高等数学II 期中试卷
一、选择题（每小题3分，共计 15 分）
1、函数?
?
???=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 。
(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；
(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。
2、二重积分??D
xydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 。
(A )．
6
1
； (B )．
12
1； (C )．
2
1
； (D )．
4
1。 3、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=??+??y
z
b x z a 。
(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。 4、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则??
D
d xy σ
= 。
(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24
R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分??D
y x f σd ),(表示
成极坐标系下的二次积分的形式为 。 (A
)．
1
2 0
d (cos ,sin )d f r r r r
π
θθθ?
?；
(B )．
cos sin 2 0 0
d (cos ,sin )d f r r r r
π
θθ
θθθ+??
；
(C
)
．
1cos 2 0
d (cos ,sin )d f r r r r
π
θ
θθθ-?
?
；
(D )．1
2cos sin 0 0
d (cos ,sin )d f r r r r
π
θθθθθ+?
?
。
二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设x
y xy z )
(=，则=z d ，在点)2,1( P 处的梯度
=P z g r a d 。 2、设y
x y x y x f arcsin
)1(),(-+=，则='
)1,(x f x 。 3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则
()D
x y dxdy +=?? 。
4、函数xyz u =在点)2,1,5( 处沿从点)2,1,5( 到点),,9( 14 4 所确定方向的方向导数是 。
5、曲线?????-=-=2252121x z x
y 在点)2,1,1(--处的切线方程为 ，法平面
方程为 。 6、改变积分次序
1 arcsin 1
2arcsin 0
arcsin d (,)d d (,)d y
y
y
y f x y x y f x y x π
π---+=
?
?
??
。
三、计算题（每小题7分，共计49分）
1、求??1
1
0sin x
dy y x
y dx 。
2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。
3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换???+=+=by
x ay
x ηξ变换方程
032222
2=??+???+??y z y x z x
z 。问：当b a ,取何值时，方程化为02=???ηξz 。 4、f x y xf z y x ,)(222=++可微，求x z
??。
5、在经过点)3
1
,
1,2(P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。
6、求二元函数9422++=y x z 在区域422≤+y x 的最大值、最小值。
7、设区域121:≤+≤y x D ，证明：0)ln(22<+??D y x y x d d 。
四、每小题6分，共计12分
1、
设
2222, 0
(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在
原点),(0 0沿任意方向的方向导数都存在。
2、设?
????=≠≥≥++-=??≤+000,0,0])(1[)(2
222222t t y x y x y x y x f x t f t y x ,d d ，若)(t f 是连续可微的函数，求)(t f 。
高等数学II 期中考试解答
一、选择题（每小题3分，共计 15 分）
5、函数??
?
?
?
=+≠++=0
0),(22222
2
y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 B 。
(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；
(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。
6、二重积分??D
xydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 B 。
(A )．6
1； (B )．
12
1； (C )．
2
1
； (D )．
4
1
7、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=
??+??y z b x
z a
A 。 (A )．1； (
B )．a ； (
C )．b ； (
D )．b a +。
8、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则
d D
xy σ=??C 。 (A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24
R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分??D
y x f σd ),(表示成
极坐标系下的二次积分的形式为 D 。 (A )．
1
2
0 0d (cos ,sin )d f r r r r
π
θθθ?
?； (B )．
cos sin 2
d (cos ,sin )d f r r r r π
θθ
θθθ+??； (C )．
1cos 2
0d (cos ,sin )d f r r r r
π
θ
θθθ-??；(D )．1
2
cos sin 0
0d (cos ,sin )d f r r r r
π
θθθθθ+?
?
。
二、填空题（每小题4分，共计24 分）
1、设x
y
xy z )(=，则=z d dy
x xy xy dx x xy y xy x
y
x
y )ln(1)())ln(1()(2++-，在点),(2 1P 处
的梯度=P z grad ) ln2)4(1 , )2ln 1(8 (+-。
2、设y
x y x y x f arcsin )1(),(-+=，则='
)1,(x f x 1 。
3、D 由曲线22
(1)(1)1x y -+-=所围成的闭区域，则()D
x y dxdy
+??=π2。
4、函数xyz u =在点),,( 2 1 5 处从点),,( 2 1 5 到点),,( 14 4 9 的方向导数是1398
。 ) 21 , 3 , 4 (=l ，) 21 , 3 , 4 (131
0=l ，)5 , 10 , 2( grad )2,1,5(=u ， 1398
grad )2,1,5(0=
?=??u l l
u
5、曲线??
