2013年高考数学总复习 2-2 函数的单调性与最值 新人教B 版
1.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 0.5(1－x ) B ．y ＝x 0.5 C ．y ＝0.51－
x
D ．y ＝1
2
(1－x 2)
[答案] D
[解析] ∵u ＝1－x 在(0,1)上为减函数，且u >0，∴y ＝log 0.5(1－x )为增函数，y ＝0.51
－x
为增函数；又0.5>0，
∴幂函数y ＝x 0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y ＝1
2(1－x 2)开口向下，对称轴x ＝0，故
在(0,1)上为减函数．
(理)(2011·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1 A ．f (x )＝－x ＋1 B ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝ln(－x ) [答案] C [解析] f (x )＝－x ＋1为减函数，f (x )＝x 2－1在(－∞，1)上为减函数；f (x )＝2x 为增函数，f (x )＝ln(－x )为减函数，由条件知f (x )在(－∞，0)上为增函数，故排除A 、B 、D 选C. 2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则?U P ＝( ) A ．[1 2，＋∞) B ．(0，1 2 ) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1 2 ，＋∞) [答案] A [解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，1 2)， ∴?U P ＝[1 2 ，＋∞)． 3．(文)(2011·上海文，15)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x － 2 B ．y ＝x － 1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 13 [答案] A [解析] y ＝x －1是奇函数，y ＝x 2 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝x 13 是奇函数． (理)(2011·课标全国文，3)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2 －|x | [答案] B [解析] A 项中y ＝x 3是奇函数而不是偶函数，C 项中y ＝－x 2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，D 项中y ＝2 －|x | 是偶函数但在(0，＋∞)上单调递减． 4．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a ＝log 13 2，b ＝log 12 13 ，c ＝????120.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c [答案] B [解析] ∵log 13 2 ∵log 12 13>log 12 1 2＝1，∴b >1； ∵????120.3 <1，∴0 5．(文)(2011·北京模拟)设函数f (x )＝??? 2 3 x －1 x ≥01 x x <0 ，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围 是( ) A ．(－∞，－3) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) [答案] B [解析] f (a )>a 化为????? a ≥023a －1>a 或???? ? a <01a >a ， ∴a <－1. (理)(2011·衡水模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1) 3)的 x 的取值范围是( ) A ．(13，23 ) B ．[13，23 ) C ．(12，23) D ．[12，23 ) [答案] A [解析] 当2x －1≥0，即x ≥1 2 时， 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加， 则由f (2x －1) 3， 即x <23，故12≤x <2 3； 当2x －1<0，即x <1 2时， 由于函数f (x )是偶函数， 故f (2x －1)＝f (1－2x )，此时1－2x >0， 由f (2x －1) 3， 即x >13，故13 2 . 综上可知x 的取值范围是(13，23 )． [点评] (1)由于f (x )为偶函数，∴f (2x －1) 3)． (2)可借助图形分析 作出示意图可知： f (2x －1) 3， 即13 3 .故选A. 6．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] f (x )在[1,2]上是单调函数，由题意知，a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，∴a 2＋a －6＝0，∵a >0，∴a ＝2. 7．(文)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． [答案] [－1 4 ，0] [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； (2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1 a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－1 4 ≤a ≤0. (理)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是 ________． [答案] (0,1] [解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1， 又g (x )＝ a x ＋1 在[1,2]上减函数，所以a >0， 综上a 的取值范围为(0,1]． 8．(文)f (x )＝x ln x 的单调递减区间是________． [答案] ??? ?0，1e [解析] f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )<0得x <1 e ， ∴0 e ，∴f (x )在????0，1e 上单调递减． (理)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． [答案] a ≤－4 [解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2 ＋a x ＝2x 2 ＋2x ＋a x ≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立， ∵g (x )的对称轴x ＝－1 2，x ∈(0,1)， ∴g (1)≤0，即a ≤－4. 9．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． [答案] (－1 2 ，＋∞) [解析] ∵2x ＋1>0，∴x >－1 2. 所求单调增区间为(－1 2，＋∞)． 10．(文)已知f (x )＝ x x －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． [解析] (1)证明：设x 1 x 2＋2 ＝ 2 x 1－x 2x 1＋2 x 2＋2 . ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1) ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解：设1 x 2－a ＝ a x 2－x 1x 1－a x 2－a . ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0 [点评] 第(2)问中，由f (x )单调递减知x 1 －a )>0恒成立，由于a >0，x 1>1，x 2>1，故只有当0 (理)已知函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. [解析] (1)证明：任取x 1、x 2∈R 且x 1 ∴f (x )是R 上的增函数． (2)解：f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3. ∴f (3m 2－m －2)<3化为f (3m 2－m －2) 3. 11.(文)(2011·平顶山一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1 <0，则( ) A ．f (3) [答案] A [解析] 由题意f (x )在[0，＋∞)上为减函数， ∴f (3) 又f (x )为偶函数，∴f (－2)＝f (2)，故选A. (理)(2011·山东聊城一中期末)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( ) A ．f ????13 B ．f ????23 C ．f ????23 D ．f ????32 [解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，故当x <1时，f (x )为减函数，且f ????32＝f ????1＋12＝f ????1－12＝f ????12，∵13<12<2 3，∴f ????13>f ????12>f ????23，即f ????23 13，故选 B. 12．(2011·西安模拟)设函数f (x )＝???? ? 1，x >00，x ＝0， －1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区 间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) [答案] A [解析] 依题意得，g (x )＝x 2f (x －1)＝???? ? x 2 ，x >10，x ＝1－x 2，x <1， 所以g (x )的递减区间为(0,1)． 13．