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函数概念的发展

函数概念的发展
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摘要

本文主要介绍数学函数概念的发展,把数学函数概念分成四个时期来进行介绍,分别是发展的萌芽时期、函数概念的“解析定义”时期、函数概念的“对应定义”时期及函数概念的“集合定义”时期。第二部分介绍函数概念的发展在教学中的启示。还有数学家欧拉对函数概念发展的内容及他的为现代数学发展的贡献。

关键词:函数概念;集合;教学启示;欧拉

一、函数概念的发展历程

函数是数学中的一个重要概念,对于它的发展,许多文献有过详细的论述,但总有意犹未尽的感觉。研究数学函数的概念发展函数,首先我先从它的发展历程来简写,把函数概念的发展分为四个时期,期望通过这种划分和阐述,能对理解函数概念有所裨益。

第一个发展时期,函数概念的萌芽时期:函数思想是随数学开始研究事物的运动变化而出现的,早期的数学是不研究事物的运动变化的。占希腊科学家亚里斯多德曾指出,数学研究的是抽象的概念,而抽象概念来自事物静止不动的属性[1]。例如数学中的数、线、形,这些数学对象都不包括运动,运动变化是物理学研究的对象。受其影响,直到14世纪,数学家才开始研究物体的运动问题。到了16世纪,由于实践的需要,自然科学转向对运动的研究,自然各种变化和各种变化着的量之间的关系成为数学家注意的对象。伽利略是最早开展这方面研究的科学家之一,在他的著作中多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系,例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比,等等。这正是函数概念所表达的思想意义。

第二个发展时期,函数概念的“解析定义”时期:世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。出生于伯努利家族的雅各·伯努利和约翰·伯努利两兄弟,在数学的许多领域有过建树,他们不但整理加了莱布尼茨零碎而又是梗概性的文章,而且他们对函数概念的发展也做了创造性的工作。在研究积分计算问题上,约翰·伯努利认为:积分计算的目的是给定变量的微分中,找出变量本身之间的关系。在对待“找出变量本身之间的关系”的表示上,显然用莱布尼茨定义的函数表示是困难的。于是1718年约翰·伯努利从解析的角度给出了函数的定义:变量的函数就是变量和常数以任何方式组成的表达式,记作x。其后他对函数记号又作了改进,用Φx表示x的函数。记号f(x)是瑞士数学家欧拉于1734年引进的。

第三个发展时期,函数概念的“对应定义”时期,基于他人对函数概念的认识和发展,1821年法国数学家柯西在函数的定义中引人了“自变量”概念,他指出:依次取互不相同的值的量叫做变量[2]。当变量之间这样联系起来的时候,即给定了这些变量中一个的值,就可以决定所有其他变量的值的时候,人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的,这时这个量就取名为自变量,而由这自变

量表示的其他量就叫做这个自变量的函数。按照这个定义,只要由自变量x的一个值可以决定Y的相应值,则Y就是x的函数。

第四个发展时期,函数概念的“集合定义”时期,19世纪70年代,康托的集合论诞生以前,函数的研究仅限于数的范围内。集合论的产生对函数概念的研究也突破了“数”的界限。20世纪初,美国数学家维布伦首先使用集合给出了以下概念定义:(1)变量定义。所谓变量,就是代表事物的集合中任一个事物的记号;(2)常量定义。常量是变量的特殊情形,即是上述集合中只含有一个事物时的变量;(3)区域定义。变量x所代表的“事物的集合”称为该变量的区域或变域。

二、函数概念的发展对教学的启示

函数思想在教学中的应用:函数概念发展和完善的过程包括人们认识的几次升华,而函数概念发生突飞猛进的变化而上升一个层次时,往往也是学生理解困难的地方。所以,根据学生的认知规律,在教学之前,就应该做好准备工作。当然这里的准备,不仅仅指在涉及到函数部分的知识的时候才来进行,而是教师在日常的教学工作中就时刻注意。初等函数概念虽然是在初中才正式引入的,但是我国的数学课程实际上在小学阶段就开始渗透。比如,小学乘法运算中2的乘法公式,如果把乘数2看成是K,被乘数看成是自变量X,则乘积就是因变量Y,这可以是一个简单的比例函数,把被乘数1~ 9和乘积2 4 6 8 10 12 14 16 18看成两个集合,则‘乘以2’就是它们之间的一个映射,这两个集合是一一对应关系。类似的例子,只要老师有心,很容易发现。到了中学,通过代数式的学习,让学生了解到量与量之间的依存性;通过数的概念的发展,使学生积累关于“集合”概念的初步思想;通过数轴和坐标的教学,渗透关于“对应”概念的初步思想等,有了这些铺垫,学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时,才能比较容易接受。教师虽然不能过早地用这些术语来加重学生的思想负担,但可以让学生通过这种潜移默化的熏陶来初步认识函数的思想。事实上,很多教师教学只是就事论事,对这些内容深层次的内涵没有给予应有的挖掘和重视。