???-=-=2
252121x z x
y 在点),,(211--处的切线方程为522111-+=-+=-z y x ，法平
面方程为25130x y z ---=。
注意：{}5,2,1--=s
，点),,(211--；法平面方矢{}5,2,1--==s n 。 6
、
改
变
积
分次序
1
arcsin 1
2arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d y
y y
y f x y x y f x y x π
π---+=
?
?
??
?
?
-π
sin 2
sin
),(x
x
dy
y x f dx 。
三、计算题（每小题7分，共计49分）
1、求??1
1
0sin x
dy y x
y dx 。
解：先交换积分次序
)1cos 1(31
sin sin 0
1
01
1
0-==????y
x dx y x y dy dy y x y dx 2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。
解：设切点为000(,,)x y z ，则222
000239x y z ++=，
过切点的法向量为：
000000462(4,6,2)//(2,3,2)232x y z n x y z t
=-?===-
，
得00011
,,22x t y t z t ==-=，代入222
000239x y z ++=，得2t =±， 切点为(1,1,2)-或(1,1,2)-，(2,3,2)n =-
，
故切平面方程为：23290x y z -+-=或09232=++-z y x 。
3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换??
?+=+=by x ay
x ηξ变换方程
032222
2=??+???+??y z y x z x z 。问：当b a ,取何值时，方程化为02=???ηξz 。
解： ηξ??+??=??z z x z ， ηξ??+??=??z
b
z a y
z 。 22222222ηηξξ??+???+??=??z z z x z ， 22
222
22222ηηξξ??+???+??=??z b z ab z a y z ，
2
22222)(ηηξξ??+???++??=???z
b z b a z a y x z
所以 2222
23y z y x z x
z ??+???+?? 0
)31()2332()31(22
22222
=??+++???++++??++=ηηξξz b b z ab b a z a a
02=???ηξz
时，b a ,应满足一元二次方程0312
=++r r 且02332≠+++ab b a 。
解得2532
,1±-=
r ，b a ,取其任一值，且a ≠b 时，方程化为02=???ηξz 。
4、f x y xf z y x ,)(222=++可微，求x z
??
解
：
设
)
(222x
y
xf z y x F -++=，由公式
z
x y
x y f x x y f x F F x z z x 2)()(22
?'+--
=-=??
5、在经过点
)
,,( 31
1 2 P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。
解：设过点),,( 31 1 2 P 的平面截距式方程为1
=++c z
b y a x ，点P 满足方程 即
13112=++c b a
平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为
c b a V ???=
61
由拉格朗日乘数法，设
?
?? ??-+++=13112c b a abc F λ 由0=??a F ，0=??b F ，0=??c F 及1
31
12=++c b a 得最值点的坐标1,3,6===c b a
所求平面为1
136=++z y x 即662=++z y x 。
6、求二元函数9422++=y x z 在区域422≤+y x 的最大值、最小值。
解：y z x z y x 8,2==。令???==00y
x z z 解得驻点：（0，0）在区域内9)0,0(=z
在边界上224y x -=代入9342++=y z )22(≤≤-y 求出导数为0的点y = 0 这时2±=x
z(2,0)=13, z(-2,0)=13,z(0,-2)=z(0,2)=25
比较得最大值：z(0,-2)=z(0,2)=25，最小值：z(0,0)=9 7、设区域
121:
≤+≤y x D ，证明：0d d 22<+??D y x y x )ln(。
解：在区域D 内，1
)(241
22222≤+=++≤+≤y x y x y x y x 。
2
2
ln()0x y +<，所以
d d 22
<+??D
y x y x )ln(。
四、每小题6分，共计12分
1、
设
2222, 0
(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在
原点),(0 0沿任意方向的方向导数都存在。
证明：因为ρ
θρθρρ)
0,0()sin ,cos (lim
f f -→θθρθ
θρρsin cos sin cos lim 2
20?=?=→，
所以θ
θsin cos ?=??l f
。由于式中θ为任意的方向角，这说明函数沿任意方向的
方向导数都存在。
2、设???????=≠≥≥++-=??≤+000,0,0 ,d d ])
(1[)(2222
222t t y x y x y
x y x f x t f t y x ，若)(t f 是连续
可微的函数，求)(t f 。
解：0≠t 时，
????
