课 题：9．6空间向量的直角坐标及其运算 (一)
教学目的：
⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；
⒉掌握空间向量坐标运算的规律；
3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4.会用中点坐标公式解决有关问题
教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”间解析几何、高维向量和矩阵打下基础
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌 教学过程：
一、复习引入：
1平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a
，由平面
向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a
+=
把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a
在y 轴上的坐
标， 特别地，)0,1(=i
，)1,0(=j ，0,0(0=
2．平面向量的坐标运算
若),(11y x a =
，),(22y x b = ，
则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=
若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=
3．a ∥b (b
≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
4平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a
?
设i 是x 轴上的单位向量，j
是y 轴上的单位向量，那么
j y i x a
11+=，j y i x b 22+=
所以))((2211j y i x j y i x b a
++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+=
又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i
所以b a
?2121y y x x +=
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和5.平面内两点间的距离公式
（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或22||y x a +=
（2）如果表示向量a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么
221221)()(||y y x x a -+-=
(平面内两点间的距离公式)
6.向量垂直的判定
设),(11y x a =
，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x
7.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
cos ＜a ,b ＞= c o s θ=||||b a b
a
??112222221212
a a
b b ++
8．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p
是空间任意一向量，存在唯一
的实数组,,x y z 使p xa yb zc =++
． 二、讲解新课：
1 空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}
i jk
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k
的方
向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点
O 叫原点，向量 ,,i j k
都叫坐标向量．通过每两个坐标
y
k i
A(x,y,z)
O j
x
z
轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；
（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠= （或45
），90yOz ∠= ； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系为右手直角坐标系
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k
为坐标向
量，
则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使
123
a a i a j a k =++
， 有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a
在空间直角坐标系O xyz -
中的坐标，记作123(,,)a a a a =
．
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一
的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j zk =++
，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角
坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =
， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++
， 112233(,,)a b a b a b a b -=---
， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈
， 112233a b a b a b a b ?=++
，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈
， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=
．
（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
y
k i
B(b1,b2,b3)
A(a1,a2,a3)
O j
x
z
y
k i
AB
B(x2,y2,z2)
A(x1,y1,z1)
O j
z
y z
O
x
A
则212121(,,)AB x x y y z z =---
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
三、讲解范例：
例1 已知(2,3,5)a =- ，(3,1,4)b =-- ，求a b + ，a b - ，||a
，8a ，a b ? ．
解：(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)a b +=-+--=--
， (2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)a b -=----=-
，
222||2(3)538a =+-+=
88(2,3,5)(16,24,40)a =-=-
， (2,3,5)(3,1,4)29a b ?=-?--=-
．
例2．求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点
解：∵(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影(2,3,0)C - 在zOx 平面上的射影为(2,0,1)B -，
∴点(2,3,1A -
-关于x O y 平面的对称点为(2,3,1)C '-，
关于zOx 平面及原点O 的对称点分别为(2,3,1)B '-，(2,3,1)A '-．
例3．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证1D F ⊥平面
ADE ．
证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，设DA i = ，DC j = ，1DD k =
，
分别以,,i j k
为坐标向量建立空间直角坐标系O xyz -，
则(1,0,0)AD =- ，11(0,,1)2
D F =- ，
11
(1,0,0)(0,,1)02
AD D F ?=-?-= ，
∴1D F AD ⊥，
又1(0,1,)2AE = ，111
(0,1,)(0,,1)022
AE D F ?=?-= ，
∴1D F AE ⊥，AD AE A = ，
所以，1D F ⊥平面ADE ．
四、课堂练习：
1．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标
分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面
已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘
点，此时|x|＝
|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正
向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，,D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)
2． 已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ?b 解：a ＋b ＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1）， a －b ＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9）， 8a ＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40）， a ?b ＝（2，－3,5）?
（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29 3． 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点， 求证：D 1F ⊥平面ADE
证明：不妨设已知正方体的棱长为2，
建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则
AD
F D D F D AD ⊥∴=-?-=?-=-=1110)2,1,0()0,0,2(),2,1,0(),0,0,2( 又),1,2,0(=AE
,
022)2,1,0()1,2,0(11D F D AE ⊥∴=-=-?=?
∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE
①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定
②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).
