第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.4幂函数
重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念；
②结合函数1
2
3
21,,,,y x y x y x y y x x
====
=的图像，了解他们的变化情况．
经典例题：比较下列各组数的大小：
（1）1.53
1，1.73
1，1； （2）2
3
2-
，（－
107
）
3
2
，1.1
3
4-
；
（3）3.83
2
-
，3.952
，（－1.8）5
3； （4）31.4，51.5
.
当堂练习：
1．函数y ＝（x 2
－2x ）
2
1－
的定义域是（ ）
A ．{x |x ≠0或x ≠2}
B ．（－∞，0）
（2，＋∞） C ．（－∞，0）
［2，＋∞ ） D ．（0，2）
3．函数y ＝5
2
x 的单调递减区间为（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（－∞，0）
C ．［0，＋∞ ］
D ．3．如图，曲线c 1, c 2分别是函数y ＝x m
和y ＝x n
在第一象限的图象， 那么一定有（ ）
A ．n B ．m C ．m>n>0 D ．n>m>0 4．下列命题中正确的是（ ） A ．当0α=时，函数y x α =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数的y x α= 图象不可能在第四象限内 D ．若幂函数y x α =为奇函数，则在定义域内是增函数 5．下列命题正确的是（ ） A ． 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B ． 图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数 C ． 如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同 D ． 如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数 6．用“<”或”>”连结下列各式：0.6 0.32 0.5 0.32 0.5 0.34， 0.40.8- 0.40.6-． 7．函数y ＝ 2 21m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 8．幂函数的图象过点(2, 14 ), 则它的单调递增区间是 ． 9．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝a x 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ． 10．函数y ＝34 x 在区间上 是减函数． 11．试比较5 3 0.75 38 0.16,1.5 ,6.25的大小． 12．讨论函数y ＝x 5 4的定义域、值域、奇偶性、单调性。 13．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 4 27),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集. 14．已知函数y ＝ 4 2 215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③； 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）． .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（） A．B．1C．2D．8 答案：A 解析： 解：设幂函数f（x）=x a，x＞0， ∵幂函数f（x）过点， ∴，x＞0， ∴，∴， ∴f（4）==． 故选A． 2．幂函数y=（m2+2m-2）的图象过（0，0），则m的取值应是（）A．-3或1B．1C．-3D．0＜m＜4 答案：B 解析： 解：由幂函数的定义得：m2+2m-2=1，且-m2+4m＞0， 解得：m=1， 3．函数y= 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：C 解析： 解：∵函数y=的定义域是[0，+∞）， ∴排除选项A 和B ， 又∵，∴曲线应该是下凸型递增抛物线． 故选：C ． 幂函数y=x -1及直线y=x ，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一 象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ） A ．④⑦ B ．④⑧ C ．③⑧ D ．①⑤ 答案：D 解析： 解：取x=得∈（0，1），故在第⑤卦限； 再取x=2得∈（1，2），故在第①卦限 5．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（） A．4B．3C．2D．1 答案：C 解析： 解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，所以，∴ ∴ 故选C． 二．填空题（共__小题） 6．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=______． 答案： 解析： 解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23， ∴f（）= = = = =． 故答案为： 7．设，则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为______．答案：，2 高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n =B ． 3 3 39=C ．4 343 3 )(y x y x +=+D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 613 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 高中数学幂函数同步练习 知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习： 1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2 ，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21 m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.53 1，1.73 1，1； （22 3 2- ，（－ 107 ）3 2，1.1 3 4- ； （3）3.83 2-，3.95 2，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5 . 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值． 例3幂函数2 7323 5 ()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式. 指对幂函数试卷四 一、选择题 1.设的大小关系是、、，则，，c b a c b a 243.03.03log 4log -=== 0的x 的集合是 . 3. )2log (2)9(log )(91-==-f f x x f a ，则满足函数的值是_____. ? 4.函数 1e 1e +-=x x y 的反函数的定义域是_________. 一、选择题 1、 3 a · 6 a -等于 A.－a - B.－a C. a - D. a 2、已知函数 f （x ）=? ????<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则 f （2+log23）的值为 A.31 B.61 C.12 1 D.24 1 3、在f1（x ）=x 2 1，f2（x ）=x2，f3（x ）=2x ，f4（x ）=log 2 1x 四个函数中，x1＞x2＞1时，能使21 ［f （x1）+f （x2）］＜f （2 21x x +）成立 的函数是 A.f1（x ）=x 2 1 B.f2（x ）=x2C.f3（x ）=2x D.f4（x ）=log 2 1 x 4、若函数y 21 log (2-log2x)的值域是(-∞,0),那么它的定义域是() A.(0,2) B.(2,4) C.(0,4) D.(0,1) 5、下列函数中，值域为R+的是（） （A ）y=5 x -21（B ）y=(31 )1－x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 6、下列关系中正确的是（） （A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32（D ）（51）32<（21）32<（21）31 7、设f:x →y=2x 是A →B 的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A 满足 A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log23} C.A ?{0,1,2,log23} D.不存在满足条件的集合 8、已知命题p ：函数 ) 2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数 x a y )25(--= 是减函数。若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a<2 C ．1 高中数学-幂函数练习 【选题明细表】 知识点、方法题号 幂函数的定义2,4,12 幂函数的图象3,6,7,10 幂函数的性质1,5,8,9,11,12,13,14,15 1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C ) (A)y= (B)y=x3 (C)y=x2(D)y=x 解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C. 2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C ) (A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2 解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数, 所以m2-4m+4=1, 解得m=3或m=1. 由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0, 解得2 5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B ) (A)c 2。3幂函数 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号 填在题后的括号内（每小题5分,共50分). 1．下列函数中既是偶函数又是 （ ) A ． B ． C ． D ． 