第二章 插值法
在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的
问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求
作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设
计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函
数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。此
外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不
易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个
简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函
数()f x 的一些样点，选定一个便于计算的函数
()x ?形式，如多项式、分式线性函数及三角多
项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数
()x ?作为()f x 的近似，这就是插值法；另一
类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似
函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些
样点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数
据）拟合法。
设已知区间[,]a b 上的实值函数f 在1n +个
相异点[,i x a b ∈处的函数值
(),0,1,,i i f f x i n == ，要求构造一个简单函
数()x ?作为函数()f x 的近似表达式
()()f x x ?≈
使得
()(),0,1,,i i i x f x f i n ?=== (2-1)
这类问题称为插值问题。称f 为被插值函数；
()x ?为插值函数；0,,n x x 为插值节点；(2-1)
为插值条件。
若插值函数类{()}x ?是代数多项式，则相应
的插值问题为代数插值。若{()}x ?是三角多项
式，则相应的插值问题称为三角插值。若
{()}
x ?是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值
1.1 Lagrange 插值多项式
设函数f 在1n +个相异点01,,,n x x x 上的
值(),0,1,,i i f f x i n == 是已知的，在次数不
超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得
(),0,1,,n i i L x f n n == (2-2)
定理1 存在惟一的多项式n n L P ∈满足插值
条件(2-2)。
证明 我们采用构造性的证明方法。假如我
们能够构造出n 次多项式()i l x ，使得
1,(),0,,0,i j ij i j l x i j n i j
δ=?===?≠? ， (2-3) 那么
0()()n
n i i i L x f l x ==∑ (2-4)
是满足插值条件(2-2)的插值多项式。
余下的问题就是如何构造出满足式(2-3)的n
次多项式(),0,1,,i l x i n = 。由于当i j ≠时，
()0,0,1,,i j l x i j n
== ，，即11,,,,,
i i n x x x -+ 是()i l x 的零点，因此()i l x 必然具有形式 011()()()()()i i i i n l x c x x x x x x x x -+=----
0()n i j j j i
c x x =≠=-∏
又因()1i i l x =，故0()n
i i j j j i c x x =≠=-∏，因此
000()()()()()n
j j n j i j i n j i j j i i j j j i x x x x l x x x x
x =≠=≠=≠--=
=--∏∏∏ (2-5)
至于多项式()n L x 的惟一性是极其简单的事
实，只要注意到n 次多项式且有1n +零点这一
事实。
公式0()()n
n i i i L x f l x ==∑称为Lagrange 插值公
式，相应的()n L x 称为Lagrange 插值多项式，
0,1,,i l i n = ，称为节点0,,n x x 上的n 次插值
基函数。
令(),0,1,,k f x x k n == ，由插值多项式的存
在惟一性可得
(),0,1,,n k
k i i
i x l x x k n ===∑ (2-6) 由(2-6)知，任取()n n p x P ∈，那么()n p x 均可用
01,,,n l l l 线性表出。由此看出，01span{,,}
n l l l 就是n P 。
在(2-6)中取0k =，则0()1n
i i l x ==∑。
为了今后的需要，我们引入以下记号
10
()()n n j j x x x ω+==-∏ (2-7)
容易求得 100()()n n
n
j m j j m x x x ω+==≠'=-∑∏ 并有10()()n
n k k j j j k x x x ω+=≠'=-∏，将其代入插值基函
数的表达式
101()
()()()()()n
j n i j i j i n i j i x x x l x x x x x x ωω+=+≠-=='--∏ 于是插值公式可写为
101()()()()n
n n i i i n i x L x f x x x ωω+=+='-∑ (2-8)
1.2 插值余项及估计
称()()()n R x f x L x =-为Lagrange 插值多项
式()n L x 的余项.