③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0即可事实上，要使向量a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为0 巩固练习 P 39 练习 1－6 五、小结 ：
⒈ 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标； ⒉ 掌握空间向量坐标运算的规律；
3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4. 会用中点坐标公式解决有关问题
5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；
.点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时.有向线段终点的坐标与向量的坐标相同.这一点务必向学生讲清楚.；
明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算巩固空间向量数量积的概念；
2．熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题
教学重点：应用空间向量数量积解决问题 教学难点：应用空间向量数量积解决问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ
运算律：⑴加法交换律：a b b a
+=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++ ⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
3．平行六面体：
平行四边形ABCD 平移向量a
到D C B A ''''的轨迹所形
成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A '''个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .
a
C'
B'
A'
D'D
C
要注意其中对向量a
的非零要求． 5 共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或
平行向量．a 平行于b 记作b a //．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线．
6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b
的充要条件是存在实数λ，
使a
＝λb .
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a
的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式
t OA OP +=a ．其中向量a
叫做直线l 的方向向量.
空间直线的向量参数表示式：
t OA OP +=a
或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，
中点公式．)(2
1
OB OA OP +=
7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a =
，如果直线OA 平行于α或在α内，
那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α
．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做
共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b
共面的充要条件是存在实数
,x y 使p xa =+
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使
MP x MA y MB
=+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++
② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=
③
上面①式叫做平面MAB 的向量表达式
9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c
不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯
一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++
若三向量,,a b c
不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
,,x y z ，使OP xOA yOB =++
10 间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b
，在空间任取一点O ，作
,OA a OB b == ，则A O B ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤
，显然有,,a b b a <>=<>
；若,2
a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ .
11．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a
.
12．向量的数量积：已知向量,a b
，则||||c o s ,a b a b ??<> 叫做,a b
的数量积，
记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<>
．
已知向量AB a = 和轴l ，e
是l 上与l 同方向的单位
向量，
A B ''
叫做
作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则
向量AB 在轴l 上或在e
上的正射影. 可以证明A B '' 的长度
||||c o s ,A B A B a e a e
''=<>=? ． 13．空间向量数量积的性质：
（1）||cos ,a e a a e ?=<> ．（2）0a b a b ⊥??= ．（3）2||a a a =? ．
14．空间向量数量积运算律：
（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?
．（2）a b b a ?=? （交换律）． （3）()a b c a b a c ?+=?+?
（分配律）二、讲解范例： 例1
已知线段,A B B D 在平面α内，B D A B
⊥，线段AC α⊥，若,,AB a BD b AC c ===，求,C D 间的距离解：（方法一）连结AD ，
∵,AC AD αα⊥?，∴AC AD ⊥， 在ABD ?中∵BD AB ⊥， ∴2
2
2
2
2
AD AB BD a b =+=+， 在ACD ?中∵AC AD ⊥， 所以，22222
CD AC AD a b c =
+=++
（方法二）：22
||()CD CA AB BD =++
c
b
a D
C B
A α
222||||||222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++?+?+?
又∵,,AC AB BD ααα⊥??，∴,AC BD AC AB ⊥⊥， 又∵AB BD ⊥，∴BD AB ⊥，
∴0,0,0CA AB AB BD CA BD ?=?=?=
，
∴2||CD = 222222
||||||CA AB BD a b c =++=++ ，
所以 222||CD a b c =
++
例2．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，
4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠= ，
60BAA DAA ''∠=∠= ，求AC '的长
解：22
||()AC AB AD AA ''=++
222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++?+?+?
222435243cos90245cos60235cos60=+++???+???+???
169250201585=+++++=
所以，||85AC '=
例3．已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SA SB SC ===，,M N 分别是
AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值分析：要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM 与BN
所成的角的余弦
值，因此就要求SM BN ? 以及||||SM BN ?
