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模块一 极限（计算）
Ⅰ经典习题
一．四则运算
1、220cos cos 1lim ___sin()
x x x x x →--= 2、
3、已知，则.
4、
5、 6、已知，其中是常数，则（）
(A) (B) (C) (D)
7、
12lim
arctan ___1x x
x x
→∞+=+0
11lim[()]1x x a e x x
→--=a =
()
()()
2
01arctan 11lim cos sin x t x e dt
x x x x x +
→??+- ???--?()()
2013sin sin
lim
1cos ln 1x x x x x x →+++2lim 01x x ax b x →∞??
--= ?+??
,a b 1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b ==-1,1a b =-=
-lim
x =
8、
9、
10、
11、存在，不存在，则正确的是（ ）
（A ） 不一定存在 (B ）不一定存在
（C ）必不存在 （D ）不存在
12、假设可导，有不可导点，则下列函数中一定有不可导点的有 个。
（1） （2）
（3） （4）
二．洛必达法则
13、求下列极限
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
14、设函数
在点
处有，，则
______.
15、设函数在点处具有连续的二阶导数，试求极限
()
()
2
1101
8
2sin ln lim
22
5x x
x x x x x x
++→+∞
+-=
+121
lim arctan (1)(2)
x x
x x x e
x x +
→-∞
++=
-+2
11000
1
lim
x x e x
-→=
lim[()()]x x f x g x →+0
lim[()()]x x f x g x →-0
lim ()x x f x →0
lim ()x x g x →0
22
lim[()()]x x f x g x →-0
lim ()x x f x →()f x ()g x ()()f x
e g x ()()
f x
g x ()()()sin f x g x -()()()2
1f
x g x +
2
20
arctan 1lim x x t dt
+
→+4
tan lim
cos ln tan x x x
x x
π
→
?()0
arcsin tan lim
1cos ln 2x
x t t dt
x x →+?? ?
?
??
()tan 2ln 1sin x
x t dt →-()1
ln cos 1lim
1sin
2
x x x
π
→--()
2
22
200
23lim
x t x t x
e dt
e dt
→∞
?
?
()f x 0x =(0)0f =
'(0)2f =-0
ln cos()x
x x t dt
→-=()f x 0x =()''01f =
.
16、设函数在点处二阶可导，.试求极限
. 17、设函数在点处可导，.试求极限
（1）；（2）. 三．泰勒公式
18、求下列极限
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
19、当时，是比高阶无穷小，则（ ）
（A ） (B) (C) (D)
20、设则（ ） (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8 21、设点处二阶可导，求. 22、设三阶可导，且，则下列说法错误的是（ ）
()()()
2
02230lim
x f x f x f x →+--()f x 0x =()()()00,'0''01f f f ===()()
20
ln 1lim
12x
x f x x e x
→-+--()f x 0x =()()00,'02f f ==()0
2
lim x x f t dt x
→?()()()0
2
lim x
x
x x t f t dt f t dt
→-??()()20arcsin 22sin lim 1cos 1x x x x
x e →---???
?
??-→2220cos sin 1lim x x x x 23lim 3ln 1x x x x →∞
??
??-+ ? ????
?)
2
2
02ln cos lim
1x x x
e x
→--()()
0arctan 3sin 2lim
ln 1x x x x x x x →--+-30sin cos lim .sin x x x x
x →-0sin tan tan lim tan sin sin x x x
x x →--()()()
20ln 12cos 2lim tan ln 1x x x x x x →++--+0x →2
(1)1x e Bx Cx Ax ++--3x 211,,36A B C ==-
=121,,336A B C ==-=211,,36A B C ===121
,,336
A B C ===-20()ln(12)
lim 4,x xf x x x
→+-=0()2lim x f x x →-=()f x 0x =()()()
2
220lim
x f x f x f x
→-+()f x ()
30lim 1x f x x
→=
(A) (B) (C) (D) 23、设
二阶可导，，证明：当时，
是的高阶无穷小.
24、设，求.