定理 2 设[,]n f C a b ∈，且(1}n f +在(,)a b 内存
在，()n L x 是以0,,n x x 为插值节点函数f 的
Lagrange 插值多项，则对[,]a b 内的任意点x ，
插值余项为
(1)
1()()()
()(),(,)(1)!
n n n R x f x L x f x a b n ξωξ++=-=∈+ (2-9) 证明 对[,]a b 上任意的点x ，且
(0,,
i x x i n ≠= ，构造辅助函数 11()()()()()()
n n n t G t f t L t R x x ωω++=-- 显然11()()()()()0()
n n n x G x f x L x R x x ωω++=--=，又由插值条件()0(0,,)i R x i n == 可知()0i G x =
(0,,)i n = ，故函数()G t 在[,]a b 内至少有2
n +个零点0,,,n x x x 。根据罗尔（Rolle ）定理，
函数()G t '在(,)a b 内至少存在1n +个零点，反复
应用罗尔（Rolle ）定理，可以得出(1)()n G t +在
(,)a b 内至少存在一个零点，设为ξ，即
(1)()0n G ξ+=
由于
(1)(1)1(1)!()()()()
n n n n G t f t R x x ω++++=- 所以有
(1)1()()()(1)!
n n n x R x f n ωξ++=+ 证毕。 推论1 设01n a x x x b =<<= ，
(1)11max(),[,],n n j j j n
h x x f C a b f +-≤≤=-∈在(,)a b 上存在，则有
1
(1)(1)!n n n h f L f n ++∞∞-≤+ (2-10)
其中[,] sup x a b ∞∈?=?。 证明 对[,]a b 上任意的x ，可设x 属于[,]a b 的
一个子区间1[,]k k x x +，由此可以得出
2
1210()(),4
2,,();2,,(1)k k k n k h x x x x x x h x x n k h x x h x x k h
++---≤-≤-≤--≤-≤+
从而有
10
!()4n n j j n x x h +=-≤∏ 此不等式与式(2-9)相结合有
1(1)()(),[,]4(1)
n n n h f x L x f x a b n ++∞-≤?∈+ 由此可得到估计式(2-10)。
证毕。
例1已给s i n 0.320.3
=,sin0.34= 0.333487,sin0.360.352274=用线性插值及拋
物线插值计算sin0.3367的值，并估计截断误
差。
解 由题意取
0010.32,0.314567,0.34,x y x ===
1220.333487,0.36,0.352274y x y ===
用线性插值计算，取00.32x =及10.34x =，由
公式(2-4)得
101010110
sin 0.3367(0.3367)
0.33670.33670.330365
L x x y y x x x x ≈--=+--= 其截断误差由(2-9)得
2101()()()2
M R x x x x x ≤-- 其中01
2max ()x x x M f x ≤≤''=。因()sin f x x ''=-，可取01
21max sin sin 0.3335x x x M x x ≤≤==≤，有 115
(0.3367)sin 0.3367(0.3367)
10.33350.01670.00332
0.9210R L -=-≤???≤? 用抛物插值计算sin0.3367。由公式(2-4)得
12200102()()()()()
x x x x L x y x x x x --=-- 02911210122021()()()()()()()()
x x x x x x x x y y x x x x x x x x ----++----
有
2sin(0.3367)(0.3367)0.330374.L ≈=
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一
样，这说明用二次插值精度已相当高了.其截断
误差限由(2-9)得
32012()()()(),6
M R x x x x x x x ≤--- 其中02
30max ()cos 0.828x x x M f x x ≤≤'''==<，于是 226(0.3367)sin 0.3367(0.3367)
0.17810R L -=-≤?