，然后再用向量夹角公式求解
解：设SA a = ，SB b = ，SC c =
，∴12
a b b c a c ?=?=?= ，
∵
1()()2SM BN SA SB SN SB ?=+?- 11()()22a b c b =+?- 2
111()222a c a b b c b =?-?+?-
1111111(1)2222222
=?-+?-=- ∴122cos ,3||||33
SM BN SM BN SM BN -?<>===-?? ， N
M
S
B
C'
B'
A'
D'
D
C
所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为
23． 点评：设出空间的一个基底后，求数量积SM BN ? 的时候目标就更加明确了，只要将SM
与
BN 都化为用基向量表示就可以了本题中SM 与BN
的夹角是异面直线SM 与BN 所成角
的补角 例4．如图
长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点， F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB ．
分析：本题的关键是如何利用AF BE ⊥这个条件，在这里可利用
0AF BE AF BE ⊥??=
将其转化为向量数量积问题
解法一：∵AF BE ⊥
，
∴11()()AF BE AB BF BB B E ?=+?+
1111[()][()]022AB BC BB BB BC AB =++?+-=
∴111(2)(2)04
AB BC BB BB BC AB ++?+-=
∴222
12||||2||0AB BC BB -++= ，∴2
1||8BB = ，
所求高122BB = 解法二：
设1,,AB a AD b AA c === ，
则0a b b c c a ?=?=?= ，22
22||16,||16a a b b ====
则 11BE BB B E =+ ＝1()2
c b a +-
1()2
AF AB BF a c b =+=++
∵AF BE ⊥ ∴BE ? AF
＝0
即[1()2c b a +- ]?[1()2a c b ++
]＝0
∴222
1110242c b a +-= ∴22
||8c c == ，即所求高122BB =．
F
E
C 1
B 1
A 1
D 1D
C
F
E
C 1
B 1
A 1
D 1D
A
C
H
G
F
E C'
D'
B'C
A'
A B
D
点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：
AF BE ⊥?
0AF BE ?= 的应用问题
三、课堂练习：
1设a b ⊥ ，,,,36
a c
b
c ππ
<>=<>= ，且||1,||2,||3a b c === ，求向量a b c ++ 的模
2．已知||2,||5a b == ，2,3
a b π<>= ，3p a b =-
，17q a b λ=+ ，问实数λ取何值时p
与q
垂直
3．若0a b c ++= ，且||3,||2,||1a b c ===
，求a b b c c a ?+?+? 的值
4．在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，,E F 分别是,D D DB '中点，
G 在棱CD 上，1
4
CG CD =
，H 为C G '的中点， （1）求证：EF B C '⊥； （2）求,EF C G '所成角的余弦； （3）求FH 的长解：设,,'AB a AD b AA c === ，
则0a b b c c a ?=?=?= ，222222||1,||1,||1a a b b c c ======
（
1
）
∵
111()()222
EF ED DF c a b a b c =+=-+-=-- ，
''B C BC BB b c =-=-
∴1'()()2
EF B C a b c b c ?=--?-
2211
()(11)022c b =-=-=
∴EF B '⊥
（2）∵
111()()222
EF ED DF c a b a b c =+=-+-=-- ， 1''4
C G C C CG c a =+=-- ，
∴22
11113'()()()24248
EF C G a b c c a a c ?=--?--=-+=
22222113||()()444
EF a b c a b c =--=++=
22221117
|'|()41616
C G c a c a =--=+
=
∴3||2EF = ，17|'|4
C G = ，
'51cos ,'|||'|EF C G EF C G EF C G ?<>==
, 所以,EF C G '5117
（3）∵''FH FB BC CC C H =+++
11()'22
a b b c C G =-+++
111()()224a b b c c a =-+++--
311822
a b c c =++
∴2222231191141
||()822644464
FH a b c a b c =++=++=
∴FH 41
8
四、小结 ：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题 五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，
空间向量的坐标运算练 习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐 标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
向量的直角坐标运算练习题 1.已知 a=(4,5),b=(-2,2),下列运算错误的是( ) A.a+b=(2,7) B.a-b=(6,3) C.3a=(12,15) D.-2b=(4,4) 2. 已知向量 a=(x,2),b=(5,-4),若a∥b,则x=( ) 3. 已知向量 a=(1,2),b=(4,y), 若 a⊥b, 则 y= ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 4. 已知向量 a=(-1,3),b=(1,2), 则
12. 若 a=(2,-4),b=(3,5), 则 a· b= ,(a+3b) ·(b-a)=. 13. 已知点 A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 求证 : 14. 已知 a=(-2,5),b=(-1,7),实数x,y满足xa+yb=(-1,2),求x、y. 2
空间向量的坐标运算（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组
基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.
