第七十三期
二○一一年七月五日
2011年江苏省高中数学竞赛初赛
暨连云港市高中数学竞赛简报
为了激发学生学习数学的兴趣，选拔优秀学生参加江苏省高中数学联赛复赛，江苏省高中数学联赛复赛初赛暨连云港市高中数学竞赛于2011年5月15日上午8：00—10：00在市区和四县同时举行，全市共有6283名学生参加竞赛，经竞赛组委会评审，共评出一等奖230名，二等奖340名，三等奖562名，共推荐169名学生参加暑期复赛。名单如下：
高二年级
一等奖（共123名）
甲组：以成绩排序
序号学校姓名指导教师序号学校姓名指导教师
1 新海高中张儒轩刘凤伟39 赣榆高中赵为仕张自勇
2 赣榆高中夏雨闫振仁40 赣榆高中王龙卢海燕
3 新海高中贺璨陆习晓41 灌云高中崔杰李树光
4 东海高中彭堃李洪洋42 赣榆高中张晓宇张自勇
5 赣榆高中王炳权刘夫卿43 赣榆高中万广弟王金梅
6 新海高中刘德鹏王广余44 东海高中陈昭晖王兴华
7 赣榆高中卢帅卢海燕45 东海高中李天昊马士林
8 灌云高中于海洋李树光46 新海高中童贤东闫辉
9 灌云高中侯学明潘益琪47 海州中学张翔宇（11）陆玉竹
10 东海高中潘高元张金环48 赣榆高中葛强陈立宽
11 灌云高中周少翔李红艳49 灌云高中曹茜李树光
12 赣榆高中朱君于泳50 东海高中马煜坤王兴华
13 赣榆高中崔恩豪王金梅51 东海高中马迅李洪洋
14 灌云高中陈辉姜晓丽52 东海高中赵毅李洪洋
15 东海高中徐通李洪洋53 东海高中王欣张金环
16 新海高中徐同同陆习晓54 赣榆高中全轶先卢海燕
17 赣榆高中徐凌飞刘夫卿55 赣榆高中陈浩张自勇
18 东海高中张舜阳李洪洋56 东海高中李成彪马士林
19 新海高中陈洪震王广余57 赣榆高中王广璞刘夫卿
20 赣榆高中杨光伟刘夫卿58 赣榆高中孙乐于泳
21 赣榆高中董定兴闫振仁59 赣榆高中葛文超于泳
22 赣榆高中马本腾王金梅60 东海高中唐宁李洪洋
23 新海高中乔帅陆习晓61 新海高中刘飞陆习晓
24 新海高中卜薪涵徐方62 新海高中卞绍华王广余
25 新海高中李韩笑简新中63 新海高中张里程周涛
26 赣榆高中皮秀伟闫振仁64 新海高中秦溪宋瑞东
27 赣榆高中仲雪梅卢海燕65 海州高中祝庆陶飞
28 东海高中贾凡马士林66 海州高中邵枫成泽花
29 新海高中武毅陆习晓67 海州高中闫胜东刘希栋
30 新海高中宋飏刘凤伟68 赣榆高中王文杰闫振仁
31 赣榆高中贺楷闫振仁69 赣榆高中张明盛徐梅香
32 赣榆高中胥鉴宸卢海燕70 赣榆高中胡洪壮王金梅
33 东海高中唐光泽李洪洋71 新海高中成曦陆习晓
34 新海高中徐宝春张萍萍72 新海高中姚旻蔚朱磊
35 赣榆高中梁永隽刘夫卿73 新海高中顾傲徐方
36 赣榆高中刘世洁刘夫卿74 灌云高中徐倩王庆荣
37 赣榆高中张原闫振仁75 灌云高中马尚王庆荣
38 赣榆高中王正卢海燕76 东海高中唐增源张伟
乙组：以成绩排序
序号学校姓名指导教师序号学校姓名指导教师
1 海头高中相亮亮李国艳25 海头高中李兵吴定业
2 板浦高中何妍何学兵26 赣榆一中徐云龙穆小军
3 赣马高中葛利王怀学27 赣马高中李博孟庆峰
4 杨集中学张蔷薇刘雷28 白塔高中曹蕾朱利彦
5 海头高中韦学文王哈莉29 白塔高中孙笑朱利彦
6 海头高中王维王哈莉30 白塔高中刘楠朱利彦
7 赣榆一中喻向阳陆娟31 赣榆一中祁泽文韦庆贺
