西中 高三8班 三角函数、解三角形专题训练 解析版
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝
3
6
x ，则sin α等于 ( )
A.
66x B.66 C.306
x
D ．－
6
6
解析：r ＝x 2＋2，
∵cos α＝36x ，∴x x 2＋2
＝3x
6，
∴x 2＋2＝12， ∴sin α＝y r ＝－212
＝－6
6.
答案：D
2．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A >0，tan A －sin A <0，则角A 的取值范围是( )
A ．(0，π4)
B ．(π4，π2)
C ．(π2，3π4)
D ．(3π
4
，π)
解析：由tan A
4
)．
答案：C
3.给定函数①y ＝x cos(3π
2＋x )，②y ＝1＋sin 2(π＋x )，
③y ＝cos(cos(π
2＋x ))中，偶函数的个数是 ( )
A.3
B.2
C.1
D.0
解析：对于①y ＝x cos(3
2π＋x )＝x sin x ，是偶函数，故①正确；对于②y ＝1＋sin 2(π＋x )＝
sin 2x ＋1，是偶函数，故②正确；对于③y ＝cos(cos(π
2＋x ))
＝cos(－sin x )＝cos(sin x )，
∵f (－x )＝cos(sin(－x ))＝cos(－sin x )＝cos(sin x )＝f (x )， ∴函数是偶函数，故③正确. 答案：A
4.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为
( )
A.1
B.2
C. 2
D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2
＋b 2
－ab ＝c 2
，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
，
∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×3
2
＝ 3.答案：D
5．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ≤π
2
)，且此函数的图象如图1所示，由点P (ω，φ)
的坐标是
( )
图1
A ．(2，π2)
B ．(2，π4)
C ．(4，π2)
D ．(4，π
4
)
解析：由图象可得函数的周期T ＝2×(7π8－3π8)＝π＝2πω，得ω＝2，将(3π
8
，0)代入y ＝sin(2x
＋φ)可得sin(3π4＋φ)＝0，由0<φ≤π2可得φ＝π
4
，
∴点(ω，φ)的坐标是(2，π
4
)，故选B.答案：B
6．将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π
3
个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不
变)，得到的图象所对应的函数为y ＝cos x ，则f (x )为
( )
A ．y ＝cos(2x ＋π3)
B ．y ＝cos(2x －π3)
C ．y ＝cos(2x ＋23π)
D ．y ＝cos(2x －2
3
π)
解析：y ＝cos x
y ＝cos2x
y ＝cos2(x ＋π
3
)．答案：C
7．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π
2
，则f (x )的最大值为
( )
A ．1
B ．2 C.3＋1 D.3＋2
解析：f (x )＝(1＋3·sin x
cos x
)cos x ＝cos x ＋3sin x
＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6
)．
∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3. ∴12≤sin(x ＋π
6
)≤1.∴1≤f (x )≤2.
答案：B
8．若α∈[52π，7
2π]，则1＋sin α＋1－sin α的值为 ( )
A ．2cos α2
B ．－2cos α2
C ．2sin α2
D ．－2sin α
2
解析：原式＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α
2
)2
＝|sin α2＋cos α2|＋|sin α2－cos α2|.
∵α∈[5π2，7π2]，∴α2∈[5π4，7π4
]，
当α2∈[5π4，3π2]时，sin α2≤cos α
2
≤0， 原式＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α
2
，
当α2∈[3π2，7π4]时，sin α2<0，cos α2≥0.且|sin α2|≥|cos α2
|， ∴原式＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α
2
.
综上，原式＝－2sin α
2
.
答案：D
9．若定义在R 上的函数f (x )满足f (π
3
＋x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )可以是( )
A ．f (x )＝2sin 13x
B ．f (x )＝2sin3x
C ．f (x )＝2cos 1
3
x D ．f (x )＝2cos3x
解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴排除A 、B.
