广西师范大学
硕士学位论文
高一年级学优生与普通生“函数”学习中数学理解的调查研究——广西师范大学第一附属中学的调查
姓名：张知莹
申请学位级别：硕士
专业：学科教学·数学
指导教师：孙杰远
20080301
高一年级学优生与普通生“函数”学习中数学理解的调查研究
—广西师范大学第一附属中学的调查
姓名：张知莹导师：孙杰远教授
学科专业：数学教育研究方向：数学课程教学论年级：2004级
摘要：
在数学学习中，“理解”无疑是第一位的，它已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育所关注的又一中心话题[1]。美国教育学家G .M.Bleinkin和A.V Kelly曾说过：“教育不在于获得有用的知识或技能，而在于发展求知能力，不在于学习而在于达成理解，不在于获得信息，而在于完成智慧”。国内外许多专家学者就数学理解的问题发表了不少相关的研究成果。总体来说，各研究者是在力图借鉴已有的理论成果（主要是认知学习心理学、建构主义学习理论）的基础上，融合自己的理论认识与实践体悟，从各个角度对数学理解的涵义、类型、功效、内部机制等进行的积极探索和研究。
在国内学者周建华将数学理解划分为直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次的基础上，本文进一步将数学理解的四个层次划分为4个一级维度10个二级维度。
本研究通过运用调查法、观察法、访谈法等多种方法实现量化研究与质性研究的相结合。笔者对数学理解能力划分二级维度的层次，并根据该维度标准设计高中生“函数”知识学习的数学理解测试卷，通过测试了解学生对函数知识的理解情况，揭示数学学优生与普通生在函数学习中的差异，寻找提高教师有效教学和学生数学学习效率的新途径。
调查研究在广西师范大学第一附属中学高一年级两个班的110名学生中进行调查，通过对该年级学优生与普通生在函数学习中数学理解的问卷调查，我们发现：学优生与普通生在数学概念的学习中在理解的四个层次上都存在差异；男、女生在数学理解上没有差异；在数学理解的各维度与总分相关，前三个维度之间相关，第四维度与前三维度不相关。在调查研究的基础上，我们选择了7名学优生与普通生进行个案研究，对于调查问卷中的问题寻找基于现象学的解释。
最后，笔者对学优生和普通生在数学理解的成因进行了分析，指出（1）数学陈述性知识的理解水平造成数学理解的差异；（2）原有的认知结构影响数学理解的水平；（3）数学程序性知识与过程性知识造成数学理解的差异；（4）情感、意动因素影响该生数学理解的水平及其发展。并提出了促进高中生数学理解水平发展的若干教学对策，包括：扎根策略、结构策略、整合策略、开放策略和生长策略。
关键词：理解数学理解学优生普通生
The Study of Function Learning on Mathematics Comprehension between Gifted students and General students of Grade one
--Investigation at The First Middle School of Guangxi Normal University
Autor:Zhang Zhiying Tuor: Sun Jieyuan
Major:Subject Teaching-Mathematics
Field: Mathematics Curriculum and Instruction
Grade:2004
It is no doubt that "Comprehend" is the first one in mathematics learning, it has become another central topic after "the problem resolve" world mathematics education circle pays attention to nowadays. American education experts G. M. Bleinkin and AV Kelly said: "the goal of education is not to acquire useful knowledge or technical ability, but to be a development for seeking knowledge ability, not a study but reaching comprehension, not to get the information, but to fulfill oneself. There are so many results of the research correlated with the problem of mathematics comprehension by the domestic and foreign experts and scholars. Totally, the researchers try to learn from the existing theoretical results (primarily, cognitive learning psychology, constructivist learning theory), pursue the exploration of the meaning, type, effect and the internal mechanism of mathematics comprehension on the basis of their own integration understanding of the theory and practice.
Scholar Jianhua Zhou divided “mathematics comprehension” into four levels: the direct comprehension, interpretative comprehension, inferential comprehension and creative comprehension. This paper will further divide them into four one-dimensional and 10 two dimensions.
In this study, the author uses surveys, observation, interviews, and other methods to achieve the combination of quantitative and qualitative research. According to the criterion of two dimensions, the author designs a test paper on mathematics comprehension of function learning in high school to find out the situations about the students’ understanding, show the differences between the gifted students and the general students on their function learning, seek the new approach to promote the teachers the effective teaching and the students the learning efficiency.
The subjects were 110 students from two classes of Grade One at The First Middle School of Guangxi Normal University. Each of the students was given a questionnaire on function learning, then we found out that the differences still exist between this two kinds of students on their mathematical concept ional learning and comprehension of four levels; there is no difference of mathematics comprehension between boys and girls; the dimensions of mathematics comprehension related to the scores, the former three dimensions related to each other and there is
no relation between the fourth dimension and the former three. On the basis of the investigation, we chose seven gifted students and general students to make a case study, aiming at the interpretation of the phenomenon about the problems in the questionnaire.
