均布载荷的平面曲杆怎么求得弯曲内力
弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。
梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。
弯曲bending
平面弯曲plane bending
7.1.2梁的计算简图
载荷：
（1）集中力concentrated loads
（2）集中力偶force-couple
（3）分布载荷distributed loads
7.1.3梁的类型
(1)简支梁simple supported beam 上图
(2)外伸梁overhanging beam
(3)悬臂梁cantilever beam
7.2 梁弯曲时的内力
7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment
问题：
任截面处有何内力？
该内力正负如何规定？
例7－1 图示的悬臂梁AB ，长为l ，受均布载荷q 的作用，求梁各横截面上的内力。
求内力的方法——截面法
截面法的核心——截开、代替、平衡
内力与外力平衡
解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m 截面将梁切开。
梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。
剪力——作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。
弯矩——位于纵向对称面内。
剪切弯曲——横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。
纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。
工程上一般梁（跨度L 与横截面高度h 之比L/h ＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。
规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。
7.2.2弯矩图bending moment diagrams
弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。
例7－2 试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。
解（1）建立弯矩方程由例7－1知弯矩方程为
（2）画弯矩图
弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。
例7－3 图示的简支梁AB ，在C点处受到集中力F 作用，尺寸a 、b 和l 均为已知，试作出梁的弯矩图。
解（1）求约束反力
（2）建立弯矩方程上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。
例7－4 图示的简支梁AB ，在C点处受到集中力偶M 0 作用，尺寸 a 、b 和l 均为已知，试作出梁的弯矩图。
解（1）求约束反力
（2）建立弯矩方程由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。
（3）画弯矩图
两个弯矩方程均为直线方程
总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：
（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。
（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。
（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集
中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。
7.3 梁纯弯曲时的强度条件
7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts
纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。
Q = 0，M = 常数。
7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams 1．梁纯弯曲时的变形特点Geometry of Deformation:
平面假设：
1）变形前为平面变形后仍为平面
2）始终垂直与轴线
中性层Neutral Surface ：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。
中性轴Neutral Axis ：中性层与横截面的交线。
变形时横截面是绕中性轴旋转的。
2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。
由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。
以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力
和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。
3．梁纯弯曲时正应力计算公式
在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为
式中，M 为作用在该截面上的弯矩（Nmm ）；y 为计算点到中性轴的距离（mm ）；Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩（mm 4 ）。
在中性轴上y = 0 ，所以s = 0 ；当y = y max 时，s = s max 。最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，
Wz横截面对中性轴z 的抗弯截面模量( mm 3 )
计算时，M 和y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是
