信阳高中2019届高三第一次大考试题
理 科 数 学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A ＝{x ｜2x －2x －3≤0}，B ＝{x ｜y ＝ln （2－x ）}，则A∩B ＝ A ．（1，3） B ．（1，3] C ．[－1，2） D ．（－1，2） 2．下列命题中，正确的是 A ．0x ?∈R ，sinx 0＋cosx 0＝
3
2
B ．复数z 1，z 2，z 3∈
C ，若212()z z －＋223()z z －＝0，则z 1＝z 3 C ．“a ＞0，b ＞0”是“
b a ＋a
b
≥2”的充要条件 D ．命题“x ?∈R ，2x －x －2≥0”的否定是：“x ?∈R ，2x －x －2＜0”
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一
部是魏晋南北朝时期的专著的概率为 A ．
1415 B ．115 C ．29 D ．7
9
4．若x ∈（1
e
－，1），a ＝lnx ，b ＝ln 1
()2
x ，c ＝ln x
e ，则
A ．b ＞c ＞a
B ．c ＞b ＞a
C ．b ＞a ＞c
D ．a ＞b ＞c
5．设a ＝
sin xdx π
?
，则6
(的展开式中常数项是 A ．160 B ．－160 C ．－20 D ．20 6．执行如图所示的程序框图。若p ＝0．8，则输出的n ＝ A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
7. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为
A. 12
B.
C. D. 14
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －＝cos cos C
B
，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D
9.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为
A.4
B.5
C.6
D.7
10.如图，已知函数()sin()(0,||)2
f x x π
ω?ω?=+><
的图象与坐标轴交于点
1
,,(,0)2
-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是?ABD 的重心.则
?ACD 的外接圆的半径为
A ．2 B
C
D ．8 11．已知,a b R ∈，直线2y ax b π=++
与函数()tan f x x =的图象在4
x π
=-处相切，设()2x g x e bx =+a +，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m
A ．有最小值e -
B ．有最小值e
C ．有最大值e
D ．有最大值1e +
12．已知P 为椭圆22
143
x y ＋＝上一个动点，过点P 作圆22(1)1x y ＋＋＝的两条切线，切点分
别是A ，B ，则?的取值范围为 A ．[-
32，＋∞） B ．[-32，569] C ．
3，569
] D ．
3，＋∞） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a 与b 的夹角为30°，且｜a ｜＝1，｜2a －b ｜＝1，则｜b ｜＝_________．
14.已知实数x ，y 满足20
20()0x y x y y y m -≤??
+≥??-≤?
，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为____．
15.双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 分别在双曲
线的左右两支上，且12//MN F F ，121
2
MN F F =
，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，112
5
F Q F N =
，则该双曲线的离心率是 ____．
16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足2n n S a n =-()
*
n ∈N ．
（1）证明：{}1n a +是等比数列；
（2）求13521...n a a a a +++++()
*
n ∈N ．
18. (本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA=DP ，BA=BP ． （1）求证：PA BD ⊥；
（2）若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠====，求二面角D —PC —B 的正弦值．
19.（本小题满分12分）
据中国日报网报道：2018年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速度越快．．．．，单位是MIPS ）
（2）从12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；
（3）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
20．（本小题共满分12分） 已知抛物线，圆
，点为抛物线上的动点，为坐标原点，
线段
的中点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程； （2）点是曲线上的点，过点Q 作圆的两条切线，分别与轴交于
两
点.
求QAB ?面积的最小值.
21.（本小题共满分12分） 已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠ （1）求()f x 的极值； （2）当0>a 时，设2
11()=32
ax g x e ax x a --，求证：曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线.
选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t y t =+??
=?
，
(t 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin 4πρθ?
?
+
= ??
?
，
曲线1C 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0α满足0tan 2α=，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x x =--+． （1）解不等式()4f x <-；
（2）若正实数a ，b 满足a b +，试比较2
2
4
b a +与()3f x +的大小，并说明理由．
答案
一、选择题
1-5 C D A A B 6-10 B D A C B 11-12 D C 二、填空题 13.3 14.2 15.7 16.3
三、计算题
17．（1）由1121S a =-得：11a =，···········1分 因为()()()11221n n n n S S a n a n ---=----()2n ≥， 所以121n n a a -=+，···········3分 从而由()1121n n a a -+=+得
11
21
n n a a -+=+()2n ≥，·
··········5分 所以{}1n a +是以为首项，为公比的等比数列．···········6分 （2）由（1）得21n n a =-，···········8分
所以()()3
21
13521222
1n n a a a a n +++++???+=++???+-+(
)()1
214114
n n +-=
-+-，
23235
3
n n +--=
．···········12分 18．证明：（1）设AB 中点为O,连接,DO BO 因为DA=DP ，BA=BP ， 所以O,PA D PA BO ⊥⊥ 所以PA BDO ⊥面
所以PA BD
⊥.┈┈┈┈┈┈ 4分 (2) 1,2BO DO BD ===
222OB OD BD +=
OB OD ⊥,又由(1) O,PA D PA BO ⊥⊥
以O 为原点
OP,OB ，OD 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系
(1,0,0),001P B D （，，）
,(1,0,1)BC AD == 设面PDC 法向量(,,)m x y z =
，0
(3,0n DP n n DC ??=??=-??=??
