导数中的不等式恒成立问题
适用学科数学适用年级高二年级
适用区域全国课时时长（分钟）120
知识点1导数公式
2函数的单调性
3 函数中的不等式恒成立问题
教学目标 1 理解和掌握导数在处理不等式恒成立问题是高考的一个难点。
2 能应用导数的方法来研究函数中的不等式问题，,来培养学生应用数学分
析、解决实际函数的能力.
3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，
合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动
脑和动手的良好品质
教学重点导数的公式，函数的单调性，不等式问题
教学难点导数研究函数中的不等式问题
学习过程
一、复习预习
考纲要求：
1．理解导数和切线方程的概念。
2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。
3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题
二、知识讲解
1.导数的计算公式和运算法则
几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1
)'(-=n n
nx
x (Q n ∈)；
x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=
； 1(log )log a a x e x
'=， ()x x e e '= ； ()ln x x
a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．
法则2 [()()]()()()(u x v x u x v x u x v x
'='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： '
2
''
(0)u u v uv v v v -??=≠ ???
复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?'
2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212
()()
f x f x k x x -=
-，两点1122(,()),(,())x f x x f x ；
(3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '；
（2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。
考点一 函数的在区间上的最值
【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2.
【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ，取
得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.
【例题2】:求曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围 。 【答案】:)51,19(-
【解析】:由2,0,063)(212===-='x x x x x f ，该函数在),2()0,(+∞-∞ 上单增，在)2,0(上单减，
当1,0==y x ；3,2-==y x ；19,2-=-=y x ；51,5==y x 。曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围为)51,19(-。
考点二 用导数研究函数的单调性
【例题3】：已知函数5)(23-+-=x x ax x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围。 【答案】：3
1
≥
a 【解析】：123)(2+-='x ax x f ，因为)(x f 在R 上单调递增，所以，0)(≥'x f ，即：0
1232≥+-x ax 在R 上恒成立，即：??
?≤?>00a ，所以，???<->0
1240a a 所以，31
≥a 。
【例题4】：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间；
【答案】：若0k <，则当1,x k ??∈-∞- ???时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ??
∈-+∞ ???
时，
()'0f x <，函数()f x 单调递减。
【解析】：由()()'10kx f x kx e =+=，得()1
0x k k
=-
≠， 若0k >，则当1,x k ??∈-∞-
???
时，()'
0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ??∈-
+∞ ???时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，w.若0k <，则当1,x k ?
?∈-∞- ??
?时，()'0f x >，
函数()f x 单调递增，当1,,x k ??
∈-
+∞ ???
时，()'0f x <，函数()f x 单调递减。.
考点三 用导数证明不等式
【例题5】：设函数()1x f x e -=-，证明：当x ＞-1时，()1
x
f x x ≥+ 【答案】：如下
【证明】：当1->x 时，1
)(+≥
x x x f 当且仅当,令1x g x e x =--（），则 1.x g x e =-，
（）当0≥x 时0g x '≥（），）（x g 在[)∞+.0是增函数：当0≤x 时()0g x '≤，)(x g 在(]0.∞-是减函数，于是)(x g 在
0=x 处达到最小值，因而当R x ∈时，)0()(g x g ≥，即1,x e x ≥+所以当1->x 时，.1
)(+≥x x
x f 【例题6】：设函数2()ln(1)2
x
f x x x =+-+，证明：当x ＞0时，()f x ＞0； 【答案】：如下
【证明】：2
22
12(2)2()0,(1)1(2)(1)(2)
x x x f x x x x x x +-'=-=≥>-++++ ，（仅当0x =时()0f x '=） 故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增，当0x =时，()0f x =，故当0)(,0>>x f x 。
K
.
