没有原函数的函数一定不连续. 设()0f x ≤,则其原函数必是减函数. 若()f x 在[],a b 上有无穷多个间断点, ()f x 在[],a b 上不可积. 若幂级数n n a x ∑的收敛半径为R ,则()n n a x a -∑的收敛半径也为R . 若()0b
a f x dx =?,则()0f x ≡. 当且仅当()0f x =时其Taylor 级数的各项均为0. .当且仅当()f x 为偶函数时,其Fourier 级数为余弦函数.
闭区间上连续函数介值定理解题方法小结（一） 来源：文都教育 在高等数学的考试中，离不开考查函数的相关性质，而闭区间上的连续函数的性质显然是重中之重. 同学们都知道闭区间上的连续函数有最值定理、有界性定理、介值定理，其中介值定理常常会与积分中值定理等证明题有着“千丝万缕”的联系，因此在考试中出现的频率较高，下面就以闭区间上连续函数介值定理为线索来总结这类题目的类型和解题方法. 介值定理 如果函数()f x 在[,]a b 上连续，且()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值分别为M 和m ，对介于m 和M 之间的任何实数C （m
《微积分初步》单元学习辅导一（函数极限连续） 微积分初步学习辅导（一） ——函数、极限和连续部分 学习重难点解析 （一）关于函数的概念 1.组成函数的要素: (1)定义域:自变量的取值范围D ； (2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f . 函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即)()(x g x f =）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数. 2.函数定义域的确定 对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定： (1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零； (2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负； (3) 函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零； (4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分； (5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集. (6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域. 3.函数的对应关系 函数的对应关系f 或f （ ）表示对自变量x 的一个运算，通过f 或f （ ）把x 变成了y ，例如152)(3 +-==x x x f y ，则f 代表算式 1)(5)(2)(3+-=f 括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值. （二）关于函数的基本属性 函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于我们对函数的研究. 理解函数属性中需要注意下面的问题： 1.关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即 奇函数±奇函数=奇函数
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个例子： 已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我 们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当 时，成立，则称函数当时为无穷大量。 记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函 数当x→∞时是无穷大量，记为：。 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量. 记作：(或) 注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。 定理二：无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量. 无穷小量的比较 通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
§6-3 闭区间上连续函数可积性的证明 函数)(x f 在区间],[b a 上的一致连续性，使得对于任意给定的正数ε，都有仅与ε有关的正数)(εδδ=，当把区间],[b a 划分为有限个长度都不超过δ的小 区间1[,](1)i i x x i n -≤≤时(图6-3)， 在每一个小区间],[1i i x x -上，函数的最大值i M 减去最小值i m 的差i ω(称为振幅)不会超过 ε，即)1(n i m M i i i ≤≤≤-=εω。令 () 1 (P)n i i i s m x == ?∑小和， 1 (P)n i i i S M x ==?∑大和（） 则有 1 1 0(P)(P)()()n n i i i i i i S s M m x x b a ε ε==≤-= -?=?=-∑∑ 即 lim [(P)(P)]0n x S s ?→-= (6-1) 正是有这个结论，我们才证明了闭区间上连续函数的可积性。 证 设)(x f 是闭区间],[b a 上的连续函数。对于区间],[b a 的任何两个划分方法P '和P ''，总有)P ()P (''≤'S s 。 为了说明这个结论,不妨认为0)(≥x f 。如图6-4①，对于任意划分P '，小和)P ('s 对应的那些内接小矩形合起来含在曲边梯形AabB 内。如图6-4②，对于任意划分P ''，大和)P (''S 对应的那些外接小矩形合起来能够覆盖住曲边梯形AabB 。因此，总有)P ()P (''≤'S s 。 其次，因为所有可能的小和构成的集合{})P ('s 有上界)P (''S ，所以有最小上界σ,于是)P (''≤S σ；而因为对于所有可能的大和构成的集合{})P (''S 有下界σ，所以有最大下界σ， 于是σσ≤。 因此，有)P ()P (''≤≤≤'S s σσ。 特别，对于区间[,]a b 的任意划分P ，就有 )P (P)(S s ≤≤≤σσ 或 )P (P)(0s S -≤-≤σσ 图6-4 ① · · · · · · b a ] [ x 图6-3 1i i x x -
介值定理的一些应用 摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。 关键词：介值定理 方程 不等式 应用 介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。 介值性定理：设函数()f x 在闭区间[]b a ,上连续。并且函数()f a 与函数()f b 不相等。如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数() f a <μ<() f b 或() f a >μ >()f b ，则至少存在一点0x (),a b ∈使得().0f x =μ. 推论：根的存在定理 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，并且()f a 和 ()f b 满足()f a ()f b <0，那么至少存在一点0x ，使得().0f x =0. 即是方程()f x =0在(),a b 内至少有一个根。 1.介值定理在方程根的问题上的应用 利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。 1.1介值定理证明方程根存在性 证明类似方程()f x =()g x 在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数()F x =()f x -()g x 的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。 例1 证明：函数()f x 在区间[]a 2,0上连续并且函数()0f =()2f a 。那么方