8 连云港高中孙玉洋王家年32 白塔高中赵鑫鑫朱修亮
9 海头高中程亚博赵统艳33 海头高中李凯伟谭圆之
10 白塔高中于海洋王秀江34 海头高中王通江赵统艳
11 杨集中学张念武心业35 海头高中孟敬皓吴定业
12 板浦高中李家乐郭波36 赣榆一中邱佃伟苏循湖
13 海头高中万璐绪谭圆之37 石榴高中李士勇纪树敏
14 海头高中韩毓遥胡彦高38 海头高中尹强健胡彦高
15 白塔高中李全王秀江39 赣榆一中柳虎游爱玲
16 白塔高中王双王秀江40 赣榆一中吴广仲菲
17 海头高中尚金星谭圆之41 白塔高中鲍啸成朱修亮
18 赣榆一中谷礼政仲崇健42 海头高中汪刚谭圆之
19 白塔高中单华国朱利彦43 海头高中张福程赵统艳
20 白塔高中杨桐王秀江44 海头高中卢莉莉王哈莉
21 白塔高中孙晓晓王秀江45 赣榆一中王欣韦庆贺
22 海头高中孙承涛李国艳46 板浦高中单以家丁干和
23 白塔高中董博朱利彦47 白塔高中王成龙王秀江
24 白塔高中王广权王秀江
二等奖（共166名）
新海高中徐建房睿昶杨绍康赣榆高中王楚楚张凯闫泗洋李树飞程雨刘校廷范鹏飞李镇岐袁凯
朱孟辰方正方向商成王鹏鹏夏正源
李小万钱明杨张乾王忠诚杨大明王东博
李威张晟泽宋家旺于涵刘浴阳张庆昊
马江辉董楚凡吴巍然李国强李韦晔李杰
宫玥汝虞丹蕾陈洪王竞宇樊雪伟邵帅
乔惠阳周建勇张琳魏东孟博文灌云高中姜德胜周步云葛威盛明杰刘世龙徐铭谢更新李兴宇王恒浩徐鑫庞超王莹
卢长廷顾明峰高杰张琳琳邵莹惠姜琳琳
单冬冬何伟猛陆洋张文颖
任雷夏丽东海高中苗洋威马继龙曹晴海州高中尹龙尹加兴焦凡凡乔高昂郇佳峄灌南高中李明周进臧晓杰邵凡许辉杨集中学冯婷婷蔡茂清孙泽超于政韩思远张鑫左刚张舟朱成绩司倩倩丁治宇郭晨啸
赵羽封银范文静刘梦瑶段向梅邢天宇
李佳乐孙伟钱书华单晓彤李悦张凯斐海头高中祁方昊尹相龙朱礼慧冯威徐晶晶陈韬王世硕褚公升夏正浩刘明海施扬威李耀
王宝坤朱家玉董洪博孙琦清唐苗苗
张磊赵健雄王德洋赣榆一中李乃双张其超王善青
徐露雨张翔凯刘同庆韦俏丽刘永恒魏入林
孙成蕾姜东李蒙蒙王淑芹寇恒敏灌南华侨邱伟健崔延硕李君恒任书生灌南二中蒋东亚彭光跃张民强
赣马高中徐进涛郑玉亮徐欣然白塔高中孙文吉祥王小亮刘苏明张豆豆张书洲潘诚
安峰高中蒋永磊板浦高中何乃浩王永婷王宝娟城头高中唐苏明丁亮
三等奖（共279名）
新海高中崔文琪韩子野张天翼灌云高中孙苏港颜廷孝穆天棋吴佳佳宋嘉金鑫刘恒媛胥萌俆桂仁
倪伟许倩杜辛亚惠志妍高辉孙洲
陈开亮周楠陈帅孙弘扬葛迅李俭
刘燕茹高铭泽许婧海州高中何强（18）丁海
聂梓介陈明星王俊杰灌南高中孙建武郑成林缪会林
陶子宸穆梦雪赵鹏东海高中王萍李海生李新荣
王加兴谢韫泽时利瑶张汝涛陶西浩赣榆高中尚敬王曙光郭赛南徐鹏耀何婉婷周威张晨光徐灏张伟朱翊玮李婷颜肖健
韦双余匡迪董泽民何正洋朱天宇刘宇霏
纪鑫朱杰张星陆启学刘国强吕鑫鑫
张贝贝徐振李峰李柯张壮王晶晶
王宁徐浩翔仲崇磊刘虹利周良邱家豪
谢晓娜赵新雨董宇郑之陈张瑞王成龙
尚兰成徐雪峰李家田刘晓倩梁广州周海翔
汪晓晨张拂晓王文杰白塔高中王星刘柯罕徐坤
张驰邵世兵邱殿成朱孟涛王荣刚周守齐
杜江胡斌王大航李迪贾帅帅谢健
王康孙强苏卫东刘东坤吴青波陈丹妮板浦高中陈陆封士波王安建周洪青侍壮飞吴梦军刘叶曹兰钱田田胡芳艳刘海珍刘可欣
刘星婧吴慧江涛王盼臧丽泉倪保建
马红梅孙聪翟福州顾汉新刘宁朱东伟
朱大朋廉洁卜玉峰孟伟张倩文韩冬
