锐角三角函数知识点总结与训练
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 222c b a =+
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦 斜边的对边A A ∠=sin c a
A =sin
1sin 0< B A sin cos = 1cos sin 22=+A A 余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c b A =cos 1cos 0< A =tan 0tan >A (∠A 为锐角) SinA=cosA tanA 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° αsin 0 2 1 2 2 2 3 1 αcos 1 23 2 2 2 1 0 αtan 3 3 1 3 - 5、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 ) 90cos(sin A A -?=)90sin(cos A A -?= B A cos sin =B A sin cos =A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 斜边 A C B b a c 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。 :i h l =h l α 类型一：直角三角形求值 例1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 例2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 例3.已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 例1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 例2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．3 2 C ．35 D ．45 对应训练: 3.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A D E C B F A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．4 5 类型三. 化斜三角形为直角三角形 例1 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长． D C B A O y x 第8题图 例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5． 求：sin∠ABC的值． 对应训练 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号） 2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B． 3. △ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是 A.23cm2 B.43cm2 C.63cm2 D.12 cm2 类型四：利用网格构造直角三角形 例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 对应训练： 1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 2．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ） A ． 5 5 B. 2 5 5 C.1 2 D. 2 类型五:取特殊角三角函数的值 1）.计算：?-?+?60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：?-?+?30cos 245sin 60tan 2 . 3)计算：3－ 1+(2π－1)0－ 3 3 tan30°－tan45° 4)．计算：0 30tan 2345sin 60cos 221 ???? ???-?+?+． 5)．计算： tan 45sin 301cos 60?+? -? ； 类型六：解直角三角形的实际应用 例1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝ C B A A B O 45°．点D 到地面的垂直距离m 23 DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ． 例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长． 对应训练: 1.如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ） A ． 10米 B ． 10米 C ． 20米 D ． 米 2．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？ （2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200 海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由． 类型七:三角函数与圆： 例1．已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰DB ＝2︰3， AC ＝10，求sin B 的值． 例2. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=3 4 ，求⊙O 的半径。 对应训练: 1.如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF=BF. （1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若5 4 C cos , DE =9，求BF 的长． 2．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ．①求证：AB ＝AC ；②若tan ∠ABE ＝21，（ⅰ）求BC AB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长． D B O A C C F D O B E 复习题 1. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =， 10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ． 3 5 Ｄ． 45 图4 图5 图6 2. 如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A 处，已知 3OA =，1AB =，则点1A 的坐标是（ ） 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1 tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 4. 如图8，Rt ABC ?中，90C ∠=?,D 是直角边AC 上的点，且2AD DB a ==, 15A ∠=? ，则BC 边的长为 ． 5. 如图10，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 若4 tan 3 AEH ∠= ，四边形EFGH 的周长为40，则矩形ABCD 的面积为 ______． 图8 6. 如图12所示，ABC ?中，AB AC =，BD AC ⊥于D ，6BC =，1 2 DC AD =， 则cos C =____． 7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______. 8. 等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为 A.15° B.30° C.45° D.60° 9. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 A.23 cm 2 B.43 cm 2 C.63 cm 2 D.12 cm 2 图 10 图12 A D E C B F 10. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=?，AC=4,则BD 的长是 （ ） 83A 、 43B、 23C、 8D、 11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线 AD = 33 16 求 ∠B 的度 数及边BC 、AB 的长. 12. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示， 某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31?的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45?的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度． （参考数值：tan31°≈53，sin31°≈2 1） ． 13. 在一次公路改造的工作中，工程计划由A 点出发沿正西方向进行，在A 点的南偏西60? 方向上有一所学校B ，如图14 ，占地是以 B 为中心方圆100m 的圆形，当工程进行了 200m 后到达C 处，此时B 在C 南偏西30?的方向上，请根据题中所提供的信息计算 并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校． 图13 图14 D A B C 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ． 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235 锐角三角函数知识点总结与习题附答案 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 9. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： 10. 仰角：视线在水平线上方的角； 11. 俯角：视线在水平线下方的角。 (3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成 1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 锐角三角函数（1） 基础扫描 1.求出下图中sinD ，sinE 的值． 12. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′， 那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）． A ．sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ．2sinA ＝sinA ′ D ．不能确定 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 13. 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24． 求sinA 的值． 5． 计算：sin30°·sin60°+sin45°． 能力拓展 6． 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin 8 5 F E D 25 247 C B A 锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦： 1、 在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记 作A sin ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边 的邻边 斜边 的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ， 则c a A = sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0< 锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 【苏教版】初中数学九年级知识点总结 28锐角三角函数 一、知识框架 二、知识点、概念总结 １.Ｒｔ△ABC中 (１）∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA= ＼f(∠A的对边，斜边) (2）∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA= 错误! (３）∠Ａ的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA= 错误! (4)∠Ａ的邻边与对边的比值是∠Ａ的余切,记作cｏta= 错误! 2.