必修1复习专题函数之二(值域)
吴川三中文科数学出版
一 相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=
，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
二 确定函数值域的原则
1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合；
2、数)(x f y =的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；
3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三 基本函数的值域
1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ；
2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y ；
]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 3、反比例函数)0(≠=k x
k y 的值域为
}0/{≠y y ；4、数函数)10(≠>=a a a y x
且的值域为}0/{>y y ；5、对数函数
)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。6，函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-
四 求函数值域的方法
1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；
2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. ]53(2
32，求函数-∈+-=x x x y 的值域；
解：12
23
)61(32322+-+-=x x x y ＝求函数
画出图像（图略）从图可知, .7212
23)615(35;12
23
6
12max
min
=+-
===
=，y x ，y
x 时时 所以此函数的值域为]7212
23
[，. 例2. 求562---=x x y 函数 的值域；
解：设;0562≥---=μμ
，则x x ;44)3(5622≤++-=---=x x x μ
.400≤≤∴≥μμ，又
].2,0[],2,0[值域为∴∈μ
３、换元法： 形如常用换元法求值域
的函数且为常数、、、)0(≠+±+=a ，d c b a d cx b ax y ；
例3. 求函数x x y -+=142的值域
解：设2101t x x t -=≥-=则,44)1(22422
2
≤+--=++-=∴t t t y , (]4,∞-∴值域为.
4、判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(212
22
2112
1a a c x b x a c x b x a y ++++=； 例4 求函数x
x y 1
+
=的值域； 解：011122
=+-?+=+=yx x x
x x x y 要上面的方程有实数根，04114)(22≥-=??--=?y y
求出12-≤≥y y 或,所以函数的值域为).,2[]2,(∞+--∞
５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
形如)0(≠++=a b ax d cx y 的函数用反函数法求值域；例 求函数y=6
543++x x 值域。 ６、分离常数法：形如)0(≠++=
a b
ax d
cx y 的函数也可用此法求值域； 例5求函数2
1
3-+=x x y 的值域；
解：方法一：（反函数法）求出函数2
1
3-+=x x y 的反函数为312-+=x x y ，其定义域为}3/{≠∈x R x x 且，
所以原函数的值域为}3/{≠∈y R y y 且 方法二：（分离常数法）,2
7
327)2(3213-+=-+-=-+=
x x x x x y .32
7
3,027≠-+∴≠-x x
}.3/{213≠∈-+=
∴y R y y x x y 且的值域为 ７、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就
是三角函数的单调性。例 求函数y=1
1+-x x
e e ，2sin 11sin y θθ-=+，的值域
８、数形结合法。例6求函数的值域|4||1|++-=x x y （方法一可用到图象法） 方法二：（单调性）
为减函数时32,4--=-≤x y x ;53)4(2=--?-≥∴y 为增函数时当32,1
+=≥x y x ;5312=+?≥∴y ;514=<<-，y x 时当所以此函数的值域为[)∞+
，5
注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。
一．回顾与应用
1．若函数y =f (x )的值域是[-2，3]，则函数y =∣f (x )∣的值域是 （ ） A ．[-2，3] B ．[2，3] C ．[0，2] D ．[0，3] 2．函数y=log 0.3(x 2+4x+5)的值域是 . 3．函数844)(2++-=
x x x f 的值域为 ．
4．定义域为R 的函数y = f (x )的值域为[a ，b ]，则f (x +a )的值域为 （ ）
A ．[2a ，a +b ]
B ．[0，b -a ]
C ．[a ，b ]
D ．[-a ，a +b ]
5．若函数f(x)=x 2
1log 2的值域是[-1，1]，则函数f –1(x)的值域是（ ） A ]2,22[
B [-1,1]
C ]2,21[
D ),2[]2
2
,(+∞?-∞
6．函数y =x +2x -1的值域是 （ ）
A ．{y |y ≥12}
B ．{y |y ≤1
2} C ．{y |y ≥0} D ．{y |y ≤0}
二．题型举例
1．求下列函数的值域：
（1）1
22+--=x x x
x y （2）x x y 21--=
2．已知x 1、x 2是方程x 2-(k-2)x+k 2+3k+5=0(k ∈R)的两个实根，求x 12+x 22的最大值。
3．已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R.