Finally, the author analyzed the causes on mathematics comprehension between the gifted students and general students: (1) the comprehension level of mathematics statement knowledge results in mathematics comprehension of difference; (2) their original cognitive construction influences the level of mathematics comprehension; (3) mathematics procedure knowledge and process knowledge results in mathematics comprehension of difference; (4) the factors of emotion and impression affects the level and development of mathematics comprehension. And the author also pointed out some teaching strategies for promoting the students’ ability on mathematics comprehension, including: rooted strategy, structure strategy, integration strategy, open strategy and growth strategy.
Key words: comprehend, mathematics comprehension, gifted students, general students
论文独创性声明
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1导论
1．1 问题的提出
长期以来，在数学教学方面我们己经积累许多教学经验，但按照新的教育理念来看，其中问题也不少。特别是由于中、高考的压力，应试教育仍在中学教学过程中实实在在地进行着。“熟能生巧”是我国教育的一个传统，却被搞应试教学的教师奉作对付考试的一个“法宝”。因此，学生在学习中不理解问题的本质，看不到数学的用处，体会不到数学的价值，更不会用学到的知识去解决问题。这导致学生感到数学“枯燥无味”，从而失去对数学学习的兴趣。许多学生为了掩盖他们缺乏理解，往往通过背规则和方法来解决数学问题，这在布朗(Brown)等人的研究报告中有体现，报告中说在NAEP(美国全国教育进展评议处)的研究中大多数学生感到数学是以规则为基础的，并且大约一半学生认为学习数学主要是背诵、是记忆。
在数学学习中，“理解”无疑是第一位的，它已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育所关注的又一中心话题[1]。美国教育学家G .M.Bleinkin和A.V Kelly曾说过：“教育不在于获得有用的知识或技能，而在于发展求知能力，不在于学习而在于达成理解，不在于获得信息，而在于完成智慧”。人类经历了几千年的发展进化历程，积累了宝贵的知识经验。而在整个发展过程中，人们又在前人所得到的成果的基础上不断学习、创新，试图更完美地运用与发展前人的精神财富。而这一过程离开了“理解”是无法进行的。人们在不断地学习过程中，注入各自的理解，从而得到发展，并不断地完善，整个人类才不断地得以前进。并且现在的教育，也是使学习者经过一系列的学习等活动，把外在的知识内化为个人的经验，即对所学习的知识进行理解、整合，汇入个人的经验之中，逐步形成个人的智慧，在人生的各个方面显示其力量。在数学教育界，最被广泛接受的一种思想是学生应该理解数学，在数学教育中有许多研究的目标是推行理解的学习。学者认为，任何知识只有通过理解才能被人建构意义，进入个体的经验中，成为其中的一部分，已有的知识也才能真正地成为个人的知识，才是活的知识，学习者才能对其运用自如。反之，当己有的知识不能与个人的经验有机地融在一起时，它便不能成为真正的“个人的知识”，这种知识虽然有可能被学习者占有，但却不能活用，这不是我们所追求的目的。
1.2 研究的意义
“数学理解”己越来越成为数学教育的热点话题，国内外许多专家学者就该话题发表了不少相关的研究成果。总体来说，各研究者是在力图借鉴已有的理论成果（主要是认知学习心理学、建构主义学习理论）的基础上，融合自己的理论认识与实践体悟，从各个角度对数学理解的涵义、类型、功效、内部机制等进行的积极探索和研究。但是相比而言，数学理解困难形成的原因探讨较少。因此，研究此课题是有必要的，而且对广大中学生的数学学习、教师的数学教学有一定的指导作用和借鉴价值。
第一，对教师充分把握学生的数学理解过程，促进学生的数学学习有重要的借鉴价值。