魏玉品潘兴姗胡宝石梦婷陈硕硕孔婷婷
顾忍李颖何文玉
城头高中彭武泰陈冲董莉东海二中王永康陈功刘扬王军明李传才潘兆彩陈洋敏
灌云城西冯伟灌南二中于可李志苗李鹏石榴高中刘动超灌南华侨张斌陈明星王飞宇东海外国语刘文婷庄亚梅苏梦洁谷虹韩迎迎赣榆一中闫勇伦王鑫刘雪侍园园陆科名
朱贵昶徐鹏姜文海头高中秦晨董自洋刘吉乐
熊珊高广焱穆维超陈龙卜凡伟梁浩
王实林李昊霖张长玉董自元孟芳乐徐志亮
张美玲王敬仲伟钊韦龙朱义国李倩
王益聪王杰韩朝阳周升航周杨程冬
王绪超张雪张磊苏亮宋忠杰于澳洲
李祥飞李光明吉群祥沈涛闫仲秋张玉玲
范磊徐福涛柏高之王梦晗刘国军房磊杨集中学沈梦玲张义乐臧笑王宇王飞亚祁中骄王浩孙凯丽陈树理丁迎春孟前杨广强
左强尹昊达杨超张洋张金金李素素
周洋侍苏龙王亚刘凤江苏博徐东
李小婷章伟贺奎昶闫朝亮潘欢欢张迪
王艺卓傅倩倩潘雪莹陈朋朋王冬晓徐大维
何春晴李晓雨王洪海王凡许诺王煜东
马聪聪韩余杰王银盼
金锋
高一年级（共107名）
甲组：以成绩排序
序号学校姓名指导教师序号学校姓名指导教师
1 东海高中李志伟庄前敏37 赣榆高中李汉文刘伟健
2 赣榆高中张钧瑞刘伟健38 赣榆高中孙任贤陈庆广
3 赣榆高中司伟宏刘伟健39 赣榆高中张世言苏清银
4 灌云高中徐龙飞赵云40 灌云高中李丙成边秀丽
5 东海高中周诗伟庄前敏41 赣榆高中于自强李传军
6 东海高中李霄庄前敏42 东海高中李家庆庄前敏
7 新海高中陈少儒李杰43 东海高中臧赫赫庄前敏
8 东海高中许新庄前敏44 东海高中贺梓庄前敏
9 赣榆高中刘永基陈庆广45 东海高中刁子恒庄前敏
10 赣榆高中徐伟苏清银46 新海高中曹佳仁霍小伟
11 东海高中严正王广伟47 灌南高中王文通尹宏伟
12 新海高中孟凡君张学兵48 赣榆高中张晗陈庆广
13 赣榆高中黄瑞刘伟健49 赣榆高中宋川陈庆广
14 东海高中杨子豪庄前敏50 东海高中王莹王广伟
15 赣榆高中王举尚刘伟健51 新海高中张龙飞李杰
16 赣榆高中张海文陈庆广52 灌南高中宋习好葛小明
17 新海高中陶冶徐化为53 赣榆高中安明陈庆广
18 新海高中王至博宗玉侠54 东海高中刘昱麟庄前敏
19 灌云高中侍野赵娟55 东海高中唐朝李进
20 东海高中陶梦倩李进56 东海高中汤权银王广伟
21 赣榆高中尚修宇刘伟健57 新海高中郑铜亚李杰
22 新海高中张瑞董入兴58 新海高中张仪张学兵
23 新海高中陈根宇陶明忠59 赣榆高中徐超凡刘伟健
24 赣榆高中王司南刘伟健60 赣榆高中刘龙陈庆广
25 赣榆高中徐朔崔志霞61 东海高中李牧文李顺之
26 东海高中闻子豪庄前敏62 东海高中李阳庄前敏
27 新海高中黄家鹏李杰63 新海高中李笑宇宗玉侠
28 新海高中张竞舟张学兵64 灌云高中徐滔张礼恩
29 新海高中徐思畅宗玉侠65 灌南高中吴兵葛小明
30 新海高中张恒源董入兴66 灌南高中相升龙葛小明
31 赣榆高中宋畅刘伟健67 东海高中李鹏飞彭学中
32 赣榆高中董开兴陈庆广68 东海高中邵建波庄前敏
33 赣榆高中周路宽杨萍69 东海高中赵叙慧庄前敏
34 东海高中樊华庄前敏70 东海高中王月庄前敏
35 新海高中王新楠李杰71 新海高中马长根徐化伟
36 新海高中左乾宗玉侠
乙组：以成绩排序