§2 均差与Newton 插值公式
2.1 均差及其性质
Lagrange 插值公式结构紧凑和形式简单，在
理论分析中甚为方便。但Lagrange 插值公式也
有其缺点，当插值节点增加、减少或其位置变
化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整
个插值公式的结构将发生变化，这在实际计算
中是非常不利的。Newton 插值公式可以克服
这个缺点，
定义 1 称000
()()[,]k k k f x f x f x x x x -=-(0)k ≠为()f x 关于点0,k x x 的一阶均差。
001011
[,][,][,,]k k k f x x f x x f x x x x x -=- 为()f x 关于点01,,k x x x 的二阶均差。一般地，
有了1k -阶均差之后，称
020101
[,,,][,,][,,]k k k n k k f x x x f x x f x x x x ----=- (2-11)
为()f x 关于点01,,,k x x x 的k 阶均差（差商）。
均差有如下的基本性质：
性质 1 各阶均差具有线性性，即若
()()()f x a x b x φ?=+，则对任意正整数k ，都有
000[,,][,,][,,]k k k f x x a x x b x x φ?=+
性质2 k 阶均差可表示成
01(),(),,()k f x f x f x 的线性组合，即
010
011[,,,]
()()()()()k k j j j j j j j j k f x x x f x x x x x x x x x =-+=----∑
这个性质可用归纳法证明。它也表明均差与节
点的排列次序无关，称为均差的对称性。
性质3 设[,]n f C a b ∈，并且[,]j x a b ∈，
0,1,,j n = 为相异节点，那么f 的n 阶均差与
其n 阶导数有如下关系
()011[,,,](), (,)!n n f x x x f a b n ξξ=∈
2.2 牛顿插值多项式
由各阶均差的定义，依次可得
0000011010101220120101()()()[,]
[,][,]()[,,]
[,,][,,]()[,,,] [,,,][,,,]
n n f x f x x x f x x f x x f x x x x f x x x f x x x f x x x x x f x x x x f x x x f x x x -=+-=+-=+-=
0()[,,,]n n x x f x x x +-
将以上各式分别乘以0011,(),()(),,x x x x x x ---
011()()()n x x x x x x ---- ，然后相加并消去两
边相等的部分，即得
0010012010101010()()[,]()
[,,]()()[,,,]()()[,,,,]()()
()(),
n n n n n n f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x N x R x -=+-+--++--+--=+
其中
0010012010101()()[,]()
[,,]()()[,,,]()()
n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x -=+-+--++-- (2-12)
011()[,,,,]()n n n R x f x x x x x ω+= (2-13)
显然，()n N x 是至多n 次的多项式。而由
011()[,,,,]()0 (0,1,,)
n i i n n i R x f x x x x x i n ω+=== 即得()()0 (0,1,,)
n i n i R x N x i n === 。这表明()n N x 满足插值条件(2-2)，
因而它是()f x 的n 次插值多项式。这种形式的插值多项式称为
Newton 插值多项式。
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，
插值多项式只增加一项，即
101101()()[,,,]()()
()n n n n N x N x f x x x x x x x x x ++=+---
因此便于递推运算。而且Newton 插值的计算
量小于Lagrange 插值。
由插值多项式的唯一性知，
n 次Newton 插值多项式与Lagrange 插值多项式是相等的，即
()()n n N x L x =，它们只是形式的不同。因此
Newton 与Lagrange 余项也是相等的，即
011(1)
1()[,,,,]()
()()(,)(1)!