又∵f (π3＋x )＝－f (x )，∴f (x )是周期为2
3π的函数，
∴选D. 答案：D
10．(2010·黄冈质检)已知函数f (x )＝πsin x
4
，如果存在实数x 1、x 2，使得对任意的实数x ，
都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是
( )
A ．8π
B ．4π
C ．2π
D ．π
解析：由题意得函数f (x )在x ＝x 1、x ＝x 2处取得最小值与最大值，结合图象可知|x 1－x 2|
的最小值恰好等于该函数的半个周期，即等于12×2π
1
4
＝4π，选B.
答案：B
11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2
3
π对称，它的
周期是π，则
( )
A ．f (x )的图象过点(0，12)
B ．f (x )的图象在[512π，2
3
π]上是减函数
C ．f (x )的最大值为A
D ．f (x )的一个对称中心是点(5
12
π，0)
解析：∵T ＝π，∴ω＝2，
又2·23π＋φ＝kπ＋π2
∴φ＝kπ＋π2－4π
3
当k ＝1时，φ＝π
6
，验证知选D.
答案：D
12．若在x ∈[0，π
2
]内有两个不同的实数值满足等式cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则k 的取
值范围是
( )
A ．－2≤k ≤1
B ．－2≤k <1
C ．0≤k ≤1
D ．0≤k <1
图2
解析：原方程即2sin(2x ＋π6)＝k ＋1，sin(2x ＋π6)＝k ＋1
2
.
由0≤x ≤π2，得π6≤2x ＋π6≤7π
6，
y ＝sin(2x ＋π6)在x ∈[0，π
2]上的图象形状如图2.
故当12≤k ＋12<1时，方程有两个不同的根，
即0≤k <1. 答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1∶3，则内切圆面积与扇形面积之比为 .
解析：如图，设内切圆半径为r ，则扇形的半径为3r ，计算可
得扇形中心角为π
3
，
故S 内切圆∶S 扇形＝πr 2∶12·3r ·(π
3·3r )＝2∶3.
答案：2∶3
14.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A
tan B 的值
为 .
解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝3
5sin C ，即sin A cos B
－sin B cos A ＝3
5sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B
＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan A
tan B
＝4.
15．已知函数f (x )＝sin(x －π3)＋3cos(x －π3)，g (x )＝3f (π
2
－x )，直线x ＝m 与f (x )和g (x )
的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为__________．
解析：f (x )＝2sin(x －π3＋π
3
)＝2sin x ，
g (x )＝3f (π2－x )＝3·2sin(π
2
－x )＝23cos x ，
f (x )－
g (x )＝2sin x －23cos x ＝4sin(x －π
3
)
故|MN |的最大值为4. 答案：4
16．给出下列命题：①在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；②已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标
为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为π
2
；③函数y ＝f (x )的图象与直线
x ＝a 至多有一个交点；④函数y ＝2sin(2x －π6)的图象的一个对称点是(π
12
，0)；
其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)
解析：由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 的图象只有一个交点，故③错∴①错．
∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，0<θ<π，
∴2sin(－ωx ＋θ)＝2sin(ωx ＋θ)，∴cos θ＝0.∴θ＝π
2
.
∵|x 2－x 1|的最小值为π，周期为2π，ω＝±1.∴②错． 答案：③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 求2cos5°－sin25°
cos25°
的值．
解：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos5°－sin(30°－5°)cos25°
＝2cos5°－12cos5°＋3
2
sin5°
cos25°
＝32cos5°＋32sin5°cos25°＝3(32cos5°＋12sin5°)cos25°＝3cos(30°－5°)cos25°＝ 3.
