微积分定积分练习题(有答案)
1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间[a, b]有关,与E的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关,与区间[a, b]无关 D .与f(x)、区间[a,b]和8的取法都有关 4. 在求由x= a,x= b(a
8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ; (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3,贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2,x =2,曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数, 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx
微积分公式与定积分计算练习大全
微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定 理 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
课题:定积分与微积分定理使用时间:2011-10-11 【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材选修2-2:,再思考知识梳理所提问题,有针对性的二次阅读教材,构建知识体系,画出知识树; 2.限时30分钟独立、规范完成探究部分,并总结规律方法. 【学习目标】 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义。 2.直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。 3.应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值.? 学习重点:正确计算定积分,利用定积分求面积。 学习难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题。 学习策略: ①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念。 ②求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数. ③求导运算与求原函数运算互为逆运算. 【课前预习】 一、基础知识梳理: 知识点一:定积分的概念
如果函数在区间上连续,用分点 将区间分为n个小区间,在每个小区间上任取一点 (i=1,2,3…,n),作和式,当时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即=,这里,与分别叫做积分与积分,区间 叫做,函数叫做,叫做,叫做 . 说明:(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 知识点二:定积分的几何意义: 设函数在区间上连续. 在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的; 在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示曲边梯形面积 的;
定积分与微积分练习题及答案
定积分与微积分练习题及答案 一、选择题: 1如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??-31 (3-x2-2x)dx =(3x -13x3-x2)|1-3=32 3. 2.??0 24-x2dx =( ) A .4π B .2π C .π D.π2 [答案] C [解析] 令y =4-x2,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,∴S =1 4 ×π×22=π. 3.(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω={(x ,y)|-π4≤x≤π 4,0≤y≤1}内随机投掷一点,该 点落在曲线y =cos2x 下方的概率是( ) A.π 4 B.12 C.π 2 -1 D.2π [答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域,其面积是 π 2 ,在这个区 4.设f(x)=? ??? ? x2, x ∈[0,1],2-x ,x ∈[1,2],则 2 ? f(x)dx 等于 ( ) A.34 B.45 C.5 6 D .不存在 解析:数形结合, 2 ? f(x)dx= 1 ? x2dx+ 2 1 ? (2-x)dx
= 321211(2)3021x x x +-=3115(422)326x +--+= .答案:C 5.如图,函数y =-x2+2x +1与y =1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 ( ) A .1 B.4 3 C. 3 D .2 解析:函数y =-x2+2x +1与y =1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于 2 ? (-x2+2x +1-1)dx = 2 ? (-x2+2x)dx =4 3 .答案:B 6.(2010·烟台模拟)若y = x ? (sint +costsint)dt ,则y 的最大值是 ( ) A .1 B .2 C .-7 2 D .0 解析:y = x ? (sint +costsint)dt = x ? (sint +1 2 sin2t)dt =(-cost -14cos2t)0x =-cosx -14cos2x +54=-cosx -14(2cos2x -1)+54=-12cos2x -cosx +32=-1 2 (cosx +1)2+2≤2. 答案:B 7.(2010·惠州模拟)??0 2(2-|1-x|)dx =________.[答案] 3 [解析] ∵y =? ???? 1+x 0≤x≤1 3-x 1定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. [归纳·知识整合] 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??0 1(x 2-x )d x B .S =??0 1(x -x 2)d x C .S =??0 1(y 2-y )d y D .S =??0 1(y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) — A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??-3 1 (3-x 2-2x )d x =(3x -13x 3-x 2)|1-3 =32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, / ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后 的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分,即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:在t 0时刻,v 甲的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的
定积分、不定积分、微积分的区别
定积分,不定积分…微积分的区别 不定积分 设F(x)为函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。 记作∫f(x)dx。 其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 由定义可知: 求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。 也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数. 定积分 众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。 实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分
的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。 而相对于不定积分,就是定积分。 所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。 定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分。用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。 我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢? 定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b) 但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。