等腰三角形练习题
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180°
得∠A=2x=45°
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD
求∠A 的度数
设∠A 为x,
由5x=180°
得∠A=36°
3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，
求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°
A
B C D F
E
F
E
A D
B C X
x x 2x
2x
A
B C D
E
x
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA
求∠A 的度数
设∠A 为x
∠A=7180
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15°
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上
A
B C
D E
x
x
2x
2x 3x
3x x A B C D
E x x 180°－2x 30° x －15°
x －15° E
A C
B D
F
1 2
一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD=
2
1,DE+BC=1,
求∠ABC的度数
延长DE到点F,使EF=BC
可证得:△ABC≌△BFE
所以∠1=∠F
由∠2+∠F=90°,
得∠1+∠F=90°
在Rt△DBF中, BD=
2
1,DF=1
所以∠F =∠1=30°
7. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD
求∠B：∠C的值
在AC上取一点E,使AE=AB 可证△ABD≌△ADE
所以∠B=∠AED
由AC=AB+BD,得DE=EC,
所以∠AED=2∠C
故∠B：∠C=2:1
A
B C
D
E
二、证明题：
8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、
AC 于点D 、E
求证：DE=BD+AE
证明△PBD 和△PEA
是等腰三角形
9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大
小关系 DF+AD=AE 在AE 上取点B,使AB=AD
C B A D
E P A D
F E B
10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线
AD 、CE 交于点O
求证：AE+CD=AC
在AC 上取点F,使AF=AE
易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF 由∠B=60°，角平分线AD 、CE, 得∠AOC=120°
所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC
11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，
BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD
延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD
也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF
O
A B C D
E F A B C
D E
F
在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE 先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可
12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一
点，且∠ABD=∠ACD =60°
求证：CD=AB-BD
在AB 上取点E ，使BE=BD ，
在AC 上取点F ，使CF=CD 得△BDE 与△CDF 均为等边三角形，
只需证△ADF ≌△AED
13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线
A B C D E F
A B C
E
D
E A B
C
D
E
F
求证：CD=2
1CE 延长CD 到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE ≌△BCE
14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC
求证：BD=ED
在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD 由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED
15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC
于点G
求证：EG=FG C
A
B
D
E
1 2
F F
C B
E
G
A
16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD
求证：AF=FC
17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条
高，交于点H ，且AE=BE
求证：AH=2BD
由△AHE ≌△BCE,得BC=AH
18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠
BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC
作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E
A B
D F
E C
A B C D
E H
A
B
C
D
E F
可证得∠DAF=DAE=15°,
所以△ADE≌△ADF
得AF=AE,
由AB=2AF=2AE=AC,
所以AE=EC,
因此DE是AC的中垂线,所以AD=DC
19. 如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD
求证：EC=ED
延长BD到点F,使DF=BC, 可得等边△BEF,
只需证明△BCE≌△FDE即可A
E
B C D F
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平
分线交于点H 求证：EH ⊥FH
延长EH 交AF 于点G
由∠BAD+∠BCD=180°,
∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF, 由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥FH
等腰三角形练习题
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180°
得∠A=2x=45°
A
B
D C
E
F
H G 1
2 M A
B C
D
E x x
3x
2x 3x 2x
2x
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD
求∠A 的度数
设∠A 为x,
由5x=180°
得∠A=36°
3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，
求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA
求∠A 的度数
设∠A 为x
∠A=7180
A
B C D F
E
F
E
A D
B C X
x x 2x
2x
A
B
C
D E
x
x 2x
2x 3x 3x x
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15°
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数
延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F
由∠2+∠F=90°,
A B C
D
E x x 180°－2x 30° x －15°
x －15° E
A
C B
D
F
1 2
得∠1+∠F=90°
在Rt△DBF中, BD=
2
1,DF=1
所以∠F =∠1=30°
7. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD
求∠B：∠C的值
在AC上取一点E,使AE=AB
可证△ABD≌△ADE
所以∠B=∠AED
由AC=AB+BD,得DE=EC,
所以∠AED=2∠C
故∠B：∠C=2:1
二、证明题：
8. 如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、
AC于点D、E
求证：DE=BD+AE
证明△PBD和△PEA 是等腰三角形
C
B A
D
E
P
A
B C
D
E
9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大
小关系 DF+AD=AE 在AE 上取点B,使AB=AD
10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线
AD 、CE 交于点O
求证：AE+CD=AC
在AC 上取点F,使AF=AE
易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF 由∠B=60°，角平分线AD 、CE,
A D
F E B O
A B C D
E F
得∠AOC=120°
所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC
11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，
BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD
延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD
也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE 先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可
A B C
D E
F A B C D E F
12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一
点，且∠ABD=∠ACD =60°
求证：CD=AB-BD
在AB上取点E，使BE=BD，
在AC上取点F，使CF=CD
得△BDE与△CDF 均为等边三角形，
只需证△ADF≌△AED
13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中
AB边上的中线
求证：CD=
2
1CE
延长CD到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE≌△BCE
A
B C
E D
E A
B
C D
E
F
14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC
求证：BD=ED
在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD 由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED
15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC
于点G
求证：EG=FG
16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FC
C
A
B
D
E
1 2
F F C B E
G A
17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条
高，交于点H ，且AE=BE
求证：AH=2BD
由△AHE ≌△BCE,得BC=AH
18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠
BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC
作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E