第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连
平方可积函数的认识 1、平方可积函数的来源与定义 平方可积函数是连续物理过程，而连续是由离散情况变化而来，因此这里将首先引入离散情况。 现在考虑一个问题：要测量某个物理量在不同条件下的值，设有N 个温度值，第一次测量结果是： (1)(1)(1) 12,,,N a a a 第二次测量结果是： (2)(2)(2)12,,,N a a a 评估两次测量的偏差，最直接的设想是计算每个温度下测量偏差之和： (1)(2)1 1()N k k k a a N =-∑ 其实就是平均值，但是这并不能反映真实情况，因为各项有正有负可能抵消，在 极端的情况下，平均值可以为0，而实际上两次测量可以存在很大误差。于是，采用： (1)(2) 11N k k k a a N =-∑ 这虽然避免了正负相消，但是绝对值是很不方便运算的，因此考虑更常见的 (1)(2)21 1 ()N k k k a a N =?= -∑ 但是?的量纲很明显的不对，于是对上式进行开方得到： 1 (1)(2)221 1 [ ()]N k k k a a N δ==-∑ δ的量纲显然与测量值(1)k a 、(2)k a 一致，因此它是合理的。 ?称为方差，δ称为标准差。上述考虑的是离散情况下，如果观测的物理量对温度的变化是连续进行的，则相应的会有两个函数(1)()f x 和(2)()f x 。类似于上式，存在函数平方的积分(1)(2)2[()()]b a f x f x dx -?。总之，经过发现可以得出把一 个函数平方再积分，用这个量来刻画函数性质在种种物理过程中是十分有效的。 由于已知黎曼积分本质上是适用于连续函数的积分，但是由于统计思想的深入，不得不考虑连续函数或不光滑函数。因此，这里的积分考虑的是勒贝格积分理论。 定义1设()f x 是E R ?上的可测函数，而且2 ()f x 在E 上可积，这种函数的集合称为平方可积函数空间，记作2()L E （或简单记作2L ）。
高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当
左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~
函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连
一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差 u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1. 设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量 x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到 f (x 0 x ), 因此函数y 的对应增量为 y f (x 0 x ) f (x 0). 函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量 y f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即 lim 0 =?→?y x 或)()(lim 00 x f x f x x =→, 那么就称函数y f (x )在点x 0 处连续. 注 ①0)]()([lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x ②设x x 0+x , 则当 x 0时, x x 0, 因此 lim 0 =?→?y x 0 )]()([lim 00 =-→x f x f x x )()(lim 00 x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式
|x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式 |f (x )f (x 0)|< , 那么就称函数y f (x )在点x 0处连续. 左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =- →, 则称y f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+ →, 则称y f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数y f (x )在点x 0处连续?函数y f (x )在点x 0处左连续且 右连续. 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(￥, ￥) 内是连续的. 这是因为, f (x )在( ￥, ￥)内任意一点x 0处有定义, 且 ) ()(lim 00 x P x P x x =→ 2. 函数 x x f =)(在区间[0, ￥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间( ￥, ￥)内是连续的. 证明 设x 为区间( ￥, ￥)内任意一点. 则有
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x) = f ( x0), (1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为 又如, 函数lim x →2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5= f (2 ). f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0, x =0 在点x = 0 连续, 因为 lim x →0 f ( x) = lim x →0 x sin 1 x =0= f ( 0). 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x-x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy= f ( x) - f ( x0) = f ( x0 + Δx)- f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y= f( x)在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx →0