(文)(2011·抚顺模拟)已知f (x )＝???? ? a x x >1 4－a 2x ＋2 x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实 数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8) [答案] B [解析] 由y ＝a x (x >1)单调增知a >1； 由y ＝(4－a 2)x ＋2(x ≤1)单调增知，4－a 2>0，∴a <8； 又f (x )在R 上单调增，∴a ≥(4－a 2)＋2， ∴a ≥4，综上知，4≤a <8. [点评] 可用筛选法求解，a ＝2时，有f (1)＝4＝f (2)，排除A 、D.a ＝4时，f (x )＝? ??? ? 4x x >1 2x ＋2 x ≤1 ，在R 上单调递增，排除C ，故选B. (理)(2011·北京学普教育中心)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．． 单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32) C ．[1,2) D ．[3 2 ，2) [答案] B [解析] 因为f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12 . 据题意，????? k －1<12 k －1≥0， 解得1≤k <3 2 ，选B. 14．(2011·天津四校联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________． [答案] －2 [解析] 当－a 2≤0，即a ≥0时，函数f (x )在[0,3]上为增函数， 此时，f (x )min ＝f (0)＝－1，不符合题意，舍去； 当－a 2≥3，即a ≤－6时，函数f (x )在[0,3]上为减函数， 此时，f (x )min ＝f (3)＝－2，可得a ＝－10 3 ，这与a ≤－6矛盾； 当0<－a 2<3，即－6 2)＝－2，可解得a ＝－2，符合题意． 15．(文)(2010·北京市东城区)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． [解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则 ? ???? x ＋1>0 1－x >0，解得－1 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1 解得0 所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0 (理)设函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝? ???? f x x >0 －f x x <0. (1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b . 又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0， 即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③ 解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3. 所以F (x )＝? ???? －3 x ＋1 2 x >0 3 x ＋1 2 x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知： － k ＋66≤－1或－k ＋66 ≥1， 得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0， 可知m ，n 异号． 若m >0，则n <0. 则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0. *16.已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，a ∈R. (1)若a ＝1，求f (x )的极小值； (2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3. [解析] (1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ， ∴当0 ∴f (x )的极小值为f (1)＝1. (2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈[0，e ]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1 x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e ]上单调递增，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4 e (舍去)，所以，此 时f (x )最小值不为3； ②当0<1a a )上单调递减，在????1a ，e 上单调递增，f (x )min ＝f ????1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4 e (舍去)，所以，此 时f (x )最小值不为3. 综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时，f (x )有最小值为3. 1．(2011·上海理，16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝ln 1|x | B ．y ＝x 3 C ．y ＝2|x | D ．y ＝cos x [答案] A [解析] 排除法：B 、C 在(0，＋∞)上单调递增，D 在(0，＋∞)上不单调，故选A. 2．函数f (x )＝x －3 x ＋a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，3) D ．(3，＋∞) [答案] D [解析] f (x )在(－a ＋2，＋∞)上是增函数，由条件知－a ＋2<－1，且－a －1<0，∴a >3. 3．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－2,2] C ．{2} D ．[2，＋∞) [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2－6a ， 若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ； 若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－ 2a ∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2， ∴a ＝2. [点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分． 4．(2010·海南华侨中学期末)函数f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞，12] D ．(－∞，1 2 ) [答案] C [解析] ∵f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间(0,1)上恒为增函数， ∴f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间[0,1]上恒为增函数， ∴f ′(x )＝1 x ＋1－m ≥0在[0,1]上恒成立， ∴m ≤(1x ＋1 )min ＝1 2. 5．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (1 3)＝0， 则适合不等式f (log 127 x )>0的x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(0，1 3 ) C ．(0，＋∞) D ．(0，1 3)∪(3，＋∞) [答案] D [解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1 3 )＝0，则由f (log 127 x )>0， 得|log 127 x |>13，即log 127 x >13或log 127 x <－1 3.选D. 6．(2010·南充市)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >a D ．c >b >a [答案] D [解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称， ∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减． 由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1) 7．(2011·四川一模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12 [答案] C [解析] 由⊕的定义知1⊕x ＝????? 1， －2≤x ≤1x 2 1 ∴f (x )＝? ???? x －2 －2≤x ≤1 x 3－2 1 显然f (x )在[－2,2]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6. 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 高考复习：函数的单调性 定义 定义域 区间 对应法则值域 一元二次函数一元二次不等式 映射 函数 性质 奇偶性 单调性周期性 指数函数 根式分数指数 指数函数的图像和性质 指数方程对数方程 反函数 互为反函数的函数图像关系 对数函数 对数 对数的性质 积、商、幂与根的对数 对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质 一、单调性 1．定义：如果函数f(x)y 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、 (2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性； 4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . 1、增函数与减函数的定义： 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。 