第一节 变化率与导数、导数的计算
考纲要求：1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．
3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x 的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 0
＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .
当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数．通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0
f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0
＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx .
(2)导数的几何意义
函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．
(3)函数的导函数
一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝li m Δx →
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导
数．
2．导数公式及运算法则 (1)导数公式表
原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q ) f ′(x )＝nx n －
1
f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo
g a x f ′(x )＝1
x ln a
f (x )＝ln x
f ′(x )＝1
x
(2)导数的运算法则
①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③??
??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )
[g (x )]2
(g (x )≠0)． (3)复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
[自我查验]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)????sin π3′＝cos π
3
.( ) (5)若(ln x )′＝1
x
，则????1x ′＝ln x ．( ) (6)函数f (x )＝sin (－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) (7)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√
2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 解析：选C ≧y ＝sin x ＋e x ，?y ′＝cos x ＋e x ， ?y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，
?曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.故选C. 3．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x
；(2)y ＝x 3－1
sin x
.
答案：(1)y ′＝e x (nx n －
1＋x n )．
(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x
sin 2x
.
[典题1] 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )?
??
?1＋
1x ； (2)y ＝ln x x ；
(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e ； (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1
.
[听前试做] (1)∵y ＝(1－x )?
???1＋
1x ＝1x
－x ＝x －12－x 12，
∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －1
2
.
(2)y ′＝????ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1
x ·x －ln x x 2
＝1－ln x x 2. (3)y ′＝????
sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′
cos 2x
＝
cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2
x ＝1
cos 2x
. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln
3＋1)·(3e)x －2x ln 2.
(5)y ′＝(ln (2x ＋3))′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′
(x 2＋1)2
＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2
＋1)－2x ln (2x ＋3)
(x 2＋1)2
＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.
导数的运算方法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
[典题2] (1)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．
(2)已知f (x )＝1
2
x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________.
[听前试做] (1)f ′(x )＝a ????ln x ＋x ·1
x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.
(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016
x ，
所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 016
2 016，
即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017. 答案：(1)3 (2)－2 017
在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．
1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 解析：选B ≧f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ， ?f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2， ?4a ＋2b ＝2，
?f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.
2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．
解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.
答案：212
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：
角度一：求切线方程
[典题3] (1)(2016·宜春模拟)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0 D ．(e －1)x －y －1＝0
(2)(2016·铜川模拟)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实
数a ＝( )
A ．3
B ．1
C ．2
D ．0
(3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. ①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
[听前试做] (1)由于y ′＝e －1
x ，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处
的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.
(2)≧与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2， ?f ′(0)＝e 0＋1
2a ＝2，解得a ＝2.
(3)①≧f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ?f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，
?曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.
②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 2
0＋5x 0－4)，
≧f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，
?切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，
又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ?x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，
整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，
?经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 答案：(1)C (2)C 角度二：求切点坐标
[典题4] (2015·陕西高考)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的
切线垂直，则P 的坐标为________．
[听前试做] y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1
m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
角度三：求参数的值
[典题5] (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.
(3)(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
[听前试做] (1)≧两曲线的交点为(0，m )，
??
????
m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ?f (x )＝cos x ，?f ′(x )＝－sin x ， 则f ′(0)＝0，f (0)＝1.
又g ′(x )＝2x ＋b ，?g ′(0)＝b ， ?b ＝0，?a ＋b ＝1. (2)≧f ′(x )＝3ax 2＋1，
?f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，
?切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ≧切线过点(2,7)，?7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. (3)法一：≧y ＝x ＋ln x ，?y ′＝1＋1
x ，y ′x ＝1＝2.
?曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.
≧y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，
?a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．
由?
????
y ＝2x －1，y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.
设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．≧y ′＝2ax ＋(a ＋2)，
?y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．
由?????
2ax 0＋(a ＋2)＝2，
ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得??
???
x 0＝－1
2，a ＝8.
