概率统计试卷 A
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）
1、 设P(A) =a , P(B) = , P(A B U ) = ，若事件A 与B 互不相容，则 a = .
2、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复试验，则事件A 至少发生一次的概率为 .
3、已知P(A ) = , P(B) = , P(AB ) = ，则P(|B A B U )= .
4、设随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,
21.2x F x A x x x ππ??
?
=≤≤??
?
>??则A = . 5、设随机变量X ~(1)π，则P{
2
()X E X =}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设P(A|B) = P(B|A)=14,
2()3P A =
, 则( )一定成立. (A) A 与B 独立，且
2
()5P A B =
U . (B) A 与B 独立，且()()P A P B =. (C) A 与B 不独立，且7
()12P A B =
U . (D) A 与B 不独立， 且(|)(|)P A B P A B =.
2、下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的概率密度.
(A)
3sin ,,()20x x f x ππ?≤≤
?=???其它. (B) 3sin ,,()2
0x x g x ππ?
-≤≤?=???其它. (C)
3s ,,()2
0co x x x ππ??≤≤
?=???其它. (D) 31s ,,()20co x x h x ππ?
-≤≤?=???其它. 3、设X 为一随机变量，若D(10X ) =10，则D(X ) = ( ).
(A) 1
10. (B) 1. (C) 10. (D) 100.
4、设随机变量X 服从正态分布2
(1,2)N ，12100,,X X X L 是来自X 的样本，X 为样本均值，已知~(0,1)Y aX b N =+，则有（ ）. (A)
11,55a b ==
. (B) 5,5a b ==. (C)
11,55a b ==-
. (D) 5,5a b ==-.
5、在假设检验中，显着性水平α的意义是（ ）. (A) 原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率. (B) 原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率.
(D)原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂，
(1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率.
(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分)
四、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是
0.41,0,
()0,
0.x X e x F x x -?->=?
≤? 求下述概率：
（1）P {至多3分钟}.
（2）P {3分钟至4分钟之间}. (本题10分)
五、设随机变量(X ,Y)的概率密度为
()
1(),0,0,(,)2
0x y x y e
x y f x y -+?+>>?=???其它. (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y .
(2) 判断X 和Y 是否相互独立 (本题10分)
六、设随机变量X 的分布律为
X -2 0 2 p k
求22
(),(35)E X E X +. (本题10分)
七、设12,,n X X X L 为总体的一个样本，12,,,n x x x L 为一相应的样本值，总体密
度函数为
1,01,()0x f x ≤≤=??其它. 其中θ>0,求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题10分)
八、用金球测定引力常数（单位：10-11312m kg s --??），观察值为
设测定值总体为N 2(,)μσ，2,μσ均未知，试求2σ的置信水平为的置信区
间.(本题10分)
(2s = ×10-4,20.05χ(5) = , 20.05χ(6) = , 20.95χ(5) = ，20.95χ(6)= )
.
九、按规定，100g 罐头番茄汁中的平均维生素C 含量不得少于21/mg g ，现从
工厂的产品中抽取17个罐头，其 100g 番茄汁中测得平均维生素C 含量（/mg g ）记录如下：
16 25 21 20 23 21 19 15 13 23 17 20 29 18 22 16 22
设维生素含量服从正态分布2(,)N μσ，2
,μσ均未知，问这批罐头是否符合要求
（取显着性水平α= ）.