数学学习作为一种以学生已有数学知识和经验为基础的建构活动，往往需要经过多次的反复和深化。所以，学生对数学知识的理解并非是一次完成的，而是不断向更高层次深化和发展的动态过程。在这一过程中，学生必然会产生一些错误的或幼稚的想法。而教师只有充分把握学生的数学理解过程，在不同的阶段从多个方面深入了解、检查学生的理解情况，有针对性地及时排除理解障碍，才能促进学生理解活动的进一步深入。因此，对学生数学理解困难形成根源的研究既有利于教师全面地认识学生的理解困难问题，又有利于他们在实际教学中有针对性地帮助学生克服这些困难，从而有效地促进学生的数学学习。
第二，对学生数学能力提高途径的探索有一定的现实意义。
数学“双基”扎实是我国学生数学学习中的优良传统，考试高分则是其外在表现。但也有研究者尖锐地提出，在可贵的数学高分下隐藏着危机。[2]随着素质教育和新课程的实施，培养学生的数学能力迫切需要提到议程上来。素质教育下的数学能力包括三大基本能力(即思维能力、运算能力、空间想象能力)以及观察能力、记忆能力、数学理解能力、运用能力和创新能力等。数学理解能力则反映了学生的学识、态度、知识面以及反应能力与思维能力，它是其它一切数学能力的发源地。[3]事实上，国外许多心理学专家、学者己以实验的方式证明了数学理解的功效。例如，Baddeley[4]等人认为，理解能促进记忆。Davis ，Meknigth[4]等人对理解和迁移的关系进行了深入的研究，指出理解会直接影响迁移。Carpengt， Resnick [4]等人的研究结果表明，数学理解有助于发明创造。此外，Doyle [4]等人通过研究认为，理解会影响学生对数学的信念。由此可见，数学理解是数学能力提高的突破口、切入点、关键点。因此，对学生数学理解困难形成根源的研究对于探讨提高学生的数学理解水平以及培养学生数学能力的途径有重要的现实意义。
1.3 研究的方法与过程
1.3.1研究的目的
本研究通过对数学理解能力划分二级维度的层次，并根据该维度标准设计高中生“函数”知识学习的数学理解测试卷，通过测试以期了解学生对函数知识的理解情况，通过比较研究，揭示数学学优生与普通生在函数学习中的差异，寻找提高教师有效教学和学生数学学习效率的新途径。
1.3.2 研究对象的确定
研究对象来源于笔者在广西师范大学第一附属中学教授的高236、238班，共110人，其中选取了236班7人作为学优生和普通生为个案研究对象。
1.3.3研究的基本研究方法
第一，调查法
本研究主要采用问卷等调查方法，调查广西师范大学第一附属中学高一110名学生对函数的理解，同时，采取问卷测试的方式收集信息，了解不同层次学生数学理解水平的状况，探索学优生与普通生数学理解的差异。
第二，观察法
观察法是指人们有目的、有计划地通过感官和辅助仪器，对处于自然状态下的客观事物进行系统考察，从而获得经验事实的一种科学研究方法。本研究主要是教师在课堂上对学生学习行为的观察（态度、兴趣程度、合作表现、课堂反应情况等）和作业的观察相结合，获得一些直接的、经验性的资料。
第三，访谈法
访谈法是以口头形式，根据被询问者的答复搜集客观的、不带偏见的事实材料，以准确地说明样本所要代表的总体的一种研究方法。本研究方法主要在研究后期进行。通过访谈了解学优生与普通生“函数”概念学习中理解程度的差异情况。
2、研究的理论基础
2.1 理解的研究概述
2.1.1 理解内涵
2.1.1.1、心理学中的“理解”内涵
随着心理学的兴起与发展，不同学派的心理学家对理解有不同的看法。
行为主义认为学习是刺激与反应之间的联结，是一个变化的过程。于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题。可见，行为主义将知识的理解定位在记忆的层面，没有对机械记忆与理解上记忆加以区别。
格式塔学派主张“学习是对实践的探索”，认为理解就是“顿悟”，是“原始智慧的成就”的表现，是对事物间的关系的突然贯通。
巴甫洛夫学派把理解看成是联想的联想。理解就是利用旧联想形成新的联想。同时，承认经验在理解中的作用。他忽略了主体对问题的理解，实质是避而不谈理解。
以皮亚杰为代表的日内瓦学派认为，个体对新事物的理解，就是新刺激被个体已有的知识结构同化或顺应的过程。奥苏伯尔认为理解就是将新信息纳入原有认知结构，新旧知识发生意义同化的过程[5]。现代认知心理学认为“理解实质上就是一个学习者以信息的传输、编码为基础，根据己有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程”[6]我国学者潘菽在其主编的《教育心理学》一书中认为：“理解就是个体逐步认识事物的这种联系、关系直至认识其本质规律的一种活动[7]；张庆林认为理解是新学习的材料和大脑中已有的知识经验之间建立起一种内在联系的过程[8]。
建构主义认为理解的对象是知识，这知识是主观建构的，而不是客观的知识。因此，理解是一个意义赋予的过程，也就是学生必须根据自己已有的知识或经验对建构的对象作出解释，在学习新的材料与主体已有的知识和经验之间建立实质性的联系，从而获得真正的意义。从这个意义上说，学生获得的知识意义对学习者而言也是一种“创造性的理解”过程[9]从上面分析可以看出，这种理解不具有统一性，不同的人以自己的方式建构对事物的理解。不存在唯一的标准的理解。不同人对知识的建构是其他人所不能替代的。