函数变量观点帮助理解:从概念的起源来看,函数是从研究事物的运动变化而出现的,是运动变化中的两个变量之间的一种制约关系,自变量x在自己的取值范围内取定一个值,Y就由这种制约关系确定出一个与树应的函数值。这种制约关系传统定义是从运动变化的观点出发,其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来。后来随着研究的深入,越来抽象程度越高,范围也越来越大,但仍然包括各种变量之间的依赖关系,而函数概念的变量观点比较生动、直观通俗易懂,又更能反映一些简单的函数关系的本质,就具体问题的分析时,函数概念也并不一定是越抽象越好,还需要具体问题具体分析。

画出图示数形结合:“函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。”函数自产生就和图形结下了不解之缘。其实,我们现在研究函数也要依据函数的图象,由图象看性质、由性质画图象,无论是函数概念还是性质的教学都离不开图象,都需要图象的支撑,因为函数和它的图象是分不开的一个整体。所以函数知识的教学中,教师一定要帮助学生养成未解题,先作图的习惯。函数概念比较抽象,学生理解起来普遍感到困难。函数概念教学中,教师可以借助于几何画板,图形计算器等现代教学工具辅助教学,鼓励学生上机操作,通过计算机演绎各种函数的变化过程,使学生从直观状态下,发现函数的各种性质。并且,强烈的视觉效果引发的学习积极性,可以使记忆保持的更持久。函数概念的教学过程中,在教学方式的选择上除了重点之处老师必不可少的讲解之外,而对于学生容易认

识不清的地方,教师可以创设适当的情景后,让学生采用合作学习的方式,进行充分的交流与讨论,凸现出问题,以便能及时发现学生思想上的错误认识,澄清是非,更好的学习和理解函数。

三、欧拉对函数概念的发展

欧拉定义变量后,接着定义了函数概念。一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。事实上,约翰伯努利(1667-1748)以及格里高利(1638- 1675)等人都已把函数定义为一个解析表达式,故欧拉的定义本身并不新颖。然而,欧拉是第一个企图回答解析表达式的具体含义或构成方法的数学家。欧拉列举了构成解析表达式的运算。欧拉还在《穷分析引论》(第一卷)重新定义了指数函数、对数函数、三角函数。“像幂函数一样定义指数函数,把对数函数定义为指数函数的反函数,对三角函数赋予数值而不是看作线段。这些定义从一定程度上讲,使这些超越函数真正成为函数。因此,可以说欧拉使函数概念从代数函数中解放出来。把超越函数展为幂级数的工作为把微积分从代数函数推广到超越函数作了充分的准备。首先是代数运算,代数运算不仅包括6种基本运算加、减、乘、除、乘方、开方,而且还包括求解代数方程。其次是超越运算,包括指数运算、对数运算、三角运算以及积分学提供的大量其他运算。只含有代数运算的函数称为代数函数,含有超越运算的函数称为超越函数。欧拉还借助于保角映射把复变解析函数用于理论制图学等方面的研究。他在1768年的一篇论文中,利用复变函数,设计了一种从一个平面到另一个平面的保角映射的表示方法。在19世纪,正是在欧拉和达朗贝尔工作的基础上,由柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯分别从3个不同的方向建立起了解析函数的一般理论。

四、认识

函数概念的发展对我们近代学习数学尤为重要,通过认识数学函数概念的发展历程了解函数概念的历史这样更容易了解到数学的本质,更让爱好数学读者容易接受数学的抽象,从数学函数的概念发展的四个时期,了解函数概念一步一步逐渐的发展成熟,到最后一时期康托尔用集合来定义函数,集合的定义更让人容易理解函数的抽象,这就是发展的成就。集合论的产生对函数概念的研究也突破了“数”的界限。第二个,函数概念对教学的启示,有了关于“对应”概念的初步思想这些铺垫,学生学习过程中自学到严谨而抽象的集合函数概念时,比较容易接受这个概念。可以让学生通过这种潜移默化的熏陶来初步认识函数的思想。一些数学家把数学函数概念进一步的具体的定义,为我们现代发展数学奠定的深刻的基础,为现代数学发展教育做出巨大贡献。

参考文献

[1] 佚名. 函数概念的发展历程_杜炜[J]. 刊名缺失, 武汉出版社, 2003.12-36.