C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.
答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ）
3.1.4空间向量的直角坐标运算（课前预习案） 班级：___ 姓名：______ 一、新知导学 1、空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，(,,)123b b b b =，则 a b += ， a b -= ， a λ= ， a b ?= ， //a b ? a b ⊥? ． （2）若(,,)111A x y z ，222(,,)B x y z ，则AB = ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的______的坐标减去_________的坐标 2、模长公式： 若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则||a a a = ?= ，||b b b =?= ． 3、夹角公式：2cos ||||a b a b a b a ??== ?+ 4、两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2 ||(AB AB x ==， 或,A B d =
;,,i j k ??，求下列向量的坐标：）346a i j k =+- （）2 323 b i j k =--+ 若(2,1,3),(5,3,2)a b =-=-，则a +b =____________,32a b -=___________, a b ?=_____，(2)(3)a b a b +?-=______________1）(0,0,4),(0,0,7) （2）（（3，4，0），（0，0，6） （2）（-2，1，，-5，7） 已知(1,1,1),(1,0,1)a b =--=-，则______,a =,a b <>=____________3.1.4 空间向量的直角坐标运算（课堂探究案）一、空间向量的直角坐标 向量(,,a a a a =二、向量的坐标运算 已知(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)a b c ===，,2p a b q a b c =-=+-，求： ,p q ，p q ?。
第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
练习一 选择题： 1.已知＝(3，－1)，＝(－1，2)，则－3－2的坐标是( ). (A)(7，1) (B)(－7，－1) (C)(－7，1) (D)(7，－1) 2.已知(－5，3)、(1，4)、则的坐标是( ). (A)(－4，7) (B)(6，－1) (C)(6，1) (D)(－6，－1) 3.已知(－3，4)、(6，9)，则的坐标是( ). (A)(9，1) (B)(－9，－5) (C)(3，13) (D)(－27，24) 4.已知点(，－2)与点(0，－14)的距离等于13，则为( ). (A)5 (B) －5 (C)5或－5 (D)0 5.已知(－3，5)，(7，－4)，则线段中点坐标是( ). (A) (B) (C)(4，1) (D)(－4，1) 6.将(3，4)按向量＝(1，2)平移，得到对应点的坐标是( ). (A)(4，6) (B)(2，2) (C)(4，2) (D)(2，6) 7.线段的中点是(－1，2)，点的坐标是(2，5)，那么点的坐标是( ). (A)(0，1) (B)(－4，－1) (C)(4，1) (D)(－4，1) 8.一个向量将点(2，－1)平移到(－2，1)，那么它将点(－2，1)平移到( ). (A)(2，－1) (B)(－2，1) (C)(6，－3) (D)(－6，3) 填空题： 9.已知.的坐标分别为(2，4)和(－2，1)，则的坐标为______. 10.已知(6，2).(－2，4)，则||＝______.
11.已知点(－8，3).(5，－3)，则： (1)点关于直线＝对称点的坐标为______； (2)点关于坐标原点对称点的坐标是______； (3)点关于点的中心对称点的坐标是______. 12.在平移变换下，点(4，－2)，变为点(3，0)，则平移向量是______. 解答题： 13.已知点(－2，－3)、(1，6)，并且、是线段的三等分点，求点和的坐标. 14.已知：(2，－3)、(－1，－1)、(－1，－3)求证：△是直角三角形. 15.把函数的图象平移向量＝(－2，1)到，求对应的函数表达式. 提示和解答： 1.B . 2.C. 3.B. 4.C. 5.A. 6.A. 7.B. 8.D. 9.(－4, －3) . 10.. 11.(1)(3, －8)；(2)( －5,3)；(3)(18, －9). 12.(－1,2) . 13.(－1,0)、(0,3). 14.∵ . ∴△为直角三角形 15.. 练习二
高考试题分类考点空间直角坐标系空间向量及其运算
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考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算 一、解答题 1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图 2. （1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ； （2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小； （3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系， 建系，利用向量法求解. 【解析】（1）//,,DE BC AC BC DE AC ⊥∴⊥Q ，1,DE A D DE CD ∴⊥⊥， 111 ,,A D CD D DE ACD DE AC =∴⊥∴⊥Q I 面 又11,,AC CD CD DE D AC BCDE ⊥=∴⊥Q I 面. （2）由（1）可知，1,,CB CD AC 两两互相垂直，分别以它们为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，则1(0,0,23)A ,(0,1,3),(0,1,3),(1,2,0),M CM BE ==-u u u u r u u u r 1(3,0,23)A B =-u u u r ，设平面1A BE 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ， 由 1111111203230n BE x y n A B x z ??=-+=???=-=??u r u u u r u r u u u r ，令11x =，得113(1,,)22 n =u r ， A B C D E C B E D A M 图图
学业分层测评(七) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2016·广州高二检测)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【解析】 由a·b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a·b ＝±|a ||b |.故a·b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件． 【答案】 A 2．如图2-2-7所示，已知三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC → ，则x ，y ，z 的值分别为( ) 图2-2-7 A ．x ＝13，y ＝13，z ＝1 3 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1 6 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝1 3 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1 3
【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON → ＝? ????12－13OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 【答案】 D 3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( ) A.12 B ．14 C ．1 D ．2 【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝0. 又e 1⊥e 2，∴e 1·e 2＝0. ∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2， ∴4λ－8＝0，∴λ＝2. 【答案】 D 4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) 【导学号：32550026】 A. 2 B ． 3 C. 5 D ．7 【解析】 依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5＋4×? ????－12＝3，则|a ＋2b | ＝ 3. 【答案】 B
