题组层级快练(六十)
1．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交
C ．相离
D ．随a 的变化而变化
答案 B
解析 ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0，1)，又点(0，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．
2．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切
C ．相交
D ．以上都有可能 答案 B
解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|
sin 2θ＋cos 2θ
＝2.所以直线与圆相切．
3．(2013·山东理)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 答案 A
解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝1
2
，∴k AB ＝－2.
故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.
另解：易知PACB 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0，∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.
4．(2017·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( ) A.π6 B.π3 C.π2
D.2π3
答案 D
解析 画出图形，如图，
圆心(2，0)到直线的距离为d ＝
|2|
12＋（3）2
＝1，∴sin ∠AOC ＝d |OC|＝1
2，∴∠AOC ＝
π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π
3
. 5．(2016·山东，文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
答案 B
解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0的圆心M(0，a)，半径为a ， 所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离为
|a|
2
. 由直线x ＋y ＝0被圆M 截得的弦长为22，知a 2
－a 2
2＝2，
故a ＝2，即M(0，2)且圆M 的半径为2. 又圆N 的圆心N(1，1)，且半径为1， 根据1<|MN|＝2<3，知两圆相交．故选B.
6．(2017·河北正定中学月考)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( ) A ．0 答案 A 解析 圆的方程化为(x －1)2＋y 2＝2，直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的充要条件是圆心到直线的距离d ＝|1＋m|2<2，所以－3 同交点的一个充分不必要条件是{m|－3 7．(2017·湖北武汉调研)圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 B 解析 圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线的方程为x －y ＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2，0)，(0，2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为1 2×2× 2＝2.故选B. 8．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．2 2 D ．8 答案 A 解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为r ＝5－c.令x ＝0得y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝c ，∴|AB|＝|y 1－y 2|＝21－c.又|AB|＝2r ，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c ＝－3. 9．(2015·新课标全国Ⅱ，理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 答案 C 解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则???? ?D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0， D －7 E ＋ F ＋50＝0解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M(0，y 1)，N(0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝46，故选C. 10．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C 解析 把x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2. 11．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7 D ．3 答案 C 解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ， 则|PQ|即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1， |PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线 y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝ |3－0＋1| 12＋（－1）2＝22， ∴|PM|最小值为22，|PQ|＝|PM|2－1＝（22）2－1＝7，选C. 12．已知点P 的坐标(x ，y)满足???? ?x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1， 过点P 的直线l 与圆C ：x 2 ＋y 2 ＝14相交于A 、 B 两点，则|AB|的最小值是( ) A ．2 6 B ．4 C. 6 D ．2 答案 B 解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点，即图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时 |AB|min ＝214－10＝4，故选B. 13．(2015·重庆，文)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． 答案 x ＋2y －5＝0 解析 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－1 2，所以所求切线 方程为y －2＝－1 2 (x －1)，即x ＋2y －5＝0. 14．(2014·大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
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