2、单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 【核心素养分析】 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 【重点知识梳理】 知识点一函数的单调性 (1)单调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二函数的最值 第1页共9页 第 2 页 共 9 页 【特别提醒】 1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝ 1 f （x ） 的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 【典型题分析】 高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 例1.（2020·新课标∈）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2 +∞单调递增 B. 是奇函数，且在11(,)22 -单调递减 C. 是偶函数，且在1 (,)2 -∞-单调递增 D. 是奇函数，且在1 (,)2 -∞-单调递减 【答案】D 【解析】由 ()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±???? ，关于坐标原点对称， 又 ()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ； 当11,22x ?? ∈- ?? ?时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22?? - ??? 上单调递增，()ln 12y x =-在11,22 ?? - ??? 上单调递减， 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 函数的单调性 1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 3.函数f (x )＝x 1－x 在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1) 5.下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12 B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝? ????12x D.f (x )＝3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ??－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 9.函数()f x 的定义域为Ｒ，(1)2f -=，对任意的x R ∈，'()f x 2>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ） Ａ()1,1- Ｂ()1,-+∞ Ｃ(),1-∞- Ｄ(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2 f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13 ，则a ＋b ＝ 第二节 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数． [自测练习] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． 3．已知函数f (x )＝???? ? －x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．[－3，－2] 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标： ①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； ②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题． 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。 3.最大（小）值 （前面已复习过） 4.判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用定义严格判断。 （2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当 '()0f x <时，()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在 该区间上递减时，则'()f x ______0。 （3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1 ()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。 函数的单调性教学设计 一．教学内容解析： 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二．教学目标设置 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 三．学生学情分析 1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．蒲城县尧山中学重点班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成． 2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结 证明函数单调性的方法总结归纳 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改 2017年高考数学函数的单调性必考知识点2017年高考数学函数的单调性必考知识点 高中数学知识点：函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 高中数学知识点：函数的单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X 增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。 高中数学知识点：函数的单调图像 高中数学知识点：求函数单调性的基本方法 解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。1、把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证)，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并 掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 高中数学知识点：例题 判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。 设x -2x-3=t， 令x -2x-3=0， 解得：x=3或x=-1， 当x 3和x -1时，t 0， 当-1 所以得到x -2x-1对称轴是1。 根据反比例函数性质： 在整个定义域上是1/t是增函数。 当t 0时，x 3时， t是增函数，1/t是减函数， 所以(3，+ )是减区间， 而x -1时，t是减函数， 所以1/t是增函数。 因此(- ，-1)是增区间， 当x 0时， -1 年 级 高三 学 科 数学 版 本 人教版（文） 内容标题 函数的单调性 编稿老师 孙力 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1. 概念：设函数)(x f 的定义域为I （1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，当 21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么称函数)(x f 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值21,x x ，当 21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在这个区间上是减函数。 （3）单调区间：如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(x f y =的单调区间。 注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21x f x f ≤或)()(21x f x f ≥ ② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如x y 1 =在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数， 不能说x y 1 =在),0()0,(+∞?-∞上是减函数。 ③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降 2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象） （1）定义法 [例1] 证明函数1)(3 1-=x x f 在R 上是增函数 证：设x x <，则32 323131213131)()(x x x x x x x x x f x f ++-= -=- 而分子021<-=x x 分母04 3)21(3 2 2231 2 311 322 312 311 321 >++=+?+=x x x x x x x 故0)()(21<-x f x f 得证 补：讨论函数2 2)(x x a x f -=的单调性)10(≠a 时，对任R x ∈，02 2>-x x a ，设121< 函数单调性的判断或证明方法. （1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：设－1 所以， 所以 所以 设 则， 因为， 所以， 所以 所以 同理，可得 （2）运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减） ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数的单调区间。 解： 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. （4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 增增增 增减减 减增减 减减增 例4.求函数的单调区间 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；高中数学函数的单调性
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