现代认知心理学对理解内涵已有的研究工作主要集中在以下几个方面的进展：
第一，对理解的本质(the nature of understanding)的研究。概括地说，主要表现为：（1）理解一个概念牵涉到具有一个内在的认知表征或心智模型，它反映了这个概念的结构；
(2)心智模型必须具有一定程度的概括性与普适性。也就是指，它们必须能够从一种情境迁移至另一种情境；（3）表征必须是具有生产性的，只有这样，才能从这些表征中做出预测和进行推论，从而“超越所给的信息”；（4）理解应该可以指引问题解决策略和技能的发展；（5）理解导致了知识的组织化，以至于表征间的关系被重新组织以及保持内在的一致性。
第二，对“理解与推理”关系的研究。这主要表现为完成一种具体认知任务的过程中，所牵涉到的基本理解过程。在推理时，通常使用的是一种“实际的推理图式”。具体说，表现为把一个问题信息的结构通过映射过程转化为“实际的推理图式”，从而通过这种模块化
的过程，使得前提信息结构化与有序化。
第三，对“理解与认知发展”关系的研究。海尔福德阐述了影响理解与认知发展的两个决定性因素：环境与内在结构。并指出，环境中包括了文化和社会影响、教学、资源与情境中的规则和结构等多个要素，它对学习者内在结构的发展存在着不可忽视的影响；而相应地，学习者内在结构所具有的局限性亦对他们如何所倾向学习的事物类型施加着限制，把握好两者之间的互动关系将能以更加明确有效的方式促进学习者的理解及认知的发展。
2.1.1.2、教育学领域中“理解”的内涵
教育学领域中的“理解”有两层含义：一是对物的“理解”，即个体逐步认识事物的联系，本质规律的一种认识活动。二是对人的“理解”，即在人际交往中相互之间在某方面达到共同的认识与情感。[10]我们所探讨的数学理解属于前者，是一种认识活动，但是我们是以师生相互理解为前提的，因为在数学课堂环境中，如果没有教师对学生的“理解”，一切促进学生数学理解的措施都是空谈。在该领域理解内涵已有的研究工作有：
首先，对“理解的教学设计模式”研究。20世纪90年代美国哈佛大学教育研究院开始的名为“面向理解的学习与教学”的研究项目。提出了面向理解的教学设计模式，包括生成性主题、理解性目标、理解性应用以及追踪式评价四个设计阶段。
其次，对“理解”的实证研究。美国课程专家格兰特?威金斯(Grant Wiggins)和杰伊?麦克泰(Jay Mctighe )根据自己多年的课程研究经验，并结合大量实际教学案例，撰写了《通过设计促进理解》，论述了“什么是理解性目标”、“理解的六个维度”、“如何评价理解”、“如何开展理解性教学”等诸多实践性课题。
2.1.2 理解的分类
根据不同的分类标准，认知意义上的理解可以划分为不同的类型。根据学习中所有认知的关系不同，理解可以划分为：对言语的理解，对事物的意义的理解，对事物类属的理解，对因果关系的理解，对逻辑关系的理解以及对事物内部构成、组织的理解。[12]知识学习中的理解有不同的认知水平，据此可以分为三种类型：初级水平的理解，中级水平的理解和高级水平的理解。初级水平的理解是知觉的理解，或称直观的理解，这是在对外界知识形成映象的基础上，对映象特征进行分析、综合、辨认、识别，赋以一定的约定俗成的名称的活动。在初级水平理解的基础上，进一步对揭示客观事物的本质及内在联系的思想观点的掌握，即达到中级水平的理解。在中级水平的基础上，进一步实现事物的类化、具体化、系统化，把有关事物归入已经获得的概念中去，用概念、原理、规则解释有关事物现象，并建立和调整原有认知结构的理解，是高级水平的理解，亦称概括的理解。 [12]根据思维是否参加理解的过程，理解可以分为直接理解和间接理解。直接理解，不要求中介性的思维过程，常和知觉过程融合在一起；间接理解需经过复杂的思维过程，经常是从最初模糊的，来分化的理解逐渐过渡到明确的、清楚的理解，两者经历了不同的阶段。[13]从以上分类，我们得知：知识类型不同，理解的性质也不相同；学生对知识的理解遵循由具体直观到抽象概括、由简单到复杂的认识发展规律；理解有层次、水平之分。
2.2 数学理解研究概述
目前，国内关于数学理解的研究主要集中在数学理解障碍研究和数学理解能力的培养与促进的教学方法研究上，数学概念理解和解题理解的研究也较多，还有学者尝试了关于教师的数学理解研究、理解性数学教学的研究、数学理解的评价研究和其它一些数学学习要素与数学理解的相关研究。下面主要谈谈对我国学者对数学理解障碍的研究。
我国学者王爱珍、郭朋贵、陈敦莹、袁芳、姚新钦、张萍、宁连华、汪晓晶等先后都进行了数学理解障碍的相关研究，笔者通过文献整理，总结出了数学理解障碍的涵义、类型及生成原因、排除障碍的途径。作为数学教育一线的笔者，我认为，障碍的研究的根本目的是对学生数学理解层次的划分。
2.2.1 数学理解障碍的涵义