考点四 函数中含参数的问题
【例题7】：设2
1)(ax
e x
f x
+=，其中a 为正实数，若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围 【答案】：.10≤ 【解析】：对)(x f 求导得.) 1(1)(2 22ax ax ax e x f x +-+=' ①若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知0122 ≥+-ax ax ，在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由 此并结合0>a ，知.10≤ 【例题8】：已知点P 在曲线4 1 x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 【答案】： 34 π απ≤≤ 【解析】：因为' 2441(1)2x x x x e y e e e --==≥-+++，即0tan 1α>≥-,所以34π απ≤≤。 考点五 导数的综合问题 【例题9】：设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 【答案】：如下 【解析】：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x ---+'=+---= 令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+，224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ?=---=-+=-- ① 当1 03a << 时，0?>，令()0f x '=，解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<< -或1(31)(1) 2(1) a a a x a a -+-->-时，()0f x '> 当 1(31)(1)1(31)(1) 2(1)2(1) a a a a a a x a a a a -----+--<< --时，()0f x '< 则()f x 在1(31)(1)(0, )2(1)a a a a a -----，1(31)(1) (,)2(1) a a a a a -+--+∞-上单调递增， 在1(31)(1)1(31)(1) ( ,)2(1)2(1) a a a a a a a a a a -----+----上单调递减 ② 当 1 13 a ≤≤时，0?≤，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时，0?>，令()0f x '=，解得1(31)(1) 2(1) a a a x a a -±--= - ∵0x >，∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----= -，则当1(31)(1) 02(1) a a a x a a ----<<-时，()0f x '> 当1(31)(1)2(1)a a a x a a ----> -时，()0f x '<，则()f x 在1(31)(1) (0,)2(1) a a a a a -----上单调递增，在 1(31)(1) (,)2(1) a a a a a ----+∞-上单调递减 【例题10】：设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 【答案】：()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞ 【解析】：（1）因为2 2 ()ln .0f x a x x ax x =-+>其中，所以2()(2) ()2a x a x a f x x a x x -+'=-+=- 由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞ （Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即，由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增， 要使2 1()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222 (1)11, ()f a e f e a e ae e =-≥-??=-+≤? ，解得.a e = 四、课堂练习 【基础型】 1若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围 答案：),29(+∞ 解析：记F （x ）=x 4﹣4x 3∵x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，∴F （x ）在R 上的最小值大于2﹣a 求导：F ′（x ）=4x 3﹣12x 2=4x 2（x ﹣3），当x ∈（﹣∞，3）时，F ′（x ）＜0，故F （x ）在（﹣∞，3）上 是减函数；当x ∈（3，+∞）时，F ′（x ）＞0，故F （x ）在（3，+∞）上是增函数． ∴当x=3时，函数F （x ）有极小值，这个极小值即为函数F （x ）在R 上的最小值 即[F （x ）]min =F （3）=﹣27，因此当2﹣a ＜﹣27，即a ＞29时，等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都 成立，故答案为：（29，+∞） 2若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。 答案：2 3 1x 271+<<+- 解析：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0,记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2) 根据题意有：?????<=<=0 1)-(2x -1)-2(x f(2)0 1)-(2x -1)--2(x f(-2)2 2，即：?????<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22 解之得x 的取值范围为2 3 1x 271+<<+- 【巩固型】 1若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是 （A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 答案D 解析：因为)(x f 在),1(+∞上递增，0)(≥'∴x f 恒成立，x kx x f ln )(-= ，01 )(≥- ='∴x k x f ，即x k 1 1> ≥，所以),1[+∞∈k 。 2在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大是 。 答案： 11()2e e + 解析：00 0000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011 [(1)]()22 x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+- 00'01 ()(1)2 x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e =+ 【提高型】 1设()nx mx x x f ++= 23 3 1. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式； （2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值． 答案：x x x x f 233 1)(23 ++= （2）m=2，n=3或，5,3==n m 解析：（1）已知()nx mx x x f ++=233 1，()n mx x x f ++=∴22 ' 又()()()322322'-+-+=--=n x m x x x f x g 在2-=x 处取极值， 则()()()3022222'=?=-+-=-m m g ，又在2-=x 处取最小值-5. 则()()()25342222 =?-=-+?