可证得∠DAF=DAE=15°, 所以△ADE ≌△ADF 得AF=AE,
由AB=2AF=2AE=AC, 所以AE=EC,
A B
D
F
E C A B C D
E H
A
B C
D
E
F
因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DC
19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点
E ，延长BC 至点D ，使AE=BD
求证：EC=ED
延长BD 到点F,使DF=BC,
可得等边△BEF, 只需证明△BCE ≌△FDE 即可
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
A E
B
C
D F
延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°,
∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF,
由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥FH
A
B
D
C
E
F
H
G 1
2 M
等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 A B C D F E F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x A x
设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=2 1,DE+BC=1, A B C D E x x 180°－2x 30° x －15° x －15° A
求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题： 8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于 点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA C B A D E P A B C D E
1.1等腰三角形的性质和判定（2） 九年级数学备课组课型：新授 【学习目标】 在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 【重点、难点】 1、等边三角形的性质及其证明。 2、应用性质解题。 【预习指导】 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【思考与交流】 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”） 2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。 （2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。 3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【典题选讲】 例1.如图，在△ABC中，点O在AC上，过点O作M N∥BC，CE、CF分别是△ABC 的内外角平分线，与MN分别交于E、F，求证：OE=OF. 例2、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BC=BD=AD,则∠A的度数是多少？
变式; .如下图，在△ABC 中, AB=AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。 【课堂练习】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝36°，∠ADE ＝∠AED ＝2∠B ，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。 2、已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。 求证：△ADE 是等边三角形。 A B C D E A B C D E
培优专题 等腰三角形 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1 如图1-1，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 为BC 边上两点，且∠BAM=∠CAN ，MN=AN ，求∠MAC 的度数． 分析 AB=AC ，MN=AN 可知△ABC 和△AMN 均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系． 练习1 1．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）． A ．7．5° B ．10° C ．12.5° D ．15° 2．如图，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′=AB=B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？ 3．如图，等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，?连结CD ，则∠BDC=________． 例2 如图1-5，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗？试说明理由． 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．
一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH
1.1 等腰三角形的性质和判定 班级姓名学号 学习目标: 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式. 2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理. 学习重点:等腰三角形的性质及其证明. 学习难点:等腰三角形的性质及其证明. 学习过程 一、知识回顾： 1、什么叫做等腰三角形？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、等腰三角形有哪些性质？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？（不妨动手操作做一做） 二、新知教学： （一）探索活动： 1、合作与讨论：证明：等腰三角形的两个底角相等. 2、思考：由上面的证明过程，你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论？请用符号语言表示. 3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理. 定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）
4、思考与探索 如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ （二）例题分析 1、已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC.求证：AB ＝AC 拓展：在上图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？ 2、证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （三）巩固练习： 1、证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 2、如图，BO 平分∠CBA, CO 平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长. 三、总结反思 1、证明文字命题应注意什么？ 2、等腰三角形的判定和性质分别是什么？如何证明？ 3、一个常见的基本图形. A B C D E A B C M N O
等腰三角形提高训练题1 培优训练 1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形 底边的长为 ． 2．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= 度． 3．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ， 若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是 ． (烟台市中考题) 4．△ABC 的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B ，那么∠C 的外角的大小是( ) A ．140° B ．80°或100° C ．100°或140° D ．80°或140° 5．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点， 两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形，③S AEPF 四边形=2 1 S ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 (苏州市中考题) 6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝AE ，BC ＝BF ，则∠ECF ＝( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．不确定 7．如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O 点．作MN ∥BC ，EF ∥AB ，GH ∥AC ，BC ＝a ，AC=b ，AB ＝c ，则△GMO 周长+△ENO 的周长－△FHO 的周长 ． 8．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，则∠B ：∠C 的值= ． （“五羊杯”竞赛题） 9．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=2 1∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) (天津市中考题) 10．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ． 120°或150° D ．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛) 11．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( ) A ．只有一个且为等腰三角形 B ．至少有两个且都为等腰三角形 7题 6题 8题 9题 5题
与等腰三角形有关的证明题 例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD ＝CE，DE交BC于F。 求证：DF＝EF 分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等， 但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅 助线。 作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB 从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB 从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE 在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等） 故∠GDF＝∠FEC 又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC 所以DF＝EF 例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F。 求证：为定值。 分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等 于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定 值究竟是多少呢我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时， DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。 要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB ＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。 如果注意到高，联想到三角形面积，则 可采用如下简单的证法： 连接AD 则由，得： 又AB＝AC 边上的高＝定值