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [上的最大值是 （ ) A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ) A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过(0，0）和（1，1)点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 ( ) A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．函数2422 -+= x x y 的单调递减区间是（ ) A ．]6,(--∞ B ．),6[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),1[+∞- 9． 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象， 1α 3α 4α 2α 比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 10． 对于幂函数5 4)(x x f =，若210x x <<,则 )2( 21x x f +， 2) ()(21x f x f +大小关系是（ ) A ．)2(21x x f +>2) ()(21x f x f + B ． )2( 21x x f +<2 ) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + D ． 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分，共24分)。 11．函数的定义域是 。 12．的解析式是 。 13．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 14．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的 奇偶性为 . 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) 。 15．（12分）比较下列各组中两个值大小 (1) 16．（12分）已知幂函数 轴对称，试确定的解析式。 高一数学幂函数知识点总结 函数是高中数学中比较重要的一项知识，学好函数可以提高自己的数学知识水平。下面就让小编给大家分享一些高一数学幂函数知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高一数学幂函数知识点总结篇一一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴 和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 1 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 2.4幂函数 经典例题：比较下列各组数的大小： （1）1.5，1.7，1；（2）（－），（－），1.1； （3）3.8，3.9，（－1.8）；（4）31.4，51.5. 当堂练习： 1．函数y＝（x2－2x）的定义域是（） A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）［2，＋∞）D．（0，2） 3．函数y＝的单调递减区间为（） A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞） 3．如图，曲线c1, c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象， 那么一定有（） A．n 10．函数y＝在区间上是减函数． 11．试比较的大小． 12．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性。 13．一个幂函数y＝f (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集. 14．已知函数y＝． （1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间． 高一数学幂函数、指数函数和对数函数练习题 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则 b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 2.3幂函数双基限时练 新人教A 版必修1 1．若函数f (x )＝x 3 (x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数 解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3 . ∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B 2．设α∈???? ??－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α 为奇函数，且在(0，＋∞) 上单调递减的α的值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1 满足题意，因此选A. 答案 A 3．已知幂函数y ＝x m 在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个 值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( ) A ．－2，－12，1 2，2 B ．2，12，－1 2，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B. 答案 B 4．函数y ＝x 5 3 的图象大致是( ) 解析 由于5 3>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图 象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确． 答案 B 5．函数y ＝log a (2x －3)＋2 2 的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( ) A.13 B. 3 C ．3 D ．9 解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x －3)＋2 2 的图象恒过定点? ?? ??2， 22， 设f (x )＝x α ，则 22＝2α ，故α＝－12 ， 所以f (x )＝x － 12 ，所以f (9)＝9－ 1 2 ＝3－1 ＝13 . 答案 A 6．设a ＝? ????12 34 ，b ＝? ????15 34 ，c ＝? ????12 12 ，则( ) A ．a b ；构造指数 函数y ＝? ?? ??12x ，由该函数在定义域内单调递减，所以a 第二章基本初等函数（1） 2.3 幂函数 测试题 知识点：幂函数的概念 1、下列函数中是幂函数的是( ) A.y= B.y=2x-2 C.y=x+1 D.y=1 2、下列函数中,是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x2 3、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( ) A.y=x+2 B.y= C.y= D.y=x3 4、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ) A.y= B.y=x4 C.y=x-2 D.y= 5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( ) A.①⑤ B.①②③ C.②④ D.②③⑤ 6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= . 7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于. 8、比较下列各组数的大小: (1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2; (3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( ) A.1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1 10、函数y=x-2在区间上的最大值是( ) A. B. C.4 D.-4 11、在下列函数中,定义域为R的是( ) A.y= B.y= C.y=2x D.y=x-1 12、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是. 13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是. 知识点：常见幂函数的图像和性质 14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( ) A.y= B.y=x2 C.y=x3 D.y= 15、函数y=x-2在区间上的最大值是( ) A. B. C.4 D.-4 幂函数单元测试题 一.选择题(36分) 1.下列函数是幂函数的是( ) (A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2 (D) y=32x 2.下列说法正确的是( ) (A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数; (C) y=x 是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0不是偶函数. 3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( ) (A) y=x -2 (B) y=21 x (C) y=41x (D) y=21x 4.若A=2,B=33,则A 、B 的大小关系是( ) (A) A>B (B) AB 3 (D) 不确定 5.下列是y=32x 的图象的是( ) (A) (B) (C) (D) 6.y=x 2与y=2x 的图象的交点个数是（ ） （A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二．填空题（21分） 7．y=(m 2-2m+2)x 2m+1是一个幂函数，则m= . 8. y=x 的单调增区间为 . 9.在函数①y=x 3②y=x 2③y=x -1④y=x 中，定义域和值域相同的是 . 三．解答题（43分） 10．证明：f(x)=x 在定义域内是增函数。（14分） y 11.对于函数f(x)=23 -x , (1).求其定义域和值域； (2).判断其奇偶性。（14分） 12．已知幂函数y=x 3-p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上为增函数， 求满足条件(a+1)2p <(3-2a)2p 的实数a 的取值范围。（15分） DAABBC 一．7. 1; 8. [0，+∞] ; 9.(1),(3),(4). 二．10.定义域为[0，+∞]，利用定义易证单调性。注意分子有理化。 11．（1）定义域为（0，+∞），（2）值域为（0，+∞）； （3）非奇非偶函数。 12．因为y=f(x)为偶函数，且3-p>0,p 是正整数，则3-p=2,得p=1. 1+a
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