所谓“数学理解障碍”，简单地说，就是指学习者在理解数学知识时，遇到了困难。但就整个理解过程来说，是指在学习者现有的认知水平范围内，通过数学学习活动，试图以目前自身已有的知识和经验对数学知识信息进行思维加工，但尚未能正确地重新加以解释，重新建构其意义，从而不能把新的学习内容正确地纳入已有的认知结构，在认识其本质和规律的思维过程中出现断层的一种认知状态。此时，学习者不能把握前后知识间内在的联系。[26]
2.2.2 数学理解障碍的生成原因
以数学理解的必要条件和过程要素为依据，通过实验研究，得出了学生数学理解障碍的类型及成因。
第一，认知结构缺损型障碍（简称认知型障碍）。这种障碍主要是指学生在理解数学知识过程中，由于原有的数学认知结构不完善，从而在理解新的数学知识时产生困难或根本理解不了数学知识，亦即学生原有数学基础有缺损而造成的障碍。具体生成原因有：（1）由于教材知识点之间的相似生引起；（2）由于概念、命题等的特殊性引起；（3）由于缺乏相关背景知识或经验引起。
第二，表象型障碍。这主要是指学生经过一段时间的学习，对于初始概念、简单的数学名词、短语等，暂时不能形成正确的表象，由此对于后面知识的理解产生影响，造成理解障碍。主要原因有：（1）受日常语言的影响；（2）受视觉表象的影响。
第三，联系型障碍。这是指学生在学习新知识的时候不能有意识地与前面与此相关的知识建构实质性的联系而产生的一种理解障碍。在数学学习中，理解数学概念和性质时，这种障碍比较常见。另外，当学生理解某一数学概念或命题时，如果不能回忆起相关知识信息，也就不能在大脑中检索出有用的信息，建构联系，也会产生这种理解障碍。
第三，构造型障碍。所谓构造型障碍是指学生通过具体例子、习题的学习、理解，未能
或未能正确地构造出相关的数学模型（包括方程式、函数式等）、图形，或归纳、抽象出与某一知识点相关的性质（包括定理、公式等）等。此类障碍主要发生于学生学习有关数学性质以及做例题、习题时。
第四，语言型障碍。语言型障碍是指学生每学完一个新的知识点时，未能转换成自己的内部语言（即表象型语言）或者难以用自己的语言正确地表达出来。对于那些特殊的、晦涩的数学名词、数学短语、较复杂的数学语句等，学生的语言表述尤为困难。由于整个理解的过程都是以语言文字为载体，缺乏了语言，缺乏了交流，理解就会受阻，那么，理解障碍就会产生。
另外，教师在教学过程中若使用的语言不当，或教学过程中某些环节不得法——忽视知识发生过程的教学，或不注重提示数学知识间的逻辑关系——都容易造成学生的数学理解障碍。而教材中的数学知识比较抽象或教材内容知识点的不连续或跳跃都是造成学生的数学理解障碍的原因。
2.2.3 排除数学理解障碍的途径
数学理解障碍成为了数学学习困难的主要原因，作为数学教师必须在教学和平时指导过程中努力为学生排除数学理解障碍。在数学理解障碍的相关研究中，国内学者提出了许多排除障碍的途径，笔者在这里精简了九种途径。
（1）帮助学生生成正确的数学表象。如在几何教学中，使数学图形多样化，即使图形的形状、放置方式有多种变式，增强学生从多角度认识与理解知识。
（2）利用实物、模型等，增强学生对知识的感性认识。
（3）恰当地利用多媒体进行辅助教学，尤其是利用多媒体的动画、音、色等功能，可以展示在黑板上难以显示的知识发生、发展等过程，呈现知识的本质含义。
（4）运用发散思维，帮助学生从多个角度、多个层面思考，探明知识点之间的联系与区别。
（5）注重数学交流。在学校教育环境下，数学交流指在一切数学活动（包括课堂教学、课外活动）中，学生与学生之间，师生之间以书面方式、口头方式表述对数学知识的理解情况，并相互交换意见，获得对知识较深层次的理解。
（6）加强学生对数学知识的自主探究和实际应用来加深理解。
（7）通过正反辨析教学法提示知识实质，增强学生对知识理解的准确性和深刻性。如在学生的认知水平范围内，教师可以举一些反例、特例，进行正反比较与分析，让学生辨别相关对象的联系和差异，从而增进理解。
（8）教师尽力提供给学生充分理解的时间与机会，加强感性认识。
（9）教师应及时发现学生与理解新知识有关的认知缺陷，并做到随时补充，随时排除
理解障碍。
2.3 数学理解内涵
《中学数学教学大纲》(1998)将教学目标分为了解、理解、掌握、灵活运用等四个层次。
理解作为一个目标层次被解释为：对概念和规律(定律、定理、公式、法则等)达到了理性认
识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来的，它与其它概念之间
的联系，有什么用途。[14]
《全日制义务教育阶段数学课程标准》(实验稿)将理解解释为：能描述对象的特征和由
来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。[15]
这两种解释是从结果和外在表现两方面来界定数学理解的。
“数学理解”所涉及的意义和内涵都十分广泛, 主要涉及对数学对象的理解和从数学的
角度去理解现实。[16]Hiebert和Carpenter认为：“一个数学的概念或方法或事物被理解了，
如果它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，如果它的智力表示成了网络