(本题10分) （
2254
16s =
, 0.05t (16) = , 0.05t (17) = , 0.025t (16) = , 0.025t (17) = ）
参考答案
一、1、 2、1(1)n
p -- 3、 4、1 5、1
2e
二、1、C 2、B 3、A 4、D 5、C
三、解 (1)设A=“任取5片，至少2片安慰剂.” ……1分
法一
2332415
55555555
10113
()126C C C C C C C P A C +++== ……4分
法二
5145555
10113
()1126C C C P A C +=-= ……4分 （2）设B=“不放回任取5片，前3次都取到安慰剂.” ……1分
5431
()109812P B =??=
……4分
四、解（1） 设A={至多3分钟} ……1分
0.43 1.2
()(3)(3)11P A P X F e e -?-=≤==-=- ……4分
(2) 设B={3分钟至4分钟之间} ……1分 1.6 1.2 1.2 1.6
()(34)(4)(3)(4)
1(1)0P B P X F F P X e e e e ----=≤≤=-+==---+=- ……4分
五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为
()
01(),0()(,)20,
0x y X x y e
dy x f x f x y dy x +∞-++∞-∞
?+>?==??≤??? ……2分
=1(1),020
,0x
x e x x -?+>???≤? ……2分 (X, Y) 关于Y 的边缘密度为
()
01(),0()(,)20,
0x y Y x y e
dx y f y f x y dx y +∞-++∞-∞
?+>?==??≤??? ……2分 =1(1),020
,0y
y e y y -?+>???≤? ……2分 (2) ()()X Y f x f y ?=()
1(1)(1),0,040,x y x y e
x y -+?++>>????其它 ……1分
显然()()(,)X Y f x f y f x y ?≠，故X 和Y 不独立. ……1分
六、解 E(X 2 )=(-2)2 ×+ 02 ×+22 ×= …… 5分
E(3X 2 +5)=3 E(X 2 )+5=3× +5= ……5分 七、
解
1
1
00
()E X dx ==??
……3分
11
0|=
=
……3分
由矩估计定义知
11n
i
i X X n ===∑ ……2分 解得矩估计值为
2?()1x x θ
=- ……1分 矩估计量为
2
?(
)
1X X θ=- ……1分
八、解 2,μσ均未知，2
σ的置信度为的置信区间为
2222/21/2(1)(1)[,]
(1)(1)n S n S n n ααχχ----- ……2分
这里n = 6, 2α
= , 2
s =×10-5
查表得20.05χ(5)=, 20.95χ(5)= ……3分 计算得 24
62
/2(1)50.1510 6.77410,(1)11.070n s n αχ---??==?- ……2分
24
52
1/2(1)50.1510 6.55010,(1) 1.145n s n αχ----??==?- ……2分
即2
σ的置信区间为[×10-6,×10-5]. ……1分
九、解 检验假设H 0：μ≥21, H 1：μ<21. ……1分
2σ未知，检验问题的拒绝域为
(1)x t t n α=
≤-- ……3分
n = 17, α= , x = 20, 2
s =254/16,
查表得0.025t (16) = ……2分
t =
=–> ……2分
故接受H 0
即认为这批罐头符合要求. ……2分
概率统计试卷B
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）
1、设A 、B 为两个随机事件，()P A = , ()P A B -= 则()P AB = .
2、已知()P A =14, (|)P B A =13, (|)P A B =1
2，则()P A B U = .
3、若随机变量X 的概率密度为,01
(),02,
4
0,2x ke x f x x x ?
4、设随机变量X 的分布率为 X -1 0 1
k p 13 16 1
2 则X 的分布函数()F x = .
5、设X 为随机变量，若已知2,()1,2X
EX D ==则2
(2)E X -= .
二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则()P A B U ) =
( )一定成立.
(A) ()()P A P B + (B) 1()()P A P B -
(C) 1()()P A P B + (D) 1()P AB -
2、下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.
(A)
1,0()10x e x F x x ?<=?≥? (B) 2,0
()10x e x F x x -?<=?
≥? (C) 30,0()10x x F x e x
40,
0()10x
x F x e x -
( ).
(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44
4、设12,,(1)n X X X n >L 是来自正态总体N 2
(,)μσ的简单随机样本，X 是样本均值，
222
21211
2
2223
41111(),(),111(),(),1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑
则服从自由度为n-1的t 分布的随机变量是( ).
(A)
X t =
(B) X t =
(C)
X t =
(D)
X t =
5、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则称为犯第二类错误是
( ).
(A) 1H 不真，接受1H (B) 1H 不真，接受0H (C) 0H 不真，接受0H (D) 0H 不真，接受1H
三、已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，每次任取一件，作不放
回抽样，求下列事件的概率： (1) 两件都是正品;
(2) 第二次取出的是次品. (本题10分) 四、设事件A 在每次试验发生的概率为，A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，
进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. (本题10分)
五、设随机变量(X,Y)的概率密度为()
,01,0(,)1
0x y e e x y f x y e -+?<<<<+∞?
