，解不等式）
8、已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ?≥?=??-
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值
范围是_______(0,1) （数形结合，解方程）
9、【14江苏14】设函数()?????≥-<+=0
,0
,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是
______
a ≤10、【2014湖北理10】
已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|2
1
)(222a a x a x x f --+-=
，若R ∈?x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）
A.11[,]66
-
B. [
C. 11[,]33-
D. [ （数形结合，恒成立求参问题）
导数专题
纵观近几年高考数学试题，高考对导数的考查的要求可分为三个层次：一是考查导数的概念和
某些实际背景（如瞬时速度、加速度、切线斜率等），求导公式和求导法则；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间，求函数的极值、最值；三是综合考查，包括解决实际问题，将导数内容与函数的单调型、方程根的分布、不等式等知识有机结合在一起。
导数概念与几何意义：重视增长率、膨胀率、加速度等反映导数应用的实例，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
1、(2009湖北卷理)设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C 【答案】D
【解析】由题意可知球的体积为34
()()3
V t R t π=
，则'2'()4()()c V t R t R t π==，由此可得'
4()()()
c
R t R t R t π=，而球的表面积为2()4()S t R t π=， 所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表＝， 即'
'
'
'
228()()24()()()()()()
c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ?表＝＝＝
＝，故选D 2、把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________.（应用题要重视） 答案 2∶1 切线问题
基础知识：()y f x =在00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 3、已知直线1y x =+ 与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为( B )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0
'
01
|1x x y x a
===+
00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B
小结：切线问题抓住三条：1、切点在切线上 2、切点在原函数上 3、在切点处的导数等于切线的斜率
导数核心问题： 单调性问题
举例：导数为二次分解型 4、2
1()ln 2
a f x a x x x -=+
- ()a R ∈求函数)(x f 单调区间.
小结：本题导数相当于二次能分解型，分类的分界点确定的依据是：开口方向与根的大小及根是否在定义域内．
导数为二次不能分解型
5、已知函数1()()2ln (f x a x x a x
=--∈R)．求函数()f x 的单调区间.
一般解法：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．
222
122()(1)ax x a f x a x x x
-+'=+-=， 令 2
()2h x ax x a =-+． 依据开口，判别式的正负，有根时要注意根是否在定义域内进行讨论。 简化解法：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．
222
122()(1)ax x a f x a x x x
-+'=+-=， 令 2
()2h x ax x a =-+． （1）当0a ≤时，
由2
()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，
所以函数()f x 在区间(0,)+∞单调递减。
（2）当0a >时，方程2
()20h x ax x a =-+=的判别式
2444(1)(1),a a a ?=-=-+
①当01a <<时，此时0?>.
由()0f x '>得10x a <<,或1x a >；
由()0f x '<得11x a a
<<
.
所以函数()f x 单调递增区间是和)+∞,
单调递减区间.
②当1a ≥时，此时0?≤.所以()0f x '≥，
所以函数()f x 单调递增区间是(0,)+∞. 综上：当1a ≥时，()f x 单调递增区间是(0,)+∞
当01a <<时，()f x 单调递增区间是1(0,a 和1()a +∞,
单调递减区间11(a a
.
当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞单调递减
小结：本题导数相当于二次不能分解型，分类的分界点确定的依据是：开口方向与判别式的正
负，根的大小及根是否在定义域内．特别注意当()0f x '=有根时，要注意根是否在定义域内。注意韦达定理的应用。 如何简化讨论？能归纳一种特殊情况吗？ 6、求()g x =ln (1)
(0)x x a x a -->在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）
一般解法：()g x =ln (1)x x a x --，
则()ln 1g x x a '=+-， 解()0g x '=，得1
e a x -=，
所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，
在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. 当1
e
1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，
所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-.
当1
e
e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，
所以()g x 最大值为(1)0g =.
当1
1(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得e
e 1
a <-，
所以，e
1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，
e
2e 1
a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. 综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当e
e 1
a ≥-时，()g x 的
最大值为(1)0g =.
