运筹学教案
求解过程详见PPT。
练习：利用标号法求V
1到V
8
的最短路径
//标号法求网络最大流量 #include 网络最大流问题 一产生背景 流量问题在实际中是一种常见的问题，在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题,控制系统中的信息流问题，常见的人流，物流，水流，气流，电流，现金流等。在一定条件下,求解给定系统的最大流量,就是网络最大流问题.网络系统最大流问题是图与网络理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。 二基本概念与定理 设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，j）的流量。容量是弧（i，j）单位时间内的最大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内的实际通过量，流量的集合f={fij}称为网络的流。发点到收点的总流量记为v=v(f)。 设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量cij =（vi，vj），记C={cij︱（vi，vj）∈A},此外D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的弧只能以vs为起点，与vt相关联的弧只能以vt为终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。 引例1：图1给出了一张网络，其中：vs为源，vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量fij，则显然有0≤fij ≤ cij 。 v2 （3,3) v4 （3,3）（5,5） vt (2,2) (2,2) (2,2) vt (6,4) (6,2) v1 (6,6) v3 图1 最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。图1最大流问题的线性规划数学模型为 12 max 0(,)0s s ij ij j i ij ij v f f f f i s t f c =+?-=≠???≤≤?∑∑所有弧(i,j) 由线性规划理论知，满足式上式的约束条件的解{fij}称为可行解，在最大流 问题中称为可行流。 可行流满足下列三个条件： (1)0(2)(3)i j i j m j i m j i sj it vs vt f c f f v f f ≤≤===∑∑∑∑ 条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。 另外对有多个发点和多个收点的网络,可以另外虚设一个总发点和一个总收 点,并将其分别与各发点、收点连起来（图*），就可以转换为只含一个发点和一 个收点的网络。 S T S* T* 图* 所以一般只研究具有一个发点和一个收点的网络 在图D 中，从发点到收点的一条路线称为链，从发点到收点的方向规定为 链的方向。与链的方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+ ，与链的方向 相反的弧称为后向弧，后向弧集合记为u-。 设f 是一个可行流，如果存在一条从发点vs 到收点vt 到的链u 满足： （1）所有前向弧上fij ＜cij 例题最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（q,f j）。. 解： ⑴首先，给V s标上（0,） ⑵检查v s,给v s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号（V s,l（V2））,其中其它点不符合标号条件。 （3）检查V2，给V2为终点的非零流弧的未标号的起点V3标号（V2,l（V3））,其中其它点不符合标号条件。 ⑷检查V3，给V3为起点的未饱和弧的未标号的终点V4、V标号（V4,l（V4））、 （V6,l（V6））其中，1他）min[?3）234 彳34】min[ 4,5 4] 1 其它点不符合标号条件。 ⑸检查V6，给V6为起点的未饱和弧的未标号的终点V t标号（V t,l（V t））其中， 其它点不符合标号条件。 由于V t已标号，反向搜索可得增广链｛（V s,V2）,（V3,V2）,（V3,V6）, （V6,V t）｝，在该增 广链的前相弧（V s,V2）,（V3, V6）,（V6, V t）上增加l（V t） 4，在后向弧（V3,V2）上减去l（V t）4，其它弧上的流量不变，则可得一流量v（f） 20的新的可行流如下图。 V3 (5,5) V6 重新开始标号： ⑹首先，给V s标上（0,） ⑺检查V s,给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号（V s,l（V2））,其中其它点不符合标号条件。 (8)检查V2，没有以V2为起点的未饱和弧的未标号终点和以V2为终点的非零流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流，最大流的流量为v(f)=20。 事实上，可令V {V s，V2},V i {V3，V4,V5，V6，V t}，则最小截集(V i,V i)的截量 C(V i,V i) C s3 C25 C24 9 5 6 20 V( f)。 数据结构与算法课程实验报告实验四：图的相关算法应用 姓名：王连平 班级：09信科2班 学号：I09630221 实验四图的相关算法应用 一、实验内容 求有向网络中任意两点之间的最短路。 二、实验目的 掌握图和网络的定义，掌握图的邻接矩阵、邻接表和十字链表等存储表示。掌握图的深度和广度遍历算法，掌握求网络的最短路的标号法和floyd算法。 三、问题描述 对于下面一张若干个城市以及城市间距离的地图，从地图中所有可能的路径中求出任意两个城市间的最短距离及路径，给出任意两个城市间的最短距离值及途径的各个城市。 