n i i n n i n n R x f x x x x x f x a b n ωξωξ+++==∈+ ， 由此可得性质3。
式(2-13)表示的余项称为均差型余项。由式
(2-9)表示的余项称为微分型余项。
作出Newton 插值多项式的步骤：
1） 列均差表，计算各阶均差
2）将以上表中对角线的下划线项与最后一
列的同一行的对应项相乘后，相加即可得到
Newton 插值多项式。
例2.1 设()f x =
试用二次Newton 插值多项式2()N x 计算
(2.15)f 的近似值，并讨论其误差。
解 构造均差表如下
k x ()k f x 一阶均差 二阶均差 2.0 1.414214
2.1 1.449138 0.34924
2.2 1.483240 0.34102 0.04110-利用Newton 插值公式(2-12)有
2() 1.4142140.34924( 2.0)
0.04110( 2.0)( 2.1)
N x x x x =+---- 取 2.15x =，得2(2.15) 1.466292N =。
由于f 在区间[2.0,2.2]上充分光滑，因此可
以利用误差估计公式(2-11)
，注意到
(3)(3)2.0 2.2
3(),max ()0.06629x f x f x ≤≤==。从而得到
(3)22.0 2.23
0.001max ()()0.0662943
0.55241710x f x N x ≤≤--≤??=? (2.15)f 的真值为1.4662，因此得出
5(2.15)0.410
R -=-?。由此看出，在较小区间上用式(1.10)，可得到一个较好估计。
例2 给出()f x 的函数表2-2，求4次牛顿插
值多项式，并由此近似计算(0.596)f 。
首先根据给定函数表造出均差表。
表 2-2
k x ()
k f x 一阶 二阶 三阶 四阶 五阶
0.40 0.41075
0.55 0.57815 1.11600
0.65 0.69675 1.18600 0.28000
0.80 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733
0.90 1.02652 1.38410 0.43348 0.21300 0.03134 1.05 1.25382 1.51533 0.52483 0.22863 0.03126 -0.00012
从均差表看到4阶均差近似常数，故取4次
插值多项式4()N x 作近似即可。
4()0.41075 1.116(0.4)
0.28(0.4)(0.55)
0.19733(0.4)(0.55)(0.65)0.03134(0.4)(0.55)
(0.65)(0.8)
N x x x x x x x x x x x =+-+--+---+----
于是
4(0.596)(0.596)0.63192,f N ≈=
截断误差
40559()[,,](0.596)3.6310
R x f x x ω-≈≤? 这说明截断误差很下，可忽略不计。
此例的截断误差估计中，5阶均差
04[,,,]f x x x 用05[,,]0.00012f x x =- 近似。
另一种方法是取0.596x =，由
(0.596)0.63192f ≈，可求得04[,,,]f x x x 的近似值，从而可得4()R x 的近似。
§3 差分与等距节点插值公式
前面所讨论的Lagrange 插值多项式和用均
差表示的Newton 插值多项式，其节点可以是
不等距的。如果函数()f x 在插值区间[,]a b 上变
化很剧烈，则采用不等距节点插值多项式更适
宜。如果()f x 在插值区间[,]a b 上变化平缓，采
用等距节点可使插值多项式简化。
3.1差分及其性质
当节点等距分布时，即相邻两个节点之差
（称为步长）为常数，此时关于节点间函数的
平均变化率（均差）可用函数值之差（差分）
来表示。
定义 2.2 设函数()y f x =在等距节点
0 (0,1,,)k x x kh k n =+= 上的值()k k f f x =为
已知，这里h 为一常数，称为步长，记号
1k k k f f f +?=- (2-15)
1k k k f f f -?=- (2-16)
1122
11()()22k k k k k f f x h f x h f f δ+-=+--=-(2-17) ,k k f f ??和k f δ分别称为f 在k x 处以h 为步长的
向前一阶差分、向后一阶差分和中心一阶差
分。符号,,δ??分别称为向前差分操作数，向
后差分操作数及中心差分操作数。
利用一阶差分可定义二阶差分为
21 (0,1,,)k k k f f f k n +?=?-?=
一般地，可定义m 阶差分为
1111111111
m m m m m k k k k k m m m m m k k k k k f f f f f f f f f f ----+-----?=??=??=?-??=??=??=?-? 11111122
m m m m m k k k k k f f f f f δδδδδδδ----+-===- 并规定000
k k k k f f f f δ?=?==，称其为零阶差
分。
为以后方便起见，再引入常用的操作数符号
11111,k k k k k k f f f f f f --+++===E E E ，，1
212k k f f +=E ，1212k k f f --=E ，k k f f =I
称E 为步长h 的移位操作数，I 为单位操作数
（也称为不变操作数）。显然
n k k n f f +=E ,1()n k k n f f --=E ,11--==E E EE I 及
=-ΔE I ，1-?=-I E
下面给出差分的一些基本性质：
性质1各阶差分具有线性性，即若
()()()f x a x b x φ?=+，则对任意正整数m ，有
n n n k k k f a b φ??=?+?
