高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明
高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、
水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多
一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。
从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉
之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向
左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。
如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。
有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布
的关系。
1．通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验，
看一看小球在格子中的分布形状是怎样的？
2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑
它与杨辉三角的关系）
3．计算小球落入各个格子的概率。”
设（如图）高尔顿（钉）板有n 行钉，第n 行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n 共（n+1）个空。
观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （21）n (2
1)0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （21）n —1(2
1)1。 猜想第i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为
P （i ）= C i n （21）n —i (2
1)i 。（i=0，1，2，…，n ） 现对上猜想给出证明：a n ，i = P （i ）= C i n （
21）n —i (21)i 。（i=0，1，2，…，n ） 规定：a i ，j 表示第i 行第j （0≤j ≤n ）个空球落下的概率。
由高尔顿（钉）板可知：a 1，0=21，a 1，1=2
1 ????
?????+===-----i 1,n 1i 1,n i n,1n 0,n 0,1,0
n n,0a 21a 21a a 21a a 21a （1≤i ≤n －1，n ≥2） 用数学归纳法证明：
1． 当n=1时，已如上证。
当n=2时，a 2，0=
21 a 1，0=（21）2=C 02（21）2—0(21)0 a 2，1=
21 a 1，0+21 a 1，1=21 =C 12（21）2—1(21)1 a 2，2=21 a 1，1=（21）2= C 22(21)0（2
1）2—0 显然成立。
2． 假设n=k （k ≥2）成立（即假设第n 行每一个数据都成立）。
即a k ，i = C i k （21）k —i (2
1)i 当n=k+1时，a k+1，0=21 a k ，0= 21C 0k （21）k —0 (2
1)0 = C 01k +（
21）(k+1)－0 (21)0 a k+1，k+1=21 a k ，k =21 C k k （21）k —k (2
1)k = C k k （21）（k+1）—（k+1）(2
1)k+1 = C 1k 1k ++（
21）（k+1）—（k+1）(21)k+1
a k+1，i =21 a k ，i-1+21 a k ，i
=21 C 1-i k （21）k-(i-1)(21)i-1+21 C i k （21）k-i (21)i
=（ C 1-i k + C i k ）（21）k+1 = C i 1k +（21）(k+1)-i （2
1）i ∴在n=k 成立的条件下，n=k+1也成立。
3． 由1，2得，原命题成立。
由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第i 个空的概率正好满足二项分布。
由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有人发布了试验的动画在此就不做说明）。
高中数学知识点：二项分布 导读：升上高中，你仿佛是一片小方舟进入了知识的大海洋，要学校的东西成倍的增长，让你一刻也不得松懈。然而，并不是你学习就很吸收了这些知识，因为它们内容之相似、系统之庞大、结构之复杂，让查字典数学网小编都为之汗颜。那么，小编末宝就给大家讲讲高中数学曾经的那些相似之处。 提到二项分布很多同学马上会联想到二项定理，这两者在公式上虽然有一定的相似性，但二者却是不同的两个概念。 二项分布描述的是若干次的放回抽样中求概率，其抽样中每一次抽样结果都有两个即发生或不发生，而且事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变即每次是等概率的，前一次不影响后一次的概率。 如10个小球里面有3个黑的，7个白的。从中抽取3次，有X个黑球。如果每次抽出都放回去，第二次再抽，显然每次抽到黑球概率都是3/10，这一次与其他次都互相独立，这种抽样对应的模型就是二项分布。 超几何分布 超几何分布是一种不放回抽样中求概率情形，其抽样中每一次抽样结果任然有两个即发生或不发生，但每次不是是等概率的，前一次会影响后一次的概率，一般在数目不是很大的情况下，利用二项分布和超几何分布公式计算概率会不
同，但抽取对象数目较大时，两者计算的概率会近似相等。 ★把一个分布看成二项分布或超几何分布时，期望始终是相同的，这种巧合使超几何分布的期望计算大大简化。 ★若放回或不放回较难区分时，一般可通过数量来区分，从总体中抽取或数量较多时抽取一般为二项分布。 老鼠老虎傻傻分不清楚，满卷零分失败的被俘虏，心豪赌想做就别怕苦，学不清楚迟早高考落榜。想知道更多数学资讯，尽在查字典数学网。 末宝带你游数学： 高中数学题：X1+X2+...+Xn=M的简单应用 每日一练：双曲线方程问题 高考数学题：三角函数的几个注意事项 数学高频考点：全国I卷试卷结构
泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质
命名原因 泊松分布实例 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景
在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示： 例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： …… 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。 推导 泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。
负二项分布（Negative Binomial Regression）福建医科大学流行病与统计教研室