答案：(1)C (2)1 (3)8
(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(如角度一)
(2)已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .(如角度二)
(3)①根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
②当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．(如角度三)
———————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————
[方法技巧]
1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
[易错防范]
1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．
2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．
[全盘巩固]
一、选择题
1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D.1
e
解析：选A 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1. 2．(2016·抚州模拟)已知函数f (x )＝1
x cos x ，则f (π)＋f ′????π2＝( ) A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π
解析：选C ≧f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，?f (π)＋f ′???π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 3．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点????π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1
2
C ．－2
D ．2
解析：选A ≧y ′＝－1－cos x sin 2
x ，?y ′x ＝π2＝－1，由条件知1
a ＝－1，?a ＝－1. 4．(2016·西安模拟)设直线y ＝1
2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为
( )
A ．ln 2－1
B ．ln 2－2
C ．2ln 2－1
D ．2ln 2－2
解析：选A 设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝1
2，即x 0＝2，?切点坐标为(2，ln 2)，又
切点在直线y ＝1
2
x ＋b 上，?ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1.
5．(2016·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )
A ．1 B. 2 C.
2
2
D.3 解析：选B 因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1
x ＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处
的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝
2
2
＝ 2. 二、填空题
6．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.
解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.
答案：e
7．若直线l与幂函数y＝x n的图像相切于点A(2,8)，则直线l的方程为________．
解析：由题意知，A(2,8)在y＝x n上，?2n＝8，?n＝3，?y′＝3x2，直线l的斜率k＝3×22＝12，又直线l过点(2,8)．?y－8＝12(x－2)，即直线l的方程为12x－y－16＝0.
答案：12x－y－16＝0
8．(2016·商洛模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x上，且在第二象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．解析：≧y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，?3x2－1＝2，x＝±1，又≧点M在第二象限，?x＝－1，?y＝(－1)3－(－1)＝0，?M点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
≧f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
?f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
?切线的方程为y＋6＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，y0＝x30＋x0－16，
?直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
又≧直线l过原点(0,0)，
?0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，
?x0＝－2，
?y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.
?直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
10．设函数y＝x2－2x＋2的图像为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图像为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值．
解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，
由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． ?(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，
故有?????
y 0＝x 2
0－2x 0＋2，y 0＝－x 2
0＋ax 0
＋b ， ?2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52
.
[冲击名校]
1．下面四个图像中，有一个是函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )
的图像，则f (－1)＝( )
A.13 B ．－23 C.73 D ．－13或53
解析：选D ≧f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，?f ′(x )的图像开口向上，则②④排除．若f ′(x )的图像为①，此时a ＝0，f (－1)＝5
3；若f ′(x )的图像为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a
＞0，?a ＝－1，?f (－1)＝－1
3
.
2．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )
A.278 B ．－2 C ．2 D ．－278
解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′x
＝t
＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－
(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝3
2
代入①式，得k ＝－a 和k
＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278
. 3．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图像关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图像上的动点，则|PQ |的最小值为( )
A.
55 B. 5 C.25
5
D ．25 解析：选D 因为f (x )与g (x )的图像关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.
4．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1
x ＝0，即
a ＝－1
3x
3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
5．已知函数f (x )＝1
3x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .
(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，
即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，?????
k ≥－1，－1k
≥－1，
解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．
第二节 导数与函数的单调性、极值、最值
考纲要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数的单调性与导数
2．函数的极值与导数
(1)极大值：
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)极小值：
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(3)极值：
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
3．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[自我查验]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )>0是f (x )为增函数的充要条件．( )
(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( ) (5)函数的极大值一定是函数的最大值．( ) (6)开区间上的单调连续函数无最值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ 2．函数f (x )＝e x －x 的减区间为________． 答案：(－∞，0)
3．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________． 答案：3
4．函数f (x )＝1
3x 3－4x ＋4的极大值为________．
答案：283
5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 解析：y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝2
3.
≧f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ????23＝－8
27，f (2)＝8. ?最大值为8. 答案：8
[典题1] 设函数f (x )＝13x 3－a
2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝
1.