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
课时作业(十七) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3) 【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A 2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132 【解析】 ∵AB 的中点M ? ? ???2，32，3，∴CM →＝? ????2，12，3，故|CM | ＝|CM → |＝ 22＋? ?? ??122＋32＝532. 【答案】 C 3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C.2 3 D ．14 【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2 3.
【答案】 C 4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( ) 图3-1-32 A ．1 B.52 C.62 D.32 【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E (1,1，2)， F ? ???? 2，1，22，所以|EF |＝ (1－2)2 ＋(1－1)2 ＋? ??? ?2－222 ＝6 2，故选C. 【答案】 C 二、填空题 5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA → ＝
课 题：9 6 空间向量的直角坐标及其运算 (一) 教学目的： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 内容分析： 本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础 要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式垂直于平面的性质定理 教学过程： 一、复习引入： 平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本 定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐 标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，0,0(0= 2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a = ，),(22y x b = ， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 3．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 4平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 5.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么 221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 6.向量垂直的判定 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x 7.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） cos ＜a ,b ＞= co s θ=||||b a b a ?? 8．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p 是空间任意一向量，存在唯一的实数 组,,x y z 使p xa yb zc =++ ． 二、讲解新课： 1 空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1， 这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；
1 向量的直角坐标运算练习题 1.已知a=(4,5),b=(-2,2), 下列运算错误的是 A.a+b=(2,7) B.a-b=(6,3) 2.已知向量 a=(x,2),b=(5,-4), 若 a // b,则 x= A - 氏二 CA D — 2 3 4 3 5.已知三点 A(0,1),B(2,0),C(3,7), 则 D 旦 4 (L1) 2 2，则下列结论中正确的是 () A.|a|=|b| B.a ? b= - C.a // b D.a-b 与 b 垂直 10.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x), 满足条件(8a-b ) ? c=30, 则x 等于() C.3a=(12,15) D.-2b=(4,4) A.6 B.5 C.4 D.3 11.已知 a=(-4,2),b=(5,1), 求 a+2b= ,a-3b= A-? 5 3.已知向量 H- C-- D.- 5 2 2 a=(1,2),b=(4,y). 若a 丄b,贝U y= A.2 B.-2 C.3 D.-3 4.已知向量 a=(-1,3),b=(1,2). 贝 U
高二数学空间向量及其运算 课题：http:///空间向量及其运算(一) 教学目的： 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律 教学难点：用向量解决立几问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题 本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在
研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相 平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法 则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念 当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间 向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向 量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定 理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我 们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题 在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础 定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化 的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3 个不共面的基向量所确定空间-个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个 向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的 是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内 积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教 师的指导下，由学生自己证明 教学过程： 一、复习引入： 1向量的概念
空间向量运算的坐标公式 如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的 有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一 个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一 点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐 标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、 向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是 存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量 的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例