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数学与信息科学学院
2009-3-2
分类号 O15
陕西师范大学学士学位论文
EMBED Equation.3
作 者 单 位 数学与信息科学学院
指 导 老 师 曹 怀 信
作 者 姓 名 王 秀 英
专 业、班 级 数学与应用数学专业02级1班
提 交 时 间 二OO六年五月
(空一行,小四)
EMBED Equation.3 矩阵的广义迹
(空一行,小四)
王秀英
(数学与信息科学学院2002级1班)
指导教师 曹怀信教授
(空一行,小四)
摘 要: 本文首先讨论了 EMBED Equation.3 矩阵迹的若干重要性质，包括:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证明了矩阵迹的唯一性．然后,利用分块矩阵的思想及辗转相除法(带余除法),引入了一般 EMBED Equation.3 矩阵的广义迹的概念, 它是方阵迹的一个自然推广,研究了这种广义迹的一系列重要性质．最后,给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法,并对各条性质给予了验证．
关键词: 矩阵; 广义迹; 分块矩阵; 带余除法
(空一行,小四)
Generalized traces of EMBED Equation.3 matric
es
WANG Xiu-ying
(Class 1, Grade 2002, College of Mathematics and Information Science)
Advisor: Professor CAO Huai-xin
(空一行,小四)
Abstract: In this paper, a series of important properties of the usual trace of EMBED Equation.3 matrices are given, including: additivity, homogeneousness, transpose-invariance, commutative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an EMBED Equation.3 matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of a matrix is introduced．Some important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace.
Key words: matrix; generalized trace; block-matrix; division algorithm
(空一行,小四)
矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是 EMBED Equation.3 阶矩阵的一个重要的数量特征．在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个 EMBED Equation.3 行 EMBED Equation.3 列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和 EMBED Equation.3 ,其中 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 为方阵 EMBED Equation.3 对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质，参见文献[1-3],文献[10,11,13]．文献[4]得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形．文献[5-7]中,研究了Hilbert空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质．特别地,文献[5]给出了迹类算子的若干不等式,并证明了Hilbert空间中的Bellman不等式 EMBED Equation.3 对 EMBED Equation.3 及任二正的迹类算子 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 成立．同时还证明了当 EMBED Equation.3 时,对任一迹类算子 EMBED Equation.3 ,不等式 EMBED Equation.3 也成立．文献[6]将Jan R. Magnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证明算子迹的H?lder不等式的方法,同时得到关于算子迹的H?lder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证明．文献[8,9]中，定义了在C*-代数 EMBED Equation.3 上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性映射 EMBED Equation.3 ：
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了:如果 EMBED Equation.3 是可交换的C*-代数，则映射 EMBED Equation.3 是 EMBED Equation.3 上的矩阵迹当且仅当 EMBED Equation.3 中存在一个元素 EMBED Equation.3 （ EMBED Equation.3 ）使得
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
其中 EMBED Equation.3 ．本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地 EMBED Equation.3 矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的
概念,并证明矩阵广义迹的一系列重要性质．
(空一行,小四)
1．预备知识
1.1 矩阵的迹及其性质
在本文中，假定 EMBED Equation.3 为数域 EMBED Equation.3 上全体 EMBED Equation.3 矩阵之集（特别的 EMBED Equation.3 为数域 EMBED Equation.3 上全体 EMBED Equation.3 阶矩阵之集）,则关于矩阵的运算, EMBED Equation.3 为数域 EMBED Equation.3 上向量空间， EMBED Equation.3 表示所有自然数之集， EMBED Equation.3 表示矩阵 EMBED Equation.3 的转置矩阵．
定义1.1.1 EMBED Equation.3 设 EMBED Equation.3 ,则称 EMBED Equation.3 的所有主对角线元素之和为 EMBED Equation.3 的迹,记为 EMBED Equation.3 ，即 EMBED Equation.3 ．
矩阵迹有下列基本性质(其中 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 阶矩阵):
定理1.1.1 设 EMBED Equation.3 , 则
EMBED Equation.3 ,其中 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的特征值;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
若 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 为两个相似的方阵,则 EMBED Equation.3 ,即相似矩阵有相同的迹．
证明 (1) 设
EMBED Equation.3 ,
则按照[2]中的定理知: A的特征方程是 EMBED Equation.3 . 在
EMBED Equation.3
的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积 EMBED Equation.3 ．展开式中其余各项,至多包含 EMBED Equation.3 个主对角线上的元素,它对 EMBED Equation.3 的次数最多是 EMBED Equation.3 ．因此,特征多项式中含 EMBED Equation.3 的 EMBED Equation.3 次与 EMBED Equation.3 次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是 EMBED Equation.3 ．在特征多项式中令 EMBED Equation.3 ,即得常数项: EMBED Equation.3 ．因此,如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就有
EMBED Equation.3 ．
由根与系数的关系可知, EMBED Equation.3 的全体特征值的和 EMBED Equation.3 ．
(2) 设
EMBED Equation.3 ，
假定 EMBED Equation.3 ,则
EMBED Equation.3 ．
(3) 设
EMBED Equation.3 ，
则有 EMBED Equation.3 ．
(4) 设
EMBED Equation.3 ,
则
EMBED Equation.3 ．
因此有 EMBED Equation.3 ．
(5) 设 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ,
假定 EMBED Equation.3 ,则
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ．
由求和的交换性即可证得:
EMBED Equation.3 ．
(6) 由于相似矩阵有相同的特征多项式 EMBED Equation.3 ,特征多项式相同则特征值相同,则矩阵的各个多项式的和(重根按重数记)相同．因此根据性质1),矩阵的迹等于它的各个特征值的
和,则这两个矩阵的迹相同(即 EMBED Equation.3 )．证毕.