压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度L 与横截面高度h 之比L/h ＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。
7.3.3惯性矩和抗弯截面模量
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式
7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件
对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险点。
梁的弯曲强度条件是：梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。
运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。
7.4 提高梁强度的主要措施
提高梁强度的主要措施是：
1）降低弯矩M 的数值2)增大抗弯截面模量W z 的数值
7.4.1降低最大弯矩M max 数值的措施
1．合理安排梁的支承
2．合理布置载荷
7.4.2合理选择梁的截面
1．形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则Wz 值可能不相同
2．面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量Wz 值不相同
3．截面形状应与材料特性相适应
7.4.3采用等强度梁
对于等截面梁，除M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。
为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。
等强度梁——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。
在表1的公式(1)～(7)中
p0——线荷载的最大值(kN/m),p0＝
a0——自桩边算起的三角形荷载的底边长度; LC——计算跨度,LC＝1．05L;
L——两相邻桩之间的净距;
q——承台梁底面以上的均布荷载。
表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式
内力计算简图编号内力计算公式
支座
弯矩（a）、（b）、（c）
（1）
（d）M＝－（2）
跨中
弯矩（a）、（c）M＝（3）
（b）
（4）
（d）
M＝（5）
最大
剪力（a）、（b）、（c）
Q＝（6）
（d）
Q＝（7）
图1 计算简图
a0按下式计算:
中间跨（8）
边跨（9）其中EC——承台梁砼弹性模量;
EK——墙体的弹性模量;
I——承台梁横截面的惯性矩;
bK——墙体宽度。
当承台梁为矩形截面时,I＝bh3
则: 中间跨a0＝1．37h （10）
边跨 a0＝1．05h （11）
其中b、h——分别为承台梁的宽度和高度。
表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。
(1)跨中弯矩从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0≥LC时,取a0＝LC代入式(4)即可得式(5)。当a0＜时,跨中弯矩采用式(3),a0≥时,采用式(4)。
令β＝,并将P0＝＝代入式(3)和式(4)
得: M＝β2qL2C （13）
（14）
将上两式统一表示为:
M＝A0qL2C （15）
式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)～(d)所示的四种受力
简图。
(2)支座弯矩图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。
将β＝和P0＝＝代入式(1)
得 M＝β（2－β）（16）
或 M＝B0qL2C （17）
(3)弯矩系数A0、B0
跨中弯矩M＝A0qL2C （15）
支座弯矩M＝B0qL2C （17）
其中A0、B0——弯矩系数,分别为:
β＝≤0．5，A0＝β2
β＞0.5时,A0＝β
B0＝－β（2－β）
A0、B0皆为β的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。
表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数
β 内力系数β 内力系数
A0 B0 A0 B0
0．10 0．00083 －0．01583 0．56 0．02590 －0．06720 0．12 0．00120 －0．01880 0．58 0．02753 －0．06863
0．14 0．00163 －0．02170 0．60 0．02907 －0．07000 0．16 0．00213 －0．02453 0．62 0．03053 －0．07130 0．18 0．00270 －0．02730 0．64 0．03190 －0．07253 0．20 0．003331 －0．03000 0．66 0．03317 －0．07370 0．22 0．00403 －0．03263 0．68 0．03433 －0．07480 0．24 0．00480 －0．03520 0．70 0．03539 －0．07583 0．26 0．00563 －0．03770 0．72 0．03635 －0．07680 0．28 0．00653 －0．04013 0．74 0．03722 －0．07770 0．30 0．00750 －0．04250 0．76 0．03799 －0．07853 0．32 0．00853 －0．04480 0．78 0．03867 －0．07930 0．34 0．00963 －0．04703 0．80 0．03927 －0．08000 0．36 0．01080 －0．04920 0．82 0．03979 －0．08063 0．38 0．01203 －0．05130 0．84 0．04023 －0．08120 0．40 0．01333 －0．05333 0．86 0．04061 －0．08170 0．42 0．01470 －0．05530 0．88 0．04091 －0．08213 0．44 0．01613 －0．05720 0．90 0．04116 －0．08250 0．46 0．01763 －0．05903 0．92 0．04136 －0．08280 0．48 0．01920 －0．06080 0．94 0．04150 －0．08303 0．50 0．02083 －0．06250 0．96 0．04159 －0．08320 0．52 0．02252 －0．06413 0．98 0．04165 －0．08330 0．54 0．02423 －0．06570 1．00 0．04167 －0．08333