对于操作数,δ?具有类似的性质。
性质2 各阶差分可表示成函数值的线性组
合，例如
00()(1)(1)n n n j n j k k k
j n j n k j
j n f f E f j n f j -=+-=??=-=- ?????=- ???
∑∑ΔE I (2-18) 100()(1)(1)n n n n j j n k k k
j n n j k j n
j n f f E f j n f j ---=-+-=???=-=- ?????=- ???
∑∑I E (2-19) 112202
()(1)n n n j k k n k j j n f E E f f j δ-+-=??=-=- ???∑(2-20)
数值分析参考答案(第 二章)
第二章 插值法 1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知， 01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144 x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=- 若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
2 112 1 221 11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()() x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----= =---=+ 6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈- 若采用二次插值法计算ln0.54时， 1200102021101201220212001122()() ()50(0.5)(0.6) ()() ()() ()100(0.4)(0.6) ()()()() ()50(0.4)(0.5) ()() ()()()()()()() x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------= =----=++ 500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5) x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。 解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤时， 令()cos f x x = 取0110,( )606018010800 x h ππ ===?=
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
第一章绪论（1-4） 一、误差来源及分类 二、误差的基本概念 1.绝对误差及绝对误差限 2.相对误差及相对误差限 3.有效数字 三、数值计算的误差估计 1.函数值的误差估计 2.四则运算的误差估计 四、数值计算的误差分析原则 第二章插值（1.2.4-8） 一、插值问题的提法（定义）、插值条件、插值多项式的存在唯一性 二、拉格朗日插值 1.拉格朗日插值基函数的定义、性质 2.用拉格朗日基函数求拉格朗日多项式 3.拉格朗日插值余项（误差估计） 三、牛顿插值 1.插商的定义、性质 2.插商表的计算 3.学会用插商求牛顿插值多项式 四、等距节点的牛顿插值 1.差分定义、性质及计算（向前、向后和中心） 2.学会用差分求等距节点下的牛顿插值公式 五、学会求低次的hermite插值多项式 六、分段插值 1.分段线性插值 2.分段三次hermite插值 3.样条插值 第三章函数逼近与计算（1-6） 一、函数逼近与计算的提法（定义）、常用两种度量标准（一范数、二范数\平方逼近） 二、基本概念 连续函数空间、最佳一次逼近、最佳平方逼近、内积、内积空间、偏差与最小偏差、偏差点、交错点值、平方误差 三、学会用chebyshev定理求一次最佳一致逼近多项式，并估计误差（最大偏差） 四、学会在给定子空间上通过解方程组求最佳平方逼近，并估计误差（平方误差） 五、正交多项式（两种）定义、性质，并学会用chebyshev多项式性质求特殊函数的（降阶）最佳一次逼近多项式 六、函数按正交多项式展开求最佳平方逼近多项式，并估计误差 七、一般最小二乘法（多项式拟合）求线性拟合问题 第四章数值分析（1-4） 一、数值求积的基本思想及其机械求积公式
第二章插值法 2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f（x）的图形。 （1）多项式插值 ①先建立一个多项式插值的M-file； 输入如下的命令（如牛顿插值公式）： function [C,D]=newpoly(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n) D(:,1)=Y' for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))) m=length(C); C(m)= C(m)+D(k,k); end ②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令： clear,clf,hold on; X=-1:0.2:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.2:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形：
③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on; X=-1:0.1:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.1:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形：