下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况.
定理1.1.2 设 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 分别为 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 矩阵,则 EMBED Equation.3 ．
证明 令 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 矩阵, EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 矩阵, 设
EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ,
其中
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
所以
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
从而 EMBED Equation.3 ．
通过以上的讨论,我们可知若定义数域F上 EMBED Equation.3 阶矩阵集合到F的一个迹映射 EMBED Equation.3 ,则具有以上的诸多性质．
定理1.1.3 那么若定义 EMBED Equation.3 是一个映射,而且满足下列条件:
对任意的 EMBED Equation.3 阶矩阵 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ;
对任意的 EMBED Equation.3 阶矩阵 EMBED Equation.3 ,和F中数 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ;
对任意的 EMBED Equation.3 阶矩阵 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ,
则 EMBED Equation.3 对一切 EMBED Equation.3 上的 EMBED Equation.3 阶矩阵 EMBED Equation.3 成立.
证明 设 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 阶基础矩阵,因为 EMBED Equation.3 ,所以由条件1)和条件4)知:
EMBED Equation.3 ．
又由条件3)知:
EMBED Equation.3 ，
所以 EMBED Equation.3 ．
另一方面,若 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,则 EMBED Equation.3 ,得 EMBED Equation.3 ,与条件4)矛盾．
若 EMBED Equation.3 ,则由上知
EMBED Equation.3 ．
1.2 广义矩阵的分块
用(矩阵行与行之间的)横线及(列与列之间的)竖线将一个矩阵分成若干块，这样得到的矩阵就称为分块矩阵 EMBED Equation.3 ．一个矩阵可以有各种各样的分块方法，究竟怎样分比较好，要根据具体情况及具体需要而定．
1.2.1 矩阵分块的原则
① 必须使分块后的矩阵的运算可行．
② 必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便.
例1.2.1 考虑矩阵
EMBED Equation.3 ．
根据它自身的特点,我们可以将 EMBED Equation.3 如虚线所示的那样分块,若记
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
则
EMBED Equation.3 ．
矩阵 EMBED Equation.3 除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，这种分块成对角形状的矩阵，称为分块对角阵．
设
EMBED Equation.3
为了进行运算 EMBED Equation.3 ，我们对 EMBED Equation.3 的分块必须与 EMBED Equation.3 的分块完全一致，即如图中虚线所示．使 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3
的各对应子块都是同型的．
设 EMBED Equation.3 ，为使 EMBED Equation.3 的运算可行， EMBED Equation.3 的分块必须参照 EMBED Equation.3 的分块来进行，即 EMBED Equation.3 的列分与 EMBED Equation.3 的行分一致，而 EMBED Equation.3 的列分，则可视 EMBED Equation.3 的具体情况来定，不受 EMBED Equation.3 的分法的影响．如下所示：
EMBED Equation.3 ．
1.2.2 分块矩阵的运算
视分块矩阵中的每一子块为一个元素，则分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则完全相同．
分块矩阵的转置:
EMBED Equation.3 ．
例1.2.2 设
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
将 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 适当分块,并求 EMBED Equation.3 ．
解 根据 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 的特点及乘法运算的要求,可将 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 如虚线所示分块．
记
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
其中 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,则
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ．
所以
EMBED Equation.3 ．
(空一行,小四)
广义矩阵的迹
2.1 矩阵广义迹的定义
引理2.1.1(辗转相除法,欧几里得Euclid除法 EMBED Equation.3 ) 对 EMBED Equation.3 ,其中 EMBED Equation.3 ,反复作带余除法,有
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (1)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (2)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (3)
…………………
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (n)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ． (n+1)
由于每进行一次带余除法,余数至少减少1,而 EMBED Equation.3 是有限的,所以至多进行 EMBED Equation.3 次带余除法,就可以得到一个余数为零的等式．
定义2.1.1 设 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , 则由引理2.1.1知对 EMBED Equation.3 反复作带余除法可以得到一个余数为零的等式,定义矩阵 EMBED Equation.3 的迹等于矩阵 EMBED Equation.3 的所有分块方阵的迹的和．
由(1)式可把矩阵 EMBED Equation.3 分成 EMBED Equation.3 块,
EMBED Equation.3 ;
记
EMBED Equation.3 ;在矩阵 EMBED Equation.3 的分块矩阵 EMBED Equation.3 中,最多只有矩阵 EMBED Equation.3 不是方阵．若 EMBED Equation.3 为方阵,则矩阵 EMBED Equation.3 的迹可以求得;若 EMBED Equation.3 不是方阵,则由2)式可把矩阵 EMBED Equation.3 分成 EMBED Equation.3 块,
记为
EMBED Equation.3 ;
在矩阵 EMBED Equation.3 的分块矩阵
EMBED Equation.3