=-???其它 (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;
(2) 判断X 和Y 是否相互独立 (本题10分)
六、设随机变量12,X X 的概率密度别为
212,0,()0,0.x e x f x x -?>=?≤?
424,0,()0,0.x e x f x x -?>=?
≤? （1）求2
12(23)E X X -;
（2）又设12,X X 相互独立，求12()E X X . (本题10分)
七、设12,,(1)n X X X n >L 为总体X 的一个样本，12,,,n x x x L 为一相应的样本值，
总体密度函数为
(1),()0c x x c f x θθθ-+?>=?
?其它, 其中c>0为已知，θ>1,求θ为未知参数的最大似然估计值和估计量. (本题10分)
八、用铂球测定引力常数（单位：），观察值为
设测定值总体为N 2(,)μσ，2,μσ未知，试求2σ的置信水平为的置信区间. (本题10分)
（25
0.910,s -=?20.05χ(4) = , 20.05χ(5) = , 20.95χ(4) = ，20.95χ(5)= ）
九、如果一个矩形的宽度与长度的比为1
1)2≈
，这样的矩形称为黄金矩形，
某工艺厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布N 2
(,)μσ，现随机
抽取16个，测得x = , s = ， 其均值为μ，方差为2
σ，2,μσ均未知，试检验假设H 0：μ= , H 1：μ≠ （取α= ）. (本题10分) （0.025t (19) = , 0.025t (20) = , 0.05t (19) = , 0.05t (20) =
0.025t (15) = , 0.025t (16) = , 0.05t (15) = , 0.05t (16) =）
参考答案
一、1、 2、1/3 3、 4、
0,
11
,103()1,01211x x F x x x <-???-≤
?≤
i B =“第i 次取出的是次品.” ……2分
（1）
121218728
()()(|)10945P A A P A P A A ==?=
……4分 212121212121121(2)()()()()
()(|)()(|)
822191109109455P B P A B B B P A B P B B P A P B A P B P B B =?=+=+=
?+?== ……4分
四、解 设A 发生的次数为X ，B 为指示灯发出信号，
则X 服从b （n ，p ）， n=5，p= ……4分
法一
5
553()(3)(0.3)(0.7)0.163
k k k k P B P X C -==≥=≈∑ ……6分
法二 2
550()1(3)1(0.3)(0.7)0.163
k k k k P B P X C -==-<=-≈∑ ……6分
五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为
()
0,01()(,)1
,x y X e e dy x f x f x y dy e +∞-++∞-∞
?<
==-?????其它 ……2分 =,0110
,x
e e x e -?<
1()0
,0()(,)1
,0x y Y e e dx y f x f x y dx e y -++∞-∞
?>?==-??≤??? ……2分 =,0
0,0y e y y -?>?
≤? ……2分
(2) ()()X Y f x f y ?()
,01,010x y e e x y e -+?<<<<+∞?
=-???其它 ……1分
显然()()(,)X Y f x f y f x y ?=，故X 和Y 相互独立. ……1分
六、解
11()2E X =
，21
()4E X = …… 2分 2
222222111()()[()]()()448E X D X E X =+=+=
……2分
22
1212(1)(23)2()3()
11523288
E X X E X E X -=-=?-?=
…… 3分
（2）12,X X 独立，
1212111
()()()248E X X E X E X ==?= ……3分
七、解 样本X 1,X 2,…,X n 的似然函数为
(1)
(1)
1
1
()n
n
n
n i i i i L c x
c x θ
θθ
θθθθ-+-+===∏?=?∏ ……3分 而
1
ln ()ln ln (1)ln n
i
i L n n c x θθθθ==+-+∑ ……2分
令1ln ()ln ln 0n
i i d n
L n c x d θθθ==+-=∑ ……2分
解得的最大似然估计值为
1
?ln ln n
i
i n
x n c
θ
==-∑ ……2分
最大似然估计量为1?ln ln n
i
i n
X
n c
θ
==-∑ ……1分
八、解 2,μσ均未知，2
σ的置信度为的置信区间为
2222/21/2(1)(1)[,]
(1)(1)n S n S n n ααχχ----- ……2分
这里n = 5, 2α
= , 2
s =×10-5
查表得20.05χ(4)=, 20.95χ(4)= ……3分 计算得 25
62
/2(1)40.910 3.79410,(1)9.488n s n αχ---??==?- ……2分
25
52
1/2(1)40.910 5.06310,(1)0.711n s n αχ----??==?- ……2分
即2
σ的置信区间为[×10-6,×10-5]. ……1分
九、解 检验假设H 0：μ= , H 1：μ≠ . ……1分
2
σ未知，检验问题的拒绝域为
/2||||(1)x t t n α=≥- ……3分
n = 16, α= , α/2 = , x = , s = ,
查表得0.025t (15) = ……2分
|||
|
t == < ……2分 故接受H 0
即认为矩形的宽度与长度的比为. ……2分
概率统计试卷C
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设A 、B 、C 为三个随
机
事件
， 11
()()(),()()0,(),
48
P A P B P C P AB P BC P AC ======
则
()P A B C =U U . 2、设随机变量X 的概率密度为
2(1),11,()0,
k x x f x ?--<<=?