四．幂指函数的处理
25、求下列极限 （1） （2） （3） （4）
（5） （6）
（7） （8） （9） （10）
26、设函数在有定义，且满足，求. 五．夹逼定理与定积分定义
27、设且则（）
（A ）都收敛于 (B) 都收敛，但不一定收敛于
（C ）可能收敛，也可能发散 (D) 都发散 28、求下列极限 （1） （2） ()00f =()'00f =()''00f =()'''00f =()f x ()0''0f x =0h →()()()000334f x h f x h f x ++--2h ()
0arctan lim
11ln cos bx x x ax
e x →-=-,a b 2
1lim tan n n n n →∞
?? ???
()1
11
lim
sin
n n
n n n n
+→∞
+21lim sin
cos x
x x x →∞
??+ ??
?()
1
ln 101cos lim 2x x x x -+→+?? ??
?1
0arcsin lim arctan x x x x →?? ???
()1
lim x
x x →+∞
+()1
1
1lim
x
x x e x
-→--()
lim 1x
x
x e +
→
-11lim
2x
x x ??+
? ? ???
()
()
301lim cos 1x
x x x →-()f x 0||1x <<1
2
0()lim cos x x f x x e x -→??+= ??
?30()lim x f x x →,n n x a y ≤≤lim()0,n n n y x →∞
-={}{},n n x y a a ()100
20
3lim
sin cos 5x x x x x x x →+∞+--()1
12
11
sin
21lim 11
x x x x e +→-+--+
29、设，则（）
（A）(B)(C)(D)
30、设则
31、求下列极限
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
六．单调有界收敛定理
32、设，，求.
33、设，
.
34、
0a b
<<
1
lim()
n n n
n
a b
--
→∞
+=
a1
a-b1
b-
0(1,2,...,),
k
a k r
>=____
n
=
lim
n→∞
??
+???
lim
n→∞
??
+???+
2
3333
23
lim...
123
n
n n n n
n n n n n
→∞
??
++++
?
++++
??
23
222
1111
2222
lim...
1231
cos cos cos cos
n
n
n n n n
→∞
??
?
++++
?
?
??
22222
111
lim
12
n
n
n n n n
→∞
??
+++
?
+++
??
…
22
lim(1)
n n
→∞
+
a>()
1
ln1
n n
a a
+
=+lim n
n
a
→∞
03
a
<<1n a+=lim n
n
a
→∞
11
3(1)
0(1,2...),lim___
3
n
n n
n
n
a
a a n a
a
+
→+∞
+
>===
+
设，求
Ⅱ参考答案
一．四则运算
1、【答案】： 【解析】：原式
2、【答案】： 【解析】：
，
，
3、【答案】：. 【解析】：
，
.
4、【答案】：
.
【解析】：
5、【答案】：
.
【解析】：
6、【答案】：(C)
3
2
-
222000cos cos 1cos 113
lim lim limcos 122
x x x x x x x x x x →→→---==-=--=-π
【解析】：由得：，所以此时必有：，，故
7、原式
8、【答案】：.
【解析】：
9、【答案】：.
【解析】：
10、【答案】：.
【解析】：.
11、【答案】：（D）
【解析】：若存在，必得存在，
从而应得存在，这与已知矛盾，故A、B不正确.
对于（C），只需取反例说明即可
例
存在，
不存在
但是存在的，故（C）必不正确.
12、【答案】：.
【解析】：（1）（3）（4）有不可导点.
二．洛必达法则
13、（1）【解析】：
（2）【解析】：
（3）【解析】：
（4）【解析】：
（5）【解析】：原式
（6）【解析】：原式
14、【答案】：0
【解析】：由，知，，于是当时，.
故
.
15、【解析】：
16、【解析】：
17、（1）【解析】：
（2）【解析】：.三．泰勒公式
18、（1）【解析】：
（2）【解析】：原式
（3）【解析】：
（4）【解析】：
（5）【解析】：
（6）【解析】：故
（7）【解析】：
（8）【解析】：
19、【答案】：(B)
【解析】：利用泰勒公式
由题设
20、【答案】：(C)
【解析】：利用泰勒公式
代入可得，也即
从而有，可知，故选(C).
21、【解析】：由泰勒公式得
代入可得.
22、【答案】：(D)
【解析】：利用泰勒公式
从而有，可知
，故选(D).
23、【解析】：由泰勒公式得
从而
24、【解析】：
可知.