编号学校姓名指导教师编号学校姓名指导教师1海头中学孟仕富英继祝19赣马高中李明王翔2板浦高中周俊王余花20赣马高中宋传凯王翔3赣马高中吕浩源刘卫兵21板浦高中傅其顿张永兴4板浦高中花树辉王正22白塔高中杜静雨张学侠5杨集中学陈涛顾能23海头中学于兵善仲为才6板浦高中于加娟任义新24赣榆一中樊鑫张丽娟7板浦高中徐云华王芳25海头中学文成瑞韩修芳8板浦高中王辉张道军26白塔高中陈佳强李兴江9板浦高中唐文倩徐友27海头中学王从鑫苏仕浩
10板浦高中范倩张永兴28赣榆一中陈祥张玮
11板浦高中王茂德方重友29海头中学王世春宋丽萍
12杨集中学高凯胡万军30赣榆一中王振张玮
13赣榆一中孙成祥张兵31海头中学董淑朋仲为才
14板浦高中张龙王正32赣榆一中董星海陈修夫
15赣榆一中安秋路陈修夫33赣榆一中颜嘉岐杨道明
16海头中学孟雪城吴传叶34赣榆一中蒋太康张丽娟
17赣榆一中杨锐张华东35赣榆一中孟强张丽娟
18赣榆一中霍晶晶张丽娟36赣马高中徐波刘宏江
二等奖（共174名）
新海高中汪晗沈翔宇尹辉赣榆高中曹峰李根闫文健张乔宇徐倩付明龙柏丛明魏凯霖马济世
魏小宝吴岩陈泽宇庄金成陈冠华姜坤
张建新董岩松吴瑾董麒麟苏俊玮邵明泽
施俊婕唐光瑞姜涵峰安亮宋娜灌云高中封杨陈培徐爽陈浩琳姜鑫韩育林张鹏黄海波袁康陈德照张德山蒋文倩
封加全王岩周作鹏张鑫丁建文灌南高中周李阎星池朱聪孙浩浩马靖陈安格
蒋昕峄汪得华李小婷宋忠金祁鑫鑫刘希鹏
吕先亚王玮柳致远孟宪曦王统磊东海高中许磊赖菊芬黄佳伦板浦高中徐梦雪许国旺
段会涛李杰王元超白塔高中金天赐姚琳孙琦
王金绪吴寒婷吉振远张劲杨帅刘威
杨梦圆李成名管昌健马士婷
骆东升陈磊陈飞东海二中李敬强
马伟虎仲春倪九叶石榴高中刘祥
陆高远颜廷钰秦旭赣马高中王从磊徐铭王功强
盛志鹏陈星光孙天翔李启壮
倪雅雯唐沈阳杨承泽灌南华侨王飞龙李光耀孙诗尧
褚浩孙迪孟丹丹王重阳
孙雪雯海头高中单中原钟浩杨帅帅赣榆一中徐佳磊于维婷孙裕如赵昱旭霍帅刘长棒孙成超张绪财樊彭玉杨文广尚明扬张明东
仲国强王德鑫闫朝阳姜东峰陈晨徐欣
李长健朱玉龙张力王德俣刘壮王经武
王隋强董顺硕李宇密亚洲刘悦董晓红
张百龙于江东李扬州厉庄高中谢凯赵厚克孙宇
相恒永孙旗张阁祥连云港高中沈珂
刘志成袁唐林陈丽君杨集中学仰明珠王干
万译泽马梦兰韦自双
王维婷王世民王硕
王文波鲁孟徐进善
刘通厚仲崇强赵文华
贺庆
三等奖（共283名）
新海高中聂煦东周文超朱彦波灌云高中周鑫周培森孙潇钱镜丞邵晨曦马琮洋潘梦莹江锐陶梦梦
赵航叶恒姚帅李晶莹于晨熹孙月娇
张译元孙宇轩孙梦园吴继刚刘雪王佳锴
方子木赵晨昕周帆钱苏伟刘一锦戴仁月
李少东刘艺于文杰张雨婷张万丽侍术智
孙晓晗张作然房忠轩邹亚茹李浩王梦婷
董浩月殷梦晨茆凌风彭雪周媛媛灌南高中赵雅茜宋雅杰陆大勇胡昊黄晖郭进孟鸿程钱婷晏礼鹏曹青业朱兴隆刘福洲赣榆高中吴心浩张南宁李秋桐董金牛王丹陈柯宇王举金仲桂玉蔡晓然东海高中周博文杨倩卢云霄
杨进林高靖施庆玲陈守一李想刘大奔
孙克斌孟帆刘俊杰张竞舟戴诗琪焦爱玲
陈敬钱龙飞庞习高新倪斌业徐中洲
薛建良董秀丽杨振宇高雨樊建寒冯笑笑
卢桂林徐飞邵智超李楠楠掌睿王浩
徐宁魏子渊董洪岭韦永王荣斌鲁庚熹
李洁李其烨赵福建陆俊秋赵森林韩楚
张艺星仲夏钱东旭邵国云吕丰源王莹
陈畅傅星笛唐凯利王丽圆宋壮壮板浦高中徐慧慧崔康辉王豪杰冯如张琪赵鹏城头高中王维权仲晓莉庞敬玉谭伟孙子秋包童童樊艳妮庞中平刘婷萱高旭吉祥安峰高中何刚闫怀宇张田田
白塔高中梁扬光吴清清周娜娜东海二中刘新雨倪庆琳丁瑞王沛张生周小杰赣马高中黄延业尚明强田勇