?其他.，则k = .
3、设随机变量X,Y 相互独立，~(1,4),~(10,0.4),X N Y b 则
(2)D X Y -= .
4、设12,,,n X X X L 是来自总体2
(,)N μσ的样本，X 是样本均值，则X 服从的分布为 .
5、设12,,,n X X X L 是来自总体2(,)N μσ的样本，2S 为样本方差，μ未知时，则2
σ
的一个置信水平为1α-的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则 ( )一定成
立.
(A) (|)1()P A B P A =- (B) (|)0P A B =
(C) ()1()P A P B =- (D) (|)()P A B P B =
2、函数()=y f x 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立. (A) ()f x 的定义域为[0,1] (B) ()f x 的值域为[0,1] (C) ()f x 非负 (D) ()f x 在(-∞,∞)内连续
3、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从泊松分布，又知
()2,()3,E X E Y ==则2()E X Y +=( ).
(A) 51 (B) 10 (C) 25 (D) 30
4、设总体
2
~(,)X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 是来自正态总体X 的一个容量为3的样本，则下列选项中不是统计量的是 ( ). (A) 123X X X ++ (B) 123max{,,}X X X
(C)
2222123()X X X σ++ (D) 132X X μ+- 5、设总体
2
~(,)X N μσ， 12,,,n X X X L 是来自正态总体的样本，则2σ的无偏估计量是( ). (A) 2
11()n i i X X n =-∑ (B) 211()1n i i X X n =--∑
(C) 22
11n i i X X n =-∑ (D) 211()1n i i X X n =-+∑
三、有两种花籽，发芽率分别为, ，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立，
求（1）这两颗花籽都能发芽的概率，
（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)
四、设随机变量X 的分布函数为
0,
1,()ln ,1,
1,.X x F x x x e x e
=≤
（1）求{2 2.5},P X <<
（2）求密度函数().X f x (本题12分)
五、设随机变量(X,Y )的概率密度为
225.25,1,
(,)0,x y x y f x y ?≤≤=?
?其它. (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;
(2) 判断X 和Y 是否相互独立 (本题12分)
六、设随机变量(X,Y )的概率密度为
212,01,
(,)0,.y y x f x y ?≤≤≤=?
?其他
求(),().E X E XY (本题10分)
七、设随机变量X 的分布律为
1{}(1),0,1x x
P X x p p x -==-=，1,2,,n X X X L 是来自X
的一个样本，12,,,n x x x L 为一相应的样本值， p 为未知参数，求p 的最大
似然估
计值和估计量. (本题12分)
八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为. (本题12分) （s = , 0.005t (4) = , 0.005t (5) = , 0.01t (4) = , 0.01t (5) = ）
参考答案
一、1、5/8= 2、3/8= 3、 4、
2
(,
)
N n σμ
5、2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ-----
二、1、A 2、C 3、D 4、C 5、B
三、解 设i A =“第i 种花籽取一颗.”（i =1,2）
(1) P (两颗花籽都能发芽)=12()P A A
12()()0.80.90.72P A P A ==?= ……6分
(2) P (恰有一颗能发芽)=12121212()()()P A A A A P A A P A A =+U
1212()()()()0.80.10.20.90.26.P A P A P A P A =+=?+?= ……6分 四、解 (1) (2 2.5)(2.5)(2)X X P X F F <<=-
5
ln 2.5ln 2ln
4=-= ……6分
(2)
1
,1,()()0,.X X
x e f x F x x ?<
125.25,11()(,)0
,x X x ydy x f x f x y dy +∞-∞
?-≤≤?