等腰三角形性质及判定 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形中有关度数的计算题 例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
举一反三： 1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数． 2.如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求三角形各角的度数. 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数 类型二、等腰三角形中的分类讨论 例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120° 举一反三： 1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是． 2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿ 3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿ 4.等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿ 5.等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为＿＿＿＿ 6.等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（） D C B A
2、等腰三角形的性质 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形(isoscelestriangle)．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形(equilateral triangle)的各边相等，各角都为600 ． 解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 【例l 】如图，AOB 是一钢架，且∠A OB =100，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、 GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根． (山东省聊城市中考题) 思路点拨 通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． 【例2】 如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为( )． A ．300 B ．320 C ．360 D ．400 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 图中有很多相关的角，用∠BAC 的代数式表示这些角，建立关于∠BAC 的方程． 【例3】如图，在△ABC 中，已知∠A=900，AB=AC ，D 为AC 上一点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ．问 当点D 满足什么条件时，∠ADB=∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨 本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB=∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB 与∠CDF 对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线． 【例4】如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=900，D 是AC 上一点，AE⊥BD 交BD 的延长线于E ，且 .21BD AF 求证：BD 是∠ABC 的角平分线． (北京市竞赛题)
轴对称章 等腰三角形的性质及判定 北京四中龚剑钧 知识要点： 一、等腰三角形的性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 （简称“三线合一”）． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 二、说明： 性质1证明同一个三角形中的两角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 例题讲解 1.如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°， 求∠2的度数. 经典练习： 1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点， AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE， 求∠B的度数．
2.(1)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°， 则顶角的度数为______． (2)已知等腰三角形的周长为13，一边长为3， 则其余各边长是_________. 3. 已知，如图，AB=AC，∠A=1080，BD平分∠ABC交AC于D， 求证：BC=AB+CD． 4.如图，△ABC中，CE是BC的延长线，CD平分∠A CE，CD//AB． 求证：△ABC是等腰三角形． 5.如图，△ABC中，∠ACB=900，CD是AB上高，∠BAC的平分线AF交CD 于E，判断△CEF的形状，证明你的结论． 6.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，，垂足
分别为E，F，求证：DE=DF 7.如图，在RtABC中，AB=AC，∠BAC =90°，O为BC的中点． （1）写出O点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）．（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM， 请你判断△OMN的形状，并证明你的结论． 8.已知：如图，△ABC中，∠ACB=450，AD⊥BC于D，在AD上取点F，连接BF并延长交AC于E，∠BAD=∠FCD． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
专题讲义 等腰三角形的性质运用 夯实基础 1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或70° D ．40°或100° 2. 一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（ ） A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．不能确定 3．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（ ） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 4.如图，折叠长方形纸片ABCD ，沿对角线BD 折叠，使DC 落在DC′处，交AB 于G ， （1）求证：DG=GB （2）图中全等的三角形共有______ 对。 例题剖析 遇直角△可构“一线三垂直”模型，证全等 【例1】在平面直角坐标系中，点A (4，0)、B (0，8)，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，则点C 坐标为__________ 【例2】如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，射线BC 上有一动点G ，GE ⊥AC 于E ， GF ⊥AB 于F ，AB 上的高为CD 。 （1）当G 在BC 间运动时，求证：GE+GF=CD 。 （2）当G 运动到BC 外时，试判断出GE 、GF 、CD 间关系，并加以证明。 G F E D C B A C ' G D C B A
【例3】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于G ， 试判断线段DG 与EG 的长度有怎样的关系，证明你的结论。 【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点D 在AB 上，AD=AC ，BE ⊥直线CD 于E （1）求∠BCD 的度数； （2）求证：CD=2BE ； （3）若点O 是AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、BD 、CO 之间的数量关系． 【例5】已知如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD ，求证：AB=BC 。 【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 为两动点，两动点分别从C 点和A 点出发，沿CB 和AC 方向以相同的速度运动，AD 与BE 交于F 点，试判断∠AFE 的度数是否变化，若不变，求出其值，若变化，求出其范围。 【例7】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF 。 G E D C B A M C B D A F B E D A F E D C B A
等腰三角形及三线合一经典试题 难题 1．等腰三角形的对称轴是（ ） 2． 1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） 2．2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40°C ．40°D ．80° 4．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 5．等腰三角形的一个内角为 80 ，则另两个内角的度数为 6．等腰三角形底边长为10，则腰长的取值范围为 7．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若 ∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 9.如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 10. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( ) 11. 已知：如图：CA=CB, DA=DB 求证：(1)∠1=∠2．(2)CD ⊥AB ． A B C D F E C B A D E P E C A H F G
E D C A B H F 12.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ； ③判断△CFH 的形状并说明理由． 13．如图， 中， ，试说明： ． 14.如图3，在?ABC 中，∠=A 90ο ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P C 图3 15.已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1