负二项分布（Negative Binomial Regression）Introduction Scott Long notes that the Poisson regression model rarely fits in practice since in most applications the variance of the count data is greater than the mean
NB Distribution One, the variance of the NB distribution exceeds the variance of the Poisson distribution for a given mean Two, the increased variance of the NB regression model results in substantially larger probabilities for small counts Finally, in the NB distribution there are slightly larger probabilities for larger counts .
负二项分布的概念 常用于描述生物的群聚性，如钉螺在土壤的 分布、昆虫的空间分布等。医学上可用于描述传染性疾病的分布和致病生物的分布，在毒理学上 显性致死试验或致癌试验。 独立重复试验次数n 不固定，n=X+k ，k 为大于0的常数。 若要求X+K 次试验，出现“阳性”的次数恰为X 次的概率分布为负二项分布：k -? ?? ?? ???? ??-+ππ111
二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k == k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2 . （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且
规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投 篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮互不 影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ， 试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。
二项分布 【知识网络】 1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率； 2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件； 3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 【典型例题】 例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率 ) (B A P 等于 （ ） A 、9160 B 、21 C 、185 D 、21691 答案：A 。 解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91 P AB P B P AB P A B P B = +?+??==???=∴==。 （2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( ) A.12584 B. 12581 C. 12536 D. 12527 答案：B 。解析： 12581)53(52)53(333225= +?C C 。 （3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71 ，现在甲、乙两人从 袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ） A 、73 B 、356 C 、351 D 、3522 答案：D 。解析：设白球有n 个，227 1 ,3,7 n C n C = =∴P 甲= 34334321227765765435+??+???=。 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确 到0.01) 。 答案：0.74。解析： 74.08.02.08.0)(5 55445≈?+??=C C A P 。 （5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第 一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。 答案：95 。解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则
3 2 5 --------------- \ 事件的独立性 “ ----------------- 厂 丿 r ] 厂 独立重复实验 二项分布 高考要求 二项分布及 其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些 简单的实际问题. 事件的独立性 A n 次独立重复试验与二项 分布 B 21山迄例题精讲 板块一：条件概率 （一） 知识内容 条件概率 对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P （B|A ） ”来表示.把由事件 A 与B 的交（或积），记做D=A“B （或D 二AB ）. （二）典例分析: 【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出 2个球，在第1次摸出 红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ） D . 知识框架 二项分布及其应用
【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是土 ,刮风的概率是2,既刮风又下雨的概率是丄, 15 15 10 设A=刮风”，8=下雨”，求P(B A , P(A B). 【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率. 【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=第一次出现正面”，事件B=第二次出现反面”， 则P(B A)二_____ . 【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为_________________________ . 【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品， 任取一件产品是一等品的概率是_________ . 【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=点数不同”，8=至少有一个是6点”，求P(A|B)与P(B|A). 【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名?设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率 【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率.