==?????
其它 ……3分 2
2212
41215.25(1),1128
,x x y x x x ?=
--≤≤?=???其它 ……2分
(X, Y ) 关于Y 的边缘密度为
2,01()(,)0,Y x ydx y f y f x y dx +∞-∞
?≤≤?
==????
其它 ……3分
35/225.25 3.5,01
30
,y x y y ?
=≤≤?=???其它
……2分
(2) ()()(,)X Y f x f y f x y ?≠，故X 和Y 不相互独立. ……2分 六、解
()(,)E X x f x y dxdy
∞
∞
-∞-∞
=?
?
…… 2分 112400041245x dx xy dy x dx ===???， ……3分
()(,)E XY xy f x y dxdy
∞
∞
-∞-∞
=?
?
……2分 113500011232x dx xy dy x dx ===??? …… 3分
七、解 设12,,,n x x x L 是相应于样本X 1,X 2,…,X n 的的一个样本值，X 的分布律为
1{}(1),0,1x x P X x p p x -==-=
故似然函数为
11
11
()(1)(1)
n
n
i
i
i i i i x n x n
x x i L p p p p p ==-
-=∑∑=∏-=- ……4分 而
1
1
ln ()()ln ()ln(1)
n
n
i i i i L p x p n x p ===+--∑∑
令1
1
ln ()0
1n
n
i
i
i i x
n x d
L p dp
p
p
==-=-
=-∑∑ ……4分 解得p 的最大似然估计值为 1
1?n
i i p
x x n ===∑
最大似然估计量为 1
1?.n
i i p
X X n ===∑ ……4分 八、解 检验假设H 0：μ= , H 1：μ≠ .
2σ未知，检验问题的拒绝域为
/2|||
(1)x t t n α=≥- ……4分
n = 5, α= , α/2 = , x = , s = ,
查表得0.005t (4) = ……4分
|||t == < 故接受H 0
即认为这批矿砂的镍含量的均值为. ……4分
概率统计试卷D
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）
1、设事件A,B 相互独立，()0.4,()0.7,==P A P A B U 则()P B = .
2、设随机变量X 的概率密度为
cos ,,()22
0,
k x x f x ππ?
-≤≤?=???其他.，则k = . 3、设随机变量123,,X X X 相互独立且都服从参数为λ的泊松分布，令
1231
()
3Y X X X =++
则()D Y = .
4、设12,,,n X X X L 是来自总体2(,)N μσ的样本，2
,X S 分别是样本均值和样本方
差，则2
2
(1)n S σ-服从的分布为 .
5、设12,,,n X X X L 是来自总体2(,)N μσ的样本，2
,X S 分别是样本均值和样本方差，2
σ
已知时，μ的一个置信水平为1-α的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则 ( )一定成
立.
(A) (|)1()P A B P A =- (B) (|)0P A B = (C) ()1()P A P B =- (D) (|)()P A B P B =
2、函数()=y f x 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立.
(A) ()f x 的定义域为[0,1] (B) ()f x 的值域为[0,1]
(C) ()f x 非负 (D) ()f x 在(-∞,∞)内连续
3、设()0,E X ≥且2111(1)2,(1),
2
22E X D X -=-=则()E X =（ ）. (A)
(B) 2
(C) 1 (D) 0
4、设1234,,,X X X X 是来自正态总体X 的样本，其中μ已知，2
σ未知，则下列选项中不是统计量的是 ( ).
(A) 4
1
14i
i X X ==∑ (B) 142X X μ+-
(C) 422
11()3i i S X X ==-∑ (D) 42
21
1()i i K X X σ==-∑
5、设总体2~(,)X N μσ， 12,,,n X X X L 是来自正态总体的样本，则2
σ的无偏估
计
量是( ).
