→＝(－4，－3)，1．(2015·课标Ⅰ，2，易)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC
则向量BC →
＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7，4)
C ．(－1，4)
D ．(1，4)
【答案】 A AB
→＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－7，－4)，选A.
2．(2015·江苏，6，易)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
【解析】 由m a ＋n b ＝(9，－8)得， m (2，1)＋n (1，－2)＝(9，－8)， 即(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
∴???2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得???m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.
【答案】 －3
1．(2014·广东，3，易)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)
【答案】 B b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.
2．(2014·课标Ⅰ，6，易)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB
→＋FC →＝( )
A.AD
→ B.12AD → C.BC
→ D.12BC → 【答案】 A 如图，
EB
→＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →) ＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD
→.
方法点拨：正确运用平面向量三角形法则是解题关键．
3．(2012·广东，3，易)若向量AB
→＝(1，2)，BC →＝(3，4)，则AC →＝( )
A ．(4，6)
B ．(－4，－6)
C ．(－2，－2)
D ．(2，2)
【答案】 A ∵AC
→＝AB →＋BC →＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)，故选A.
4．(2013·辽宁，3，易)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单
位向量为( )
A.? ????35，－45
B.? ????4
5，－35 C.? ????－35，45 D.? ??
??－45，35 【答案】 A ∵A (1，3)，B (4，－1)，∴AB →＝(3，－4)，又∵|AB →|＝5，∴与AB →
同方向的单位向量为AB →|AB
→|＝?
????35，－45.故选A.
5．(2012·浙江，7，中)设a ，b 是两个非零向量．( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|
C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|
【答案】 C 由|a ＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a 2＋b 2＋2a·b ＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，
即a 2b ＝－|a|·|b|，故a 与b 方向相反且|a|≥|b|.又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1，0)，使得b ＝λa.故A ，B 命题不正确，C 命题正确，而两向量共线，不一定有|a ＋b|＝|a|－|b|，即D 命题不正确，故选C.
6．(2011·山东，12，中)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
【答案】 D 由题意得AC
→＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ
＝2，若C ，D 都
在AB 的延长线上，则λ>1，μ>1，1λ＋1μ<2，这与1λ＋1
μ
＝2矛盾，故选D.
7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )．
(1)若m ＝n ＝23，求|OP
→|；
(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解：(1)∵m ＝n ＝23，AB →
＝(1，2)， AC
→＝(2，1)， ∴OP →
＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)， ∴|OP
→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴???x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
两式相减，得m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，结合图形知(如图)，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1.故m －n 的最大值为1.
考向1 平面向量的线性运算及共线问题
1．向量的线性运算
2．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b ＝λa ，则向量b 与a 共线．
(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa.
(3)A ，B ，C 是平面上三点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC →＝P A →＋λAB
→(如图所示)．
3．向量共线定理的应用 (1)证明点共线； (2)证明两直线平行；
(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．
(1)(2014·福建，10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O
为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →
等于( )
A.OM
→ B ．2OM → C ．3OM
→ D ．4OM → (2)(2013·四川，12)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB
→＋AD →＝λAO →，则λ＝________．
(3)(2014·江苏南京二模，10)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．
【思路导引】 解题(1)的关键是判断平行四边形中点M 的位置，点M 为两对角线的交点，即为两对角线的中点；题(2)应用加法的平行四边形法则；题(3)的思路是由P ，G ，Q 三点共线找出等量关系PQ →＝λPG →，再根据恒等关系列出方程组．
【解析】 (1)依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.
(2)在?ABCD 中，由平行四边形法则得AB
→＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.
(3)设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23312(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ
→＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →
＝? ??
??13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数
λ，使得PQ
→＝λPG →，即n b －m a ＝λ? ??
??13－m a ＋ 13λb ，
从而?????－m ＝λ? ????13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1
m ＝3.
【答案】 (1)D (2)2 (3)3
1.向量的线性运算的解题策略
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
2．求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.