-+-=-n n g ，()x x x x f 233 123 ++= ∴ （2）要使()nx mx x x f ++= 23 3 1单调递减，则()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数，所以()022'=++=n mx x x f 两根设做a ，b 。即有： b-a 为区间长度。又()()+∈-=-=-+= -N n m n m n m ab b a a b ,2444222 又b-a 为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，5,3==n m 符合。 2设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1 ()g x 的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1 a 对任意x ＞0成立． 答案：（1）(1) 1.g =（3）0a e << 解析：（1）由题设知1 ()ln ,()ln f x x g x x x ==+ ，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间。 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间， 因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x 的最小值为(1) 1.g = (2)1()ln g x x x =-+，设11()()()ln h x g x g x x x x =-=-+，则2 2 (1) ()x h x x -'=- ，当1x =时，(1)0h =， 即1()()g x g x =，当(0,1)(1,)x ∈?+∞时，()0h x '<，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x < （3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以，1()()g a g x a -<，对任意0x >，成立1()1,g a a ?-< 即1,Ina <从而得0a e <<。 五、课程小结 本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往有一定的难度，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握求导公式，学会建立切线方程，特别是没有给出具体点切线方程的建立。用点线式求切线方程的步骤： 用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 六、课后作业 【基础型】 1设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()2122 4 In f x -> 答案：102 a << 解析：（I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x ++'=+ =>-++，令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-。由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480(1)0 a g a ?=->?? -=>?，得 1 02 a << ，⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数；⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21 (0)0,02 g a x =>∴- <<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2， 设()()22 1(22)1()2 h x x x x ln x x =-++>-， 则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++，⑴当1 (,0)2 x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在 1 [,0)2 -单调递增；⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。 ()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时，故()22122 ()4 In f x h x -=>． 2（Ⅰ）设函数2()ln(1)2 x f x x x =+-+，证明：当x ＞0时，()f x ＞0； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽 得的20个号码互不相同的概率为p .证明：p ＜199()10＜21e . 答案：如下 解析：（Ⅰ）2 22 12(2)2()0,(1)1(2)(1)(2) x x x f x x x x x x +-'=-=≥>-++++ ，（仅当0x =时()0f x '=） 故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增.当0x =时，()0f x =，故当x ＞0时，()f x ＞0. （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个 号码互不相同的概率为2010020 100A p =，要证p ＜（910）19＜21 e . 20 1910020910010A p =<（） 即证19)90(819899 )90(819899 p <（） 再证：192910e -<（ ），即证192109e >（），即证1029>19ln ，即证102 9>ln 19 由（Ⅰ）2()ln(1)2 x f x x x =+-+，当x ＞0时，()f x ＞0.令1,9x =则1 21129ln(1)ln(1)01991929 ? +- =+->+，即1029>ln 19，综上有：19 2910p e -<<（）。 【巩固型】 3已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )，当m ≤2时，证明f (x )＞0. 答案：如下 证明：当m ≤2，),(+∞-∈m x 时，)2ln()ln(+≤+x m x ，故只需证明当m ＝2时，0)(>x f . 当m ＝2时，函数2 1 )(+- ='x e x f x 在(－2，＋∞)单调递增．又0)1(<-'f f ，0)1(>-'f ， 故0)(='x f 在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且)0,1(0-∈x ．当),2(0x x -∈时，0)(<'x f f ； 当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x f f ′，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由0)(0='x f 得2 1 00 += x e x ，00)2ln(x x -=+， 故02 )1(21 )()(02 0000>++=++= ≥x x x x x f x f . 综上，当m ≤2时，0)(>x f f (x )＞0. 4已知函数b ax x x f ++=2)(，)()(d cx e x g x +=若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y . （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围. 答案：（1）2,2,2,4====d c b a （2）[1，e 2] 解析：(1)由已知得4)0(,2)0(,2)0(,2)0(='='==g f g f .而)()(,2)(c a cx e x g a x x f x ++='+='， 故4,2,2,2=+===c d a d b .从而2,2,2,4====d c b a . (2)由(1)知，)1(2)(,24)(2+=++=x e x g x x x f x ． 设函数24)1(2)()()(2 ---+=-=x x x ke x f x kg x F x ， 则)1)(2(242)2(2)(-+=--+='x x ke x x x ke x F ．