(A) 2
11()n i i X X n =-∑ (B) 211()1n i i X X n =-+∑
(C) 2
11()1n i i X X n =--∑ (D) 2211n i i X X n =-∑
三、有两种花籽，发芽率分别为, ，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立，
求（1）这两颗花籽都能发芽的概率，
（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)
四、设随机变量X 的分布函数为
0,
1,()ln ,1,
1,.X x F x x x e x e
=≤
（1）求{03}P X <≤，
（2）求密度函数().X f x (本题12分)
五、设随机变量(X,Y )的概率密度为 4.8(2),01,0,
(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤?=?
?其它.
(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;
(2) 判断X 和Y 是否相互独立 (本题12分)
六、设随机变量(X,Y )的概率密度为
2,01,01,
(,)0,.y x y f x y <<<
?其他 ，
求(),().E Y E XY (本题10分)
七、设1,2,,n
X X X L 是来自总体X 的一个样本，12,,,n x x x L 为一相应的样本值，
总体X 的密度函数为 1,01,
(,)(0)
0,x x f x θθθθ-?<<=>??其它.,
求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题12分)
八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为. (本题12分) （s = , 0.005t (4) = , 0.005t (5) = , 0.01t (4) = , 0.01t (5) = ）
参考答案
一、1、 2、1/2= 3、13λ 4、2
(1)n χ- 5
、/2()X z α
二、1、A 2、C 3、B 4、D 5、C 三、解 设i A =“第i 种花籽取一颗.”（i =1,2）
(1) P (两颗花籽都能发芽)=12()P A A
12()()0.80.90.72P A P A ==?= ……6分 (2) P (恰有一颗能发芽)=12121212()()()P A A A A P A A P A A =+U
1212()()()()0.80.10.20.90.26.P A P A P A P A =+=?+?= ……6分
四、解 (1) (03)(3)(0)101X X P X F F <≤=-=-= ……6分
(2)
1
,1,()()0,.X X
x e f x F x x ?<
4.8(2),01()(,)0
,x X y x dy x f x f x y dy +∞-∞
?-≤≤?
==?????
其它 ……3分
2
20
2.4(2) 2.4(2),01
,x
x y x x x ?-=-≤≤?=?
??其它
……2分
(X, Y ) 关于Y 的边缘密度为
14.8(2),01()(,)0
,y
Y y x dx y f y f x y dx +∞-∞
?-≤≤?
==?????
其它 ……3分 212
14.8[(2)] 2.4(34),0120,y y x y y y y ?--=-+≤≤?=???其它 ……2分
(2) ()()(,)X Y f x f y f x y ?≠，故X 和Y 不相互独立. ……2分 六、解
()(,)E Y y f x y dxdy
∞
∞
-∞-∞
=?
?
……2分 11112311000000222223
333dx y dy y dx dx x =====????， ……3分 ()(,)E XY xy f x y dxdy
∞
∞
-∞-∞
=?
?
……2分 1111231100000022112.3333dx xy dy xy dx xdx x =====???? ……3分
七、解 由矩法估计
1()(,)E X xf x dx
μθ∞
-∞
==?
111
1
1
1x x dx x θθθθ
θθθ-+==
=
++? ……4分
以1A 代1μ得 1111n
i i A X X
n θ
θ====+∑ ……4分
得θ的矩估计量为
?,1X X θ
=- θ的矩估计值为 ?1x x θ
=-. ……4分 八、解 检验假设H 0：μ= , H 1：μ≠ .
2σ未知，检验问题的拒绝域为
/2|||
(1)x t t n α=≥- ……4分
n = 5, α= , α/2 = , x = , s = ,
查表得0.005t (4) = ……4分
|||t == < 故接受H 0
即认为这批矿砂的镍含量的均值为. ……4分
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其
4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n
7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤
试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.