四．幂指函数的处理
25、（1）【解析】：原式，在此数列的极限可以转化为函数的极限问题，考虑极限
，所以原式
=
（2）【解析】：
（3）【解析】：令，则
.
故.
（4）【解析】：
（5）【解析】：
（6）【解析】：，故，
（7）【解析】：
（8）【解析】：
（9）【解析】：
（10）【解析】：.
26、【解析】：.
由极限存在与无穷小量的关系知，上式可改写为
，
其中满足.由此解出.
从而
. 五．夹逼定理
27、【答案】：（A）
【解析】：由得又由及夹逼定理得，因此，由此得，故应选（A）
28、（1）【解析】：，有界，故
.
（2）【解析】：，有界，故. 29、【答案】：(B)
【解析】：，由于且，按极限的夹逼定理得
30、【答案】：
【解析】：令，则
故当，利用夹逼定理可得
31、（1）【解析】：由于
再由，则原式
（2）【解析】：
（3）【解析】：，
。
，。可知。
（4）【解析】：，。
，。
可知。
（5）【解析】：
（6）【解析】：
六．单调有界收敛定理
32、【解析】：易证，同时，可知单调有界。
令，可得，从而有。
33、【解析】：易证，同时
，可知单调有界。
令，可得，从而有。
34、【解析】：，
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设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当2 32123211cos )(1) 1()(03 1 2 --= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x []之值． 求)12ln()12ln(lim --+∞ →n n n n _____________sin 1lim 3 2 02 =--→的值x x x e x x 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-0212 [] 答（ ） ． ． ． ．2 ln 01)1ln(lim 2 )1(1 1 D C B A x x x ∞= +-→ 答（ ） ． ． ． ．2 1) 21(lim 2sin 0 D e C e B A x x x x = +→ _____________6 9lim 223的值等于---→x x x x ．不存在 ． ． ．D C B A e e e e x x x x x 123 1 234lim =++--∞→ 答：（ ） lim ()()() ....x x x x A B C D →∞-+-=-?236111 2335853 不存在 答：（ ） ____________)61()31()21(lim 15220 10=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ． 求极限12 3lim 233 1+--+-→x x x x x x 求之值．lim () x x x x x →+--+034 16125
关于极限结论是： 不存在 答（ ） lim x x e A B C D →+0 1535305 4 答（ ） 不存在 2 .2. ..0.1arctan tan lim 0 π-π=?→D C B A x x x 答（ ） 2 . 1..0.)arctan(lim 2π ∞=∞→D C B A x x x 答（ ） 不存在 .2.2.2.3 1 2lim 2 D C B A x x x ±-= ++∞ → ___________)0(23 )(1 =-+=f e x f x ，则设 答（ ） 不存在 2 . ...0.1cot arc lim 0 π π=→D C B A x x ____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→ lim (cos ) .....x x x A B C D →-= -0212220 不存在 答：（ ）
[]A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设 设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小； 当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ． 该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明： 对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。 lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 设 其中、为常数，，求的表达式； 确定，之值，使，． f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin cos() ()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121 1 21 021211π π ． ，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞ →=?++?+?+=+-=? 求的表达式．f x x x x x x x x n n ()lim ()()=+++++++?? ????→∞-11122221 求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-???? ? ?→∞1121212222 ． 的表达式，其中求01 )1(1)1(lim )(≥+++++=∞ →x x x x x x f n n n ． ，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞ →q nq q q n n
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sin sin x x x x →021 []求极限lim cosln()cosln x x x →+∞ +-1 求极限．lim sin x x x →+011 求极限．lim arctan x x x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 求极限．lim x x x →-+0121 22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限 []A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设 设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小； 当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ． 该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明： 对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 限是否存在在： （i ）数列{} n x a 的 （ii ）x f x ∞ →lim )( (iii) x f x x =→lim )( (iv)单调有界准则 （v （vi ）柯西收必要条件是： ε?>?,01.2.洛必达（L ’ x 趋近告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()()(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。