(1) 求实数m 的取值范围。 （2）当m 变化时，若y 的最小值为f(m)，求f(m)的值域。
三．课后练习 1．函数523+-=
x x y 的值域是 ；．函数5
23+-=
x x
y )0(≥x 的值域是 。 2．函数y=-x(x+2)(x ≥0)的反函数的定义域是 。
3．若函数)2(log 2
2
1k kx x y +-=的值域为R ，则k 的取值范围是（ ）
A 0 B 0≤k<1 C k ≤0或k ≥1 D k=0或k ≥1 4．若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为]4,4 25 [-- ，则m 的取值范围是（ ） A ]4,0( B ]4,23[ C ]3,2 3 [ D ),23(+∞ 5．求下列函数的值域：（1） 1 1+-=x x e e y （2）x x y --=24 6．若函数2 3 212+-= x x y 的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b 的值。 7．已知函数f(x)=1-2a x -a 2x (a>1)。 （1）求f(x)的值域。 （2）若x ∈[-2,1]时，函数的最小值为-7，求a 及f(x)的最大值。 答案参考 1．D 2.]0,(-∞ 3. [0，3 ] 4. C 5. A 提示：反函数的值域是原函数的定义域；令 1log 212 1≤≤-x ，求x 。 6．A 二．1．求下列函数的值域： 解：（1）43)21(112+-- =x y ，而 4343)21(2≥+-x ，所以34 4 3)21(102≤+ - 143)21(1 13 12<+ --≤-x ； 所以函数的值域是)1,31[- （2）1]1212)21[(2 1 2121)21(21++-+--=+----=x x x x y =2 11211)121(212 =+-≤++--x ，所以函数的值域是]21,(-∞。 2． 解：令 ?=（k-2）2-4(k 2+3k+5)= -3k 2-16k-16≥0，得 3 4 4-≤≤-k 。 x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(k-2)2-2(k 2+3x+5)= -k 2-10k-6= -(k+5)2+19因为 3 4 4- ≤≤-k ，所以 9 121 )5(12≤ +≤k ；-(k+5)2+19≤19-1=18。 故x 12+x 22的最大值是18。 3． 解：（1） m=0满足条件。当m ≠0时，令 ? ??≤+->0)8(43602 m m m m 解得 0 所以 f(m)=)10(88≤≤-m m ； 22)(0≤≤m f 。故f(m)的值域为[0，22]。 三．课后练习 1. }21 ,|{-≠∈y R y y ]53,21(- 2. ]0,(-∞ 3. C 4．C 解：f(0)= -4，f(23)=425-，f(3)=f(0)， 所以 m ]3,2 3 [∈ 5. 解：（1）21 2 0,121<+<+- =x x e e y ；所以-1 y e x -+=11，又e x >0；从而解得。 （2）2)22(6224)2(2≤+--=+----=x x x y ；函数的值域是]2,(-∞。 法二：x y -+=221' 〉0，所以函数y 是]2,(-∞上的增函数，当x=2时，y 有最大值2，从而得 结论。 6．解：1)1(21 2+-= x y ，y 在[1，b]上为增函数，f(1)=1，f(b)=b ； 所以 b b =+-1)1(2 12 ；解得：b=1(舍去)、b=3。所以 b=3 7．解：（1）f(x)= -(a x +1)2+2<1；所以f(x)的值域是)1,(-∞。 （2）f /(x)<0，所以f(x)为R 上的减函数，所以 f(1)= -7；即 -（a+1）2+2= -7；a=2. f(-2)= -(2 –2+1)2+2= 167 。所以a=2，f(x)的最大值是16 7 。 必修1复习专题之函数(定义域 解析式 分段函数) ----------答案 【你会做哪些】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 6．B 7. 解析：本题路程S 与时间t 的关系有3种情况，应分3个时间段处理．答案：. 5.105.65.6550)5.6(6526026052,,, , , ≤≤≤<≤= 8. 18 4或－6 9. 3=a 10. V ＝2)2(x a x －｛x ｜0＜x ＜a /2｝ 【训练反馈】 1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x |-1≤x ＜8} 8．（0，5] 9． y = ? ??????≤-≤+-≤+-≤≤. 43,4,32,106,21,22, 10,2 2 x x x x x x x x x x 10．提示：若k =0，则函数的定义域为R ；若k ≠0，则对任意x ∈R ，kx 2+4kx +3 ≠0，从而，△＜0，解得0＜k ＜34．从而所求k 的取值范围为{k |0≤k ＜3 4}． 12．（1）f (1) =0，f (4)=2； （2）增函数；（3）3＜x ≤4． 补充专题1----如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_____________。 [] （答：，）a a -复合函数定义域的求法： 已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域， 可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为?? ????2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数)(x f y =的定义域为?? ????2,21可知：22 1≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有 2log 2 1 2≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2 12≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x 补充专题二-----映射的扩展 【知识在线】 1．对于映射f ：A →B ，下列说法正确的是 （ ） A ．A 中某一元素的象可以不止一个 B ．B 中某一元素的原象可以不止一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同 D ．B 中两个不同元素的原象可能相同 2．设集合A ={a ，b ，c }，B ={m ，n ，p }，那么从集合A 到B 可以建立 个一一映射． 3．已知A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，且f ：x →y =ax +b ，若5和20的原象分别是5和10，则7在f 下的象为 ． 4．下列函数中，表示同一函数的是 （ ） A ．f (x )=1，g (x )=x ° B ．f (x )=x +1，g (x )= x 2-1 x -1 C ．f (x )= x 2，g (x )=|x | D ．f (x )=x ，g (x )=(x )2 【讲练平台】例1 在对应法则“f ”下，给出下列从集合A 到集合B 的对应： （1）A =N ，B =R ，f ：x →y = x 1；（2）A =N ，B =Z ，f ：x →y =x )1(-； （3）A ={x ∣x 是平面内的三角形}，B ={y ∣y 是平面内的圆}，f ：x →y 是x 的外接圆． 其中能构成映射的是（ ）A ．（1）、（2） B ．（1）、（3） C ．（2）、（3） D ．（2） 分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下，对于集合A 中的任一．．元素在B 中是否都有唯一．． 的象． 解 在（1）中，元素“0”在B 中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射．在（2）中，当x 为偶数时，其象为1；当x 为奇数时，其象为-1，而1，-1∈B ，即A 中任一元素在B 中都有唯一的象． 在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2）、（3）能构成映射．答案选C ． 点评 ①判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义．②在课本中，已规定0是自然数，忽视了这一点，将误认为对应（1）是映射．③在映射f ：A →B 中，A 、B 的地位是不对等的，它并不要求B 中元素均有原象，或有原象也未必唯一．一般地，若A 中元素的象的集合为C ，则C ?B ．