数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：
离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布
●Bernoulli 试验（Bernoulli T est）： 将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”，事件A不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验 ●二项分布（binomial distribution）： 是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。 ●Poisson分布（Poisson distribution）： 随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为 …的分布。 ★二项分布成立的条件： ①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。 ★二项分布的图形： 当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。 ★二项分布的应用 总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较 ★Poisson 分布的应用 总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。 ★Poisson 分布成立的条件： ①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。 Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ，X的标准差σX ★Poisson分布的性质 1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。 2、当n增大，而∏很小，且n∏=λ总体均数时，二项分布近似泊松分布。 3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。 4、泊松分布具有可加性。 ★泊松分布的图形 当总体均数越小，分布就越偏态，当总体均数越大，泊松分布就越趋近正态分布。当总体均数小于等于1时，随X取值的变大，P(X)值反而变小；当总体均数大于1时，P(X)值先增大而后变小，若总体均数取整数时，则P(X)在X=总体均数，和X=总体均数—1取得最大值。 ★二项分布和泊松分布的特性 1．可加性 二项分布和Poisson 分布都具有可加性。 如果X1，X2，?Xk 相互独立，且它们分别服从以ni，p（i=1,2, ?,k）为参数的二项分 布，则X=X1＋X2＋?＋Xk 服从以n，p（n=n1+n2+?+nk）为参数的二项分布。如果X1，X2，?，Xk相互独立，且它们分别服从以μi（i=1,2, ?,k）为参数的Poisson 分布，则X=X1＋X2＋?＋Xk服从以μ（μ=μ1+μ2+?+μk）为参数的Poisson 分布。 2．近似分布
两参数广义负二项分布的参数估计 摘 要：讨论了在两参数场合下广义负二项分布的矩估计和极大似然估计问题，构造了矩方程和极大似然方程，得出了矩估计和极大似然估计。 关键词：广义负二项分布；矩估计；极大似然估计； 1.引言 文献[1]求出了单参数广义负二项分布的最小方差无偏估计并对其做出了区间估计。本文在此文的基础上结合构造样本矩的方法对广义负二项分布做出了矩估计和极大似然估计。 2.基本知识 设离散型随机变量X 的分布函数为 0000(,)(1)m x x x x m x m P m x x ββθβθθβ+-+??=- ?+?? （1.1.1） 0,1,2,3,x = ，其中,θβ为参数且01,0θβ<<=或11βθ-≤≤，0m 为常数且00m >。当0β=时，概率模型（1.1.1）即为二项分布； 当1β=时，概率模型（1.1.1）即为负二项分布。 由概率的正则性公理可得： (,)1x x P θβ∞==∑ 即00000(1)1m x x x x m x m m x x ββθθβ∞+-=+??-= ?+??∑ 00(1)10000[(1)](1)(1)m x x m x xm EX m m x x ββθθθθθββ∞--=+??∴=--=- ?+? ?∑ （1.1.2） 同理可求得：222232 00003(1)m m m m EX θθθθβθβ-+-=- 2230()(1)(1)VarX EX EX m θθθβ-∴=-=-- （1.1.3） 3.构造矩方程 设随机变量X 服从（1.1.1）定义的广义负二项分布，12,,,n x x x 是取自于总体X 的一 个容量大小为n 的样本，1n i i x x =∴=∑为样本均值，样本方差为：2 211()1n i i S x x n ==--∑ 2,EX x VarX S == 10(1)m x θθβ-∴-= （1.1.4） 320(1)(1)m S θθθβ---= （1.1.5）
二项分布与正态分布的特点及他们的联系 2008-05-23 09:22:10| 分类：数学|举报|字号订阅 正态分布的特点如下： 1．正态分布的形式是对称的，它的对称轴是过平均数点的垂直线，即关于x=u对称。 2．曲线在Z=0处为最高点，向左右延伸时，在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。从正负1个标准差开始，既向下又向外弯。拐点位于正负一个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸和接近，但不相交。 3．正态分布下的面积为1，过平均数的垂直线将面积分为左右各0.50的部分。正态曲线下的每一面积都可以被看成是概率，即对应着横坐标值的随机变量出现的概率。 4．正态分布是一族分布，它随着随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。但是所有的正态分布都可以通过公式Z＝(Xl—M)／S，转换成标准正态分布，即平均数为0，标准差为1的正态分布。 5．在正态分布曲线中，标准差与概率(面积)有一定的关系。 二项分布的特点如下： 1、二项分布的均值为np，方差为npq。 2、以事件A出现的次数为横坐标，以概率为纵坐标，画出二项分布的图象，可以看出： （1）、二项分布是一种离散性分布 （2）、当p=q=0.5时，图象对称；当p不等于q时，图形是偏斜的。p>q 时，呈负偏态；