特殊值的三角函数: a sina cosa ｔana cota 30°1 2 错误!错误!错误! ４5°错误!错误! 1 １ ６0°错误!1 2 3 错误! 3.互余角的三角函数间的关系 siｎ(90°－α)=cosα, cos(９0°-α)=sinα, ｔaｎ(9０°-α）＝coｔα, coｔ(90°-α)＝ｔａnα.４. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)＋cos2(α）=1 tan2（α)+1=sｅc2(α） coｔ2（α)＋1=cｓc2（α) 积的关系： sinα=ｔanα·coｓα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·ｓｅｃα cotα=ｃｏｓα·cｓcα ｓecα＝tanα·cscα csｃα=secα·cotα 倒数关系： ｔanα·coｔα=1 sinα·cｓcα＝1 coｓα·secα＝1 5.三角函数值 （1)特殊角三角函数值 (2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 （3)锐角三角函数值的变化情况 (i）锐角三角函数值都是正值 （ｉi)当角度在0°~9０°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小）而增大(或减小） 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小（或增大） 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， ０≤sｉnα≤1, 1≥cosＡ≥０, 当角度在0°<∠A<90°间变化时， 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 1 锐角三角函数定义 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。 1）锐角三角函数值都是正值。 2）当角度在0°~90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 4同角三角函数基本关系式 sin? = cos a tan a a 5互为余角的三角函数间的关系 - sin(= 90 a cos ) a a a sin )90cos(=- 6 解直角三角形的基础知识 在Rt ABC ?中， 90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c （1） 三边之间的关系：222c b a =+ （2） 锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠= 90 （3） 边角之间的关系：c a A = sin ；c b A =cos ；b a A =tan ； c a B =cos ；c b B =sin ；a b B =tan （4） 面积公式：ch ab S 2 121==?（h 为斜边上的高） 7 切），宁乘勿除，取原避中”。其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。 8 解直角三角形应用题中的常见概念 （1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示。 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则αtan ==l h i 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C 锐角三角函数 一.知识框架 二.知识概念 1.Rt △ABC 中 (1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA = ∠A 的对边 斜边 (2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边 (3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA = ∠A 的对边 ∠A 的邻边 (4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边 2.特殊值的三角函数: 锐角三角函数(1 基础扫描 1. 求出下图中sinD ,sinE 的值. 2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( . A . sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C . 2sinA =sinA ′ D . 不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( A . 35 B . 45 C . 34 D . 4 3 4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值. 25 24 7C B A 5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1 2,则满足条件的点P 的个数是( A 1个 B 2个 C 3个 D 不存在 7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB . l C B A (第7题图 85 F E D 创新学习 9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于( A. B C. 锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角 函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2 1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q 4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 人教版初中数学锐角三角函数的知识点复习 一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．asinα+asinβ B ．acosα+acosβ C ．atanα+atanβ D ．tan tan a a αβ + 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝ BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ， ∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键． 2．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 【答案】C 【解析】 试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4. ∵∠A=1 2 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan∠BOD= 4 3 BD OD . 故选D． 考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义． 3．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心， 锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。 三角函数专项复习 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对 边 C 7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。 :i h l =h l α 锐角三角函数 一．知识框架 二．知识概念 1.Rt △ABC 中 (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 (4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cota ＝ ∠A 的邻边 ∠A 的对边 2.特殊值的三角函数： 锐角三角函数（1） 基础扫描 A ．求出下图中sinD ，sinE 的值． 2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）． A ． sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ． 2sinA ＝sinA ′ D ． 不能确定 3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 4． 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值． 25 24 7C B A 5． 计算：sin30°·sin 60°+sin45°． 能力拓展 6． 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin ∠APB=12 ，则满足条件的点P 的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 不存在 7． 如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB ． l C B A （第7题图） 85 F E D 锐角三角函数经典总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦： 1、 在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做 A ∠的正弦，记作A sin ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边 的邻边 斜边 的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ， 则c a A =sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0< 新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3 tan 4 B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则 AE AD 的值（ ） A ． 35 B ． 34 C ． 45 D ． 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝ 3 7 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝ 12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：1 2 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4 B =， ∴A C ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝ 3 7 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝ 1 2 AB ， ∴ 3 6 717 2 AB AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键． 2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ． 1000 tan α 米 D ． 1000 sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α=， ∴1000 tan tan AC AB αα = =米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( ) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。 7、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2c b a= +；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 : i h l = h l α求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
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