四、问题的实现 4.1数据结构的抽象数据类型定义和说明 1） typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info;//此项用来保存弧信息，，在本实验中没有相关信息要保存 }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量 AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; 顶点信息和弧信息都是用来建立一个有向网G 2） d[v][w];//G中各对顶点的带权长度 若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点 4.2主要的实现思路 首先通过一个函数（CreateDN）建立图的邻接矩阵储存方式,一次输入某条弧的起点，终点，和权值。通过调用Locate函数来找到该弧在邻接矩阵中的相应位置。 其次运用弗洛伊德算法来求各定点的最短路劲，具体思路为：如果从v到w有弧，则存在一条长度为arcs[v][w]的路径，该路径不一定是最短路径。考虑路径（v,u,w）是否存在，若存在，比较（v,w）和（v,u,w）的长度，取较短者为从v到w的中间点序号不大于0的最短路径。以此类推，每次增加一个点，从而求出任意两点间的最短路径。这样，经过n次比较后，所求得的必为从v到w的最短路径。按此方法，可以同时求得任意两点间的最短路径。 五、主要源程序代码（包含程序备注） #include 例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 . v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解： (1) 首先,给v s 标上(0,) (2) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。 (3) 检查，给为终点的非零流弧的未标号的起点标号(,),其中 其它点不符合标号条件。 (4) 检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)、(, )其中， 其它点不符合标号条件。 (5) 检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)其中， 其它点不符合标号条件。 由于已标号，反向搜索可得增广链，在该增广链的前相弧上增加，在后向弧上减去，其它弧上的流量不变，则可得一流量的新的可行流如下图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11） v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6 重新开始标号： (6) 首先,给v s 标上(0,) (7) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 ∞+)(2v l 2v 2v 3v 2v -)(3v l 3v 3v 64v v 、4v )(4v l 6v )(6v l 1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 6v 6v t v t v )(t v l t v )},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ),(),,(),,(6632t s v v v v v v 4)(=t v l ),(23v v 4)(=t v l 20)(=f v ∞+)(2v l 最短路径问题的研究 学生姓名：苏振国指导老师：王向东 摘要最短路径问题是研究线状分布的地理事物中最常用的方法。其中迪克斯查1959年提出的标号法在最短路径问题的研究中应用最为广泛，尤其在交通选址方面。根据迪克斯查标号法的基本思想及应用现状，本文以其在城市消防站选址问题上的应用为例，详细介绍了迪克斯查标号法的应用、原理及其步骤。展现了最短路径法的突出优点：不仅求出了起点和终点的最短路径及其长度，而且求出了起点到图中其他各点的最短路径及其长度。 关键词最短路径步骤原理应用分类 1引言 在实际中常提出这样的问题，比如说，在交通网中，问A，B两地是否有道路可通?如果有通路且不止一条的话，那么最短的是哪条?所谓最短，可理解为里程数最少，也可理解为旅差费最省，还可理解为道路的建造成本最低等等。总之，这类问题都可归结为在一个有向图中求最短路径的问题。本论文研究的主要目的就是为了详细介绍关于最短路径问题的标号法，及其在实际生活中如何应用。下面我将展开论述。 2最短路径的现状分析及其研究发展方向 2.1现状分析 最短路径问题一直是计算机科学、运筹学、地理信息科学等学科的一个研究热点。国内外大量专家学者对此问题进行了深入研究。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。它们在空间复杂度、时间复杂度、易实现性及应用范围等方面各具特色。针对串行计算机的最短路径算法,已经几乎到达理论上的时间复杂度极限。现在的研究热点,一是针对实际网络特征优化运行结构,在统一时间复杂度的基础上尽可能地提高算法的运行效率;二是对网络特征进行限制,如要求网络中的边具有整数权值等,以便采用基数堆等数据结构设计算法的运行结构;三是采用有损算法,如限制范围搜索、限定方向搜索及限制几何层次递归搜索;四是采用拓扑层次编码路径视图,对最短路径进行部分实例化编码存储;五是采用并行算法,为并行计算服务。 2.2研究发展方向 2.2.1最短路径算法的实时性 目前,静态的最短路径算法已经十分完善。但是,在实践中,网络特征可能时刻会发生变化,要求最短路径算法必须能够实时地自动更新。这类问题主要集中在交通网络的实时导航、通勤、调度和计算机互联网的数据传递路由等方面。在动态最短路径问题中,弧段权值、节点耗费等均为时间t的函数,既可以是连续的,也可以是离散的。在假定网络路径权值服从FIFO原则的一致性假设前提下,任何静态的LS和LC算法均可扩展为时间依赖的最短路径算法。 2.2.2最短路径算法的并行化 随着计算机处理数据量的逐渐增多,传统的串行计算机的负荷也逐渐加重。运行在服务 案例BMZ公司的最大流问题 背景 BMZ 公司是欧洲一家生产豪华汽车的制造商。它因为提供优质的服务而获得很好的声誉，保持这个声誉一个很重要的秘诀就是它有着充裕的汽车配件供应，从而能够随时供货给公司众多的经销商合授权维修店。 这些供应件主要存放在公司的配送中心里，这样一有需求就可以立即送货。卡尔（BMZ 公司的供应链的经理）优先考虑的是改进这些配送 中心的不足之处。 