3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； 3211253)! 32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m x m x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 1132+-n n n n x x x x 4.5.6.1）设0>>>c b a ， n x =n n ∞ →∞ →a x n n =∞ → （2）求??????++++∞→222)2(1)1(11lim n n n n 解：由n n n n n n n 1 111)2(1)1(1102222 22 =+++<++++< ，以及01 0lim lim ==∞ →∞ →n n n 可知，原式=0 (3)求???? ??++ ++++∞→n n n n n 2 22 1 2 11 1 lim 解 ： 由 n n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 , 以 及
1、求函数2 1arcsin )2lg(1-+-=x x y 的定义域。 2、已知函数)(x f 的定义域是)0,(-∞，求函数)(ln x f 的定义域。 3、已知函数)(x f 的定义域是]1,0[，求)2(),2(x f x f +的定义域。 4、设函数)(x f 的定义域是]2,1[，则函数)ln 1(x f -的定义域是什么？ 5、设b ax x x f ++=2)(，其中b a ,为待定常数。 ① 已知0)2()3(==-f f ，求这个函数。 ② 求)()(),1(),(00x f h x f x f x f -+- 6、已知1)1(3-=-x x f ，求)(x f 。 7、设?????>-=<=11 10 11)(x x x x f x e x g =)( 求)]([)],([x f g x g f ，并画出两函数的图像。 8、设函数???>≤=0100)(x x x f ???≥-<-=1111)(x x x x x g 证明：)]([)(1x f g x f =- 9、设函数)(x f y =的图像关于原点对称，且当0
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．
． 求证：存在，且，＝时，设当βα =β+βα+αβ α β=βαα→→→→000 lim lim lim )()(1 1110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当2 32123211cos )(1) 1()(03 1 2--= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x （ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→ []之值． 求)12ln()12ln(lim --+∞ →n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞ →n n n n ．求极限)1 1ln()21(lim n n n ++∞ → _____________sin 1lim 32 02 =--→的值x x x e x x ． 及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞ →+∞ →∞ →++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221 ． 及，求记：， ．，设n n n n n n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-= +=>>==lim lim 112)0(1 1 1 221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-0212 设，；且试证明：． lim ()lim ()lim () () x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0 [] 答（ ） ． ． ． ．2 ln 01)1ln(lim 2)1(1 1 D C B A x x x ∞= +-→
第二章 导数与微分 典型例题分析 客观题 例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=??+-?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 ( ) )(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b a D ' 答案 C 解 =??+-?+→?x x b x f x a x f x )()(lim 000=?-?+--?+=→?x x f x b x f x f x a x f x )] ()([)]()([lim 00000 -?-?+=→?x a x f x a x f a x ) ()(lim 000x b x f x b x f b x ?-?+→?)()(lim 000 )()(0x f b a '-= 例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ) ?? ????-??? ??++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h ) ()2(lim )(0+-+→存在 h h a f h a f C h 2) ()(lim )(0 --+→存在 h h a f a f D h ) ()(lim )(0 --→存在 答案 D 解题思路 (1) 对于答案)(A ，不妨设 x h ?=1，当+∞→h 时，+ →?0x ，则有 x a f x a f a f h a f h x h ?-?+=?? ? ???-??? ??++ →?+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对. (2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念不相符和.例如，若取 ? ??≠==a x a x x f ,0,1)( 则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim =≠=→a f x f a x ，从而)(x f 在 a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而) (B 与)(C 也不对. (3) 记h x -=?,则0→?x 与0→h 是等价的,于是
高数极限60题 1.求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+∞ →。 2.设∑==n k k n b k S 1，其中)!1(+=k b k ，求n n S ∞→lim 。 3.求数列极限)321(lim 1 2-∞→+?+++n n nq q q ，其中1>a x ，且n n ax x =+1，证明：n n x ∞→lim 存在，并求出此极限值。 16.设21=x ，且n n x x +=+21，证明：n n x ∞ →lim 存在，并求出此极限值。 17.设2221...31211n x n ++++=（n 为正整数），求证：n n x ∞→lim 存在。
高等数学第一章函数及极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。
A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞ →x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1． 10．极限: x x x x 2 sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 3122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 其定义域是 ,值域是
高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月
第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2 ＝4n 2 +4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立