[2] M。克莱因.朱学贤等译.古今数学思想(第二册)[M].上海:上海科学技术出版社.2002. 41- 47

[3]罗声雄.数学的魅力[M].武汉:武汉出版社.1999. 71- 81.

[4]曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报,2002,2:99-10

[5].章建跃.数学学习论与学习指导[M].北京:人民教育出版社,2001.2-23.

函数概念的产生及其历史演变

《函数》整体学习指导 解读:该部分学习意在通过对函数基本概念的理解(函数的概念丄、 巩固(分段函数)和加深(映射的概念)(教材中先函数后映 射遵循概念发展的历史过程);基本性质的学习(为什要只重点研究函数 的这几个性质?水浒传里有108将,但是只对武松、鲁智深、 林冲等十几个人着力刻画,这是文学家的方法,也是数学家的方法。 函数(Function)本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数(指数、对数、幕函数) / 解读:该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试,在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。 数学内部发展(函数的零点、二分法求方程近似解) 函数的应用(数学发展的两条主线都涉及了) 社会现实需要(解决社会与生活中的实际问题) 第一节:函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点:(The seenery we ' II visit ) 1.函数的概念是什么?(What?) 2.为什么要建立函数的概念?(Why ?) 3.函数的概念是如何建立的?函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程? (How?)

景点一:函数的概念是什么?函数的概念是如何建立的? 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展, 众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展。 案例1:圆的面积S与圆半径r的关系; 案例2:锐角:与锐角1互余,:与1的关系; 案例3:气体的质量一定时,它的体积V与它的密度之间的关系; 【思考1】上述的每一个问题在变化过程中,谁是常量,谁是变量?都涉及几个变量?【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的? 【思考3】综合思考1和思考2的解答,总结上述例子变量间关系的共同特点? 【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几 何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰?贝努利对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构 成的量(是历史上第一个正式发表的明确的函数定义),贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“ x的函数”。 欧拉在《无穷分析引论》(1748)中给出的函数定义是:"一个变量的函数是由该 变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考:函数就是解 析式

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【最新整理,下载后即可编辑】 函数概念的历史发展 函数概念是中学中最重要的概念之一,它既是数学研究的对象,又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪,生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量,而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系,从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。 函数(function )一词,始用于1692年,见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717)的著作。而f(x)则由欧拉(Euler )于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念,它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中,在物理、化学和其他自然科学中,在经济领域和社会科学中,均有广泛的应用,起着基础的作用。 函数的概念随着数学的发展而发展,函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象,函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。 牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函 数概念的雏形。最初,函数是表示代数上的幂(23,,,x x x …),1673 年,莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量,如切线、法线,以及点的横坐标都成为函数。 一、解析的函数概念 在18世纪占主导地位的观点是,把函数理解为一个解析表达式. 1698年,瑞士著名数学家约翰·贝努利定义:由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数.这里任何方式包括代数式子和超越式子. 1748年,约翰的学生,杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方

函数概念发展的历史过程

实习报告 2011年10月5日 题目函数概念发展的历史过程 作者组长:张婕组员:王笑晗,李良芳,薛兰瑞宁,严娟娟 摘要函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,也是数学的核心,纵观300年来函数概念的发展,众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展。本文通过对函数概念的发展与比较的研究,对函数概念的几个方面进行一些探索,分为这几个方面: 1 早期函数概念——几何观念下的函数 2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 4现代函数概念——集合论下的函数 正文第一方面:早期函数概念——几何观念下的函数 在欧洲,函数这一名词,是微积分的奠基人莱布尼兹首先采用的,他在年发1692表的数学论文中,就应用了函数这一概念,不过莱布尼兹仅用函数一词表示幂。后来,在十七世纪,伽俐略在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 第二方面:十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年瑞士数学家约翰·贝努利使用变量概念在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义给出了不同于几何形式的函数定义:函数就是变量和常量以任何方式组成的量,并首先采用符号作为函数的记号。也就是把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子。 数学家欧拉在其著作《无穷小分析论》中,把凡是给出解析式表示的变量统称为函数。1734年,欧拉首先创造十分形象且沿用至今的符号作为函数的记号,欧拉给出的定义是:一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数(只有自变量间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数),还考虑了“随意函数”(表示任意画出曲线的函数),不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍,形象,但关于函数的定义,欧拉并没有真正揭示出函数概念的实质。 第三方面: 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从