-=++-
=
≤+t
t y x r
r f r y x y x y x f x t f 0
220
2222d ))((d cos d d ])(1[)(2
22θθπ
?-=t
r
r f r 0
2d ))((
求导得)()(2
t f t t f -='。所以)(t f 满足微分方程???==+'0)0()()(2f t t f t f 。
解得
??
??
?=≠-+-=000222)(2
t t e t t t f t ，亦可表示为：t e t t t f 222)(2-+-= R t ∈ 其它
1．函数
22
22
22 0(,)0 0xy x y x y
f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0, 0)点 . (A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在； (C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。
2．设f 为可微函数，(,)z f x y z xyz =++，则z x ?=
? 。 (A )12121f yz f f x y f ''+''+-． (B )．12121f x y f f yz f ''--''+； (C )． 12121f yz f f x y f ''
+''--；
(D )．
1212f xzf f yzf ''+''
+。
3．设),(y x f 在
()2
2
:24D x y +-≤上连续，则二重积分??D y x f σ
d ),(表示成
极坐标系下的二次积分的形式为 。 (A )． 22
0 0d (cos ,sin )d f r r r r
π
θθθ??； (B )． 2
0 0d (cos ,sin )d f r r r r
π
θθθ??；
(C )． 4cos 0
d (cos ,sin )d f r r r r
π
θ
θθθ??
；(D )． 4sin 0
d (cos ,sin )d f r r r r
π
θ
θθθ??
。
4．设函数y
z x =，则函数y
z x =的全微分 。
5．函数222
u x y z =++在点)1,1,1(0P 处沿0OP
方向的方向导数为 ，其中O
为坐标原点。
6．曲面23z
z xy e +=-在点（1，2，0）处的切平面方程为 。 7．交换二次积分(
)(
)1
40
1
2
d ,d ,x x f x y dy x f x y dy
-+??的积分顺序。
8．在椭球面222221x y z ++=上求一点，使函数222
(,,)f x y z x y z =++在该点
沿方向(1,1,0)l =-的方向导数最大，并求出最大值． 9．
设(,)z z x y =是由方程(,2)0F xy z x -=确定的隐函数，(,)F u v 可微,计
算z z x y
x
y ??-??． 10． 在曲面xy z =上求一点，使该点处的法线垂直于平面093=+++z y x ．
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
高数C期中试卷答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案） 姓名 学号 班级 成绩 注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。 一、选择填空题（每空3分，共36分） 1、30 ln(1) lim sin x x t dt t x x →+-? = 2 ； 解：上式=22 /lim cos 1) 1ln(lim 22 030==-+→→x x x x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1 y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2 3- 解：积分区域??? ??≤≤≤≤y x y y D 121:，所以所求面积=-=?dy y y S )1(212ln 23- 3、1 21sin x xdx -?= 0 ； 解：奇函数在对称区间上的定积分为零 4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，1 0()5f x dx =?，则1 0()xf x dx '?=3- 解：根据分部积分：1 0()xf x dx '?352)()()(1 01 01 0-=-=-==??dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解 为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。
6、方程2 2 14 y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱 面 ； 7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy - 8、二重极限22 (,)(0,0)lim x y xy x y →+ 不存在 ； 解：由于2 2220 1lim k k x k x kx x kx y x +=+?→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ； A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 10、二元函数sin ,0,R (,)20,0R xy x y f x y x x y ?≠∈? =??=∈?，，则(0,3)x f = 不存在 解：(0,3)x f =∞=?-??=?-?→?→?x x x x f x f x x 0 23sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx y x x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+= 二、计算题（共52分） 1、(6分) 计算0 -? 解：被积函数在积分区域上连续 所以0 -?2ln 32 3 32 1 24-=-= ? =+dt t t t x 2、(6分)计算2 2 2||2x x dx x -++? 解：利用定积分的奇偶性