王纪浩张苏李王玉唐俐雅郑家峰顾志远
毛军洲张震张繁赣榆一中李官潘玥
王枫汤锦涛杨欢董劲松徐国成桂常清
王东风李于李阳夏尧伟陆昊刘庆庆
李典周宝珠刘岁李连通徐璐李丹
刘玮李保全王杨彭鑫成健荣王淑颖
殷涛胡成陈璐璐司璐王洋洋朱周慧
张珊珊唐楠楠杨晓琪宋忠坤顾明光苏同方
刘青林陆叶张琪金磊陈星张海波
张雨杰蒋成肖美龄张钊孙钦云于丙绪
刘猛鲁朋朋薄婷婷李苏娜刘永阳陈亚兴
仲其旺尚文文张昕仲书诺海头高中王益彰相翠婷李显杰高楚楚林金敏董自远于东伟陈恩志成芃荣王丹丹
郭光亮张吉良房姗姗灌南华侨孙虎王庆虎惠浩东
孟凡迪傅麟庄磊磊邵德浩杨所成吴楠
秦康伟杨东朱昌雷连云港高中姜瑞豪张中源汪晗
李明贤孟怡仲成伟季环宇刘键
尹鹏德杨泗兵唐路明
张欢欢张德程徐伟杨集中学杜荣别士权徐海力
梁凯轮褚克珍苏玉周伟伟罗浩王飞飞
董自钦侍崇诗黄维强厉庄高中王凤顾桐光
高代红李昂于明明
盛乃超闫明生
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分） 设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使 得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解 2017年5月7日8:00——10:00 一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分） 1.已知向量()() 1,3,3,1AP PB ==-，则向量AP 与 AB 的夹角等于 ． 解一：由题设(0AP PB ?=?=，且||||AP PB =，故APB ?为等腰直角三角形，从而向量AP 与 AB 的夹角等于 4 π. 解二：因为(11)AB AP PB =+=-，所以2cos ,AB AP <>=，所以向量AP 与AB 的夹角等于 4 π. 2.已知集合()(){} |10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈?，则实数a 的取值范围是 ． 解：有题设，知(21)(2)0 (31)(3)0 a a a a -->?? --≤? 所以：122133 a a a ?>>的左，右焦点， P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34 OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率 为 ． 答案：5． 5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线 段AC1相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n，第一行是1,2,…,n. 例如： 3123 894 765 T设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P 的轨迹方程.
11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: 222 y z xy yz zx. x233 （2）是否存在实数k>3，使得对于任意实数x.y,z下式恒成立？ 222 y z k xy yz zx，试证明你的结论. x23 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛 本科竞赛试题（有改动） 一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹 角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。 二、（7分） 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。 三、（7分）求c 的值，使? =++b a dx c x c x 0)cos()(，其中a b >。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB =
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题 一.选择题 1.如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对 (),A B 为“好集对” 。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862A B C D ２.设函数()() lg 101x f x -=+,()() 122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101 A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺 序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角 ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1 AD a BD b CD a b ===-=. 设数列 {} k u 的通 项 为 ()1221,1,2,3, ,k k k k k k u a a b a b b k --=-+- +-=则( ) 20082007200620082007200620082007 20082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的 顺序排成一个新的数列 {} n a ,易见123451,3,7,9,13 a a a a a =====那么 2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 6. 设 A B ==1+cos871-cos87 则():A B = .. .A B C D 2 2 7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n 为使得n n a = 取实数值的最小正整数,则对应此n 的 n a 为 783660 A B C D
江苏省高中数学竞赛校本教材[全套] (共30讲，含详细答案)-苏教版 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143)
§19立体图形，空间向量 (161) §20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB.