对数函数的产生和发展历程

对数函数的产生和发展历程 一、对数函数的产生: 16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的天文数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积(商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。 在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算。他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:Nap.㏒x=10㏑(107/x)由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=...为底)。对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。 二、对数函数的发展过程: 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的.当时在lg2=中,2叫「真数」,叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用「假数」为「对数」.我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等.1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905)看到这些著作后,大为叹服.当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致.

数学函数的发展史

总课题:数学的发展史 子课题:函数的发展史 一、组长:李 组员:刘田仁姬孙二、指导老师:张

三、班级:高一12班 四、成员简介: 李:性格开朗、刻苦认真担任组长 刘:喜欢英语、大方担任搜集 仁:喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬:开朗大方、热情担任搜集 孙:爱好动漫、画画性格外向担任整理 田:开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因: 开阔视野,增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起,加强团结,了解数学。 六:研究计划: 共六人:姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七:研究成果: 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分 有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用. 马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽. 自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源.

函数概念的发展

初中数学新课程标准解读 一、函数概念的发展 从古希腊到十七世纪末这样一个漫长的时期内,并不存在一般函数的定义,就是到了牛顿、莱布尼兹的微积分问世时,函数的一般定义仍没诞生,原因在于:数学家们一直同具体的函数打交道,对具体函数求导、积极分、讨论各种各样的问题,并没有感到定义一般函数概念的需要和动机。 "function"这个词来自于莱布尼兹,他首先用"function"表示"幂",后来他又用它表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的几何量,莱布尼兹的两次定义,正反映出函数的几何的和代数的特性。 1718年,莱布尼兹的学生约翰·贝努利继承了代数的思想,把"function"的含义固定在"解析表达式上",他说:"所谓变量的函数,就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式"。而欧拉则继承了几何的思想,认为"function"思想指任意画出的曲线,并把这种函数叫"随意函数"。 这时出现了争论,欧拉认为函数是指任意的曲线,即任意曲线都是函数。而达朗贝尔则认为不是这样,他从解析式出发认为,只有可以用单一解析式表达的曲线才是函数,而且认为能用单一解析式表达的曲线只有连续且光滑的曲线。因而,只有连续曲线才是函数。可以看出,两位数学家争论的焦点在于曲线与解析式之间的

关系,欧拉认为他的定义更广泛,因为任意描画的曲线比任意解析式具有更广的意义,解析表达式可以描为某曲线,而任意曲线不一定有相应的解析式。达朗贝尔则认为只有连续曲线才能用唯一的解析式表达,才是函数,至于任何唯一解析式的所代表的曲线是否连续,他则没有考虑。然而,付里叶的研究使数学界大吃一惊,付里叶的结论是:"由不连续曲线给出的函数,可以用一个三角函数式表示,"并举例指出下图那样的不连续曲线虽然用 这单一的式子表示出来。 付里叶的研究表明:在解析式与曲线之间并没有不可逾越的鸿沟,通过级数可以把它们相互勾通。那种视函数为解析式的观点终于得以澄清。历史的缩影可以在学生的学习中找到,中学生把函数与解析式等同是及其普遍的。 既然函数不再要求用唯一的解析式来表示,所以,无论y是用一个式子还是用多个式子表示都无关紧要,只要对于x的每一个值,y有完全确定的值与之对应,则y就是x的函数,柯西便给出了函数如下定义:对于x每个值,如果y有完全确定的值与之对应,则y叫做x的函数。 由于认识到了解析式对于x与y的关系并无多大意义,所以黎曼和狄里克需更进一步,他们完全抛弃解析式的限制,定义了我们所常说的结论的函数定义:对于x的每个值,如果y有完全确定的值与之对应,不论x、y所建立的对应方式如何,y都叫做x的函数。