(4)直线的向量式参数方程：OP
→＝(1－t )OA →＋tOB →(t ∈R )． (5)OA
→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. (1)(2012·大纲全国，9)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB
→＝a ，CA →
＝b ，a 2b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD
→＝( )
A.13a －13b
B.23a －23b
C.35a －35b
D.45a －45
b (2)(2012·四川，7)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b |b|成立的充分条件是( )
A ．|a|＝|b|且a ∥b
B ．a ＝－b
C ．a ∥b
D ．a ＝2b
(1)【答案】 D ∵a·b ＝0，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝|a |2＋|b |2＝5，CD ＝255.
∴BD ＝55，AD ＝45
5，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD
→＝45AB →＝45(CB →－CA →) ＝45a －45b .
(2)【答案】 D ∵a
|a|表示与a 同向的单位向量，
∴a 与b 必须方向相同才能满足a |a|＝b
|b|.故选D.
考向2 平面向量基本定理及其应用
1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．
(2)平面向量基本定理的实质
平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
2．平面向量基本定理的应用
(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，那么a ，e 1，e 2共面．
(2)根据平面向量基本定理求字母的值(或范围)．
(1)(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，
AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2
为实数)，则λ1＋λ2的值为
________．
(2)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →
，则λ＋μ＝________．
【思路导引】 解题(1)的思路是先在△ABC 中用AB
→和AC →表示DE →，然后根
据已知条件对应求出λ1，λ2；题(2)方法一利用已知转化为AB
→，AD →的关系，再利
用AB →，AD →
不共线求解，方法二利用几何图形和三点共线求解．
【解析】 (1)∵DE
→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →－16AB →，
又DE →＝λ1AB →＋λ2
AC →，
∴λ1＝－16，λ2＝23.∴λ1＋λ2＝1
2.
(2)方法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·
12(AD →＋AC →)＋μ·
12(AC →＋AB →)，则? ????μ2－1AB →＋λ2AD →＋? ????λ2＋μ2AC →＝0，得? ????μ2－1AB →＋λ2AD →＋? ????λ2＋μ2? ????
AD →＋12AB →＝
0，得? ????14λ＋34μ－1AB →＋? ??
??λ＋μ2AD →＝0. 又因为AB
→，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得 ?????14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ
2＝0，解得?????λ＝－45，
μ＝8
5. 所以λ＋μ＝45.
方法二：如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，
由已知易得AB ＝4
5AT ， ∴45AT →＝AB →＝λAM
→＋μAN →. ∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝45. 【答案】 (1)12 (2)4
5
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．
(2014·山东济南质检，14)如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且
AN
→＝ 12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE
→＝________． 【解析】 易得AN
→＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，
存在实数m ，满足AE
→＝mAN →＋(1－m )AB →＝13
m b ＋(1－m )a .
由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )·AC
→＝12n a ＋(1
－n )b .
所以13m b ＋(1－m )a ＝1
2n a ＋(1－n )b .
由于a ，b 为基底，所以?????1－m ＝1
2n ，
13m ＝1－n ，
解得?????m ＝3
5，n ＝45.
所以AE
→＝25a ＋15b . 【答案】 25a ＋1
5b
考向3 平面向量坐标运算的应用
1．平面向量的坐标运算
(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． 2．向量平行的坐标表示
(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.
a ∥
b 的充要条件不能表示成x 1x 2
＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否
共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
3．平面向量中的重要结论
G 为△ABC 的重心?GA
→＋GB →＋GC →＝0
?G ? ??
??
x 1＋x 2＋x 33，
y 1＋y 2＋y 33，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． (1)(2014·北京，3)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b
＝( )
A ．(5，7)
B ．(5，9)
C ．(3，7)
D ．(3，9)
(2)(2013·陕西，2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )
A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0
(3)(2013·北京，13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ
μ
＝________．
【解析】 (1)根据平面向量坐标运算法则，得2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．
(2)因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2.故选C.
(3)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个
小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →
＝(－1，1)，b ＝OB
→＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－1
2，∴λμ
＝4.
【答案】 (1)A (2)C (3)4
【点拨】 解题(1)的关键是掌握向量的坐标运算法则；解题(2)的方法是根据两向量共线的坐标表示的充要条件列出方程，进而求解；解题(3)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a ，b ，c 的坐标，利用a ，b ，c 之间的关系，列出方程求解．
向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．
(2012·重庆，6)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，
－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b|＝( )
A. 5
B.10 C ．2 5 D ．10 【答案】 B 由???a ⊥c ，
b ∥
c ?