的部分。”[17]因此，理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。李士锜先生认为“学习一
个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人
内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了。其中，所需要做的工作就是寻找并建立恰
当的新、旧知识之间的联系，使概念的心理表象建构得比较准确，它与其它概念表象的联系
比较合理，比较丰富和紧密。”[18]鉴于此，数学理解至少包含这样几层涵义：知识的理解必
须要有一定的心理基础，必须选择和调动起相对应的认知图式，其理解是一个信息或要素组
织的过程，同时，理解还需要认知结构的再组织。进一步，黄燕玲和喻平先生从知识的现代
分类出发，对数学理解的内涵进行了探讨，他们认为：“对知识的理解与知识的表征密切相
关，对一个事物本质的理解，就是指该事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并迅速
提取，也就是说理解是对知识的正确、完整、合理的表征。按照广义知识分类对数学知识的
分类是合适的，数学知识分为陈述性知识、程序性知识及过程性知识。因此数学理解应涵盖
对三种知识的理解。对陈述性知识的理解是指学习者获得了该知识的图式，对程序性知识的
理解是指学习者建立了双向产生式和产生式系统，对过程性知识的理解，是指学习者形成完
善而深刻的关系表征和观念表征。”[3]这一界定是在知识现代分类的基础上，加上了对过程
性知识的理解。陈琼认为：“数学理解是学习者先认识数学对象的外部表征, 构建相应的心
理表象, 然后在建立新旧知识联系的动态过程中, 打破原有的认识平衡, 将数学对象的心
理表象进行改造、整理、重组, 重新达到新的平衡, 以便抽取数学对象的本质特征及规律,
从而达到对数学对象的理解。”[19]章建跃、朱文芳两位先生把数学知识的理解概括为两点：
领会和释译；并指出促进理解知识的两个环节：直观和概括[20]。以上几种对数学理解的阐述
都在认知心理学对理解阐述的基础上，以信息的内部表征作为解释的基础，强调个人内部知
识网络(也就是认知结构)是理解发生的前提。
2.4 数学理解的层次
数学理解是一个逐步深入的过程，随着学生认知水平的不断提高，对知识的理解会越来越深刻。在学习的不同阶段，学生对所学知识的理解可以有不同的层次，不同的水平。
田万海先生认为：在数学学习中，学生对数学知识的理解不是一次完成的，而是逐步深化的，其间经过初步理解、确切理解和深刻理解三个阶段。初步理解即理解的初级阶段，它是在感知的基础上获得的。这是比较粗糙的、不很精确的、低水平的理解，是进一步深入理解的基础。确切理解是在初步理解的基础上，进一步深入理解的阶段。在这一阶段学习中，学生通过分析、综合、抽象和概括等思维活动，理解数学知识的本质和规律，达到对有关概念和原理的精确而清晰的认识。深刻理解是高层次、高水平的理解，要求学生对数学知识的理解达到融会贯通灵活运用的程度。[22]
S.Pirie和T.Kieren的超回归数学理解模型由8个不同理解水平组成，即：原始认识、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化、发明创造。这八个数学理解水平具体阐述如下：
水平 1——原始认识。这是所有数学理解的出发点，理解的最初阶段。“原始”不是指所理解的数学对象简单、容易，理解的水平低，而是指初始的思考活动。
水平 2——产生表象。在这一水平，能根据先前的了解逐步产生表象，归结出它的特征，并以新的方式运用。但此时的表象是具体的、个别的，也可能是错的。
水平 3——形成表象。此时的表象已脱离了产生表象的活动，个别表象逐步积累融合成一般表象，最后，个别表象被一般表象所代替。
水平 4——性质认知。在这一水平，学生能够认识到各表象之间的区别和联系，估计出各表象之间的关系是怎样建立的，并将这种关系在大脑中记录下来。同时，学生还将表象的各个侧面进行组合，概括出数学对象特殊的、相关的性质。
水平 5——形式化。学生将前一水平认识到的性质和关系赋予某种特征，从依赖于先前表象的认知中抽象出某种方法或常用的特性，并根据有关性质的一些理由，建立形式化的数学对象。此时，学生的认知不依赖于先前的表象，具有对一类数学对象本质属性的认知。
水平 6——观察评述。在这一水平，学生通过观察和反省自身对概念、性质形式化的过程，对前一水平中抽象出来的方法或性质进行思考、讨论和检验，并将思考和讨论的结果进行整理和组织。
水平 7——构造化。学生能够认识到观察、整理的结果（新的数学知识）间的相互关系，原认识结构之间的联系，将其与原有知识之建立起逻辑的、内在的关系。
水平 8——发明创造。在这一水平，学生对概念有了全面的、深入的、结构性的理解，理解达到了融会贯通，灵活运用的程度。因此，能产生或形成其它新的概念、新的问题。