简化解法：()g x =ln (1)x x a x --，
则()ln 1g x x a '=+-，[1,e]x ∈，则ln 1[1,2]x +∈，直接找到分类讨论的分界点。
一轮复习拓展到什么程度？
导数专题：
一、切线、函数单调性问题、极值、最值问题（基础） 二、函数背景下的不等式证明与解不等式问题（拓展） 三、函数的零点与方程解问题（拓展） 四、恒成立与有解求参数范围问题（拓展）
五、三角函数、分段函数背景下的导数问题（二轮）
举例：求参数的范围的问题：策略先一般后特殊
（1）最值法如： ()a f x >恒成立,则max ()a f x >.（注意有无等号）
（2）直接研究含参数函数的最值或转化为一次、二次函数的根分布问题（在某区间恒正、恒负）． 7、设函数2()ln f x x x ax =++.若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；
解： 2121()2x ax f x x a x x
++'=++=，要使()f x 在定义域()0+∞，内为增函数,
只需()0f x '≥即2
210x ax ++≥
解法一： ()f x 的定义域为()0+∞，.方程2
210x ax ++=的判别式2
8a ?=-,
(1) 当0?≤,
即a -≤≤时，2
210x ax ++≥,
()0f x '≥在()0+∞，内恒成立, 此时()f x 为增函数.
(2) 当0?>,
即a <-
a >
要使()f x 在定义域()0+∞，内为增函数, 只需在()0+∞，内有2
210x ax ++≥即可,
设2
()21h x x ax =++，由(0)10,
022
h a
=>???-,
所以a > 由(1) (2)可知,若()f x 在其定义域内为增函数，a
的取值范围是[)-+∞. 解法二：（最值思想）参变分离．1
()20f x x a x
'=
++≥在()0,x ∈+∞恒成立
书写规范
解法三：分类讨论求2()21h x x ax =++的最小值 一些较难的求参数范围（不宜参变分离）如何认识与突破？ 难点集中突破，寻找突破口及一般解题的思路。
8、已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2
kx 成立，求实数k 的最小值； 解答：（Ⅰ）1a =
（Ⅱ）分析：设22()()ln(1)(0)g x f x kx x x kx x =-=-+-≥
边界值(0)0g = ，我们希望()g x 为减函数，
找k 的范围使()0g x '<恰好成立，也许就是答案。
1()2(2)11x g x kx x k x x '=
-=-++，而0x ≥ ，所以1
(0,1]1
x ∈+ （1）当21k ≥ 即1
2k ≥ ，()0g x '≤恒成立，所以()g x 在[0,)+∞上为减函数
所以()(0)0g x g ≤= ，即2()f x kx ≤ 成立
（2）当20k ≤ 即0k ≤ ，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,)+∞上为增函数
所以()(0)0g x g ≥= ，不符合题意 （3）当021k << ，即102
k <<
， 1(0,
1)2x k ∈-，()0g x '≥，所以()g x 在1(0,1)2k
-上为增函数 所以()(0)0g x g ≥= ，不符合题意 综上12k ≥
，实数k 的最小值为12
9、【2015北京理18】 已知函数1()ln
1x
f x x
+=-
（3）设实数k 使得3
()()3x f x k x >+ 对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值
解：设3
()()()
(0,1)3x g x f x k x x =-+∈
22
24
22()(1)(1)()11g x k x x k x x '=
-+=+--- 因为(0,1)x ∈，所以4
2
(2,)1x
∈+∞- （1）当2k ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在(0,1)上为增函数
所以()(0)0g x g >= ，符合题意 （2）当2k >时，
x ∈，()0g x '<，所以()g x 在上为减函数
所以()(0)0g x g <= ，不符合题意 综上：2k ≤，k 的最大值为2
导数的学习给我们带来了什么？
导数即是一种工具又是一种思想方法，导数拓展了我们研究问题的领域。 举例：解不等式问题
10、（2015全国Ⅱ文21）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞ ，1
()f x a x
'=
- 若0a ≤， 则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增
若0a > ，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>，当1(,)x a
∈+∞时，()0f x '< 所以()f x 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a
+∞单调递减
（II ）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上无最大值； 当0a >时，()f x 在1
x a
=
处取得最大值，最大值为 1
()ln 1f a a a =-+- 故1
()22f a a
>-，即ln 10a a +-<（这是什么问题？）
设()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g = 故当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a > 故a 的取值范围为(0,1)
11、（2012课标文21）设函数f (x )= e x －ax －2
(Ⅰ)求f (x )的单调区间
(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f′(x )+x +1>0，求k 的最大值
