考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例
一、选择题
1. （2014·湖南高考文科·Ｔ10）与（2014·湖南高考理科·Ｔ16）相同
在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，，动点D 满足1CD =
,则
OA OB OD ++
的取值范围是（ ）
A.[]46，
B.??
C.??
D.??
【解题提示】把拆分为+
，再利用+≤ 【解析】选
D.
+++=++)(
17+=++OB
2. （2014·上海高考文科·Ｔ17）
(1,2,7)(1,2,7)i i i AB AP i ==
如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P 是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）
（A)7 (B)5 (C)3 (D)2
【解题提示】根据向量数量积的定义可得. 【解析】
251
1351470cos 2cos i i i i i i i i
i i i i i i P P P AB AP AP P P P P AB AP AB AP BAP AB AP AB AP AP AB P P P AB AP AB AP BAP AB AP AP ?=?=<>=??=?=?=<>=??
当取，时，，
当取，，时，
当取，时，2
4
.
AB == 所以取值共有三个
3. （2014·浙江高考文科·Ｔ9）设θ为两个非零向量a ，b
的夹角，已知对任意实数t ，||b ta + 是
最小值为1（ ）
A ．若θ确定，则||a 唯一确定
B ．若θ确定，则||b
唯一确定
C ．若||a 确定，则θ唯一确定
D ．若||b 确定，则θ唯一确定
【解题提示】 由平面向量的数量积、模列出不等式，利用二次函数求最值.
【解析】选B.依题意，对任意实数t ，||1b ta +
≥
恒成立， 所以22()2||||cos 1ta b t a b θ++ ≥
恒成立，若θ为定值，则当||b
为定值时，二次函数才有定值.
4. （2014·山东高考文科·Ｔ7）
已知向量)3()31(,m ,b ,a ==.若向量a,b 的夹角为6
π
，则实数m =( ) A 、32
B 、3
C 、0
D 、3-
【解题指南】 本题考查了平面向量的数量积的运算，利用数量积的坐标运算即可求得. 【解析】
(
)
3cos ,3a b a b a b a b m ?=+?==∴+==r r
r r r r r r 答案：B
5.（2014·安徽高考文科·Ｔ10）10.设,a b 为非零向量，2b a = ，两组向量1234
,,,x x x x
和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ?+?+?+?
所有可能取值中的最小值为2
4a ，则a 与b 的夹角为（ ）
A.23π
B.3π
C.6
π
D.0 【解题提示】对11223344x y x y x y x y ?+?+?+?
的可能结果进行讨论，根据各选项分别判断。
【解析】选B 。11223344x y x y x y x y ?+?+?+?
有以下3种可能：
22222
(1)2+2=2||2||10||a b a b a += ；
2
(2)4.=4||.2||cos 8||cos a b a a a q q = ； 22(3)||+3.||6||.||cos a a b a a b q =+
。
易知（3）最小，则22||6||||cos =4||a a b a q +，解得1cos ==23p
q q T。
6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T4)设向量a ,b 满足+a b = ,a b -=
则a b ?
=( )
A.1
B.2
C.3
D.5
【解题提示】将错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两边平方,联立方程解得
a b ? .
【解析】选A.因为+a b =错误！未找到引用源。,a b -= 所以22210,a b a b ++?=
,2226a b a b +-?=
,联立方程解得a b ? =1,故选A.
7. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T3)设向量a ,b 满足+a b = ,a b -=
则
a b ?
=( )
A.1
B.2
C.3
D.5
【解题提示】将错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两边平方,联立方程解得
a b ? .
【解析】选A.因为+a b =错误！未找到引用源。,a b -= 所以22210,a b a b ++?=
,2226a b a b +-?=
,联立方程解得a b ? =1,故选A.
8.（2014·四川高考理科·Ｔ7）平面向量)2,1(=a ，)2,4(=b ，)(R m b a m c ∈+=
，且c 与a 的夹角等于c
与b 的夹角，则m=（ ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解题提示】先求出c
的坐标，再代入向量夹角公式，解方程即可求出m 的值.