这8个理解水平包括了人们理解某一数学知识(数学概念、公式、定理等)所经历的全过程。8个水平之间的关系，可以用8个嵌套的圆来表示，每一种水平用一个圆来表示，并依水平的增高所表示的圆的半径依次增大，前一个圆包含在后一个圆中，逐步拓广。[23]
1976年，英国数学教育家R.Skemp(斯根普)与挪威的梅林一奥森提出了事物理解的两种模式：工具性理解和关系性理解。所谓工具性理解是指：一种语义性理解—符号A所指代的事物是什么，或是一种程序性理解—一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作：关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等有深刻认识。[1]斯根普认为：人们在认识理解事物的初期，往往是工具性理解。例如：学生在学习新的数学概念或数学公式时，由于对代表学习对象的符号形式不熟悉(尤其是由一些不常见的字母或复杂形态所表示的符号)，往往把注意力集中于对符号本身含义的描述，而不是它的指代物的意义上，即所从事的是促进“工具性理解”形成活动，而在实际教学中这些活动的结果又往往会被视作为“理解”的标志。传统教学中“概念(定义、定理)—实例—练习(习题)”的教学模式，对数学理解的定位就是工具性理解。这种模式对于数学技能的学习有易模仿，易记忆的特点，使学生能很快地得到学习上的回报，从而增强学生学习的积极性。但工具性理解是表面化或程序化的理解，不利于在全新的情境中去应用知识解决问题，缺乏创造性，不利于学生的长期发展。两种理解是有层次的，工具性理解是表面的、外部的、形式上的理解，它解决是什么，做什么，怎么做，所涉及的知识是结果性知识，而关系性理解是涉及事物内部结构意义等的理解，反映事物内在的本质规律，解决为什么，以及活动的有效性、合理性，涉及的知识多是一种过程性知识，培养的是元认知能力。因此，教学中要努力促进工具性理解向关系性理解转变。那么，如何促进工具性理解向关系性理解转化，使学生获得对学习对象的关系性理解呢? 陈琼等学者提出了以下几点：(1)理解与把握数学对象的本质属性，典型实例及相互关系。(2)将所学知识自觉与自己已有的知识经验相联系，完善和改组认知结构。(3)在问题解决中，培养知识的迁移能力，通过反思提高元认知水平，注重数学过程性知识的学习。[24]
周建华将数学理解划分为直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次。
[25]他认为，直接性理解就是对数学语言、符号的表面理解，即能识别语言描述中的错误或不妥之处，能直接找出肯定的实例或否定的反例。解释性理解就是对数学知识内在联系的理解，即能理解概念的上位、下位、同位关系，深刻理解概念的内涵与外延，能把握公式的来龙去脉，揭示公式的联系等。推断性理解就是在充分理解数学概念、公式、定理等知识的基础上，对有关数学对象作出个人的推断。创造性理解是指摆脱有关材料的束缚，对知识内容提出创造性的理解，它建立在创造性思维能力的基础之上。创造性理解是理解层次的最高级别。
3 概念的界定
3.1 关于数学理解的个体认识
基于理解和数学理解的研究概括，结合笔者的教学实践，笔者比较赞同周建华对理解的划分。数学理解包括直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次。[25]直接性理解就是对数学语言、符号的表面理解，即能识别语言描述中的错误或不妥之处，能直接找出肯定的实例或否定的反例。解释性理解就是对数学知识内在联系的理解，即能理解概念的上位、下位、同位关系，深刻理解概念的内涵与外延，能把握公式的来龙去脉，揭示公式的联系等。推断性理解就是在充分理解数学概念、公式、定理等知识的基础上，对有关数学对象作出个人的推断。创造性理解是指摆脱有关材料的束缚，对知识内容提出创造性的理解，它建立在创造性思维能力的基础之上。创造性理解是理解层次的最高级别。笔者结合工作实践进一步将其划分为4个一级维度10个二级维度。即
W1直接性理解就是对数学语言、符号的表面理解，即能识别语言描述中的错误或不妥之处，能直接找出肯定的实例或否定的反例；
W11：能对数学的概念、定义进行复述；
W12：基于数学概念、定义的描述进行简单判断。
W2 解释性理解就是对数学知识内在联系的理解，即能理解概念的上位、下位、同位关系，深刻理解概念的内涵与外延，能把握公式的来龙去脉，揭示公式的联系等；
W21：能深刻理解概念的内涵与外延；
W22：能对数学概念的上位进行判断；
W23：能对数学概念的下位进行熟练判断判断。
W3 推断性理解就是在充分理解数学概念、公式、定理等知识的基础上，对有关数学对象作出个人的推断；
W31：能把文字语言所描述的问题抽象为数学问题并用相关数学符号表示出来进行计算；
W32：根据给出的数学形式探求其中规律。
W4 创造性理解是指摆脱有关材料的束缚，对知识内容提出创造性的理解，它建立在创造性思维能力的基础之上；
W41：能反映出实际问题能用何种数学模型求解；
W42：能反映出实际问题可以用哪些数学模型求解；
W43：找出的解决问题的方式的独特性。
图1 数学理解4维度图
3.2 学优生与普通生