18. (本小题满分12分)
某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y （米）随着时间(024,)t t ≤≤单位小时而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表： (t 时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (y 米)
1．0
1．4
1．0
0．6
1．0
1．4
0．9
0．5
1．0
（Ⅰ）试画出散点图；
（Ⅱ）观察散点图，从,sin(),cos()y ax b y A t b y A t ω?ω?=+=++=+中 选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（Ⅲ）如果确定在白天7时~19时当浪高不低于0。8米时才进行训练，试安排恰当的训练
时间。
解：（2）由（1）知选择b t A y ++=)(sin(?ω较合适。 由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12， 所以，6
2π
πω=
=
T
，把t ＝0，y ＝1代入1)6
sin(
4.0++=?π
t y ，
得?＝0，所以，所求的解析式为：16
sin 4.0+=t y π
（0≤t ≤24）。
（3）由16sin 4.0+=t y π
≥0.8，得t 6
sin π
≥－
2
1。，
则πππππ
k t
k 26
76
26
+≤
≤
+-
（k ∈Z ），即12k －1≤t ≤12k ＋7，
所以，0≤t ≤7或11≤t ≤19或23≤t ≤24 答：应安排在11时到19时训练较恰当。 19.(本小题满分10分)
如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，
若点A 的坐标为(35，4
5)，记∠COA ＝α.
(1)求
1＋sin2α
1＋cos2α
的值； (2)求|BC |2的值.
解：(1)∵A 的坐标为(35，4
5
)，
根据三角函数的定义可知， sin α＝45，cos α＝3
5，
∴
1＋sin2α1＋cos2α
＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝49
18.
(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.
∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－43
10，
∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋43
5
.
20．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：
x
π6
-
π3
5π6
4π3
11π6
7π3
17π6
y
-1
1
3
1
-1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π
3]时，方程f (kx )＝m 恰
有两个不同的解，求实数m 的取值范围； 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π，由T ＝2π
ω
，得ω＝1.
又3
2
,.11
B A A B A B +==????-=-=??解得
令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，
解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π
3
)＋1.
(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π
3，
又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π
3
，
∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π
3
]
如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[3
2
，1)，
∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π
3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，
即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．
21.(本小题满分12分) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，tan A ＝1
2，
cos B ＝31010. (1)求角C ； (2)若△ABC 的最短边长是5，求最长边的长.
解：(1)∵tan A ＝12，∴A 为锐角，则cos A ＝255，sin A ＝5
5.
又cos B ＝31010，∴B 为锐角，则sin B ＝10
10
，
∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－255×31010＋55×1010＝－2
2.
又C ∈(0，π)，∴C ＝3
4π.
(2)∵sin A ＝
55＞sin B ＝1010
，∴A ＞B ，即a ＞b ， ∴b 最小，c 最大，由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，得c ＝sin C
sin B ·b ＝2
2
10
10·5＝5.
22．(本小题满分14分)(2010·长沙模拟)长沙市某棚户区改造 建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定， 棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R 的圆面． 该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地， 测量可知边界AB ＝AD ＝4万米， BC ＝6万米，CD ＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；
(2)因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ；使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值． 解：(1)因为四边形ABCD 内接于圆，
所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理： AC 2＝42＋62－2×4×6×cos ∠ABC
＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC .
所以cos ∠ABC ＝1
2，∵∠ABC ∈(0，π)，
故∠ABC ＝60°.
S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°
＝83(万平方米)．
由余弦定理： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝16＋36－2×4×6×1
2.
AC ＝27. 由正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝2R ，∴2R ＝AC sin ∠ABC ＝273
2
＝4213，∴R ＝2213(万米)． (2)∵S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， 又S △ADC ＝1
2
AD ·CD ·sin120°＝23，
设AP ＝x ，CP ＝y . 则S △APC ＝12xy ·sin60°＝3
4xy .