该公司在美国有几个配送中心。但是，离洛杉机中心最近的一个配送中心却坐落离洛杉机1000 多英里的西雅图。保证洛杉机中心良好的供应是尤为重要的。因此，现在那里的供应不断减少的现状成为了公司高层管理真正关心的问题。 大部分的汽车配件以及新车是在该公司坐落于德国的斯图加特的总 厂和新车一起生产的。也就是这家工厂向洛杉机中心供应汽车配件。每月有超过300000 立方英尺的配件需要运到。现在，下个月需要多得多的数量以补充正在减少的库存。 问题 卡尔需要尽快制定一个方案，使得下个月从总厂运送到洛杉机配送中心的供应件尽可能多。他认识到了这是个最大流的问题——一个使得从总厂运送到洛杉机配送中心的配件流最大的问题。因为总厂生产的配件量远远要大于能够运送到配送中心的量，所以，可以运送多少配件的限制条件就是公司配送网络的容量。 这个配送网络如下图1 。在图中，标有ST 和LA 的节点分别代表斯图加特的工厂和洛杉机的配送中心。由于工厂所在地有一个铁路运转点，所以首先通过铁路把配件运输到欧洲的三个港口：鹿特丹（RO ）波尔多（BO ）和里斯本(LI) ；然后通过船运到美国的港口纽约（NY ）或新奥尔良（NO ）；最后用卡车送到洛杉机的配送中心。 图1 网络模型 例题最大流的标号法集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 . v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解： (1)首先,给v s 标上(0,) (2)检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。 (3)检查，给为终点的非零流弧的未标号的起点标号(,),其中 其它点不符合标号条件。 (4)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)、(,)其中， 其它点不符合标号条件。 (5)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)其中， 其它点不符合标号条件。 由于已标号，反向搜索可得增广链，在该增广链的前相弧上增加，在后向弧上减去 ，其它弧上的流量不变，则可得一流量的新的可行流如下 图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11） v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6 ∞+)(2v l 2v 2v 3v 2v -)(3v l 3v 3v 64v v 、4v )(4v l 6v )(6v l 1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 6v 6v t v t v )(t v l t v )},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ),(),,(),,(6632t s v v v v v v 4)(=t v l ),(23v v 4)(=t v l 20)(=f v 分类号 密级 编号 2015届本科生毕业论文 题目基于AHP决策分析法和Dijkstra 算法的最短路径 学院资源与环境工程学院 姓名杜玉琪 专业地理科学 学号20111040205 指导教师王荣 提交日期2015年5月8日 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文（设计）作者签名： 指导老师签名： 签名日期: 2013 年 5 月18 日 目录 0 引言 (3) 1 研究区概况 (4) 2.数据来源与研究方法 (4) 2.1数据来源 (4) 2.2研究方法 (5) 2.2.1AHP决策分析方法 (5) 2.2.2Dijkstra算法 (6) 3实例分析 (7) 3.1 基于AHP对3A级景区决策分析 (7) 3.1.1层次结构模型的构造 (7) 3.1.2模型计算过程 (8) 3.1.3结果分析 (10) 3.2基于Dijkstar算法对3A级景点旅游路线的设计 (10) 3.2.1旅游路线模型构造 (10) 3.2.2模型计算与分析 (13) 4结语 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15) 基于AHP决策分析法和Dijkstar算法的最短路径分析 ——以天水市3A级旅游景点为例 杜玉琪 (天水师范学院资源与环境工程学院甘肃天水741000） 摘要：随着西部旅游业的发展，旅游最佳路线的选择变得越来越重要。本文运用AHP决策分析的方法进行综合评价分析天水市众多旅游景点中的麦积石窟、伏羲庙、玉泉观、南郭寺、大象山、武山水帘洞、清水温泉，这7个3A级景点各自的旅游价值。再通过Dijkstar算法，对上述旅游景点的最短旅游路线的选择进行研究，最终为不同要求的游客提供出最佳的旅游路线。 关键字：AHP决策分析；Dijkstar算法；最短路径分析；天水市 Based on the AHP decision analysis method and the analysis of Dijkstar algorithm of the shortest path ——in tianshui 3 a-class tourist attractions as an example Abstract：With the development of the western tourism, tourism optimal route choice is becoming more and more important.This article applies the method of AHP decision analysis on comprehensive evaluation analysis of the numerous tourist attractions tianshui wheat product, yuquan view, nanguo temple grottoes, fu xi temple, the elephant, wushan waterfall cave, water hot springs, the seven aaa scenic spot tourism value. Again through the Dijkstra algorithm, the choice of the tourist attractions of the shortest travel route, finally for different requirements of the best travel route for tourists. Key words: Analytic hierarchy process; Dijkstar; Shortest path; tianshui city 0 引言 随着西部旅游业如火如荼的发展，天水市自驾旅游开始被越来越多的人选择。