一般1/2np>=5且nq>=5时，二项分布就非常接近正态分布。 二项分布函数在教育中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限，例如，求测验猜测行为的判断标准：在选择题测验中，通过二项分布计算得出被试凭猜测答对N道以上的概率。 阅读(744)|评论(0)
学年论文 题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系 学生： 学号： 院（系）：理学院 专业：信息与计算科学 指导教师：安晓钢 2013 年11月25日
浅析二项分布与泊松分布之间的关系 信息121班; 指导教师：安晓钢 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。它们有着密切的关系。泊松分布是二项分布的特例。某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。 关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似 The Application of Asignment Poblem ABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality. KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate
第四周常见随机变量 这一周我们介绍几种常见的随机变量。我们希望能够从各种随机变量产生的机理角度进行说明，从而使它们的性质展开更加自然，同时也能更深入地理解它们之所以常见的内在原因。本周学习的分布包括：二项分布，负二项分布，泊松分布，几何分布，指数分布，正态分布。 ************************************************************ 4.1二项分布与负二项分布 伯努利（Bernoulli）试验 一个随机试验只有“成功”和“失败”两种可能的结果，其中出现“成功”的概率为()01p p <<，则称此随机试验为一个参数为p 的伯努利试验。 由参数为p 的伯努利试验定义一个随机变量X ， ,, 10X ?=??伯努利试验成功否则则称X 是参数为p 的伯努利随机变量，或称X 服从参数为p 的伯努利分布。************************************************************ 例4.1.1抛一颗均匀色子，如果出现偶数点称为试验“成功”，出现奇数点为试验“失败”，则随机变量 ,,,10X ?=??抛出的点数为偶数抛出的点数为奇数.是一个参数为12 p =的伯努利随机变量。************************************************************************二项分布 将参数为p 的伯努利试验独立地重复n 次，定义随机变量X 为试验成功的次数，则X 的
分布律为: ???? ??n k p p p p p n k 210210，其中()k p P X k ==k n C =()1n k k p p --,0,1,,k n = 。 此分布即称为二项分布，记为()~,X B n p ，也称X 服从参数为(),n p 的二项分布。 利用二项式定理可验证：() ()00111n n n n k k k k n k k p C p p p p -===-=+-=????∑∑， ************************************************************ 例4.1.2甲、乙两棋手约定进行10局比赛，每局棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率为0.4。如果各局比赛独立进行，试问甲获胜、战平和失败的概率？ X 表示甲获胜的局数，则() 6.0,10~b X ()()101010650.60.40.6330k k k k P P X C -==>==∑甲胜, ()()41010050.60.40.1663k k k k P P X C -==<==∑乙胜, ()()5551050.60.40.2007P P X C ====战平。 ************************************************************ 例4.1.3一个通讯系统由n 个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p ，如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的。试问当p 取何值时，由5个部件组成的系统要比由3个部件组成的系统更有效？解设n 个部件能正常运行的数目为随机变量n X ，则() ~,n X B n p 由5个部件组成的系统是“有效”的概率为：() 52P X >()()()()332445555555552345(1)(1)P X P X P X P X C p p C p p C p >==+=+==-+-+由3个部件组成的系统是“有效”的概率为：() 31P X >
二项分布及其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 事件的独立性 A n 次独立重复试验与二项 分布 B （一） 知识容 条件概率 对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）． （二）典例分析： 【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出 红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ） 知识框架 例题精讲 高考要求 条件概率 事件的独立性 独立重复实验 二项分布 二项分布及其应用 板块一：条件概率