第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。
7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=
2010―2011―2概率统计试题及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知4 1)()()(= ==C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率______. 31) (A 83)(B 157)(C 5 2 )(D 2．设A 、B 、C 为3个事件．运算关系C B A 表示事件______. (A ) A 、B 、C 至少有一个发生 (B ) A 、B 、C 中不多于—个发生 (C ) A ，B ，C 不多于两个发生 (D ) A ，月，C 中至少有两个发生 3．设X 的分布律为),2,1(2}{ ===k k X P k λ，则=λ__________． 0)(>λA 的任意实数 3)(=λB 3 1 )(= λC 1)(=λD 4．设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f ，则)(x f 必满足______． (A ) 1)(0≤≤x f (B ) 单调不减 (C ) 1)(=? ∞+∞ -dx x f (D ) 1)(lim =+∞ →x f x 5．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受 00:μμ=H ，那么在显著性水平 α=0.01下，下列结论正确的是______． (A ) 必接受0H (B )可能接受也可能拒绝0H (C ) 必拒绝0H (D )不接受，也不拒绝0H 6．设随机变量X 和Y 服从相同的正态分布)1,0(N ，以下结论成立的是______． (A ) 对任意正整数k ，有)()(k k Y E X E = (B ) Y X +服从正态分布)2,0(N (C ) 随机变量),(Y X 服从二维正态分布
062应用数学 一、 填空题（每小题2分，共2?6=12分） 1、设服从0—1分布的一维离散型随机 变量X 的分布律是：011X P p p -， 若X 的方差是1 4，则P =________。 2、设一维连续型随机变量X 服从正态分布()2,0.2N ，则随机变量21Y X =+ 的概率密度函数为______________。 3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为：则a , b 满足条件：___________________。 X Y 11 2 3 1115 6 9
4、设总体X 服从正态分布()2 ,N μσ ， 12,,...,n X X X 是它的一个样本，则样本均 值X 的方差是________。 5、假设正态总体的方差未知，对总体均值 μ 作区间估计。现抽取了一个容量 为n 的样本，以X 表示样本均值，S 表示样本均方差，则μ 的置信度为1-α 的置信区间为：_______________________。 6、求随机变量Y 与X 的线性回归方程 Y a b X =+ ，在计算公式 xy xx a y b x L b L ?=-? ?=?? 中，() 2 1 n xx i i L x x == -∑，xy L = 。
二、单项选择题（每小题2分，共2?6=12分） 1、设A ，B 是两个随机事件，则必有（ ） ()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P A B -=--=- ()()()() ()()()()()C P A B P A P B D P A B P A P A P B -=-=- 2、设A ，B 是两个随机事件， ()()() 524,,556 P A P B P B A === ，（ ） () ()()1 1()()()232 12 ()()3 25 A P A B B P AB C P AB D P AB === = 3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ ）
概率统计试题及答案(本科完整版)
一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对 a c b <<以及任意的正数0 e >，必有概率 {} P c x c e <<+ ＝ ?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中 ABC ABC ABC U U
2，3，则: P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 ()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=??=??= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??= ()() ()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941 P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=U U U 2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”， 则 所 求 概率为 ()()()() P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙 ()( ) ()( ) P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 11 111111111 n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=?+?
浙江农林大学 2014 - 2015 学年第 二 学期考试卷（A 卷） 课程名称 概率论与数理统计（A ）课程类别：必修 考试方式：闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分.2、考试时间 120分钟. 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
一、选择题（每小题3分，共24分） 1．随机事件A 或B 发生时，C 一定发生，则C B A ,,的关系是( ) ． A. C B A ?? B.C B A ?? C.C AB ? D.C AB ? 2．()()4, 1, 0.5XY D X D Y ρ===，则(329999)D X Y -+=( )． A ．28 B ．34 C ．25.6 D ．16 3．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()D X Y D X D Y -=+，则有( )． A ．()()()D XY D X D Y = B ．()()()E XY E X E Y = C ．X 和Y 独立 D ．X 和Y 不独立 4. 设随机变量X 的概率密度为()2 21 x x p x -+-= ，则()D X =( )． A B ． 2 C ． 1 2 D ．2 5. 设)(),(21x f x f 都是密度函数，为使)()(21x bf x af +也是密度函数，则常数b a ,满足( ). A. 1=+b a B. 0,0,1≥≥=+b a b a C. 0,0>>b a D. b a ,为任意实数 6．在假设检验中，当样本容量确定时，若减小了犯第二类错误的概率，则犯第一类错误的概率会（ ）． A. 不变． B. 不确定． C. 变小． D. 变大． 7. 设321,,X X X 4X 来自总体),(2 σμN 的样本，则μ的最有效估计量是 （ ） A ． )(31 321X X X ++ B ． )(4 1 4321X X X X +++ C ． )(2143X X + D ．)(5 1 4321X X X X +++