函数概念的产生及其历史演变

《函数》整体学习指导 函数的概念和基本性质(单调性、奇偶性) 解读:该部分学习意在通过对函数基本概念的理解(函数的概 念)、巩固(分段函数)和加深(映射的概念)(教材中先函数后映 射遵循概念发展的历史过程);基本性质的学习(为什要只重点研 究函数的这几个性质?水浒传里有108将,但是只对武松、鲁智深、 林冲等十几个人着力刻画,这是文学家的方法,也是数学家的方法。函数(Function)本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数(指数、对数、幂函数) 解读:该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试,在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。 数学内部发展(函数的零点、二分法求方程近似解) (数学发展的两条主线都涉及了) 社会现实需要(解决社会与生活中的实际问题) 第一节:函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点:(The scenery we’ll visit) 1. 函数的概念是什么?(What?) 2. 为什么要建立函数的概念?(Why ?) 3. 函数的概念是如何建立的?函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程?(How?) 景点一:函数的概念是什么?函数的概念是如何建立的?

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展,众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展。 案例1:圆的面积S与圆半径r的关系; 案例2:锐角α与锐角β互余,α与β的关系; 案例3:气体的质量一定时,它的体积V与它的密度ρ之间的关系; 【思考1】上述的每一个问题在变化过程中,谁是常量,谁是变量?都涉及几个变量?【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的? 【思考3】综合思考1和思考2的解答,总结上述例子变量间关系的共同特点?【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构 成的量(是历史上第一个正式发表的明确的函数定义),贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“x的函数”。 欧拉在《无穷分析引论》(1748)中给出的函数定义是:“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考:函数就是解析式

函数发展史

函数发展简史 最早提出函数(function)概念的,是17世纪德国数学家莱布尼茨. 后又经历了贝努利、欧拉等人的改译。 1821年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数,在柯西的定义中,首先出现了自变量一词。 1834年,俄国数学家罗巴契夫斯基进一步指出了对应关系(条件)的必要性,利用这个关系以求出每一个x的对应值. 康托尔 自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后,用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。 . 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时,把“function”译成函数。

优美的函数图象

笛卡尔的故事 当时法国正流行黑死病,笛卡儿不得不逃离法国,于是他流浪到瑞典当乞丐。某天,他在市场乞讨时,有一群少女经过,其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人,她对笛卡儿非常好奇,于是上前问他…… 你从哪来的啊? “法国”“你是做什么的啊?” “我是数学家。” 这名少女叫克丽丝汀,18岁,是一个公主,她和其它女孩子不一样,并不喜欢文学,而是热衷于数学。当她听到笛卡儿说名身份之后,感到相当大的兴趣,于是把笛卡儿邀请回宫。笛卡儿就成了她的数学老师,将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。而克丽丝汀的数学也日益进步,直角坐标当时也只有笛卡儿这对师生才懂。后来,他们之间有了不一样的情愫,发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中,让国王相当愤怒!下令将笛卡儿处死,克丽丝汀以自缢相逼,国王害怕宝贝女儿真的会想不开,于是将笛卡儿放逐回法国,并将克丽丝汀软禁。笛卡儿一回到法国后,没多久就染上了黑死病,躺在床上奄奄一息。笛卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀,但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到笛卡儿的信…… 在笛卡儿快要死去的时候,他寄出了第13封信,当他寄出去没多久后... 就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行…… r=a(1-sinθ) 国王拦截到这封信之后,拆开看,发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这个数学式,于是找来城里所有科学家来研究,但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想……反正笛卡儿快要

函数的起源与发展

函数的起源与发展 今天的数学大厦已有数千年历史,这是世界数代数学家不断建设完善的结果,伴随着数学思想的发展,函数概念由模糊逐渐严密,对于数学和科学来说,函数是一个最重要,最有意义的数学概念,是人类心智发展的重要标志。 ——引言 众所周知,函数概念是在集合论的基础上产生的。 设A,B是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素?和它对应,那么就称??为从集合A到集合B的一个函 数,记作??或?。