70 第四章 函数的连续性 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的, 因而也可直接用ε- δ方 式来叙述, 即: 若对任给的ε>0 , 存在δ> 0 , 使得当|x - x 0 | <δ时有 | f (x)- f ( x 0 ) |<ε, (2) 则称函数 f 在点 x 0 连续 . 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念 之间的联系.首先, f 在点x 0 有极限是f 在x 0 连续的必要条件;进一步说“, f 在 点x 0 连续”不仅要求f 在点x 0 有极限,而且其极限值应等于f 在x 0 的函数值 f( x 0) .其次,在讨论极限时,我们假定f 在点x 0 的某空心邻域U °( x 0 )内有定 义( f 在点x 0 可以没有定义),而“f 在点x 0 连续”则要求f 在某U( x 0 )内(包括 点x 0)有定义,此时由于(2)式当x = x 0 时总是成立的,所以在极限定义中的“0 <|x - x 0 |<δ”换成了在连续定义中的“|x - x 0 |<δ”.最后,(1)式又可表示为 lim x → x f (x)= f lim x , x → x 可见“f 在点x 0 连续”意味着极限运算lim x → x 与对应法则 f 的可交换性 . 例1证明函数 f (x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续, 其中 D ( x ) 为狄利克雷 函数 . 证 由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ?1 , 对任给的ε>0 , 为使 | f ( x) - f ( 0) | = | xD( x ) | ? | x | <ε, 只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f 在x =0连续. □ 相应于f 在点x 0 的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下: 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义.若 lim x → x + f (x)= f (x 0) lim - x → x f (x)= f (x 0) , 则称 f 在点 x 0 右( 左) 连续 . 根据上述定义1 与定义2 , 不难推出如下定理 . 定理4.1 函数 f 在点x 0 连续的充要条件是:f 在点 x 0 既是右连续, 又是 左连续 . 例 2 讨论函数 在点 x = 0 的连续性 . 解 因为 f ( x ) = x + 2 , x ? 0 , x - 2 , x <0 lim x → 0 + lim x → 0 - f ( x ) = lim x → 0 + f (x)= lim x → 0 - ( x + 2 ) = 2 , ( x - 2) = - 2, 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续, 从而它在 x = 0 不连续( 见 ●
邯郸学院本科毕业论文 题目介值定理及其应用 学生姚梅 指导教师王淑云教授 年级2008级本科 专业数学与应用数学 二级学院数学系 （系、部） 邯郸学院数学系 2012年6月
郑重声明 本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明． 毕业论文作者（签名）： 年月日
介值定理及其应用 摘要 介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明．介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题．如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等．此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用． 关键词：介值定理连续函数根的存在定理应用
Intermediate value theorem and its application Yao Mei Drected by Professor Wang Shuyun ABSTRACT Intermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties. In" mathematical analysis" textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monotone bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the construction of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem. KEY WORDS：Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root Application
1 / 2 考研数学：连续函数介值定理的四种情形分析 在考研数学中，关于连续函数在闭区间上的性质有4个经常用到的定理，它们分别是：最值定理，有界性定理，零点定理，介值定理。其中关于连续函数的介值定理，在很多高等数学教材和考研复习资料上虽然都做了说明，但都不是很完整，导致很多学生在做这方面的习题时产生混乱，为了帮助广大考生完整透彻地理解介值定理，文都考研数学辅导老师在这里向大家做一个完整的阐述，供各位考生参考。 连续函数的介值定理按不同的条件和使用方法，可以分为4种情况，分别是：（m ，M)上的介值定理，[m ，M]上的介值定理，((),())f a f b 上的介值定理，[(),()]f a f b 上的介值定理，其中m ，M 分别为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值和最大值，此处假设()()f a f b <。若()()f a f b >，则相应地将区间改为((),())f b f a 和[(),()]f b f a 。下面分别对这4种情况进行阐述。 定理一：（m ，M ）上的介值定理. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，m ，M 分别为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值和最大值，则(,),(,)C m M a b ξ?∈?∈，使得()C f ξ= 证明：根据连续函数的最值定理得，12,[,]x x a b ?∈，使12(),()f x m f x M ==，不妨设12x x <，令()()x f x C ?=-，则12()0,()0x m C x M C ??=-<=->，12()()0x x ??<， 由零点定理可得，12(,)(,)x x a b ξ?∈?，使得()()0f C ?ξξ=-=，即()C f ξ= 定理二：[m ，M]上的介值定理. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，m ，M 分别为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值和最大值，则[,],[,]C m M a b ξ?∈?∈，使得()C f ξ= 证明：若(,)C m M ∈，则由定理一知结论成立。若C m =，则根据连续函数的最值定理得，[,]a b ξ?∈，使()f m C ξ==；对于C M =的情况，同理可知结论成立。 定理三：((),())f a f b 上的介值定理. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，若()()f a f b <，则((),()),(,)C f a f b a b ξ?∈?∈，使得()f ξ=；若()(f a f b >，则 ((),())C f b f a a b ξ?∈?∈，使得 ()C f ξ= 证明：只证第一种情况即可。令()()x f x C ?=-，则() ()0,()()0a f a C b fb C ??=-<=->，