cos x 2013 级《高等数学》第一学期期中考试试题（A 类） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x → 0 时，与 - 1等价的无穷小是 （ ） （A ） x 4 x 2 x 2 ； （B ） - ； （C ） 4 2 x 2 ； （D ） - 。 2 2. 设a 是常数，则 lim e -a n = （ ） n →∞ （A ） 0 ； （B ） e -1 ； （C ）不存在； （D ）以上选项都有可能。 3. 设数列{a } 满足 lim a n +1 = A > 0 ，则 （ ） n n →∞ a n （A ）{a n } 有界； （B ）{a n } 不存在极限； （C ）{a n } 自某项起同号； （D ）{a n } 自某项起单调。 4. 设 f ( x ) 在 x = x 0 不可导，则在 x = x 0 点一定不可导的是 （ ） （A ）e f ( x ) ； （B ） f ( x ) ； （C ） f 2 ( x ) ； （D ）cos f ( x ) 。 5. 设 f ( x ) 在闭区间[a , b ] ( a > 0 )上有定义且单调增加。下列命题中 （1）若对于 x 0 ∈(a , b ) ， lim x → x 0 f ( x ) 存在，则 f ( x ) 在 x = x 0 点连续； （2）若 f ∈ C [a ,b ]，则?x 0 ∈[a , b ] ，使得 f (b ) - f (a ) = 2 f ( x 0 ) ； （3）若 xf ( x ) 在[a , b ] 上单调减少，则 f ( x ) 在[a , b ] 上连续； 正确命题的个数为 （ ） （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 2 ； （D ） 3 。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 若设函数 f ( x ) 满足2 f (3x ) + f (2 - 3x ) = 6x + 1，则 f ( x ) = 。 7. 设 y = x 3 + 3x + 1，则 = 。 y =1 8. 曲线r = cos 2θ 在θ = π 4 处的切线方程为: 。 9. 已知 y = y ( x ) 由方程 x 2 y = e x - y 所确定，则 dy = 。 dx 10. 若 y = (1 + x 2 ) arctan x ，则dy = 。 三、（每小题 8 分，共 24 分） 11. 用极限定义证明： lim x →+∞ 1 + x = 0 。 12. 设 f ( x ) 在 x = 1 点附近有定义， 且在 x = 1 点可导， f (1) = 0 ， f ( sin 2 x + cos x ) f '(1) = 2 ，求 lim 。 x →0 x 2 dx dy 2x + x -2
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案 2003级高等数学（A ）（上）期中试卷 一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D 二、填空题（每小题4分，共24分） 1. 5 2 2.0=x ,第一类（跳跃）间断点 3.(1)23 432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件；
2015-2016学年第一学期高数期中试卷 一、（每小题6分，共12分） 1 、求函数()f x = 的定义域和值域。 解：由02sin ≥x 得: 1 2(21)()2 k x k k x k ππππ≤≤+?≤≤+ 所以定义域为1 {|();}2 D x k x k k Z ππ=≤≤+ ∈ 由12sin 0≤≤x 得：12sin 0≤≤x ，所以值域为]1,0[ 2 、判断函数21,0()0x x f x x +≤?=>在分段点0x =处的左右极限，并据此判断函数在 这点的极限是否存在。 解：0 0/21 lim ()lim lim 2 x x x x f x x ++ +→→→=== 00 lim ()lim(21)1x x f x x - - →→=+= 因为0 lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，所以函数在0x =处的极限不存在。 二、（每小题6分，共12分）1、31 13lim( )11x x x →--- 2、01cos lim sin x x x x →- 解：1、233211113221 lim( )lim lim 11113x x x x x x x x x x →→→+-+-===--- 2、22001cos /21 lim lim sin 2 x x x x x x x →→-== 三、（10分）求2(1)sin x x y e x =-的间断点，并判断间断点的类型。 解：由(1)sin 0()x e x x k k Z π-=?=∈,所以函数的间断点为()x k k Z π=∈ 因为22 200lim lim 1(1)sin x x x x x e x x →→==-，所以0x =是可去间断点 因为2 (0) lim (1)sin x x k k x e x π→≠=∞-，所以(,0)x k k Z k π=∈≠是无穷间断点。
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为 ______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a r 与b r 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r ； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两 个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
. 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x
(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点 装 订 线 内 不 要 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊
（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>?x 时，有（ ） (A )0>>?dy y (B )0<?>y dy (D )0'x f ， 0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ） (A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的； (C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。 （6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ） (A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点； (C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。 （7）曲线1 )3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线； (C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。 三、计算下列极限 (每题5分，共20分) （1）)| |sin 12(lim 4 10x x e e x x x +++→ （2）)1ln()cos 1(1 cos 11lim 230x x x x x x -++-+→ （3）)tan 11(lim 20x x x x -→
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点
．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?
