2020年湖北省武汉市中考数学试卷及答案
一、选择题
1.2-的相反数是（）
A.2
- B.2
C.
12
D.12
-
2.x 的取值范围是（）
A.0
x ≥ B.2
x ≥- C.2x ≤ D.2
x ≥3.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）
A.两个小球的标号之和等于1
B.两个小球的标号之和等于6
C.两个小球的标号之和大于1
D.两个小球的标号之和大于6
4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（）
A.
B.
C.
D.
5.下图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（
）
A. B. C. D.
6.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）
A.
1
3
B.
14
C.
16
D.
18
7.若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)k
y k x
=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（
）
A.1a <-
B.11
a -<< C.1a > D.1a <-或1
a >8.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间
x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（
）
A.32
B.34
C.36
D.38
9.如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是 AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是（
）
A.
B. C. D.10.下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32?方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66?方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（
）
A.160
B.128
C.80
D.48
二、填空题
11._______.
12.热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h ），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是________．13.计算
22
23m n
m n m n
--+-的结果是________．
14.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，
有下面的问题：如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D ?∠=，则BAC ∠的大小是________．
15.抛物线2
y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a <）经过(2,0)A ，(4,0)B -两点，下列四个结论：
①一元二次方程20ax bx c ++=的根为12x =，24x =-；②若点()15,C y -，()2,D y π在该抛物线上，则12y y <；③对于任意实数t ，总有2at bt a b +≤-；
④对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则p 的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
16.如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1AB =，2AD =．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是________．
三、解答题
17.计算：()235423a a a a ???+÷????
．18.如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且
EM ∥FN ．求证：AB ∥CD ．
19.为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A 表示“非常支持”，B 表示“支持”，C 表示“不关心”，D 表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B 类居民大约有多少人？
20.在58?的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，
(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90?，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ?∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．
21.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=?，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，AE 与过点D 的切线互相垂直，垂足为E ．
（1）求证：AD 平分BAE ∠；（2）若CD DE =，求sin BAC ∠的值．
22.某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产品的总成本y （万元）与产品数量x （件）之间具有函数关系2y ax bx c =++，当10x =时，400y =；当20x =时，1000y =．B 城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a ，b 的值；
（2）当A ，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A ，B 两城各生产多少件？
（3）从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为m 万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C 地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A ，B 两城总运费的和的最小值（用含有m 的式子表示）
．23.问题背景：如图（1）
，已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE ∽；尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ?∠=∠=，30ABC ADE ?∠=∠=，AC 与
DE 相交于点F ．点D 在BC 边上，
3AD BD
=DF
CF 的值；
拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD ?∠=∠=，90BDC ?∠=，4AB =，3AC =，直接写出AD 的长．
24.将抛物线2
:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度
得到抛物线2C ．
（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；
（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；
（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4
y x k
=-
与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．
数学试题参考答案
1-10BDBCA CBCDA 11、312、4.513
1m n
-14、26°．15①③
16211144
t t -+17解：原式3582
9()+÷+=a a a 8829)(+÷=a a a 8210=÷a a 610=a ．
18EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE
∠11
,22
MEF BEF NF CFE E ∠=
∠∠∠=∴EM //FN MEF NFE
∠=∠∴11
22BEF CFE ∴∠=∠，即BEF CFE ∠=∠//AB CD ∴．
19（1）总共抽取的居民人数为915%60÷=（名）D 类居民人数的占比为
3
100%5%60
?=则D 类所对应的扇形圆心角的大小是3605%18??=?故答案为：60，18?；
（2）A 类居民的人数为60369312---=（名）补全条形统计图如下所示：
（3）表示“支持”的B类居民的占比为36100%60% 60?=
则200060%1200
?=（名）
答：该社区表示“支持”的B类居民大约有1200人．
20解：（1）如图示，线段CD是将线段CB绕点C逆时针旋转90?得到的；
（2）∠BCE为所求的角，点E为所求的点.
（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.
21（1）如图，连接OD
由圆的切线的性质得：OD DE
⊥
AE DE
⊥ //OD AE ∴DAE ADO ∴∠=∠又OA OD
= DAO ADO ∴∠=∠DAE DAO ∴∠=∠则AD 平分BAE ∠；（2）如图，连接BD
由圆周角定理得：90ADB ∠=?
90BDC ∴∠=?90ABC ∠=? 90DAO C ∴∠+∠=?
90DAE ADE ∠+∠=? ADE C
∴∠=∠在ADE 和BCD 中，90E BDC DE CD
ADE C ∠=∠=???
=??∠=∠?()
ADE BCD ASA ∴? AD BC
∴=设,AD BC a CD x ===，则AC AD CD a x =+=+，且0,0
a x >>在ACB △和BCD 中，90C C
ABC BDC ∠=∠??