第二章复习与思考题 1.什么是拉格朗日插值基函数它们是如何构造的有何重要性质 答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j Λ=在1+n 个节点n x x x <<<Λ10上满足条件 (),,,1,0,, ,0, ,1n k j j k j k x l k j Λ=?? ?≠== 则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10Λ为节点n x x x ,,,10Λ上的n 次拉格朗日插值基函数. 以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设 ()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+-ΛΛ110， 其中A 为常数，利用()1=k k x l 得 ()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-ΛΛ1101， 故 ()()()() n k k k k k k x x x x x x x x A ----= +-ΛΛ1101 ， 即 ()()()()()()()()∏ ≠=+-+---=--------=n k j j j k j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)(ΛΛΛΛ. 对于()),,1,0(n i x l i Λ=，有 ()n k x x l x n i k i k i ,,1,00 Λ==∑=，特别当0=k 时，有 ()∑==n i i x l 0 1. 2.什么是牛顿基函数它与单项式基{ }n x x ,,,1Λ有何不同 答：称()()()(){ }10100,,,,1------n x x x x x x x x x x ΛΛ为节点n x x x ,,,10Λ上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10Λ上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为 ()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ΛΛ 其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10ΛΛ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如 ()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++Λ011,
第二章 习 题 1. 已知函数()f x 在3,1,4x =的值分别为4，2，5，求Lagrange 插值多项式的表达式. 2. 已知函数 ()f x 在3x =和 4的值分别为0.5和0.64，用线性插值求此函数在 3.8x =的函数值. 3. 证明：对于 ()f x 的以01x x <为节点的一次插值多项式1()p x ，有 2 101()()()8 x x f x p x M ??≤，01x x x ≤≤， 其中01 max ()x x x M f x ≤≤′′= . 4. 已知函数 ()f x 的函数值表： x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ()f x 0.70010 0.40160 0.10810 -0.17440 -0.43750 试利用这个函数表求函数()f x 在0.3和0.4之间的零点. 5. 设 01,,,n x x x ???为1n +个互异的节点，()k l x 为n 阶 Lagrange 插值基函数， 0()()n k k x x x ω==?∏.证明： （1） 0()1n k k l x =≡∑； （2） 0(),0,1,2,,k n j j k k x l x x j n =≡=???∑； （3） ()()0,0,1,2,,n j k k k x x l x j n =?≡=???∑； （4）() ()()() k k k x l x x x x ωω= ′?.
6. 若73()1f x x x =?+，求0172,2,,2f ???????和018 2,2,,2f ???????. 7. 设 53()1f x x x =++，求以1x =?，-0.8，0，0.5，1为插值节点的Newton 插值多 项式和插值余项. 8. 已知函数值表： x 0 1 4 3 6 ()f x -7 8 5 14 求Newton 插值多项式的表达式. 9. 分别在下列情况下计算 1n ?次多项式()p t 在指定点t 的的值，各需要多少次乘 法运 算？ （a）多项式()p t 按照单项式基函数展开； （b）多项式()p t 按照Lagrange 基函数展开； （c）多项式()p t 按照Newton 基函数展开. 10. 在区间[]0,/2π上使用5个等距节点对函数sin t 进行插值，试计算最大误差. 在 []0,/2π上选取若干点，比较函数值和插值多项式的值，验证误差界. 如果希望最大误 差为10 10 ?，需要多少个插值节点？ 11. 一直平面曲线()y f x =过点（0,1） ，（1,3），（2,4），试求一个三次多项式3()p x ，使其经过这3个点，并且满足3(1)1p ′=；然后给出余项3()()()R x f x p x =?的表达式. 12. 试求一个四次多项式4()p x ，使其满足44 44(0)(0)0(1)(1)1p p p p ′′====，，4(2)1p =. 13. 能否通过使用分段二次多项式进行插值，使插值函数是二次连续可微的？为什么？ 14. 设[]4 (),f x C a b ∈. 求三次多项式()p x ，使之满足插值条件 11 ()(),0,1,2, ()(),i i p x f x i p x f x ==?? ′′=?