2013-2014学年高数1期中试卷答案 2013—2014学年第一学期期中考试 一、（每小题5分，共10分）求解或证明下列各题 1、写出函数y =的定义域。 解 函数是由基本初等函数arcsin y u v ==和简单的初等函数1 1 x v x +=-复合而成的。2分 由 11 arcsin 00111 x x x x ++≥?≤≤--， 3分 于是当10x ->时，得011x x ≤+≤-，无解；当10x -<时，得011x x ≥+≥-，解得1x ≤-， 即函数的定义域为(,1]D =-∞-。 5分 2、用定义证明：21231 lim 11 x x x x →-+=-。 证明 任给0ε>，要2231 | 1||(21)1|2|1|1 x x x x x ε-+-=--=-<-，即要|1|/2x ε-<， 2分 3分 取/2δε=，则当0|1|x δ<-<时，恒有2231 | 1|1 x x x ε-+-<-， 故 21231 lim 11 x x x x →-+=- 5分 二、（每小题5分，共10分）求下列极限 1、21sin(1)lim ln x x x →-； 2、1lim (123)x x x x →+∞++。 解 1、原式2 1sin(1) lim ln[1(1)]x x x →-=+- 2分 2、原式1 ln(123)ln(123)lim lim x x x x x x x x e e →+∞++++→+∞ == 2分 2 1 1 lim 1 x x x →-=- 4分 2ln 23ln3lim 123x x x x x e →+∞ +++=(2/3)ln 2ln3 lim 1(1/3)(2/3)x x x x e →+∞+++= 4分 1 lim(1)2x x →=+= 5分 ln 3 0ln3100 3e e +++=== 5分 三、（8分）求函数|| tan x y x = 的间断点，并判断间断点的类型；若为可去间断点，补充定义使
2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案） 姓名 学号 班级 成绩 注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。 一、选择填空题（每空3分，共36分） 1、300ln(1)lim sin x x t dt t x x →+-?= 2 ； 解：上式=22/lim cos 1)1ln(lim 22 030==-+→→x x x x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2 3- 解：积分区域?? ???≤≤≤≤y x y y D 121:，所以所求面积=-=?dy y y S )1(212ln 23- 3、1 21sin x xdx -?= 0 ； 解：奇函数在对称区间上的定积分为零 4、已知函数()f x 可导，(1)2f =， 10()5f x dx =?，则10()xf x dx '?=3- 解：根据分部积分：1 0()xf x dx '?352)()()(1 01010-=-=-==??dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的 三个解，则该方程的通解为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。 6、方程2 2 14y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱面 ； 7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy - 8、二重极限22(,)(0,0)lim x y xy x y →+ 不存在 ；
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．
2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 :-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件；
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a r 与b r 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r ； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该 区域内两个二阶混合偏导必相等；
《高等数学》试卷（同济六版上） 一、 选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞ sin xdx B 、dx e x ?+∞ -0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 得分 评卷人 得分 评卷人
9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x =. 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程???=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d . 得分 评卷人