（ 课 题 《等腰三角形的性质定理和判定定理及 课型 新授课 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学后记 其证明》教案 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角 形的关性质定理和判定定理。 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 观察法 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习： 1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 二、新课讲解： 之前，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已 经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理: ? 1.两直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 ,那么这两条直线平 行; ? 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; ? 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ） ? 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ） ? 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ） ? 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论： 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 AAS ） 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知） ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于 180°） ∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) ∠C=∠F （等量代换） BC=EF （已知） △ABC ≌△DEF （ASA ） 这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步 骤，为下面的推理证明做准备。 这个推论 虽然简单， 但也应让 学生进行 证明，以熟 悉的基本 要求和步 骤，为下面 的推理证 明做准备。 学生充分 讨论问题 1，借助等 腰三角形
3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系, 理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问 【知识精读】 （-）等腰三角形的性质 1.有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等; 3等腰三角形 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对 称轴的轴对称图形; 推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 2.定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系, 由两边相等推出两 角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、 底边上的高、顶 角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等， 两个角相等以及两条直线互相垂 直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角 对 等边”。） 推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 它是证明线段相等的重要定
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题, 在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合， 添加辅助线时, 有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况 来定。 【分类解析】 例1.如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM 丄BC ,垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 所以/ 1 = - / ABC 2 又因为CE = CD ，所以/ CDE = / E 所以/ ACB = 2/ E 即/ 1=/ E 所以BD = BE ,又DM 丄BC ,垂足为 M 分析：欲证M 是BE 的中点，已知 DM 丄BC ,所以想到连结 BD ，证BD = ED 。因为△ ABC 是等边三角形，/ DBE = - / ABC ，而由 CE = CD ，又可证/ E = - / ACB ，所以/ 1 2 2 =/ E ,从而问题得证。 证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2.如图，已知: ABC 中，AB AC , D 是 BC 上一点，且 AD DB , DC CA , 求 BAC 的度数。 E D
等腰三角形经典试题(有难度)
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等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， F E A D B C X x x 2x 2x A B C D E x x 3x 2x 3x 2x 2x
EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A=7180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x x A 180°－2x 30°
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD= 2 1,DE+BC=1, 求∠ABC的度数 延长DE到点F,使EF=BC 可证得:△ABC≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt△DBF中, BD= 2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30°E A C B D F 1 2
第一章三角形的证明检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（） A.15 7 B. 12 5 C. 20 7 D. 21 5 3. 如图，在△ABC 中，，点D在AC 边上，且，则∠A的度数为（） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 5.如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④△≌△． 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（） A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm 7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（） A. B. C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（） A.5 B.2 C. 4 5 D.1 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E ，如果cm ，那么△的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 . 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形. 13.（2015?四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 14.如图，在△ABC 中，，AM 平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________. 15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则 _________，_________. 16.(2015?江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线， 则△ABD与△ACD的面积之比是. 17. 如图，已知 的垂直平分线交 于点 ，则 . 18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜 边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.
等腰三角形性质及判定 等腰三角形的性质 知识点一：等腰三角形的定义 1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________ 2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________ 3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________ 4.等腰三角形的一个角为40°，则其余角度为_____________ 5.等腰三角形的一个角为120°，则其余角为____________ 知识点二等边对等角 6.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是___________ 7.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。 第7题第8题第9题 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________ 9.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________- 10.如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证：AE∥BC。
知识点三：等腰三角形的“三线合一” 11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________- 12.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________ 13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF 14.如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D 15.在△ABC中，AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD=15°，求∠B的度数。 16.如图，AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。
E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
等腰三角形计算和证明题集锦 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ， 若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点， 作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ， 过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E
等腰三角形计算和证明题集锦11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点， 且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线 求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上 的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高， 交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB， ∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E， 延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180° AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点 E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH