一对一授课教案
学员姓名：苏琦玲年级：高三所授科目：高三数学
1、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
2
3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通
AB=．
径”，即2p
4、焦半径公式：
若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02
p
F y P =+；
填空题：
1.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0
,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B
到该抛物线准线的距离为_____________。
一、选择题
1.抛物线y=-x 2的焦点坐标为( )
A .)0,4
1
(
B.)0,41-
( C.)4
1,0( D.)4
1
,0(-
2.抛物线的焦点为(-2,0),则抛物线方程为( )
A .y 2
=8x B.y 2=-8 C.y 2=4x D.y 2=-4x
3.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A .4
B.6
C.8
D.12
4.抛物线y 2
=24ax (a>0)上有一点M ,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )
A .y 2
=8x B.y 2=12x C.y 2=16x D.y 2=20x
5.一个动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )
A .(0,2)
B.(0,-2)
C.(2,0)
D.(4,0)
二、非选择题
6.抛物线y 2
=2px (p>0)的准线过双曲线13
2
2
=-y x 的一个焦点,则p 的值为 . 7.已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 1,若点A (2,-4)在抛物线上,则点A 到焦点的距离为 .
8.若F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点A 的坐标是(2,1),点P 在抛物线上运动,则|P A|+|PF|的最小值为 .
9.已知抛物线的焦点在x 轴上,抛物线上的点M (-3,m )到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m 值;
(2)求抛物线的焦点和准线方程.
1．过抛物线y 2
＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么，|AB |等于( )
A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB →
的值是( )
A ．12
B ．－12
C ．3
D ．－3
4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
5．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．圆
D ．双曲线
一、选择题
1.已知直线y=kx-k 及抛物线y 2=2px (p>0),则( )
A .直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点 2.经过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则2
12
1x x y y 的值是( )
A .4 B.-4 C.p 2 D.-p 2
3.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=8,那么|AB|等于( )
A .10
B.8
C.6
D.4
4.已知抛物线y 2
=2px (p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A .x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
5.AB 是过抛物线x 2=4y 焦点的弦,且|AB|=10,则AB 的中点的纵坐标为 . 二、非选择题
6.设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2),若线段F A 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .
三、解答题(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演
算步骤.)
16、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy
中，已知向量22m ?=- ??
，()sin ,cos n x x = ，0,2x π??
∈ ???. （1）若m n ⊥
，求tan x 的值；
（2）若m 与n 的夹角为3
π
，求x 的值.
13、已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则
p = .
2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）. A.23i
- B.23i + C.32i +
D.32i -
16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．
()1求tan 4πα??+ ??
?的值；
()2求2
sin 2sin sin cos cos 21
α
αααα+--的值．
抛物线专题复习 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42 =上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22 =上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -， 作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()() P x y P x y ，，，，33 3()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ 3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则=+| |1 ||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ） a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△ AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22) 6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 7．两个正数a 、b 的等差中项是 9 2 ，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ） A ．1 (0,)4- B ．1(0,)4 C ．1(,0)2- D ．1(,0)4 - 8．抛物线,42 F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3 π 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ） A ．33 B ．34 C ．36 D ．38 9．已知抛物线C ：2 1 2 x y = ,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. (,()22 -∞+∞ C ．(,)-∞-+∞ D ．(,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线2 4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21* ∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9 11．设O 是坐标原点，F 是抛物线2 4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60 ，则OA 为 ． 12．若直线10ax y -+=经过抛物线2 4y x =的焦点，则实数a =
抛物线的概念、性质、几何意义 【教学内容】 抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。 【教学目标】 1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y 2=2px 、y 2=－2px 、x 2=2py 、x 2=－2py （p ＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。 2、焦参数p （p ＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x 轴上，则可设抛物线的方程为y 2=2ax （a ≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，则可设抛物线的方程为x 2=2ay （a ≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况来设抛物线的方程。 3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量为y ，则焦点在y 轴 上。另外，对于抛物线y 2=2ax （a ≠0），焦点坐标为（2a ，0），准线方程为2a x -=； 对于抛物线x 2=2ay （a ≠0）焦点坐标为（0，2a ），准线方程为2 a y -=。这一 结论对a ＞0及a ＜0均成立。 4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。我们在学习时要引起重视。 【知识讲解】 例1、求经过定点A （－3，2）的抛物线的坐标准方程。 解：抛物线过第二象限内的点A （－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。 （1）若开口向左，设抛物线方程为y 2=－2px ，因为抛物线过点A （－3， 2），∴22=－2p(－3)即342=p ，则抛物线方程为x y 3 4 2-=。 （2）若开口向上，设其方程为x 2=2py ，因为抛物线过点A （－3，2）， ∴22)3(2?=-p ，即292=p 综上所述，抛物线的方程为x y 342-=
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系： 已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0） （1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）内? 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上? 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外? 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离： （1）抛物线C 和直线l 相离?抛物线C 和直线l 无交点?方程组22x y =0 y px A B C =++?? ?无解，消去y 得 关于x 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2 +2pBy+C=0…⑵)?方程（1）（或方程（2）无解）? 方程（1）中的 判别式?<0(方程（2） 中的 判别式00. 若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0 y p k AB = 则|AB|= ()() 2 2 1212x x y y -+- 当直线l 斜率是k 时2221122 1(1)()||1k AB k x x y y = +-=-+ 直线l 倾斜角为α时2 21212||1tan ||1t AB x x y y co αα=-+=-+
抛物线的常见结论 一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式 2122122124)(11x x x x k x x k l -+?+=-+=， 其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。 2122122124)(11y y y y m y y m l -+?+=-+=，其中弦长所在直线 方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2. 抛物线的焦点弦 对于抛物线，022 >=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有： ①2212 21,4 p y y p x x -==A B F C D O α
由?????+==222p my x px y 得0222=--p pmy y （＊） ，因此?? ???==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长 p x x AB ++=21，焦点弦长α 2 sin 2P AB = α αsin 4)(sin 212212 1y y y y y y AB -+= -=，结合（＊）式与αtan 1 =m 得： α ααααααααα sin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 442 22222 222 22+= +=+= += p p p p p m p AB α αα22sin 2sin sin 1 2p p == ③ P BF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y P BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积α sin 22 P S = 简单证明如下：以 AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为： α αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB =??== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切 b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. c. 以CD 为直径的圆与AB 相切 d. A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，?=∠90CFD e. 以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，
拋物线及其标准方程 一、教学内容分析 《抛物线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第八章《圆锥曲线》第三节第一课时内容。本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数2 =++提供直观的图象感觉；在 y ax bx c 高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用。但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，e=的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一拋物线是离心率1 基本思想的再次强化。本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。 二、学生学习情况分析 我校是省一级达标学校，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好， 有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练掌握二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物线的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。三、设计思想 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线的标准方程及其推导”和“拋物线概念的形成”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。 四、教学目标 1．理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。明确拋物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。 2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区
抛物线形问题 例1、已知平面直角坐标系xOy （如图1），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . （1）求m 、n 的值； （2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值； （3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果 AQO ∠=∠【答案】：（1）1-=n （2）sin = ∠ABP 【解析】：（1） ∵直线m x y +=∴04=+-m ∴4=m ∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ∴1-=n （2）由可知点B 的坐标为)3,1(- ∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ∴? ??=+-=+-310 416c b c b ∴6=b ， 8=c ∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y ∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P 图1
∴23=AB ,2=AP ,52=PB ∴222PB BP AB =+ ∴?=∠90PAB ∴PB AP ABP =∠sin ∴10 10sin = ∠ABP （3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠ ∴△OBD ∽△QBO ∴OB DB QB OB = ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD 又10=OB ，2=DB ∴25=QB ，24=DQ ∵23=AB ∴28 =AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQ AD QH OD = ∴ 2 82 44= QH ∴8=QH 即点Q 的纵坐标是8
点、直线与抛物线之间的位置关系 (学生 用) 一.点与抛物线的位置关系： 已知点P (x o, y o )和焦点为 (1 )点 (2 )点 (3 )点 (x o,y o ) (x o,y o ) (x o,y o ) 在抛物线 在抛物线 在抛物线 F 抛物线 2 y =2px 2 y =2px y =2px y 2=2px (p>0) 内 (P>O) (P>O) (P>0) 2 y o <2p X o 2 y 。=2p x o 2 (P>0) (P>0) y o >2p X o ( p>0) 二.直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线 C: y 2=2px (p>0)直线 I : Ax+By+C=0 抛物线C 和直线I 相离： (1)抛物线C 和直线I 相离 抛物线C 和直线I 无交点 方程组 得 关于X 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去x 得关于y ⑵) 别 式 方程(1)(或方程(2)无解) 0.) 方程(1)中的判别式 2 y 2 PX 无解，消去 y Ax By C=0 2 的方程,Ay +2pBy+C=0?- <0(方程(2)中的判 抛物线 C 和直线I 相切 (2)抛物线C 和直线I 相切 抛物线C 和直线I 有唯一交点 方程组I 2 y 2px 组解 方程组I 消去y 得关于X 的方程设A 2x 2+2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去 程Ay 2 +2pBy+C=0…⑵)有两个相等的实数解 方程(1)的 判别式 0 0. C 和直线I 相交 抛物线C 和直线I 相交 抛物线C 和直线I 相交有一个交点或两个交点 判别式 抛物线 (1) 2 y 2p x 有一解或两解 抛物线 Ax By C=0 C 和直线I 相交: 分类为：1.直线和双曲线有一个交点 程设为mf+nx+p=O (1)方程 .直线和双曲线有两个交点 有一 Ax By C =0 X 得关于y 的方 (或方程(2)的 方程组 y 2 2px 有一解 消去y 得关于X 的方 Ax By C=0 (1)中的m=0且方程nx+p=0有解； 方程组 2 y 2p x 有两组不同实数解 Ax By C=0 (1 )方程(1 )有两个不同的实数根方程 方程组 消去y 得关于x 方程设为mx+nx+p=0 判别式 >0. 若抛物线C 和直线I 有两个交点 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2)) 方程(1)中的m 0 . 的斜率k AB P y o 2 X 2 2 y 2 当直线I 斜率是k 时 AB J (1 k 2 )(X 2 为)2 I y 直线I 倾斜角为 时 AB I 为 X 21{1 tan 2 1*1 ?C X o ,y o 是 AB 的中点，则直线 y 21 ~~cot 2 AB
抛物线
焦点弦长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α ，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） （4） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： o x ()22,B x y F y ()11,A x y
???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点
抛物线的定义与标准方程 教学目标 1．掌握抛物线的定义及其标准方程； 2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系； 3．认识抛物线的变化规律. 教学重点 抛物线的定义及标准方程 教学难点 区分标准方程的四种形式 教学过程 Ⅰ.复习回顾： 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？ Ⅱ.讲授新课： 1．抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程： ⑴推导过程： （先由学生自己建立坐标系，然后在确定以下方法方程最简） 如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.
设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2 p x -= 设点M （x ,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d .由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P == |2p x |y )2p x (|2 p x |d ,y )2p x (|MF |2222+=+-∴+=+-=Θ 将上式两边平方并化简，得y 2=2px ① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是.2 p x -= ⑵抛物线标准方程的四种形式： 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ,x 2=2py ,x 2=－2py .这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：
抛物线题型归纳 一 基本知识归纳： 1 抛物线定义: 到 F 的距离和到 L 距离相等的点的轨迹即为抛物线。其中，定点F 叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 。 2 抛物线的标准方程： （1）焦点在x 轴正半轴上时： 焦点F ；准线L （2）焦点在y 轴正半轴上时： 焦点F ；准线L （3）焦点在x 轴负半轴上时： 焦点F ；准线L （4）焦点在y 轴负半轴上时： 焦点F ；准线L 3 相关概念：抛物线上一点与焦点F 的连线叫做 ，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做 。设抛物线上任意一点P （x 0,y o ）,焦点弦端点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）, 过y 2=2px(p>0)焦点交抛物线于P （x 1, y 1）,Q(x 2, y 2）,则x 1 x 2= , y 1 y 2= 4 以焦点弦为直径的圆一定与 相切。 以焦半径为直径的圆一定与 相切。 5 在所有的焦点弦中，长度最短的是 ，其长度为 。 证明： 二 题型分类 （一） 最值问题 1 P 是y 2=10x 上的动点，M （3，0），求|PM|最小值及此时点P 坐标。 2 P 是y 2=4x 上的动点，F 为焦点，A(6,3),求|PA|+|PF|最小值，并指出此时点P 坐标。 （若A （3，6）呢？） 3 直线:y=2x-5，抛物线y=x 2, P 为抛物线上一点，求P 到直线距离最小值。 4 点P 在y 2=2x 上，P 到点（0，2）距离和P 到准线距离和最小值是 。 5 点A （x,y ）在y 2=4x 上运动，求z=x 2+ 2 1y 2+3最小值。
（二）定义应用： 1 抛物线焦点在x 轴上，抛物线上的点M （-3，m ）到焦点距离是5， （1） 求抛物线方程及m 的值。 （2）求抛物线焦点和准线方程。 （三） 焦点弦长公式的应用 1 若x 1 +x 2=3p,则|PQ|=（ ） A 4p B 5p C 6p D 8p 2 y 2=2x 上两点A,B 两点到焦点距离之和是5，则线段AB 中点横坐标是 4 线段AB 是抛物线焦点弦，F 是焦点，若A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1, 则∠A 1FB 1= 5 已知抛物线y 2=2px (p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点，若线段A,B 的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程。 6 （四） 其它： 1 正三角形一个顶点在原点，另外两顶点在抛物线y 2=2px(p>0)上，求 这个正三角形边长。 2 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，A B ⊥X 轴，以O 为顶点，且过A ， B 的抛物线方程是 3 双曲线116322 2=-p y x ，左焦点在y 2=2px 准线上，求p. 4 y 2=2px(p>0)上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求抛物线 方程和M 坐标。 5 已知抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M （m,-2）到焦点的 距离为4，则m 的值为（ ） A 4 B -2 C 4或-4 D 2或-2 6 已知抛物线y 2=6x 的弦AB 经过点P （4，2）且O A ⊥OB(O 为坐标原点)，求 弦AB 的长。
第一讲抛物线中的动点问题 一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积） 直接转化为函数或方程。 一、平行四边形与抛物线 【例】如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上； （3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l 与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形． 变式演练 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． （1）求A、B两点的坐标． （2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标． （3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N．其顶点为D．
抛物线基础知识 标准方程的求法：若已知对称轴在坐标轴上而不知开口方向，可简单设为22 ,ax y ay x ==，避免讨论。 图象 )0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。{MF M =点M 到直线l 的距离} （一动三定） （注：定点F 不在定直线上，否则动点的轨迹是过定点F 垂直于直线l 的一条直线）（一焦一顶一轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；p 是焦点F 到l 的距离， p 越大开口越大，反之越小。 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于 y 轴对称 焦点（焦点在对称轴上） ( 2 p ,0) (2 p -,0) (0,2 p ) (0,2 p - ) 顶点 (0,0)O 通径 p 2 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条 性质 11(,)A x y 22(,)B x y 以 AB 为直径的圆必与准线l 相切 2124 p x x = 212 y y p =- 若 AB 的倾斜角为α，则 22sin p AB α = 若 AB 的倾斜角为α，则 22cos p AB α = 112 AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 参数方程 )(222 为参数t pt y pt x ? ? ?== 切线方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F o x ()22,B x y F y ()11,A x y
抛物线求最值问题（第一类） 1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。 此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。 例题已知抛物线方程为x y4 2=,直线l的方程为0 -y x,在抛物线上 4= + 有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？ 分析：如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值． 解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离， 从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1． 过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，
则d1+d2的最小值为． 抛物线求最值问题（第二类） 2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。 此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。 例题已知点P 在抛物线y2=4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A.??? ??-1,41 B ．??? ??1,41 C ．（1，2）D ．（1，-2） 分析：先判断点Q 与抛物线的位置，即点Q 在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M ，P ，Q 三点共线时取得，可得到答案． 解：点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ ，故最小值在M ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，
与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法 本文在证明性质中用到了直线方程的三种设法：设斜率法，设斜率倒数法和参数法，有些证明还用到几何法和代数法． 定理及证明 图形 一、抛物线的焦点弦的点的坐标的性质 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）， 且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2 124 p x x =，212y y p =-． 两种证法比较： 证法一：斜率设法（()2 p y k x =-）需要讨论，比较复杂； 证法二：斜率倒数（=2 p x y λ+）设法比较简单． 证法一：因为焦点坐标为F(2 p ,0),当AB 不垂直于x 轴时， 可设直线AB 的方程为： ()2 p y k x =-，显然0k ≠． 由2()22p y k x y px ? =-?? ?=? 得: 2220ky py kp --=，（这种设法下，要注意把2 2y x p =代入直线，这样消元比较简单，可以叫做以曲代 直，即把曲线代入直线） ∴2 12y y p =-，2242 121222244 y y p p x x p p p =?==． 当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2 p x = ，则1y p =， 2y p =-，∴2 12y y p =-，同上也有：2 124 p x x =．