(1)求b ，c 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内为单调递减函数，求实数a 的取值范围．
[听前试做] (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，
由题意得????? f (0)＝1，f ′(0)＝0，即?????
c ＝1，b ＝0.
(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )．
①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内为单调增函数． ②当a >0时，由f ′(x )>0得，x >a 或x <0；由f ′(x )<0得0 即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． ③当a <0时，由f ′(x )>0得，x >0或x 即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(a,0)． (3)≧g ′(x )＝f ′(x )＋2＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数， ?g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立， ?????? g ′(－2)≤0， g ′(－1)≤0， 即? ???? 4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0， 解得a ≤－3， 即实数a 的取值范围为(－∞，－3]． [探究1] 在本例(3)中，若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，如何求解？ 解：≧g (x )的单调减区间为(－2，－1)， ?x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ?(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3. [探究2] 在本例(3)中，若g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，如何求解？ 解：g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a x max ＝－22， 当且仅当x ＝2 x 即x ＝－2时等号成立． 所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)． [探究3] 在本例(3)中，若g (x )在区间(－2，－1)内不单调，如何求解？ 解：≧g (x )在(－2，－1)内不单调，g ′(x )＝x 2－ax ＋2， ?g ′(－2)·g ′(－1)<0或???? ? －2 2 <－1， Δ>0， g ′(－2)>0，g ′(－1)>0. 由g ′(－2)·g ′(－1)<0，得(6＋2a )·(3＋a )<0，无解． 由???? ? －2 2 <－1， Δ>0， g ′(－2)>0，g ′(－1)>0， 得????? －4 a 2 －8>0，6＋2a >0，3＋a >0， 即???? ? －4 a >22或a <－22，a >－3， 解得－3 即实数a 的取值范围为(－3，－22)． [探究4] 在本例(3)中，若函数g (x )在R 上为单调函数，如何求解？ 解：≧g ′(x )＝x 2－ax ＋2， ?要使g (x )在R 上为单调函数，则g ′(x )≥0恒成立， ?Δ＝a 2－8≤0，即a 2≤8， ?－22≤a ≤2 2. 即实数a 的取值范围为[－22，2 2 ]． [解题模板] 利用导数求函数单调区间的步骤 特别提醒：若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”不能省略，否则可能 会漏解． 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题，且主要有以下几个命题角度： 角度一：求函数的极值 [典题2] (2016·九江模拟)已知函数f (x )＝1＋ln x kx (k ≠0)．求函数f (x )的极值． [听前试做] f (x )＝1＋ln x kx ，其定义域为(0，＋∞)， 则f ′(x )＝－ln x kx 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1， 当k >0时，若0 ?f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x ＝1时，函数f (x )取得极大值1 k . 当k <0时，若0 ?f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值1 k . [解题模板] 利用导数求函数极值的步骤 角度二：已知极值求参数 [典题3] (1)(2016·金华十校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． (2)(2016·上饶模拟)设函数f (x )＝ln x －1 2ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值 范围为________． [听前试做] (1)f ′(x )＝(ln x －ax )＋x ????1x －a ＝ln x ＋1－2ax ，令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1x .设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln x x 2，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1， 则φ(x )的大致图像如图所示，若函数f (x )有两个极值点，则直线y ＝2a 和y ＝φ(x )的图像有两个交点，所以0<2a <1，得0 2 . (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .?f ′(x )＝1 x － ax ＋a －1＝ －ax 2＋1＋ax －x x .①若a ≥0，当0 f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1 a .因为 x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1 a >1，解得－1－1. 答案：(1)????0，1 2 (2)(－1，＋∞) (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同． (2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． [典题4] (2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． [听前试做] (1)f (x )的定义域为(0，＋≦)，f ′(x )＝1 x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所 以f (x )在(0，＋≦)上单调递增． 若a >0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈? ?? ??1a ，＋≦时，f ′(x )<0.所以f (x )在? ?? ? ?0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋≦上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋≦)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1 a 处取得最大值，最大值为 f ? ????1a ＝ln ? ???? 1a ＋a ? ? ? ?? 1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.