???2x －4＝0，2y ＋4＝0????x ＝2，y ＝－2，
∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b|＝10，故选B.
1．(2015·北京石景山一模，8)AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →
＝(2，4)，AC
→＝(1，3)，则AD →＝( ) A ．(2，4) B ．(3，7) C ．(1，1) D ．(－1，－1) 【答案】 D 如图，BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，
∴AD
→＝BC →＝(－1，－1)，选D.
2．(2015·山东滨州一模，3)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，6)，且a ∥b ，则x 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】 C 因为a ∥b ，所以136－2x ＝0，解得x ＝3，选C.
3．(2015·河北邯郸二模，6)如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )
A ．0 B.BE
→ C.AD → D.CF → 【答案】 D 由图知BA
→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝BF →－BC →＝CF →.
4．(2014·山西四校联考，8)在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →
＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP
→＝mAB →＋29
AC →，则实数m 的值为( ) A.19 B.1
3 C ．1 D ．3
【答案】 B 如图，因为AN
→＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝
mAB
→＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13
，故选B.
5．(2014·皖南八校第三次联考，7)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 上的动点(可以与A 或B 重合)，如图所示，
则DE →2CD →
的最大值是( )
A ．1 B.1
2 C ．0 D ．－1 【答案】 C 设AB →＝a ，AD →＝b ，
则AE
→＝λAB →＝λa (0≤λ≤1)， DE
→＝AE →－AD →＝λa －b ， ∴DE
→2CD →＝DE →2(－DC →) ＝(λa －b )·(－a ) ＝－λa 2＋a·b ＝－λ. 又0≤λ≤1，
∴DE
→2CD →的最大值为0.故选C. 6．(2015·山东淄博一模，7)定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )的图象的两个端点为A ，B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b (λ∈R )，向量ON →＝λOA
→＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y ＝x ＋1
x 在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )
A ．[0，＋∞)
B ．[1，＋∞) C.??????32－2，＋∞ D.????
??
32＋2，＋∞ 【答案】 C 由题意知a ＝1，b ＝2，所以A (1，2)，B ? ?
???2，52.所以直线AB
的方程为
y ＝1
2(x ＋3)．
因为x M ＝λa ＋(1－λ)b ＝λ＋2(1－λ)＝2－λ，
ON
→＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λ(1，2)＋(1－λ)·? ????2，52＝? ??
??2－λ，52－λ2，所以x N ＝2
－λ，M ，N 的横坐标相同，且点N 在直线AB 上．
所以|MN →|＝|y M －y N
| ＝??????x ＋1x －12（x ＋3） ＝????
??x 2＋1x －32. 因为x 2＋1x ≥2x 221x ＝2，且x 2＋1x ≤32，所以|MN →|＝??????x 2＋1x －32＝32－? ??
??x 2＋1x ≤32－ 2.即|MN →|的最大值为32－2，所以k ≥32
－2，选C. 7．(2015·湖南长沙一中月考，13)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝________.
【解析】 ∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝(－m ，2m )＋(4n ，n )＝(－m ＋4n ，2m ＋n )，
∴???－m ＋4n ＝3，
2m ＋n ＝2，
解得?????m ＝5
9，n ＝89，
∴n －m ＝1
3. 【答案】 1
3
8．(2015·河南洛阳一模，13)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.
【解析】 k a ＋b ＝k (1，3)＋(－2，1)＝(k －2，3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.
【答案】 －1
9．(2014·吉林长春一模，10)设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为________．
【解析】 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB
→＋OC →)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝
1
3S △ABC ，
所以S △ABC
S △AOC
＝3.
【答案】 3
1．(2015·课标Ⅱ，4，易)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
【答案】 C ∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝131＋03(－1)＝1.
2．(2015·重庆，7，易)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )
A.π3
B.π2
C.2π3
D.5π6
【答案】 C ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－2|a |2.
又cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |，|b |＝4|a |.