【解析】选D. 由于)2,1(=a ，)2,4(=b ，所以(4,22)c ma b m m =+=++
，又由于c 与a 的
夹角等于c 与b 的夹角，即cos ,cos ,a c b c <>=<>
，也就是a c b c a c b c
??= ，即得
=m=2.
二、填空题
9. （2014·湖南高考理科·Ｔ16）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0),
A B C -
动点D 满足||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是
【解题提示】把拆分为+，再利用+≤
【解析】OC OB OA OB +++=++)( 17+=+≤
10.(2014·江西高考文科·T12)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=,若向量a =3e 1-2e 2,则|a |= .
【解题指南】利用|a |=求解.
【解析】a ·a =(3e 1-2e 2)2
=9-12e 1·e 2+4=9-12×+4=9,故|a |=3. 答案:3
11.(2014·江西高考理科·T14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β,则cos β= .
【解题指南】根据向量夹角公式可知,关键是求a ·b 及|a |,|b |. 【解析】由已知条件得e 1·e 2=1×1×=, a ·b =(3e 1-2e 2)·(3e 1-e 2) =9-9e 1·e 2+2=9-3+2=8,
又因为|a |2=(3e 1-2e 2)2=9-12e 1·e 2+4=9,|b |2=(3e 1-e 2)2=9-6e 1·e 2+1=8, 故|a |=3,|b |=2. 所以cos β===. 答案:
12. （2014·天津高考文科·Ｔ13）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=?，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，
3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ?=
，则λ的值为________.
【解析】如图，
13AE AB BE AB AD =+=+ ,1AF AD DF AD AB λ
=+=+
,所以
22111131()()333AE AF AB AD AD AB AB AD AB AD
λλλλ+?=+?+=+?+
413410222cos120 1.333λλλλλ+-=+????+== 解得 2.λ= 【答案】2
13.（2014·安徽高考理科·Ｔ15）已知两个不相等的非零向量,,两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ?+?+?+?+?=，
min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.
①S 有5个不同的值.
②若,⊥则min S 与无关.
③若,b a ∥则min S 与无关.
④若>，则0mi n >S .
⑤若,mi n S ==则与的夹角为
4
π 【解题提示】对S 的可能结果进行讨论，根据各选项分别判断。 【解析】S 有以下3种可能：
222221=++S a a b b b ++ ；2222=++S a ab ab b b ++ ；2
3=++S ab ab ab ab b ++ 。 因为221223=S 2S S S a b ab --=+-? 222||||0a b a b +-?
，所以S 中最小为3S 。
若a b ^ ，则min 3=||S S b a = 与无关，故选项（2）正确；
若//a b
，则2min 3=4.||S S a b b b = +与有关，故选项（3）不正确；
若||4||b a >
，则2222min 3=4||||cos 4||||cos ||0S S a b b a b b b b q q =+>-+>-+= ，故选项（4）正确；
若||2||b a = ，则222min 3=||cos 4||8||S S a a a q =+= ，所以2cos =1=3
p
q q T，故选项（5）不正确；
答案： ④
14. （2014·四川高考文科·Ｔ14）与（2014·四川高考理科·Ｔ7）相同
平面向量)2,1(=a ，)2,4(=b ，)(R m b a m c ∈+=
，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则
m= .
【解题提示】先求出c
的坐标，再代入向量夹角公式，解方程即可求出m 的值.
【解析】由于)2,1(=a ，)2,4(=b ，所以(4,22)c ma b m m =+=++
，又由于c 与a 的夹角等
于c 与b 的夹角，即cos ,cos ,a c b c <>=<>
，也就是a c b c a c b c
??= ，即得
=
m=2. 答案：2
15. （2014·重庆高考文科·Ｔ12）已知向量a 与b
的夹角为60 ，且
(2,6),a =--
,b =
则a b ?= . 【解题提示】直接根据向量数量积的定义计算即可.
【解析】因为(2,6),a =--
所以a =
1
cos 6010.2
a b a b ?=??==
答案：10