设面PBC 法向量(,,)n x y z =，0
(3,1,0
n PB n n BC ??=??=??=??
1cos ,-7||||
m n m n m n ?=
=,
┈┈┈┈┈┈ 12分 19.（Ⅰ）从品牌
的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：
测试1、2、5、6、9、10、11，共7次
设该测试结果打开速度小于7为事件
，因此
……………………….3分
（Ⅱ）12次测试中，品牌
的测试结果大于品牌
的测试结果的次数有： 测试1、3、4、5、7、8，共6次
随机变量
所有可能的取值为：0，1，2，3
……………………….7分
随机变量
的分布列为
……………………….9分
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.
给出明确结论，1分；
结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.
标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）
标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）
标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）
标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）
标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）
标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）
参考数据
20．（Ⅰ）设，则点在抛物线上，
所以，即，所以曲线C的方程为：．（4分）
（Ⅱ）设切线方程为：，令y=0，解得，
所以切线与x轴的交点为，圆心(2，0)到切线的距离为
，
∴，
整理得：，
设两条切线的斜率分别为，
则，
∴
（8分）
记，则，
∵，
∴在
上单增，∴
，∴，
∴
面积的最小值为． （12）
21.解：（Ⅰ）'()(1)ax ax f x a a a =?-=?-e e (0,)a x ≠∈R ，
令'()0f x =，得0x =． ①当0a >时，'()f x 与1ax -e 符号相同，
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
1-e
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
（Ⅱ）'()3()ax g x ax f x =--=e (0,)a x >∈R ，
故'()1g x =-?()1f x =-．
注意到(0)21f =-<-，22()51f a =->-e ，2
2()11f a
--=->-e ，
所以，12(,0)x a ?∈-，22
(0,)x a
∈，使得12()()1f x f x ==-．
因此，曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())P
x f x 处的切线斜率均为1-. （9分）
下面，只需证明曲线()y g x =在点111(,())P x f x ，222(,())P x f x 处的切线不重合. 曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x （1,2i =）处的切线方程为()()i i y g x x x -=--，即
()i i y x g x x =-++．假设曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x （1,2i =）处的切线重合，则2211()()g x x g x x +=+．
令()()G x g x x =+，则12()()G x G x =，且'()'()1()1G x g x f x =+=+. 由（Ⅰ）知，当12(,)x x x ∈时，()1f x <-，故'()0G x <．
所以，()G x 在区间12[,]x x 上单调递减，于是有12()()G x G x >，矛盾！ 因此，曲线()y g x =在点(,())i i i P x f x (1,2i =)处的切线不重合． ·
12分 22．(1) 圆C ：1cos sin x t y t =+??=?，
22:(1)1C x y ?-+=圆
得圆C 极坐标方程: =2cos ρθ┈┈┈┈ 4分
（2）由02cos ρθθα=??=?
，
得0(,)5P α其中0tan 2α=
由02sin(4
πρθθα?
+???=?
0)Q α其中0tan 2α=
则12||||PQ ρρ=-=
┈┈┈┈10分 23．(1)由题知|||2|4x x ++>，
①当2x -≤时，－2x －2＞4，解得x ＜－3； ②当20x -<≤时，2＞4，矛盾，无解； ③当0x >时，2x ＋2＞4，x ＞1；
所以该不等式的解集为｛x | x ＜－3或x ＞1｝． ································ 5分 (2)因为|||2||2|2x x x x ++--=≥，当且仅当20x -≤≤时，取“=”， 所以()|||2|2f x x x =--+-≤，即()31f x +≤．
又a b +，由柯西不等式:
2
2
2
22211121224b a b a ???
???=?+?≤+?+ ? ? ??
?????,
所以2
2
14
b a +≥．（或用二次函数方法）
所以2
2
()34
b a f x ++≥． ······························································ 10分