10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准
2018本一试题解答与评分标准 一．填空题（ 每小题4分，共20分） (1) 设()()()()12ln arctan ,,,1u x f u x y f x u x ??-+===+则 1 d d x y x == . (2) () 2 2 sin cos2d x x x π+= ? . (3) () 2 20 1 d 1x x +∞ = +? . (4) 已知函数 () ,,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w F '=函数 () ,z f x y =由() 2 2223,4,0 F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足 ()1,20,f =则 ()1,2x f '= . (5) 设Γ是区域(){} 2 2,4,0x y x y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取 ()()()()()3 3 1e d e d y y x y y x x y xy y Γ -+-+++=?
解 (1) 记 ()() 2 222 221321, 242n n a n ???-= ?? ?因为()() () 2 212112k k k -?+<()* ,k ∈N （1分）所以 ()()() ()()2 2 222 2 2321133557 21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<= ???? ?<-（2分） 因为 () 2 21 lim 0,2n n n →∞ -=应用夹逼准则得 lim 0. n n a →∞ = （2分） (2) 应用不等式的性质得 ( ) 222222442222,2, x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分） () ()22224444 22 22211 0sin 2x y x xy y x y x y x y y x +++≤?+≤= ++，（1分） 因为 2 211lim 0,x y y x →∞→∞?? += ???应用夹逼准则得 () 2244 44lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?+=+（2分） 三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{},n n x y 满足: (),, n x a a δ∈-() ,n y a a δ∈+ ()0, δ>且 lim ,n n x a →∞=lim ,n n y a →∞= 试求 ()() lim .n n n n n n n x f y y f x y x →∞ -- 解 由 () f x 在 x a =处可导得 ()()()lim , x a f x f a f a x a →-'=- ( 2分) ()()()()lim , n n n f x f a f a f a x a -→∞ -''==- ()()()()lim , n n n f y f a f a f a y a +→∞ -''==- ( 2分)
2018本一试题解答与评分标准 一．填空题（ 每小题4分，共20分） (1) 设()()()()12ln arctan ,,,1u x f u x y f x u x ??-+===+则 1 d d x y x == . (2) () 2 2 sin cos2d x x x π+=? . (3) () 2 20 1 d 1x x +∞ =+? . (4) 已知函数(),,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w F '=函数 (),z f x y =由() 22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足()1,20,f =则 ()1,2x f '= . (5) 设Γ是区域 (){}2 2,4,0x y x y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取逆时针方向, 则 ()()()() () 3 3 1e d e d y y x y y x x y xy y Γ -+-+++=? . 一.答案: (1) 1;5 (2) 2 ;23 π - (3) ;4π (4)2;- (5) 6.π 二. 解下列两题（ 每小题5分，共10分） (1) 求极限 ()()()()2 132321lim ;24222n n n n n →∞?? ???-?- ? ????-??? (2) 求极限 () 2244 44lim sin .x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?++ 解 (1) 记 ()() 2 222 221321,242n n a n ???-= ?? ?因为 ()() () 2 212112k k k -?+<()*,k ∈N （1分）所以 ()()() ()()2 2 222 2 2321133557 21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<=???? ?<-（2分） 因为 () 2 21 lim 0,2n n n →∞ -=应用夹逼准则得 lim 0.n n a →∞= （2分） (2) 应用不等式的性质得 () 222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分）
2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+2 2，b y x =+2 2 ，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的 最大值为 （ ） A ．2 b a + B ．ab C ．22 2b a + D ．2 2 2b a + 2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），?? ? ??41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1 x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N 3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数 列，那么z y x ++的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是 222C B A ?的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形 B ．111 C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形 C ．111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形 D ．111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形 5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A ．不存在 B ．有且只有一对 C ．有且只有两对 D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．设集合[]{}{} 222 <==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B =___________________. 7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写 成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 _________________. 9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10．在ABC ?中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2 2 2c b a +=______________. 1 2 0.5 1 x y z
2019年浙江省高中数学竞赛试卷 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 化简三角有理式x x x x x x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。 22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=( 4422s i n c o s s i n c o s x x x x =++ 。 2． 若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3． 集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-， {}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b . 若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ） A ．k r == B ．k r == C ．12k r == D ．1122 k r -±-±==解答．C. P Q Q R P R ==，
高中数学竞赛初赛试题 一 选择题 1. 如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{} 1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对 (),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对， 那么“好集对”一共有（）个 64862A B C D ２.设函数()()lg 10 1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21 .log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100 到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126 的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为 ()1221,1,2,3,, k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质 的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个 新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么 2007____________a = 192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 783660A B C D