对于学优生，不同学者有不同看法。美国全美数学教师协会(NCM)对数学优秀生界定为：对数学有兴趣，能主动地进行数学学习，且数学学习速度相对较快的学生。Maker(1982)指出数学学优生是指那些数学学习进度快、深度掌握数学概念、对所学的数学课程有着浓厚的兴趣的学生。[26]Johnson提出数学学优生具有浓厚的数学学习兴趣、数学学习速度快、对所学的数学知识深刻理解、能用独特的方法解决数学问题、具有寻求最佳方法解决数学问题的能力、不需要督促，能主动、独立地思考数学问题[27]。王光明、王悦提出将数学学优生界定为数学学习兴趣浓厚、数学认知成绩好并维持在稳定状态，而且数学学习效率高（从过程看，能够向时间要数学学习效益；从结果看，能从数学认知学习要教育效益）的学生[28]。综合以上看法，笔者认为，学优生是指数学成绩好,并维持稳定,数学学习效率高的学生。而数学普通生是指与数学成绩一般，数学学习效率不高的学生。
4 高一学生学优生与普通生“函数”学习中的数学理解的问卷调查与现场研究
4.1问卷调查研究 4.1.1研究对象 （1）研究对象概述
本研究的被试是城市重点中学普通班高中一年级的学生。本次调查发放问卷113份，收回113份，有效问卷110份，有效回收率97.3%。
（2）样本基本情况 班级
男生
女生
总数
有效问卷
高一236班 24 23 57 55 高一238班 23 23 56 55 4.1.2调查内容及调查问卷设计
“高一年级的学优生与普通生‘函数’学习中数学理解的个案研究”以问卷调查为主要方式，个别访谈作为补充。本次调查的主要内容包括：基本资料项目的性别、民族等；问题项目包括：能对函数的概念进行复述、基于函数概念的描述进行简单判断与应用、对函数的变式能进行判断、能用高观点进一步理解函数的概念、对函数初中所学意义能进行深化理解、能用函数关系式表示实际问题并加以解决、探求出函数解析式的特点、能从实际情形中分析出用函数模型解决问题等数学理解的4个一级维度在函数知识中的具体体现。
我们运用SPSS 统计软件，计算得数学理解测试卷的信度（α系数）为0.655；用Excel 电子表格统计分析，计算数学理解测验结果与平时成绩的积差相关系数为0.75，即问卷的效标关联度为0.75。
4.1.3统计结果与分析
对高分组的界定是我们按总分从高到底排序，
抽取样本的前27%作为高分组，即学优生。而按总分从高到底排序，抽取样本的后27%作为低分组，处在中间部分的样本作为中分组，即普通生。
（1）学优生与普通生数学理解的差异性分析
表2给出的t检验的结果。它包括以下几方面的内容：（1）方差齐性检验（Levene检验）结果。F值为5.355，显著性概率为p=0.023＜0.05，因此结论是两组方差差异显著，即可认为两组方差是不相等的。在下面的检验结果中应选择Equal variance not assumed（假设方差不相等）一行的数据作为该测试的检验结果。（2）均值相等的（t-test for Equality of Means）t检验结果。本测试的t值为12.065；自由度为48.803；双尾（2-Tail Sig. ）t检验的显著概率为
表3给出的t检验的结果。它包括以下内容：方差齐性检验（Levene检验）结果。F值为1.118，显著性概率为p=0.294＞0.05，因此结论是两组方差差异不显著，即可认为两组方差是相等的。在下面的检验结果中应选择Equal variance assumed（假设方差相等）一行的数据作为该测试的检验结果。本表的t值为3.284；自由度为74；双尾（2-Tail Sig. ）t检验的显著概率为p= Sig.=0.002＜0.005，可以得出学优生与普通生在考察有关直接性理解（W1）题目的得分上有显著差异。
表4给出的t检验的结果。它包括以下内容：方差齐性检验（Levene检验）结果。F值为1.297，显著性概率为p=0.259＞0.05，因此结论是两组方差差异不显著，即可认为两组方差是相等的。在下面的检验结果中应选择Equal variance assumed（假设方差相等）一行的数据作为该测试的检验结果。本表的t值为5.620；自由度为74；双尾（2-Tail Sig. ）t检验的显著概率为p= Sig.=0.000＜0.005，可以得出学优生与普通生在考察有关解释性理解（W2）题目的得分上有显著差异。
表5给出的t检验的结果。它包括以下几方面的内容：（1）方差齐性检验（Levene检验）结果。F值为15.19，显著性概率为p=0.000＜0.05，因此结论是两组方差差异显著，即可认为两组方差是不相等的。在下面的检验结果中应选择Equal variance not assumed（假设方差不相等）一行的数据作为该测试的检验结果。（2）均值相等的（t-test for Equality of Means）t检验结果。本测试的t值为7.241；自由度为71.012；双尾（2-Tail Sig. ）t检验的显著概率为p= Sig.=0.000＜0.005，可以得出学优生与普通生在考察有关推断性理解（W3）题目的得分上有显著差异。