《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
(1) 用最小二乘法进行曲线拟合； (2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0)()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为 1102110] ,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --= - 则n 次多项式 ) ())(](,,[) )(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 差商表的构造过程：
数值分析作业 第二章 1、用Gauss消元法求解下列方程组： 2x 1-x 2 +3x 3 =1, (1) 4x 1+2x 2 +5x 3 =4, x 1+2x 2 =7; (2) 解： A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7
x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3, (2)-23x 1+11x 2 +1x 3 =0, x 1+2x 2 +2x 3 =-1; (2) 解： A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 x = 0.2124 0.5492 -1.1554 4、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7
数值分析--第2章插值法
第2章 插值法 在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。 解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ?形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ?作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。 设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点i x 处的函数值(),0,,i i f f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ?作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ?≈，使得 ()(),0,1,,i i i x f x f i n ?=== (2-1) 这类问题称为插值问题。称f 为被插值函数；()x ?为插值函数；n x x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。 若插值函数类{()}x ?是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。若{()}x ?是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。若{()}x ?是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值 1.1 Lagrange 插值多项式 设函数f 在1+n 个相异点0 1 ,,,n x x x 上的值n i x f f i i ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得 (),0,1,,n i i L x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式n n P L ∈满足插值条件(2-2)。 证明 我们采用构造性的证明方法。假如我们能够构造出n 次多项式()i l x ，使得 1,(),0,1,,0,i j ij i j l x i j n i j δ=?===?≠? ， (2-3) 那么 ∑==n i i i n x l f x L 0) ()( (2-4) 是满足插值条件(2-2)的插值多项式。 余下的问题就是如何构造出满足式(2-3)的n 次多项式(),0,1,,i l x i n =。由于当j i ≠时，()0,0,1,,i j l x i j n ==，，即111,,,,,i i n x x x x -+是()i l x 的零点，因此()i l x 必然具有形式 ∏≠=+--=----=n i j j j i n i i i i x x c x x x x x x x x c x l 0110)()())(()()( 又因1)(=i i x l ，故∏≠=-=n i j j j i i x x c 0)(，因此 ∏ ∏∏≠=≠=≠=--=--= n i j j j i j n i j j j i n i j j j i x x x x x x x x x l 000) () () () ()( (2-5)
第二章 习题 1． 当x=1，-1，2时，f(3)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 解：利用二次Lagrange 插值多项式公式， 这里403311210210==-=-==-=y y y x x x ，，，，，，得 ()()()() ()()()()()() ()() ()() 3 723651 34 23211212114021112132222211002-+=-++--=-+-+?++------? -=++=x x x x x x x x x x l y x l y x l y x L 2． 给出()()x x f ln =的数值表，（见表2.1），用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 表2.1 解：选取54.06.05.010===x x x ，，代入Lagrange 线性插值多项式，得 ()()()620219 .0510826.05 .06.05.054.0693147 .060.050.060 .054.054.054.0ln 1-≈-?--+-?--= ≈L 又选取54.06.05.04.0210====x x x x ，，，代入Lagrange 二次插值多项式，得 ()()()615320 .0)510826.0() 5.06.0)(4.06.0() 5.054.0)(4.054.0(693147 .0)6.05.0)(4.05.0() 6.054.0)(4.054.0(916291 .0)6.04.0)(5.04.0() 6.054.0)(5.054.0(54.054.0ln 2-≈-?----+-?----+-?----= ≈L 3． 设()x l k kh x x x x x k 203 0max 10≤≤=+=，求， ，,2,3。 解：由题意知 ()()()() ()()() 3212023102x x x x x x x x x x x x x l ------= 令()0'2=x l ，得 ()0383632 02 002 =++++-h h x x x h x x ，