∴cos 〈a ，b 〉＝－2|a |2|a |·
4|a |＝－1
2. 又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2
3π.
3．(2015· 广东，9，中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB
→＝(1， －2)，AD →＝(2，1)，则AD →2AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
【答案】 A ∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →2AC →
＝(2，1)·(3，－1)＝233＋13(－1)＝5，选A.
4．(2015·陕西，8，中)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
【答案】 B A 选项中，|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |恒成立(|cos θ|≤1)； B 选项中，当a ，b 反向共线或不共线时不成立； C 选项中，(a ＋b )2＝|a ＋b |2恒成立； D 选项中，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立．
5．(2015·湖北，11，易)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →2OB →＝________. 【解析】 ∵OA
→⊥AB →，|OA →|＝3， ∴OA
→·AB →＝0，∴OA →(OB →－OA →)＝0， ∴OA →·OB →＝|OA →|2＝9. 【答案】 9
6．(2015·浙江，13，中)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 12e 2＝1
2，若平面向量b 满足b·e 1＝b·e 2＝1，则|b|＝________．
【解析】 ∵e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝1
2， ∴〈e 1，e 2〉＝π
3. 又∵b·e 1＝b·e 2＝1，
∴|b||e 1|cos 〈b ，e 1〉＝|b||e 2|cos 〈b ，e 2〉 ＝1，
即|b|cos 〈b ，e 1〉＝|b|cos 〈b ，e 2〉＝1，
∴cos 〈b ，e 1〉＝cos 〈b ，e 2〉，∴〈b ，e 1〉＋〈b ，e 2〉＝π3，或〈b ，e 1〉
＋〈b ，e 2〉＝5
3π(舍)．
∴〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝π
6，
∴|b|＝
1cos π6
＝233. 【答案】
233
1．(2014·大纲全国，6，易)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】 B (2a －b )·b ＝2a·b －|b|2 ＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.
2．(2013·湖北，7，中)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB
→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152
【答案】 A 由条件知AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，
AB
→2CD →＝10＋5＝15. |CD
→|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →
〉＝AB →·CD →|CD →|
＝1552＝322，故选A.
3．(2014·湖南，10，中)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足||
CD →＝1，则||
OA →＋OB →＋OD →的取值范围是( ) A ．[4，6] B ．[19－1，19＋1] C ．[23，27] D ．[7－1，7＋1] 【答案】 D 设动点D (x ，y )，
∵|CD →|＝1，CD →
＝(x －3，y )，
∴(x －3)2＋y 2＝1，∴D 点的运动轨迹是以(3，0)为圆心，1为半径的圆． 又OA
→＋OB →＋OD →＝(－1＋x ，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2表示圆上的点到点(1，－3)的距离．
又点(1，－3)到(3，0)的距离为d ＝4＋3＝7， ∴|OA
→＋OB →＋OD →|的范围是[7－1，7＋1]． 4．(2014·重庆，12，易)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________.
【解析】 |a|＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a ·b ＝|a||b|·cos 60°＝210310312＝10. 【答案】 10
5．(2014·四川，14，中)平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.
【解析】 c ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a|＝5，|b|＝25， 又∵cos 〈c ，a 〉＝c ·a |c||a|，cos 〈c ，b 〉＝c ·a |c||b|， 由题意知c ·a |a|＝c ·b |b|，即5m ＋85＝8m ＋20
25，解得m ＝2.
【答案】 2
6．(2014·江西，12，中)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝1
3，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a|＝________.