中,最多只有矩阵 EMBED Equation.3 不是方阵．若 EMBED Equation.3 为方阵,则矩阵 EMBED Equation.3 的迹可以求得;若不是,则由3)式可把矩阵 EMBED Equation.3 分成 EMBED Equation.3 块．如此继续,最终,可把矩阵 EMBED Equation.3 分成 EMBED Equation.3 块．根据引理2.1.1可知广义矩阵 EMBED Equation.3 一定可以被分成 EMBED Equation.3 个方阵( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ),其中若方阵只包含一个数字它的迹即为那个数．因此
EMBED Equation.3 ． (2.1)
2.2 矩阵的广义迹的性质
对广义矩阵先研究比较特殊的,即矩阵的行数与列数满足 EMBED Equation.3 的情形,在此条件下根据(2.1)式有 EMBED Equation.3 ．
定理2.2.1 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
证明 设
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
则有矩阵 EMBED Equation.3 ．
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
为矩阵 EMBED Equation.3 和矩阵 EMBED Equation.3 的和．因此可得 EMBED Equation.3 ,又由于 EMBED Equation.3 ,则
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ．
由此我们得出了与方阵算子迹的基本性质(2)相同,即 EMBED Equation.3 ．
定理2.2.2 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
证明 依据矩阵 EMBED Equation.3 与数 EMBED Equation.3 的数量乘积的定义 EMBED Equation.3 :用数 EMBED Equation.3 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 EMBED Equation.3 ．因此可得
EMBED Equation.3
得证．
定理2.2.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
证明 依据矩阵 EMBED Equation.3 的转置的定义 EMBED Equation.3 :
设
EMBED Equation.3 ,
所谓矩阵 EMBED Equation.3 的转置就是指矩阵
EMBED Equation.3 ．
根据我们对矩阵分块的方法,也可以把矩阵 EMBED Equation.3 分成 EMBED Equation.3 个方阵,同时可以得到
EMBED Equation.3
得证．
定理2.2.4 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
证明 令 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 矩阵,则 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 矩阵, 设
EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ,
其中
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
所以
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
从而 EMBED Equation.3 ．
定理2.2.5 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
证明 给定矩阵 EMBED Equation.3 和矩阵 EMBED Equation.3 ,由矩阵加法的定义 EMBED Equation.3 可以得知,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
为矩
阵 EMBED Equation.3 和矩阵 EMBED Equation.3 的和．对矩阵 EMBED Equation.3 作与定义2.1.1相同的分块．又由于矩阵 EMBED Equation.3 和矩阵 EMBED Equation.3 有相同的分块,则矩阵 EMBED Equation.3 ,矩阵 EMBED Equation.3 和矩阵 EMBED Equation.3 也有相同的分块,且对应分块方阵上的对角线元素的位置没有改变,因此可得 EMBED Equation.3 ．又有
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ．
由此得证 EMBED Equation.3 ．
定理2.2.6 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
证明 由定义知
EMBED Equation.3
定理2.2.7 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.DSMT4 ．
证明 依据矩阵 EMBED Equation.3 的转置的定义 EMBED Equation.3 :
设
EMBED Equation.3 ,
则
EMBED Equation.3 ．
根据对矩阵分块的方法,可以把矩阵 EMBED Equation.3 分成 EMBED Equation.3 个( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 )方阵,同时可以得到
EMBED Equation.3
定理2.2.8 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
证明 令 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 矩阵,则 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 矩阵, 设
EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ,
其中
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ．
所以
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
从而 EMBED Equation.3 ．
矩阵的广义迹的求解
例2.3.1 考虑例1.2.2所给的矩阵 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ;
(1) 求矩阵 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 的广义迹; (2) 验证各个定理．
解 (1) 根据 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 的特点及矩阵广义迹的求法,可得:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(2) 验证定理2.2.5
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
验证定理2.2.6 EMBED Equation.3 ,有
EMBED Equation.3
同理可证对矩阵 EMBED Equation.3 有 EMBED Equation.3 ．
验证定理2.2.7
EMBED Equation.3
同理可证对矩阵 EMBED Equation.3 有 EMBED Equation.3 ．
验证定理2.2.8
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
则有 EMBED Equation.3 ．
(空一行,小四)
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(另页，空一行,小四)
致 谢
(空一行,小四)
在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师曹怀信教授，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．
感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！
02级1班 王秀英
2006年5月
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