式(15)和式(17)代替规范的5个公式,公式形式统一,且不需计算P0,直接采用均布荷载,结合内力系数表,设计计算十分简便。剪力计算公式较简单,仍采用原公式。
3 算例(文献〔3〕)
五层混合结构房屋,砖墙承重,内墙厚240mm,外墙厚370mm。基础采用直径320mm,长6m的钻孔灌注桩。钢筋砼承台梁,梁高300mm,梁宽:外墙400mm;内墙350mm。承台梁底面以上荷载为:横墙q＝142．9kN／m;外纵墙q＝85．0kN／m。试计算外纵墙和内横墙墙下承台梁的内力(图2)。
图2 单元桩基平面图
解:
1.外纵墙下承台梁
承台梁采用C20砼,I级钢筋,墙体采用MU7.5砖、M5混合砂浆。 EC＝2．55×104N／mm2
EK＝1500f
＝1500×1．37
＝2055N／mm2
(f——墙体抗压强度设计值)
LC＝1．05L＝1．05（1．65－0．32）＝1．40m＜1．65m
承台梁尺寸400mm×300mm
(1)中间跨
a0＝1．37h
＝1．37×300＝977mm
β＝＝＝0．698
查表2,得:A0＝0．03536
B0＝－0．07581
则:跨中弯矩
M＝A0qL2C＝0．03536×85×14002
＝5．89×106N．mm
支座弯矩
M＝B0qL2C＝－0．07581×85×14002 ＝－12．63×106N．mm
(2)边跨
a0＝1．05h
＝1．05×300＝747mm
β＝＝＝0．534
查表2,得:A0＝0．02372
第四章 弯曲内力 一、选择题 1、具有中间铰的静定梁如图所示，在列全梁的剪力和弯矩方程时，分段正确的是（ ） A ）二段：AC 、CE ； B ）三段：A C 、C D 、D E ； C ）四段：AB 、BC 、C D 、D E 。 2、简支梁部分区段受均布载荷作用，如图所示，以下结论错误的是（ ） A ）AC 段，剪力表达式qa x Q 41)(= B ）A C 段，弯矩表达式qax x M 4 1)(=； C ）CB 段，剪力表达式)(4 1)(a x q qa x Q --=； D ）CB 段，弯矩表达式)(2 141)(a x q qax x M --=。 3、简支梁受集中力偶作用，如图所示，以下结论错误的是（ ） A ）AC 段，剪力表达式l m x Q =)(； B ）AC 段，弯矩表达式x l m x M =)(； C ）CB 段，剪力表达式l m x Q =)(； D ）CB 段，弯矩表达式m x l m x M +=)(。 4、外伸梁受均布载荷作用，如图所示，以下结论错误的是（ ） A ）A B 段，剪力表达式qx x Q -=)(； B ）AB 段，弯矩表达式22 1)(qx x M -=； C ）BC 段，剪力表达式l qa x Q 2)(2 =； D ）BC 段，弯矩表达式)(2)(2 x l l qa x M --=。
5、悬臂梁受载荷的情况如图所示，以下结论错的是（ ） A ）qa Q 3max =； B ）在a x a 43<<处，0=Q ； C ）2max 6qa M =； D ）在a x 2=处，0=M 。 6、弱梁的载荷和支承情况对称于C 截面，图示，则下列结论中错误的是（ ） A ）剪力图、弯矩图均对称，0=c Q ； B ）剪力图对称，弯矩图反对称，0=c M ； C ）剪力图反对称，弯矩图对称，0=c M ； D ）剪力图反对称，弯矩图对称，0=c Q 。 7、右端固定的悬臂梁，长4m ，其弯矩如图所示，则梁的受载情况是（ ） A ）在m x 1=，有一个顺钟向的力偶作用； B ）在m x 1=，有一个逆钟向的力偶作用； C ）在m x 1=，有一个向下的集中力作用； D ）在m x 41<<处，有向下的均布力作用。 8、长4m 的简支梁，其剪力图如图所示，以下结论错误的是（ ） A ）在m x 40<<处，有向下的均布力q 作用； B ）梁上必有集中力偶作用； C ）梁左端有3kN 的向上支反力，右端有 1kN 的向上支反力； D ）集中力偶作用点在右支座上。 9、长4m 的简支梁，其弯矩图如图所示，则梁的受载情况是（ ） A ）在m x 31<<处，有向上的均布力
第四章 梁的内力 第一节 工程实际中的受弯杆 受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图 4 — i 中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（ a 表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结 构，其中支撑楼板的大梁 AB 受到由楼板传递来的均布荷载 口；图（b ）表示的是一种简易挡 水结构，其支持面板的斜梁 AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力； 图（c ）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（ d ）表示的是机械中 的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩 m 的作用。 1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出： 当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面 内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线， 这种变形形式称为弯曲.。在工程实际中受 弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念 工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对.. 称面（如图4 — 2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴 线变形后的曲线也在此纵向对称面内， 这种弯曲称为平面弯曲.。它是工程中最常见也最基本 的弯曲问题。 1.3 梁的简化一一计算简图的选取 工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样， 较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进 行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。 选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2） 尽可能使力学计算简便。 a 房屋建筑中的大梁 c 小跨度公路桥地纵梁 图4-1 b 简易挡水结构中的斜梁