【解析】 ∵|a|2＝a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2，又|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角余弦值为13，
∴上式＝9－1231
3＋4＝9，∴|a|＝3. 【答案】 3
7．(2014·江苏，12，中)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP
→＝3PD →，AP →2BP →＝2，则AB →2AD →的值是________．
【解析】 由题意，得AP
→＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，
BP
→＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →， ∴AP
→·BP →
＝? ????AD →＋14AB →·? ????AD →－34AB → ＝AD
→2－12AD →·AB →－316AB →2， 即2＝25－12AD →·AB →－3
16364， 解得AD →·AB →＝22. 【答案】 22
方法点拨：借助AP →·BP →表示出AD →·AB →是解决本题的关键所在．
考向1 平面向量的垂直与夹角
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．
两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向
高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。
@、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1
第九篇 解析几何 第1讲 直线方程和两直线的位置关系 A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点 ( )． A.? ????－12，3 B.? ???? 12，3 C.? ?? ??12，－3 D.? ?? ??－12，－3 解析 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令??? 2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－1 2，y ＝－3，故所有直线都过定点? ???? －12，－3. 答案 D 2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )． A.?????? π6，π3 B.? ???? π6，π2 C.? ?? ??π3，π2 D.???? ??π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝3 3，则直线P A 的倾斜
角为π 6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是? ? ? ? ? π 6， π 2. 答案 B 3．(2013·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()．A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0. 答案 A 4．(2013·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的 ()． A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件； 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0， 此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件． 答案 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 解析设所求直线的方程为x a＋ y b＝1， ∵A(－2,2)在直线上，∴－2 a＋ 2 b＝1. ① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴1 2|a|·|b|＝1. ②
统计和统计案例 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题． 1． 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差：s 2＝n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]． 标准差：
s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. 4． 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5． 独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d n 则K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 960 32 ＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分 成几个组，则分段间隔即为N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样
高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 2019年高考数学主要考查哪些知识点 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师” 为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧 1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函 数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误 对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误 零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。 高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?； 4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 6.可以判断真假的语句叫做命题。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则 ()．A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题 C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题 解析由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q” 是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C. 答案 C 2．(2012·吉林模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则()．A．綈p：有的三角形不是等边三角形 B．綈p：有的三角形是不等边三角形 C．綈p：所有的三角形都是等边三角形 D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形 解析命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D. 答案 D 3．(2012·开封二模)下列命题中的真命题是()． A ．?x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32 B ．?x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1 C ．?x ∈(－∞，0)，2x <3x D ．?x ∈(0，π)，sin x >cos x 解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ? ?? ??x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；因为x ∈? ????0，π4时有sin x 高考数学总复习方法建议 高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 1．第一阶段，即第一轮复习，也称“知识篇”。 大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。（建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材）②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。 2．第二轮复习，通常称为“方法篇”。 大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。 同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家务 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高三文科数学总复习 集合： 1、集合元素的特征：①确定性 ②互异性 ③无序性 2、常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为N 正整数集记为* N 或+N ②整数集记为Z ③实数集记为R ④有理数集记为Q 3、重要的等价关系：B A B B A A B A ??=?= 4、一个由n 个元素组成的集合有n 2个不同的子集，其中有12-n 个非空子集，也有12-n 个真子集 函数： 1、函数单调性 （1）证明：取值--—作差----变形----定号----结论 （2）常用结论： ①若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数 ②增+增=增，减+减=减 ③复合函数的单调性是“同增异减” ④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反 9、函数奇偶性 （1）定义：①)()(x f x f =-，)(x f 就叫做偶函数②)()(x f x f -=-,)(x f 就叫做奇函数 注意：①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 ②奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ③若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f （2）函数奇偶性的常用结论： 奇 +奇 =奇，偶+ 偶= 偶，奇 *奇 = 偶，偶 * 偶= 偶，奇 *偶 = 奇 基本初等函数 1、（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1 ①负数没有偶次方根 ②0的任何次方根都是0，记作00=n ③当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n ④我们规定：(1)m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a (2)()01 >= -n a a n n （2）对数的定义：若N a b =,那么N b a log =,其中a 叫做对数的底数,b 称为以a 为底的N 的对数，N 叫做真数 注：（1）负数和零没有对数（因为0>=b a N ） （2）1log ,01log ==a a a （0>a 且1≠a ） （3）将N b a log =代回N a b =得到一个常用公式log a N a N = （4）x N N a a x =?=log 2、（1）①()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0②()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0③()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0 （2）①()N M MN a a a log log log +=②N M N M a a a log log log -=?? ? ??③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a ，利用换底公式推导下面的结论： （1）b m n b a n a m log log = （2）a b b a log 1log = 3、指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质 高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() [] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？高考数学主要考查哪些知识点
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