仍然是未知的。(定义?5)这实际是“列表定义”,好像有一个“表格”,其中一栏是?x值,另一栏是与它相对应的?y值。这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,把函数的“对应”思想表现出来,而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西(?Cauchy)更明确的给出定义:有两个互相联系的变量,一个变量的数值可以在某一范围内任意变化,这样的变量叫做自变量,另一个变量的数值随着自变量的数值而变化,这个变量称为因变量,并且称因变量为自变量的函数。 直到1930年,现代的函数概念才“出炉”,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数。 函数的应用领域是非常广泛的,几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。 题目要求相当简单:只用圆规和没有刻度的直尺,作出一个正十七边形。(尺规作图) 要作正十七边形,还只能用尺规,谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了,他的名字就是高斯。 作图方法: 步骤一:?? ?给一圆O,作两垂直的半径OA、OB,????作C点使OC=1/4OB,????作D点使∠OCD=1/4∠OCA,?? ?作AO延长线上E点使得∠DCE= ???步骤二:?? ?作AE中点M,并以M F 点,此圆交直线OA于G4和G6两点。 ?步骤三:?? ??过G4作OA垂直线交圆O于P4 有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1?? 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a, 令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a?? y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a???? 有:x+y=-1/2?? 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)???? =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)???? 经计算知xy=-1又有?? x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4?? 其次再设 x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a??? ?y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a???? 故有x1+x2=(-1+根号17)/4????y1+y2=(-1-根号17)/4?? 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2??

函数概念的历史发展

函数概念的历史发展 众所周知,函数是数学中一个重要概念,它几乎渗透到每一个数学分支,因此考察函数概念的发展历史及其演变过程,无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职,并且从中得到有益的方法论启示。 1 函数概念的产生阶段—变量说 马克思曾认为,函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究,那时,伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度,据此,可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念,几乎和数学源于同一时期,因为数学家在研究物体的大小及位置关系时,自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是,真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后,特别是由于微积分的建立,伴随这一学科的产生、发展和完善,函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。 哥白尼的天文学革命以后,运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,到了16世纪,对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。在这一时期,函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。在伽利略的《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数的思想,他用文字和比例的语言表述函数关系。例如,他提出:“两个等体积圆柱体的面积之比,等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱,其体积之比等于它们高度之比的反比。”他又说:“从静止状态开始以定常加速度下降的物体,其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数,但他并没有做出一般的抽象,并且也没有把文字叙述表示为符号形式。 几乎与此同时,许多数学家,如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等,从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线()0≥ y ex进行过研究;而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲 =x ae 线,并注意到了这一函数的周期性。麦尔先纳研究了旋轮线等等,总的来讲,当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。在解析几何产生前后,人们除了已认识的代数曲线外,还确定了相当多的超越曲线。笛卡儿在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数曲线(函数)和超越曲线(函数)的区别。

数学函数的发展史

数学函数的发展史 文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

总课题:数学的发展史 子课题:函数的发展史 一、组长:李 组员:刘田仁姬孙 二、指导老师:张 三、班级:高一12班 四、成员简介: 李:性格开朗、刻苦认真担任组长 刘:喜欢英语、大方担任搜集 仁:喜欢信息、刻苦认真担任写作 姬:开朗大方、热情担任搜集 孙:爱好动漫、画画性格外向担任整理 田:开朗大方刻苦认真担任整理 五、选题的原因: 开阔视野,增长见识。提高我们的数学修养‘可以使我们更好的融合在一起,加强团结,了解数学。 六:研究计划: 共六人:姬刘担任搜集 李仁担任写作 孙田整理资料 七:研究成果:

历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分 有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用. (一)1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系,但因当时尚未意识到要提炼函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的。 马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽. 自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源. (二)

函数概念的发展历程

函数概念的发展历程 17世纪,科学家们致力于运动的研究,如计算天体的位置,远距离航海中对经度和纬度的测量,炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题,都需要探究两个变量之间的关系,并根据这种关系对事物的变化规律做出判断,如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数概念产生和发展的背景. “function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.在中国,清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”. 莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量,如坐标、切线等,1718年,他的学生,瑞士数学家约翰伯努利强调函数要用公式表示.后来,数学家认为这不是判断函数的标准,只是一些变量变化,另一些变量随着变化就可以了.所以,1755年,瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量,以一种方式依赖于另一些变量,我们将前面的变量称为后面变量的函数”. 随着对微积分研究的深入,18世纪末19世纪初,

人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷在1837年提出:“如果对于X的每一个值,Y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是X的函数,这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个X有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图像、表格的形式表示.例如,狄利克雷函数,即:当自变量取有理数时,函数值为1;自变量取无理数时函数值为0.它只能用对应的语言予以表达.19世纪70年代以后,随着集合概念的出现,函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.