２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m <
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．） 1．已知向量()1,3AP =uu u r ，() 3,1PB =-uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 ． 2．已知集合()(){}10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ?，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知复数22cos sin 33 z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ． 5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ． 6．若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ． 7．若3tan 43 x =，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动， 其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ． 9．设数列12321,,,,a a a a L 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =L ），1a ，7a ，21a 成等比数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ． 10．对于某些正整数n ，分数2237 n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ． 二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 11．设数列{}n a 满足： ①11a =；②0n a >；③2111 n n n na a na ++=+，*n ∈N . 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 考试时间:2019年6月30日上午9:00 1.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i ?+. 2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =21 3. 3.函数()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期=2π. 4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值= 5、从1,2,,10???中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115 . 6、在边长为1的正方体1111ABCD A B C D ?内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 1AC 相切，则小球半径的最大值=45 . 7、设H 是ABC ?的垂心，且3450HA HB HC ++=，则 cos AHB ∠=6? . 8、把21,2,,n ???按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ???. 例如：3123894765T ?? ??=?????? 设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.
9、如图所示，设ABCD是矩形，点,E F分别是线段, AD BC的中点，点G在线段EF上，点,D H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:3 HAB GAB ∠=∠. 10、设O是坐标原点，双曲线: C 22 22 1 x y a b ?=上动点M处的切线交C的两条渐近 线于,A B两点. (1)求证：ABC ?的面积S是定值; （2）求AOB ?的外心P的轨迹方程.
2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,，且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=?→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a= 二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的
. 2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ． 答案：－8 2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数 m = . 答案：32 - 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）． 答案：19145 4． 已知1cos45 θ=，则44sin cos θθ+= ． 答案：45 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3 ==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案：6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前 n 项和等于 ． 答案：1(848)7 n + 7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 答案：(0,2) 8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *， 则[(2011)]f f = ． 答案：6 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 ． 答案：4 3 10．已知m 是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值 是 ． 答案：3,14,30 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 （考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30） 注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器． 一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简） 1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____． 2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____． 3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____． 4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____． 5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____ 6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=____． 7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____． 8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ． 二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分） 9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ． A B C D E F G H l
2017年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式310 (1)(2)x x -+的展开式中6x 的系数为 ． 2.已知 3)5a -=,则实数a = ． 3.设2()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则22a b -的取值范围为 ． 4.设x ,y R ∈,且222222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+,则x y -= ． 5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数2()1g x x ax =++（x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 ． 6.设S 是5 (0,)8中所有有理数的集合，对简分数q S p ∈，(,)1p q =，定义函数1()q q f p p +=，则2()3 f x =在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆22(1)(2)1x y -+-=和圆22(3)(4)3 x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ． 8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ． 9.已知平面向量a ，b ，c ，满足||1a =，||2b =，||3c =，01λ<<，若0b c ?=，则|(1)|a b c λλ---所有取不到的值的集合为 ． 10.已知22,0, ()1,0,x x f x x x -