A．3 5 B． 2 3 C． 5 9 D． 1 3 【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 4 15 ，刮风的概率是 2 15 ，既刮风又下雨的概率是 1 10 ， 设A=“刮风”，B=“下雨”，求()() P B A P A B ，． 【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率． 【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____ P B A=． 【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为． 【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品， 任取一件产品是一等品的概率是_____． 【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|) P A B与(|) P B A． 【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率? 【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．
负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用 【摘要】给出了负二项分布的分解定理，进一步研究了负二项分布的有关性质及参数的无偏一致估计，以及在流行病学该分布的生物学意义。 【关键词】负二项分布；无偏一致估计；应用 负二项分布是概率论中常用的重要的离散型随机分布，它在医学中主要用于聚集性疾病及生物、微生物、寄生虫分布模型等的研究。具体地说，当个体间发病概率不相等可以拟合负二项分布，如单位人数内某传染病的发病人数，某地方病、遗传病的发病人数等，这些均可通过负二项分布进行处理。本文从概率论的角度阐述负二项分布的性质及参数的最小方差无偏估计，并且以该分布在流行病学中应用为例证讨论了其生物学意义。 1 负二项分布的概率模型 负二项分布又称帕斯卡分布（Pascal）,它有两种基本模型［1］： 模型Ⅰ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，直到恰好出现r（指定的一个自然数）次成功所需试验次数X,则X的概率分布为： p(X=K)=πCr-1k-1πk-1(1-π)k-r=Cr-1k-1π-(1-π)k-r k=r,r+1 (1) 模型Ⅱ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，试验进行到r次成功为止，记X为试验共进行的次数,则X 的概率分布为［3］： p(X=k)=Cr-1k+r-1πk(1-π)k k=0,1,2, (2) 此分布的概率是πr(1-(1-π))-r 的幂级数展开式的项，负二项分布由此而得名记作 X～f(k,r,π) ，或 X～NB(r,π) 一个重要的特例是 r=1。这时（2）成为 p(X=k)=π(1-π)k k=0,1,2, (3) 称为几何分布。 2 性质特征 为研究负二项分布的性质，我们先给出一个重要的结论： 引理：设X～NB(r,π)，则其特征函数为ψx(t)=πr(1-(1-π)eit)-r 证明：ψx(t)=E（eitx)=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr(1-π)i eitr =∑∞i=0Cr-1i+r-1πr((1-π) e)rti =πr∑∞i=0Cr-1i+r-1((1-π) ert)i =πr(1-(1-π)eit)-r 定理1 设: X1,X2,…,Xr（3）的iid样本，如果 X=∑ri=1Xi, 则X=∑ri=1Xi～NB(r,π) 证明：因为X1，X2，…，Xr独立同分布，又有引理知X=∑ri=1Xi的特征函数为：φ(t)=πr(1-(1-π) eit)-r =πr∑∞k=0(-r)(-r01)…(-r-k+1)k! ((1-π) eit)k(-1)keitr =πr∑∞k=0(r+k-1)!(r-1)!k! (1-π)k eit(k+1) =∑∞k=0πr(1-π)k eit(k+r) Cr-1r+k-1 这正是 p(X=k)=Cr-1r+k-1(1-π)k 的概率分布 则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)
二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系 二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?被浏览8,9732 个回答猴子微信公众号：猴子聊人物之前你已经了解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥，在生活中有哪些应用的例子，可以看我之前的《投资赚钱与概率》）。 今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。这个知识目前来看，还没有人令我满意的答案，因为其他人多数是在举数学推导公式。我这个人是最讨厌数学公式的，但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多事情。相比熟悉公式，我更想知道学的这个知识能用到什么地方。可惜，还没有人讲清楚。今天，就让我来当回雷锋吧。 首先，你想到的问题肯定是：1. 什么是概率分布？2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？好了，我们先看下：什么是概率分布？ 1. 什么是概率分布？要明白概率分布，你需要知道先两个东东：1）数据有哪些类型2）什么是分布数据类型（统计学里也叫随机变量）有两种。第1种是离散数据。离散数据根据名称很好理解，就是数据的取值是不连续的。例如掷硬币就是一个典型的离散数据，因为抛硬币的就2种数值（也就是2种结果，要么是正面，要么是反面）。你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石，你可以从一个数值调到另一个数