函数概念的形成与发展

函数概念的发展简史 1、函数概念的萌芽时期(自然函数、代数函数时期)[1] 函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。而事实上,早期的数学是不研究事物的运动变化的。古希腊科学家亚里士多德曾经认为,数学研究的是抽象的概念,而抽象的概念来自事物静止不动的属性。例如,数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动,运动变化是物理学研究的对象等等。受其影响,直至14世纪,数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。到了16世纪,由于实践的需要,自然科学开始转向对运动的研究,自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一,在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。例如,从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比,这正是函数概念所表达的思想意义。 16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时,发现了量的变化及量与量之间的依赖关系,并在数学中引进了变量思想,在他的《几何学》中指出:所谓变量是指:“不知的和未定的量”,成为数学发展的里程碑,也为函数概念的产生奠定了思想基础。直到17世纪下半期,牛顿—莱布尼兹的微积分问世时,数学上还没有明确的函数概念。把“函数”(function)一词最早用作数学术语的是莱布尼兹,当时,莱布尼兹用“函数”(function)一词表示幂,如都叫函数。后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。从这个定义看出,莱布尼兹利用几何概念,在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。可以说出现了函数概念的一点端倪,但函数的一般定义仍没有诞生。原因在于:数学家们一直在同具体的函数打交道,对具体函数或求导,或积分,讨论各种各样的具体问题,并没有感到有定义一般函数概念的需要。\ 2、函数概念的初步形成(解析函数时期)[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。瑞士著名数学家约翰·贝努利在研究积分计算问题时,提出:积分工作的目的是在给定变量的微分中,找出变量本身之间的关系。而在对待“找出变量本身之间的关系”的表示上,显然用莱布尼兹定义的函数表示是很困难的。于是,在1718年约翰·贝努利从解析的角度,把函数定义为:“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量。”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数。贝努利所强调的函数要用公式来表示。后来,数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上,只要一些变量变化,另一些变量能随之而变化就可以,至于这两个变量的关系是否要用公式来表示,则不作为判别函数的标准18世纪,瑞士数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了他老师约翰·贝努利的定义:“一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析式”。并且早在1734年欧拉就已经用表示的函数,这个函数符号至今仍在沿用。1755年,欧拉又在他的《微积分原理》的序言中把函数定义为:“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的这个定义中,已经不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定用公式来表示,欧拉曾把画在坐标系上的曲线也叫函数。他认为:“函数是随意画出的一条曲线。”欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“任意形式”,明确地表达了变量之间相互依赖的变化关系,这促进我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步。但是,当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至抱着怀疑的态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”,把不能用公式表示的函数叫“假函数”。。 3、函数概念的确立(变量函数)[3] 在对前人函数概念的认识与发展的基础上,1821年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其它变数的值也可以随着确定时,则将最初的变数叫做自变量,其它各变数叫做函数”。在柯西的函数定义中,首先引入了“自变量”一词。按照这个定义,只要有自变量的一个值可以确定的相应值,则就是的函数。显然,这个函数定义比以往的要广泛的多。 1834年,德国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数定义:“x的函数是这样一个数,它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提