第四章梁的弯曲 一、判断题 1. 作用在刚体上的力偶可以任意平移，而作用在变形固体上的力偶一般不能平移。（√） 2. 在等截面梁中，正应力绝对值的最大值必然出现在弯矩值最大的截面上。（√） 3. 梁的合理截面应该使面积的分布尽可能离中性轴远。（√） 4. 弯曲应力有正应力和剪应力之分。一般正应力由弯矩引起，剪应力由剪力引起。（√） 5. 弯曲变形的实质是剪切。（×） 6. 梁弯曲时，中性层上的正应力为零。（√） 二、选择题 1．梁的合理截面形状依次是（D、A、C、B ）。 A．矩形；B．圆形；C．圆环形；D．工字形。 2. 梁在集中力作用的截面处，其内力图（ B ） A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续 B 剪力图有突变，弯矩图有转折 C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续 D 弯矩图有突变，剪力图有转折 3. 梁在集中力偶作用的截面处，其内力图（ C ） A 剪力图有突变，弯矩图光滑连续 B 剪力图有突变，弯矩图有转折 C 弯矩图有突变，剪力图光滑连续 D 弯矩图有突变，剪力图有转折 4．在梁的弯曲过程中，梁的中性层（ B ） A 不变形 B 长度不变 C 长度伸长 D 长度缩短 5．当横向外力作用在梁的纵向对称平面时，梁将发生（ C ） A 拉压变形 B.扭转变形 C 平面弯曲 D 剪切变形 6. 梁弯曲变形时，横截面上存在（ D ）两种内力。 A. 轴力和扭矩； B. 剪力和扭矩； C. 轴力和弯矩； D. 剪力和弯矩。 7. 一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁，称为（ A ）。 A. 双支梁； B.外伸梁； C. 悬臂梁。 8. 一端为固定端，另一端为自由的梁，称为（ C ）。 A. 双支梁； B. 外伸梁； C. 悬臂梁。 三、填空题 1. 在没有分布载荷作用（q＝0）的一段梁内，剪力图为水平直线；弯矩图为斜直线。2．在有均布载荷作用（q＝常数）的一段梁内，剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线，在剪力为0处，弯矩取极值。 3．在集中力作用处，剪力图发生突变；弯矩图发生转折。 4．在集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图发生突变。 5．梁在弯曲变形时，梁内有一层纵向纤维长度保持不变，叫做中性层，它与横截面的交线称为中性轴。 6．一般情况下，直梁平面弯曲时，对于整个梁来说中性层上的正应力为零。 7．提高梁强度和刚度的主要措施有：合理安排梁的支承、合理地布置载荷、选择梁的合理截面。
第七章直梁弯曲时的内力和应力 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______. 13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________ 14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度. 15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。 16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向_________凸的抛物线。
1、试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。 解：题(a) A 截面－Q P 0,b F F M a b ==+ C 截面－Q P P ,b ab F F M F a b a b = =++ D 截面－Q P P ,a ab F F M F a b a b =- =++ B 截面－Q P 0,a F F M a b =- =+ 题(b) A 截面－0 Q 0,M F M a b = =+ C 截面－0Q 0,M a F M M a b a b = =++ D 截面－0Q 0,M b F M M a b a b =- =++ B 截面－0 Q 0,M F M a b =- =+ 题(c) A 截面－Q 503,F qa M == C 截面－2 Q 5736,F qa M qa == B 截面－Q 1 03,F qa M =-= 题(d) A 截面－2 Q 1328,F ql M qa ==- C 截面－2 Q 1128,F ql M qa ==- D 截面－2 Q 1128 ,F ql M qa ==- B 截面－Q 00,F M ==
题(e) A 截面－Q P P 2,F F M F l =-= C 截面－Q P 20,F F M =-= B 截面－Q P 0,F F M == 题(f) A 截面－P Q 02 ,F l F M == C 截面－P Q 02,F l F M == D 截面－P Q P 2 ,F l F F M =-= B 截面－Q P 0,F F M =-=
2 试建立图示各梁的剪力方程和弯矩方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图 解： q a a qa F F 2 a a Fa F F F