3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n =
高等数学 院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 总分 题号选择题填空题计算题证明题其它题 型 题分100 100 100 100 100 核分人 得分复查人 一、选择题（共191小题，100分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、
17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、 28、 29、 30、 31、 32、 33、 34、 35、 36、 37、
39、 40、 41、 42、 43、 44、 45、 46、 47、 48、 49、 50、 51、 52、 53、 54、 55、 56、 57、 58、 59、
61、 62、 63、 64、 65、 66、 67、 68、 69、 70、 71、 72、 73、 74、 75、 76、 77、设，，则当时 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小 是比高阶的无穷小 与不全是无穷小 αβ αβ αβ αβ αβ = + =→+∞ ln ()~ () () () x x arcctgx x A B C D 1 答：（） 78、
80、 81、 82、 83、 84、 85、a A A b a D A b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0) 1ln()(0 ======??? ??=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当 ， ，当设 答：（ ） 86、a b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A x f x b x x e x f x ax ======??? ??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且， 当，当设)()()(1)()(lim 0 01 )(0 答：( ) 87、 88、 89、 90、
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(1 1110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当2 32123211cos )(1)1()(0312--= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x （ ） 答 阶的是 时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→ []之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→ _____________sin 1lim 3202 =--→的值x x x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+= ≠==lim )(lim lim 2)( 11221 ．及，求记：， ．，设n n n n n n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+= >>==lim lim 11 2)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-02 12 设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==00 00 [] 答（ ） ． ． ． ．2 ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞= +-→ 答（ ） ． ． ． ．2 1)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x = +→ []的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin 1)(0012 ----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u
? ? 高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 当 x → +0 时，（A ）无穷小量。 A x sin 1 x 1 B e x C ln x D 1 sin x x ?3x -1 x < 1 2、点 x = 1 是函数 f (x ) = ? 1 x = 1 的（C ）。 ? 3 - x x > 1 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数 f (x ) 在点 x 0 处有定义是其在 x 0 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 x 2 + 2 4、已知极限lim( x →∞ x + ax ) = 0 ，则常数 a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 e x 2 -1 5、极限lim x →0 cos x -1 等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、lim(1- 1 )2x = e -2 x →∞ x 2、 当 x → +0 时，无穷小 = ln(1+ Ax ) 与无穷小 = sin 3x 等价，则常 数 A=3 - 1 3、 已知函数 f (x ) 在点 x = 0 处连续，且当 x ≠ 0 时，函数 f (x ) = 2 x 2 ， 则函数值 f (0) =0 4 、 lim[ 1 + 1 + + 1 ] =1 n →∞ 1? 2 2 ? 3 n (n +1)
= + 2 = 2 sin x 5、 若lim f (x ) 存在，且 f (x ) 2 lim f (x ) ，则lim f (x ) =1 x → 二、解答题 x - x → x → 1 1 1 1、（7 分）计算极限 lim(1- )(1- ) (1- ) 2 2 n →∞ 2 3 n 1 3 2 4 n -1 n +1 1 n +1 1 解：原式= lim( ? )( ? ) ( ? ) = lim ? = n →∞ 2 2 3 3 n n n →∞ 2 n 2 2、（7 分）计算极限 lim x →0 tan x - sin x x 3 sin x - sin x 解：原式= lim cos x = lim 1- cos x = lim 1 x 2 2 = 1 x →0 x 3 x →0 x 2 cos x x →0 x 2 cos x 2 3、（7 分）计算极限 lim( 2x + 3)x +1 x →∞ 2x +1 lim(1+ 2 )x +1 = lim(1+ 1 x + 1 + 1 ) 2 2 解：原式= x →∞ 2x +1 1 x + 1 x →∞ x + 1 2 1 1 = lim(1+ x →∞ ) x + 1 2 ? lim(1+ x →∞ x + 1 )2 = e 2 2 4、（7 分）计算极限 lim x →0 e x -1 1 x sin x 解：原式= lim 2 = 1 x →0 x 2 2 5、（7 分）设 lim x →-1 x 3 - ax 2 - x + 4 x +1 具有极限l ，求 a , l 的值 解：因为 lim(x +1) = 0 ，所以 x →-1 lim(x 3 - ax 2 - x + 4) = 0 ， x →-1 因此 a = 4 并将其代入原式 l = lim x 3 - 4x 2 - x + 4 (x +1)(x -1)(x - 4) lim = 10 x →-1 x +1 x →-1 x +1 1+ x s in x -1