自驾车旅游者追求以最少的花销走更远的路，看更优美的风景。因此设计出一条多景点间距离最短（或费用，时间最少）的旅游线路是自驾车游客的现实需求[1]。而对于旅游景点的评价及旅游线路的选择问题,是旅游学术界一直关注的课题。众多学者所采用的方法，大体可归纳为主观定性评价和客观定量评价。景点评价方法在我国开展的时间并不长，主要侧重定性描述，较缺乏定量 例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 . v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解： (1) 首先,给v s 标上(0,∞+) (2) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,)(2v l ),其中 其它点不符合标号条件。 (3) 检查2v ，给2v 为终点的非零流弧的未标号的起点3v 标号(2v -,)(3v l ),其中 其它点不符合标号条件。 (4) 检查3v ，给3v 为起点的未饱和弧的未标号的终点64v v 、标号(4v ,)(4v l )、(6v ,)(6v l )其中，1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 其它点不符合标号条件。 (5) 检查6v ，给6v 为起点的未饱和弧的未标号的终点t v 标号(t v ,)(t v l )其中， 其它点不符合标号条件。 由于t v 已标号，反向搜索可得增广链)},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ，在该增广链的前相弧),(),,(),,(6632t s v v v v v v 上增加4)(=t v l ，在后向弧),(23v v 上减去4)(=t v l ，其它弧上的流量不变，则可得一流量20)(=f v 的新的可行流如下图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11） v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6 重新开始标号： (6) 首先,给v s 标上(0,∞+) (7) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,)(2v l ),其中 其它点不符合标号条件。 数据通信与计算机网络大作业 Dijkstra 最 短 路 径 算 法 【摘要】 摘要:最短路径分析在地理信息系统、计算机网络路由等方面发挥了重要的作用, 对其进行优化很有必要。本文分析了传统 的最短路径算法(即Dijkstra 算法)的优化途径及现有的优化算法, 然后在Dijkstra 算法的基础上, 采用配对堆结构来实现路 径计算过程中优先级队列的一系列操作, 经理论分析与实验测试结果对比, 可以大大提高该算法的效率和性能。 【关键词】 最短路径; Dijkstra 算法; 【正文】 随着计算机网络技术和地理信息科学的发展, 最短路径问题无论是在交通运输, 还是在城市规划、物流管理、网络通讯等方面, 它都发挥了重要的作用。因此, 对它的研究不但具有重要的理论价值, 而且具有重要的应用价值。研究最短路径问题通常将它们抽象为图论意义下的网络问题, 问题的核心就变成了网络图中的最短路径问题。此时的最短路径不单指“纯距离”意义上的最短路径, 它可以是“经济距离”意义上的最短路径, “时间”意义上的最短路径, “网络”意义上的最短路径。关于最短路径问题, 目前所公认的最好的求解方法, 是由F.W.Dijkstra 提出的标号法, 即Dijkstra 算法。 1 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是求最短路径的最基本和使用最广泛的算法。在求从网络中的某一节点(源点)到其余各节点的最短路径时, 经典Dijkstra 算法将网络中的节点分成三部分: 未标记节点、临时标记节点和最短路径节点(永久标记节点)。算法开始时源点初始化为最短路径节点, 其余为未标记节点, 算法执行过程中, 每次从最短路径节点往相邻节点扩展, 非最短路径节点的相邻节点修改为临时标记节点, 判断权值是否更新后, 在所有临时标记节点中提取权值最小的节点, 修改为最短路径节点后作为下一次的扩展源, 再重复前面的步骤, 当所有节点都做过扩展源后算法结束。具体算法描述如下: 设在一非负权简单连通无向图G= 最大流问题（标号法） function [f,wf,No]=max_flux(n,C) % 利用Ford--Fulkerson 标号法求最大流算法的MATLAB 程序代码 % f %显示最大流 % wf %显示最大流量 % No %显示标号, 由此可得最小割 % n 节点个数 % C %弧容量 f=zeros(n,n); %取初始可行流f 为零流 No=zeros(1,n); d=zeros(1,n); %No,d 记录标号 while(1) No(1)=n+1; d(1)=Inf; %给发点vs 标号 while(1) pd=1; %标号过程 for i=1:n if No(i) %选择一个已标号的点vi for(j=1:n) if No(j)==0&&f(i,j) No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j); pd=0; if d(j)>d(i) d(j)=d(i); end elseif No(j)==0&&f(j,i)>0 %对于未给标号的点vj, 