函数概念的发展历史

在公元前十六世纪之前,数学上占统治地位的是常量数学,其特点是用孤立\静止的观点去研究食物,具体的函数在数学中比比皆是,但没有一把的函数概念,十六世纪,随着欧洲过度到新的资本主义生产方式,迫切需要天文知识和力学原理,当时,自然科学研究的中心转向对 运动,对各种变化过程和变化着的梁之间依赖关系的研究,数学研究也从常量转向了变量数学,数学的这个转折主要是有法国数学家笛卡尔完成的,他在<几何学>一文中首先引入变量思想,称为”未知和未定的量”,同时引入了两个变量之间的相依关系,这便是函数概念的萌芽函数是数学中最重要的基本概念之一,它作为变量数学时期的开端,同变欲概念几乎同 时步入数学领域,至今已有三百余年历史.长期以来,经过众多数学家的探索和改进,函数概念从萌芽到成熟,反映了数学本身的日益进步和不断完善.回顾函数概念的演变历史.对加深函 数概念的理解大有裨益,同时对了解数学概念的物质性,说明事物是变化运动,相互联系的都 有了具体的实例.函数概念的演变大体上可分为五个阶段 函数概念是中学数学重要概念之一,从常量数学到变量数学的转变,是从函数概念的系统学习开始的。本文从自17世纪下半叶到现在300年来函数概念的纵向历史研究 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展,众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展。 函数概念的萌芽,可以追溯到古代对图形轨迹的研究,随着社会的发展,人们开始逐渐发现,在所有已经建立起来的数的运算中,某些量之间存在着一种规律:一个或几个量的变化,会引起另一个量的变化,这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系,就是函数概念的萌芽。 函数概念的发展历史 1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。 1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系,但因当时尚未意识到要提炼函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年,莱布尼兹首次使用“function”(函数)表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用“流量”来表示变量间的关系。 2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数 1718年约翰·柏努利(Johann Bernoulli ,瑞,1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数,并强调函数要用公式来表示。 1755,欧拉(L.Euler,瑞士,1707-1783) 把函数定义为“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783)给出了定义:“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”。不难看出,

函数概念的历史演变过程

1 函数概念的历史演变过程 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的.它研究的对象本来是十分具体的,但为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系,才不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管,因此,数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容,而仅仅保留了它们的量的属性,即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式.这就决定了数学与其它自然科学的区别,也决定了数学的特殊性. 而数学的抽象有着不同的方式,弱抽象是数学抽象的方式之一,而函数概念的每次扩张都是弱抽象,函数概念的发展成为理解弱抽象的一个典型事例. 弱抽象就是逐渐减弱对象的特殊性,即舍去对象的一些特征而仅抽取某一特殊或某个属性加以概括,形成比原对象更为普遍,更为一般的对象的一种抽象方法. 以现实事物或现象为原型进行基本概念的抽象就是一种弱抽象,它舍弃了事物或现象的一些物理或化学特征而仅抽取量性特征. 函数的概念最早产生于运动的研究.如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的.“从静止状态开始以定常加速度下降的物体,其经过的距离与所用时间的平方成正比”;“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体,其下滑的时间与平板的长度成正比”;显然,只需引进适当的符号,上述的函数关系就可以明 确的用数学形式表述:2s kt =;t kl =…以这些具体的函数为原型,17世纪的一 些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念: “函数是这样一个量,它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的.” 上述定义显然过于狭窄了,因为它事实上仅适用于代数函数的范围.因此,在其后的发展中,函数概念得到了进一步的扩展.随着数学研究的深入,人们逐渐接触到了一些超越函数,如对数函数,指数函数三角函数等,尽管这些函数已经超出了代数函数的范围,但是在一些数学家看来,两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次,从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念: “函数是指由一个变量与一些常量,通过任何方式(有限的或无限的)形成的解析表达式.” 这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄,在18世纪却曾长期占统治地位. 19世纪初,函数概念再次得到了扩展,函数的概念开始摆脱“解析表达式”,另外狄里克雷更提出了如下的函数概念: “如果对于给定区间上的每一个x 值有唯一的一个y 值同它对应,那么,y 就是x 的一个函数.” 最后,如果用任意的数学对象去取代具体的数量,并采用集合论的语言,则可以获得更为一般的“映射”概念: 如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系,就称为是一个映射.

函数的发展史

函数的发展史 学家从集合、代数、直至对应、集合的角度持续赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究,对函数概念的教学实行一些探索。1、函数概念的纵向发展1.1 早期函数概念——几何观点下的函数十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这个概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但因为当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,所以直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1.2 十八世纪函数概念——代数观点下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667-1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念实行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构成的量,贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783)就给出了非常形象的,一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是:一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数(只有自变量间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数),还考虑了“随意函数”(表示任意画出曲线的函数),不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。1.3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier,法,1768-1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的理解又推动了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy,法,1789-1857)从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系能够用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这个局限的是杰出数学家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859)认为怎样去建立x 与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的x 值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此,我们已能够说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义。等到康托尔(Cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量能够是数,也能够是其它对象(点、线、面、体、向量、矩阵等)。1.4 现代函数概念——集合论下的函数1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,元素y称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac-δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但因为广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的Dirac-δ函数等概念统一了起来。所以,随着

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