又由余弦定理AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝28. ∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy . ∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号 ∴S 四边形APCD ＝23＋
34xy ≤23＋3
4
×28＝93， ∴最大面积为93万平方米．
1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，
∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3．
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
专题21 解三角形（知识梳理） 一、知识点 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===。 (其中R 为ABC ?的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式：①A R a sin 2?=，B R b sin 2?=，C R c sin 2?=； ②R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin =； ③C B A c b a sin :sin :sin ::=； ④C c B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++； 2、三角形面积定理：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21?=?=?= ?； r c b a S ABC )(2 121++=?=?高底； (其中r 为ABC ?的内切圆的半径) 3、余弦定理：A bc c b a cos 22 22?-+=?bc a c b A 2cos 2 22-+=； B ac c a b cos 22 22?-+=?ac b c a B 2cos 2 22-+=； C ab b a c cos 22 22?-+=?ab c b a C 2cos 2 22-+=； 4、射影定理：B c C b a cos cos ?+?=，A c C a b cos cos ?+?=，A b B a c cos cos ?+?= 5、设a 、b 、c 是ABC ?的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ； ②若222c b a >+，则 90
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析
教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析
数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】
解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中，内角为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（ ）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列， 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ． 9.在 中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小； （2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、
7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足
必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）
三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；
（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；
2017高考解三角形汇总 1. （2017全国│文，11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B+sin A （sin C ―cosC ）=0, a =2, c=√2, 则C= A.π12 B. π6 C. π4 D. π3 2. （2017全国Ⅱ文，16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3. （2017全国Ⅲ文，15）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________ 4. （2017山东文，17）△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，AB ????? ·AC ????? =?6,S △ABC =3,求A 和a 。 5. （2017山东理，9）锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 6. （2017浙江文（理），14）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 7. （2017全国│理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 8. （2017全国Ⅱ理，17）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 9. （2017全国Ⅲ理，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2. （1）求c ；
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ，
因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-，
高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时，
，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1
图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点
2017高考真题解三角形汇编 1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37 a . （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积. 2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =B A ．π 12 B ．π6 C ．π4 D ．π3 4.（2016全国卷2理科）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知 2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a b =2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知 C =60°，b c =3，则A =_________。 8.（2017山东高考题理科）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 C ?AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点
5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．
.. 这是经过我整理的一些解三角形的题目，部分题目没有答案，自己去问老师同学，针 对高考数学第一道大题，一定不要失分。——（下载之后删掉我） 1、在b 、c ，向量m2sinB,3， 2 B nB ，且m//n 。 cos2,2cos1 2 （I ）求锐角B 的大小；（II ）如果b2，求ABC 的面积S ABC 的最大值。 (1)解：m ∥n2sinB(2cos2 B －1)＝－3cos2B 2 2sinBcosB ＝－3cos2Btan2B ＝－3??4分 2π π ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝ 3,∴锐角B ＝ 3 ??2分 (2)由tan2B ＝－3B ＝ 5π π 或 36 π ①当B ＝ 3 时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)??3分 1 2 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝ acsinB ＝ 3 ac ≤3 4 ∴△ABC 的面积最大值为3??1分 5π ②当B ＝时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 6 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)??1分 1 2 1 acsinB ＝ac ≤2－3 4
∵△ABC的面积S△ABC＝ 2－3??1分∴△ABC的面积最大值为
.. 5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别 为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；（II）若BABC2，且b22，求a和c b的值. 解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC， 则 2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB, 故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB, 可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB, 即sin(BC)3sinAcosB, 可得sinA3sinAcosB.sinA0, 又 因此cosB 1 3 . ????6分 （II）解：由BABC2,可得acosB2，又cosB 1 3 ,故ac 6, 2 由b 2 a 2 c2accosB, 2 可得a 2 c 12, 2 所以(ac)0,ac, 即所以a＝c＝6 6、在ABC中，cos 5 A， 5 cos 10 B. 10 （Ⅰ）求角C；（Ⅱ）设A B2，求ABC的面积 . cosA 5 5 ， cos B 10 10 ，得 A、B0， 2 （Ⅰ）解：由，所以 23 sinA，sinB. 510 ??3分 cosCcos[(A B)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB 因为 2 2 ?6分 C. 且0C故 4
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(