如（2）中除1，-1以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个．④映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形． 变题 设集合A ={x ∣x 是平面内的圆}，B ={y ∣y 是平面内的矩形}，f ：x →y 是x 的内接矩形．试问它能否构成映射？ 答案：不能 例2（1999年全国高考） 已知映射f ：A →B ，其中集合A ={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意a ∈A ，在B 中和它们对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 分析 本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解．解本题应抓住：①对应法则f 是什么？②集合B 中的具体元素是什么？而②的解决由①来决定． 解 依题意，由A →B 的对应法则为f ：a →|a |．于是，将集合A 中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互异性可知，B ={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A ． 点评 ①准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键． ②不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用．本能中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D ． 例3 设A ={(x ，y )∣x ∈R ，y ∈R }．如果由A 到A 的一一映射，使象集合中的元素(y -1，x +2)和原象集合中的元素(x ，y )对应，那么象(3，-4)的原象是 （ ） A ．（-5，5） B ．（4，-6） C ．（2，-2） D ．（-6，4） 分析 由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f ：(x ，y )→(y -1，x +2)，问题即：当点(y -1，x +2)是（3，-4）时，对应的x ，y 的值分别是多少？于是由 ?? ?-=+=-4 231x y ???=-=?46y x ，即象（-3，4）的原象是（-6，4），选D ． 点评 ①已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决．②在映射f ：A →B 中，A 是原象集合，B 是象的集合，对应法则是f ：原象→象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A ；点(x ，y )是有序数对，x ，y 的顺序不能搞错，否则将误选B ． 例4 设A ={x ∣0≤x ≤2}，B ={y ∣1≤y ≤2}，图1中表示A 到B 的函数是 分析 可根据映 射观点下的函数 定义直接求解．首先C 图中，A 中同一个元素x （除x =2)与B 中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A 、B 两图中，A 所对应的“象”的集合均为{y ∣0≤y ≤2}，而{y ∣0≤y ≤2}? B ={y ∣1≤y ≤2}，故它们均不能构成函数．从而答案选D ． 点评 函数首先必须是映射，是当集合A 与B 均为非空数集时的映射．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A 与B 是否为非空数集；②f ：A →B 能否为一个映射．另外，函数f ：A →B 中，象的集合M 叫函数的值域，且M ?B ． 【知能集成】1．理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：①任意性；②唯一性．2．判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去”；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例．3．深化对函数概念的理解，能从函数三要素（定义域、值域与对应法则）的整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的核心，两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件． 【知识在线】1．B 2．6 3． 11 4． C 最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3，5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域； 2的表达式，f(a)，记∈[0，1]f(a)为其最小值，求－练习已知函数y＝－3x＋2ax1，x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域；例 ，的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法：形如；常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值．在区间例4求函数[2，1x? 2）的取值范围是（在R上单调递增，且f(m )>f(-m)，则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为，最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈，则函数3．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是（） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2ax?bx?c；判别式法：形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?，a 212ax?bx?c2221的值域；求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；bax?13x??y 例5求函数的值域；2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数（方法一可用到图象法）例 2xxxy( ) ，3]，的最大值、最小值分别为1．函数∈＝4[0－当堂检测3 0 (D)4，0 (B)2，0 (C)3，(A)4，1( ) ．函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??）〕上的最大值、最小值分别是（ 3、函数在区间〔0，52?x33333,,0,0 B.，无最小值。 D. A. C. 最大值72727）（ff(x)的值域为[a，b]，则(x+a)的值域为．定义域为4R的函数y = ] ba+[-a，a[0，b-a] C．[，b] D．[2A．a，a+b] B．） （-．函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤．y．{y|y≤} C．{|y≥0} D{yB|A．{yy≥} 22252]?[?4,，则m，值域为的定义域为[0,m]的取值范围是（）6．若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27．函数＝4－－1 ∈－．______3)2，的值域为2．______8．函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8．函数11 ．的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。；．函数的值域是12．函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。．若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b22 15．求下列函数的值域：2x?x?y x?2?x?1y）（2）1 （21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根，求．已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211高中数学必修一函数的值域求法
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