值，同时每个数值之间都有明确的间隔。 第2种是连续数据。连续数据正好相反，它能取任意的数值。例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。连续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去。 什么是分布呢？数据在统计图中的形状，叫做它的分布。 其实我们生活中也会聊到各种分布。比如下面不同季节男人的目光分布.。 各位老铁，来一波美女，看看你的目光停在哪个分布的地方。美女也看了，现在该专注学习了吧。现在，我们已经知道了两件事情：1）数据类型（也叫随机变量）有2种：离散数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据类型（例如时间）2）分布：数据在统计图中的形状现在我们来看看什么是概率。概率分布就是将上面两个东东（数据类型+分布）组合起来的一种表现手段：概率分布就是在统计图中表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率。很显然的，根据数据类型的不同，概率分布分为两种：离散概率分布，连续概率分布。那么，问题就来了。为什么你要关心数据类型呢？因为数据类型会影响求概率的方法。对于离散概率分布，我们关心的是取得一个特定数值的概率。例如抛硬币正面向上的概率为:p(x=正面)=1/2而对于连续概率分布来说，我们无法给出每一个数值的概率，因为我们不可能列举每一
正确理解泊松分布 很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。虽然那个时候大家都会背“当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正的理解还有很大距离。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。 而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在18XX年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在18XX年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们去每天食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。 在一段时间t（比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如在1个小时内来200 个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 也就是在单位时间内有k个学生到达的概率为： 其中为单位时间内学生的期望到达数。 问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。
课时作业69 二项分布与正态分布 一、选择题 1．打靶时甲每打10次,可中靶8次；乙每打10次,可中靶7次．若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是( D ) A.35 B.34 C.1225 D.1425 解析：由题意知甲中靶的概率为45,乙中靶的概率为7 10,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P ＝45×710＝1425. 2．两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和3 4,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B ) A.12 B.512 C.14 D.16 解析：恰有一个一等品即一个是一等品,另一个不是一等品,则情形为两种,所 以P ＝23×? ????1－34＋? ?? ??1－23×34＝512. 3．(广东珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江,历经三千多公里的溯流搏击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C ) A ．0.05 B ．0.007 5 C.13 D.16 解析：设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟,事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P (A )＝0.15,P (AB )＝0.05,∴P (B |A )＝
P (AB )P (A )＝0.050.15＝1 3 .故选C. 4．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1,σ21),N (μ2,σ2 2),其 正态分布密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( D ) A ．甲类水果的平均质量为0.4 kg B ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 解析：由图象可知甲的正态曲线关于直线x ＝0.4对称,乙的正态曲线关于直线x ＝0.8对称,所以μ1＝0.4,μ2＝0.8,故A 正确,C 正确．由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右,故B 正确．因为乙的正态曲线的最大值为1.99,即12πσ2 ＝1.99,所以σ2≠1.99,故D 错误,于是选D. 5．若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是( C ) A.125729 B.80243 C.665729 D.100243 解析：一次试验中,至少有5点或6点出现的概率为1－? ????1－13×? ????1－13＝1－49＝5 9,设X 为3次试验中成功的次数,则X ～B ? ?? ??3，59,故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 0 3×? ????590×? ?? ??493＝665 729,故选C. 6．为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相