∠=∠=?
?ACB BCD
∴~ AC BC BC CD ∴
=，即a x a
a x
+=解得52a x -=
或502
a x -=<（不符题意，舍去）
经检验，2
a x -=
是所列分式方程的解
22
a a AC a -+∴=+
=则在Rt ABC
中，
1sin 2
2
BC BAC AC ∠=
=故sin BAC ∠的值为
51
2
-
．22（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即0x =时，0
y =则010010400400201000c a b c a b c =??++=??++=?，解得1300a b c =??
=??=?
故1a =，30b =；
（2）由（1）得：230y x x
=+设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W 则223070(100)700400x x x x x W ++-+==-整理得：220)60(60
x W -+=由二次函数的性质可知，当20x =时，W 取得最小值，最小值为6600万元此时1001002080
x -=-=答：A 城生产20件，B 城生产80件；
（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城运往C 地的产品数量为(90)n -件，从B 城运往D 地的产品数量为(1020)n -+件
由题意得：200
10200n n -≥??-+≥?，解得1020
n ≤≤3(20)(90)2(1020)
P mn n n n =+-+-+-+整理得：(2)130
P m n =-+根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当02m <≤时，在1020n ≤≤内，P 随n 的增大而减小则20n =时，P 取得最小值，最小值为20(2)1302090m m -+=+②当2m >时，在1020n ≤≤内，P 随n 的增大而增大
则10n =时，P 取得最小值，最小值为10(2)13010110
m m -+=+答：当02m <≤时，A ，B 两城总运费的和的最小值为(2090)m +万元；当2m >时，A ，B 两城总运费的和的最小值为(10110)m +万元．23问题背景：∵A ABC DE ∽△△，∴∠BAC=∠DAE ，
AB AC
AD AE
=，∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴ABD ACE ∽；尝试应用：连接CE ，
∵90BAC DAE ?∠=∠=，30ABC ADE ?∠=∠=，∴BAC DAE ∽，∴
AB AD
AC AE
=，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC ，∴∠BAD=∠CAE ，
∴
BD AD
CE AE
=，由于30ADE ?∠=，90DAE ?∠=，∴3
303
AE tan AD ?==
，
即
BD AD CE AE ==，
∵AD
BD =，∴3AD
CE
=，∵90BAC DAE ?∠=∠=，30ABC ADE ?∠=∠=，∴60C E ?∠=∠=，又∵AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC ∽△△，∴
AF EF
DF CF =，即AF DF EF CF
=，又∵AFD EFC ∠=∠∴ADF ECF ∽△△，∴
3DF AD
CF CE
==；
拓展创新：AD =如图，在AD 的右侧作∠DAE=∠BAC ，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD ，∠ABC=∠ABD+∠CBD ，30BAD CBD ?∠=∠=，∴∠ADE=∠ABC ，又∵∠DAE=∠BAC ，
∴
AB AC BC
AD AE DE
==，又∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∴BAD CAE ∽，
∴
23
=3
BD AB AD CE AC AE ===，设CD=x ，在直角三角形BCD 中，由于∠CBD=30°，
∴BD =，2BC x =，∴3
2
CE x =
，
∴2DE x =，
∵
AB BC
AD DE
=，∴452
AD =，
∴AD =24解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，
是等腰直角三角形，
∵OAB
∴∠BOA=45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A、B、O、D四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
△是等腰直角三角形，
∴DAC
∴DC=AC．
∵点A在抛物线1C对称轴l右侧上，点B在对称轴l上，∴抛物线1C的对称轴为x=2，
设点A的坐标为（x，x2-4x-2），
∴DC=x-2，AC=x2-4x-2，
∴x-2=x2-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A的坐标为（5，3）；
同理，当点B、点A在x轴的下方时，
x-2=-(x2-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点A的坐标为（4，-2），
综上，点A的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，
∴2
6y kx y x =??=-?
，∴x 2-kx-6=0，
设点E 的横坐标为x E ，点F 的横坐标为x F ，∴x E +x F =k ，
∴中点M 的横坐标x M =2E F x x +=2k ，
中点M 的纵坐标y M =kx=2
2k ，
∴点M 的坐标为（2k ，2
2
k ）；
同理可得：点N 的坐标为（2k -，28
k
），
设直线MN 的解析式为y=ax+b （a≠0），
将M （2k ，2
2k ）、N （2k -，28k ）代入得：
22
22
82k k
a b a b k k ?=+???
?=-+?? ，解得：24
2k a k b ?-=
???=?
，
∴直线MN 的解析式为y=24
k k
-·x+2（0k ≠），
不论k 取何值时（0k ≠），当x=0时，y=2，∴直线MN 经过定点（0，2）．