解： (Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增
若0a >，则(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '> 所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增 (Ⅱ)解法一：
由于1a =，所以()()1()(1)1x
x k f x x x k e x '-++=--++
故当0x >时，()(1)10x
x k e x --++>等价于
1(0)1x x k x x e +<
+>- ① 设1
()(0)1
x x g x x x e +=+>- 则2
(2)()(1)x x x e e x g x e --'=
-由（1）知()2x
h x e x =-- 在(0,)+∞上单调递增
而(1)0,
(2)0h h <> 所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点，故
()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点。设零点为t ，则(1,2)t ∈
当(0,)x t ∈时，()0g x '<；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>； 所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g t 又由()0g t '=，可得2t
e t =+ ，所以1
()1(2,3)1
t t g t t t e +=
+=+∈- 由于①等价于()k g t <，故整数k 的最大值为2
解法二：由1a =，由已知得当0x >时
()()1()(1)10x x k f x x x k e x '-++=--++>恒成立
设()()(1)1(0)x g x x k e x x =--++>
()(1)x g x e x k '=-+
（1）1k ≤时，()0g x '>恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递增
故()(0)1g x g >= ，符合题意
（2）1k >时，(0,1)x k ∈-，()0g x '<，()g x 在(0,1)k -单调递减
(1,)x k ∈-+∞，()0g x '>，()g x 在(1,)k -+∞单调递增
1min ()(1)1k g x g k k e -=-=+-
依题意需1
10k k e
-+->
设1
()1(1)k h k k e
k -=+->，则1()10k h k e -'=-<
即()h k 在(1,)+∞上单调递减，又2(2)30,
(3)40h e h e =->=-<
故()h k 在(1,)+∞上存在唯一零点0(2,3)k ∈ ，即0()0h k = 即0(1,)k k ∈时，()0h k > ；0(,)k k ∈+∞时，()0h k < 故0(1,)k k ∈
综上，0(,)k k ∈-∞，整数k 的最大值为2
举例：零点问题： 12、【2013年江苏】
设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x -=)(,其中a 为实数.
(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围； (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论. 改编为：求函数ax x x f -=ln )(（e
a 1
≤
）的零点个数. 法一：由()()y f x g x =-的零点个数问题可转化为()=()f x g x 即()y f x =与()y g x =的交点个数问题本题转化为研究方程ln 0x ax -=解的个数，
进而可以转化为ln x a x =
（e
a 1
≤）解的个数，即 y a =（e a 1≤）与ln ()x
h x x =的交点个数问题
2
1ln ()x h x x -'=
可以得到ln ()x
h x x =增区间为(0,)e ，减区间为(,)e +∞
x e =时，max 1
()h x e
=
0,()x h x +→→-∞
,()0x h x →+∞→
1
a e =或0a ≤时，()h x 只有一个零点；
1
0a e
<<时，()h x 有两个零点
法二：直接研究函数ax x x f -=ln )(的性质，来解决次问题。
11()ax f x a x x
-'=
-= ①0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，
()f x 在区间(0,)+∞上为增函数
0,
()x f x +→→-∞
,
()x f x →+∞→+∞，()f x 的图象如图，所以()f x 只有一个零点； ②1
0a e
<<
时， 1
(0,)x a
∈时，()0f x '>，()f x 在区间1(0,)a 上为增函数
1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在区间1
(,)a +∞上为减函数
1x a =时，max 1
()ln 10f x a
=->
0,
()x f x +→→-∞
,
()x f x →+∞→-∞ ()f x 的图象如图所以()f x 有两个零点；
③1a e =
时，由②知，max 1
()ln 10f x a
=-=， 所以()f x 只有一个零点； 综上：1
a e
=
或0a ≤时，()f x 只有一个零点； 1
0<<
a e
时，()f x 有两个零点. ()f x 的图象如图 结论：“解决函数零点问题”的实质——借助导数工具研究函数性质，描绘出函数图象，进而确定函数的零点个数。
无论哪种做法都是对函数性质的整体研究，都是在刻画函数的图象，参变分离本身就是对问题的一种转化，能采用此种手段的最好用此种方法，对函数边界状态的刻画是难点，这里涉及的极限知识多与函数增长速度有关。