由题设可得0)0(≥F ，即1≥k . 令0)(='x F 得nk x 11-=，22-=x . ①若2 1e k ≤≤，则021≤<-x .从而当),2(1x x -∈时，0)(<'x F ；当),(1+∞∈x x 时，0)(>'x F .即 F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而0)2(2422)(1112 111≥+-=---+=x x x x x x F .故当2-≥x 时，0)(≥x F ，即)()(x kg x f ≤恒成立． ②若2 e k =，则))(2(2)(22--+='e e x e x F x ．从而当x ＞－2时，0)(>'x F ，即F (x )在(－2，＋∞)单 调递增．而0)2(=-F ，故当2-≥x 时，0)(≥x f ，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则0)(222)2(222<--=+-=---e k e ke F .从而当2-≥x 时，)()(x kg x f ≤不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]． 5已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围。 答案：（1）1a =，1b =（2）0k ≤ 解析：（Ⅰ）221 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+， 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1) (1)1,1'(1),2f f =???=-??即1, 1,22 b a b =?? ?-=-??解得1a =，1b =。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x =++，所以22 ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22 (1)(1)2'()k x x h x x -++=。 (i)设0k ≤，由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得 21 ()01h x x >-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2 11x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（ 1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k . （ii ）设0 (1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且 244(1)0k ?=-->，对称轴x= 111k >-. 当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故' h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1， k -11）时，h （x ）>0，可得2 11x -h （x ）<0,与题设矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时2 12x x +≥，2 (1)(1)20k x x -++>?' h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1， +∞）时，h （x ）>0，可得2 11 x - h （x ）<0,与题设矛盾。 【提高型】 6已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围。 答案：5 (,21)2 --- 解析：(Ⅰ) 2()36(36)f x x ax a '=++-，(0)36f a '=-，又(0)124f a =- 曲线()0y f x x ==在的切线方程是：(124)(36)y a a x --=-，在上式中令2x =，得2y = 所以曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）由()0f x '=得2 2120x ax a +--=，（i ）当2121a --≤≤ -时，()f x 没有极小值； (ii)当21a > -或21a <--时，由()0f x '=得221221,21x a a a x a a a =--+-=-++- 故02x x =。由题设知21213a a a <-++-<，当21a > -时，不等式21213a a a <-++-<无解； 当21a <--时，解不等式21213a a a <-++-<得5 212 a -<<-- 综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,21)2 ---。 7已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2 '()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 答案：[)1,-+∞. 解析：11 ()ln 1ln x f x x x x λ +'= +-=+，()ln 1xf x x x '=+,题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤.令()ln g x x x =-，则1()1g x x '=-，当01x ＜＜，' ()0g x ＞；当1≥x 时，0)(≤'x g ，1x =是()g x 的 最大值点，1)1()(-=≤g x g ，综上，a 的取值范围是[)1,-+∞. (Ⅱ)由（Ⅰ）知， 1)1()(-=≤g x g 0 1ln <+-x x .当 1 0< ()(1)l n 1l n f x x x x x x x x =+-+=+-+≤；当1≥x 时， ()ln (ln 1)f x x x x x =+-+ 1ln (ln 1)x x x x =++-11 ln (ln 1)x x x x =--+0≥，所以0)()1(≥-x f x . 8设函数()1x f x e -=-． （Ⅰ）证明：当1->x 时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1 x f x ax ≤+，求a 的取值范围． 答案：?? ? ???210， 解析：（Ⅰ）当1->x 时，1 )(+≥ x x x f 当且仅当,令1x g x e x =--（），则 1.x g x e =-， （）当0≥x 时0g x '≥（），）（x g 在[)∞+.0是增函数：当0≤x 时()0g x '≤，)(x g 在(]0.∞-是减函数，于是)(x g 在 0=x 处达到最小值，因而当R x ∈时，)0()(g x g ≥，即1,x e x ≥+所以当1->x 时，.1 )(+≥ x x x f （Ⅱ）有题设0≥x ，此时0)(≥x f ，当0则,01<+ax x 1 )(+≤ ax x x f 不成立； 当0≥a 时，令x x f x axf x h -+=)()()(，则1 )(+≤ ax x x f 当且仅当.0)(≤x h 1)()()()(-'+'+='x f x f ax x af x h ).()()(x f ax x axf x af -++= （i ）当2 1 0≤ ≤a 时，由（Ⅰ）知)()1(x f x x +≤()()()(1)()h x a f x a x f x a x f x f x '≤-++- 0)(12≤-=x f a ）（.)(x h 在[)∞+.0是减函数，0)0()(=≤h x h ，即.1 )(+≤ ax x x f (ⅱ)当2 1 a > 时,由(ⅰ)知)(x f x ≥,()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-)()()()(x f x af x axf x af -+-≥ )()12(x f ax a --=.当a a x 120-<<时，0)(>'x h ，所以0)0()(=>h x h ，即1 )(+>ax x x f ， 综上，a 的取值范围是?? ? ???210，。
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