证法二：因为焦点坐标为F( 2 p ,0),当AB 平行于x 轴时，不合题意，所以可设直线AB 的方程为： =2 p x y λ+， 联立22(0)y px p =>得：22()2 p y p y λ=+， 即2220y p y p λ--=， ∴2 12y y p =-，2242 121222244 y y p p x x p p p =?==． 二、抛物线焦点弦长公式 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）． 证法一：设直线的点斜式，要讨论 （1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2 p y k x =- 由2()22p y k x y px ? =-?? ?=? 得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-， ∴122 1 1AB y y k =+- 22 121222 11211()41p k y y y y k k k +=++-=+ 222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα ++===． 易验证，结论对斜率不存在时也成立． 注意：AB 为通径时，90α=，2sin α的值最大，AB 最
抛物线及其性质 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2 p x =- 2p x = 2 p y =- 2 p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 的补充 11(,)A x y 22(,)B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，2 2sin p AB α = 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
抛物线的常见性质及证明 概念 焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段； 焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦. 性质及证明 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-= + =p p x AF ；②焦半径α cos 12||2+=+=p p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α 2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90?)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝α sin 22 p . 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p 2 ， | AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p 如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝ | RF |1－cos θ＝p 1－cos θ 同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p 1＋cos θ ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ . S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p 2·(| y 1 |＋| y 1 |) ∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 | ∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2 ＝p 2 2sin θ .
简解抛物线问题的六种途径 一、回归定义 例1已知点P(3，2)在抛物线y2＝4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|＋|MF|有最小值，并求此最小值．解：过M作准线l的垂线MA，垂足有A，则由 抛物线的定义有|MF|＝|MA|． ∴|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MA|， 显然当P、M、A三点共线时，即|MP|＋|MF|最 小． 此时，M点的坐标为(1，2)，最小值为4． 二、巧设方程 例2抛物线顶点在顶点，焦点在x轴，而且被直线y＝2x＋1所 截得的弦长AB 为求抛物线的方程． 分析：此题仅焦点位置定，而开口未定，常规方法要分类讨论．其实可巧设方程y2＝ax(a≠0)而得简解． 解：由题意，可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，将直线方程y＝2x＋1代入抛物线方程，并消去y，整理，得 4x2＋(4－a)x＋1＝0． 则x 1＋x 2 ＝4 4 a- ，x 1 x 2 ＝ 4 1 ． 再由弦长公式|AB| ＝ ∴ ，即a2－8a－48＝0． 解得a＝12或a＝－4． 故所求的抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－4x．
三、设而不求 例3 已知抛物线y 2＝－8x 的弦PQ 被点A (－1，1)平分，求弦PQ 所在的直线方程． 解：设PQ 的端点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有 2 11222 88y x y x ?=-??=-??， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝－8(x 1－x 2)， ∴ 2121 y y x x --＝－4， 即 P Q k ＝－4． 故PQ 所在的直线方程为y －1＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋3＝0． 四、运用性质 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的性质很多，特别是过焦点F 的弦AB 的性质非常重要，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有性质：①y 1y 2＝－p 2；②x 1x 2＝ 2 4 p ；③ 1A F ＋ 1B F ＝ 2p 等等． 例4过抛物线y 2＝2px 焦点F 的一条直线与抛物线交于P ，Q 两点，过P 与抛物线顶点的直线交准线于M ，求证：MQ 平行于抛物线的对称轴． 证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，则由结论，得 y 2＝ 2 1 p y -． 又焦点F (2 p ，0)，准线x ＝－ 2 p ，则OP 所 在的直线方程为y ＝11 y x x ．
抛 物 线 一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质 1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右. 2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴 3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当 0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点. 4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e = 知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02 p x =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p 例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()2 2,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9， 当[)0,x ∈+∞时，()()2 ,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为 [)9,+∞ 答案：[)9,+∞