第九章梁的弯曲 第一节平面弯曲 一、平面弯曲的概念 当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时（图9-1），杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。 图9-1 受弯杆件的受力形式 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形（9-2a、b），阳台挑梁（9-2 c、d）等，都是以弯曲变形为主的构件。 工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图9-3所示，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面（图9-4）。如果作用在梁上的外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。 这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。 图9-2 工程中常见的受弯构件 图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征 二、单跨静定梁的几种形式
工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式： 1．悬臂梁： 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图9-5a ）。 2．简支梁： 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图9-5b ）。 3．外伸梁： 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图9-5c ）。 (a ) (b ) (c ) 图9-5 三种静定梁 第二节 梁的弯曲内力——剪力和弯矩 为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。下面将着重讨论梁的内力的计算方法。 一、截面法求内力 1、剪力和弯矩 图9-6 用截面法求梁的内力 图9-6a 所示为一简支梁，荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图9-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足Σ Y ＝０，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在，这个内力Q ，称为剪力；同时，因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A ? a 的作用，为满足Σ M o ＝０，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A ? a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力素，即剪力和弯矩。 剪力的常用单位为Ｎ或kN ，弯矩的常用单位为N ?m 或 kN ? m 。 剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得,即 0=∑Y ， 0A =-Q R ， 得 A R Q = 0o =∑M ， 0A =-?M a R ， 得 a R M ?=A 如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面m-m 上的Q 和M ，根据作用与反
第九章 梁的平面弯曲 与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。 工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。 由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。 在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。 工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此 (a ) 简支梁 (b) 外伸梁 (c) 悬臂梁 图9.1 梁的分类
纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。 这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。 平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。 §9.1 用截面法作梁的内力图 如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。 例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。 图9.2 平面弯曲梁 矩形截面 梯形截面 圆形截面 工字形截面 槽形截面 梁轴线 (a )
第九章 梁的平面弯曲 9-1 试画出图中各梁的剪力图与弯矩图，并确定梁中的max Q F 和max M 。 (a) 解：(1) 求支座反力，根据平衡方程得， A B A B B A 002(2)0 2 51 44 y F F F q a a M F a q a a F q a F q a =?+=?=??-??+==?=-?∑∑求得: ， (2) 截面法求内力， 0≤x <2a ：F N =0， S A 14 F F qa ==- A 1 4 M F x qax ==- 2a ≤x ≤3a ：F N =0， S A B (2) 15 (2)344F F F q x a qa qa q x a qx qa =+--=-+--=-+ 2 A B 2 22 1 (2)(2)2 151(2)(2)442 19322 M F x F x a q x a qax qa x a q x a qx qax qa =+---=-+---=-+- (3) 画梁的剪力图与弯矩图， 根据剪力方程和弯矩方程画梁的剪力图与弯矩图如图所示。 F 14 2 F 2A B C SA SB SC SB A B C 10 2 1 1 4 4 M M qa M F qa F qa F F qa == ==-=-==左右根据剪力方程和弯矩方程计算、、各点的剪力和弯矩,F F N 2 S max max 12, 2 x a F qa M qa === 显然，在处有，