当vjvi 为非零流弧时 No(j)=-i; d(j)=f(j,i); pd=0; if d(j)>d(i) d(j)=d(i); end; end; end; end; end if No(n)||pd break; end; end %若收点vt 得到标号或者无法标号, 终止标号过程 if pd break; end %vt 未得到标号, f 已是最大流, 算法终止 dvt=d(n); t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量 while(1) if No(t)>0 f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; %前向弧调整 elseif No(t)<0 f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt; end %后向弧调整 if No(t)==1 for i=1:n No(i)=0; d(i)=0; end; break; end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程 t=No(t); end; end; %继续调整前一段弧上的流f wf=0; for j=1:n wf=wf+f(1,j); end 139 §19. 利用Matlab 编程计算最短路径及中 位点选址 1、最短路问题 两个指定顶点之间的最短路径。 例如，给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。 以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。 求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。 (ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用 )} ()(),({min uv w u l v l i S u +∈ 代替)(v l 。计算)}({min v l i S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令 140 } {11++=i i i u S S 。 (iii). 若1||-=V i ，停止；若1||- 求最大流标号法的描述 ⑴数据结构 Const maxn=<网络顶点数> Type node=record {可增广道路的顶点类型} l,p:integer；{第一标号，检查标号} end; arc=record {网络边类型} c,f:integer; {容量，流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arc；{网矩阵} ltype=array[0..maxn] of node; {可增广道路} var lt:ltype; {可增广道路} g:gtype; {网络} n,s,t:integer; {顶点数，源点，汇点} ⑵主要算法 ①初始化网络，可增广道路 procedure read-graph； var I,j:integer; begin readln(n); {顶点数} fillchar(g,sizeof(g),0); {初始化网络} fillchar(lt,sizeof(lt),0); {初始化可增广道路} for i:=1 to n do for j:=1 to n do read(g[I,j].c); end; ②寻找已标号而来检查的顶点序号 function check:integer; var i:integer; begin i:=1; while (i<=n)and not((lt[i].l<>0)and(lt[i].p=0)) do inc(i); if i>n then check:=0 {顶点不存在} else check:=i; end; ③标号过程，并返回是否找到可增广道路及改进量a function ford(var a:integer):boolean; {无增广道路返回true} var I,j,m,x:integer; begin ford:=true; fillchar(lt,sizeof(lt),0); {去掉原来的标号} lt[s].l:=s; {从Vs开始} repeat １ 湖北大学 本科毕业论文（设计） 题目最短路径算法及其应用 姓名学号 专业年级 指导教师职称 2011年 4月 20 日 目录 绪论 (1) 1 图的基本概念 (1) 1.1 图的相关定义 (1) 1.2 图的存储结构 (2) 1.2.1 邻接矩阵的表示 (2) 1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3) 2 最短路径问题 (3) 2.1 最短路径 (4) 2.2 最短路径算法 (4) 2.2.1Dijkstra算法 (4) 2.2.2Floyd算法 (5) 3 应用举例 (5) 3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5) 3.1.1 实际问题描述 (5) 3.1.2 数学模型建立 (5) 3.1.3 实际问题抽象化 (6) 3.1.4 算法应用 (6) 3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7) 3.2.1 问题描述与数学建模 (7) 3.2.2 实际问题抽象化 (7) 3.2.3 算法应用 (8) 参考文献 (10) 附录 (11) 最短路径算法及其应用 摘要 最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。 【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论 例题最大流的标号法 The latest revision on November 22, 2020 例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 . v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解： (1)首先,给v s 标上(0,) (2)检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。 (3)检查，给为终点的非零流弧的未标号的起点标号(,),其中 其它点不符合标号条件。 (4)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)、(,)其中， 其它点不符合标号条件。 (5)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)其中， 其它点不符合标号条件。 由于已标号，反向搜索可得增广链，在该增广链的前相弧上增加，在后向弧上减去 ，其它弧上的流量不变，则可得一流量的新的可行流如下 图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11） v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6 ∞+)(2v l 2v 2v 3v 2v -)(3v l 3v 3v 64v v 、4v )(4v l 6v )(6v l 1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 6v 6v t v t v )(t v l t v )},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ),(),,(),,(6632t s v v v v v v 4)(=t v l ),(23v v 4)(=t v l 20)(=f v 信息与管理科学学院信息与计算科学系 课程论文 课程名称：图与网络优化 论文名称：图论最短路径问题在消防选址中的应用 姓名：武冬冬 班级： 12级金数二班 指导教师：王亚伟 学号： 1210110057 实验室：信息管理实验室 日期： 2015.06.06 图论最短路径问题在消防选址中的应用 1210110057 武冬冬 【摘 要】 最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以直接应用于解决生产实际中的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等，而且还经常作为一个基本工具，用于解决其他优化问题。本文介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。 【关键词】 最短路径；Dijkstra 算法；消防选址 1 引言 图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。 2 图论基本概念 2.1 图的定义 有序三元组),,(?E V G =称为一个图，其中： (1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边； (3)?是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。 2.2 图的分类 在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与 V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫 做无向图，记为),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为 ),(E V D =；既有无向边又有有向边的图叫做混合图。 精品文档 例题最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量 (要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流)，其中，弧旁的数字是(c「f Q。. ⑴首先,给V s标上(0, ) (2)检查V s，给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号(V s, l(V2)),其中 l(V2)min [l(V s),C s2 f s2】min[ ,15 7] 8 其它点不符合标号条件。 ⑶检查V2，给V2为终点的非零流弧的未标号的起点V3标号(V2, |(V3)),其中 l(V3)min[g), f32】min[ 8,4] 4 其它点不符合标号条件。 (4)检查v3，给v3为起点的未饱和弧的未标号的终点v4、v6标号(V4, l (V4)) > ( v6, l(V6))其中，l(V4)min[?3)234 ￡34] min[4,5 4] 1 l(V6)min [l(V3),C36 f36] min [4,5 1] 4 其它点不符合标号条件。 ⑸检查v6，给v6为起点的未饱和弧的未标号的终点v t标号(v t, l (v t))其中， l(V t) mi n[l(V6), C6t f&] mi n[4,10 5] 4 其它点不符合标号条件。 由于V t已标号，反向搜索可得增广链{(V s,V2),(V3,V2),(V3,V6),(V6,Vj}，在该 增广链的前相弧(v s, v2), (v3, v6), (v6,v t)上增加l (v t) 4，在后向弧(v3, v2)上减去 精品文档 l(V t) 4，其它弧上的流量不变，则可得一流量v(f ) 20的新的可行流如下图 重新开始标号： ⑹首先,给V s标上(0, ) (7)检查V s，给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号(V s, l(V2)),其中 l(V2) min [l(V s),C s2 f s2】 min[ ,15 11] 4 其它点不符合标号条件。 (8)检查V，没有以V2为起点的未饱和弧的未标号终点和以V2为终点的非零流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流,最大流的流量为v(f)=20。 事实上，可令V i {V s, V2}, V i ，则最小截集(ViM)的截量 C(V i,V i) C s3 C25 C24 9 5 6 20 V( f)。最大流问题
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