三角函数
1. ①及α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α及角β的终
边重合):{}Z k k ∈+?=,360|αββ
②终边在x 轴上的角的集合: {
Z
k k ∈?=,180
|
ββ③终边在y 轴上的角的集合:{k k +?=,90180| ββ④终边在坐标轴上的角的集合:{Z k k ∈?=,90| ββ⑤终边在y
=x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ
⑦若角α及角β的终边关于x 轴对称,则角α及角β的关系:
βα-=k 360 ⑧若角α及角β的终边关于y 轴对称,则角α及角β的关系:
βα-+= 180360k
⑨若角α及角β的终边在一条直线上,则角α及角β的关系:
βα+=k 180 ⑩角α及角β的终边互相垂直,则角α及角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度及弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度及角度互换公式: 1rad =π
180°≈57.30°=57°18
ˊ. 1°=
180
π≈0.01745(rad )
3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22
s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 及原点
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
的距离为r ,则 r
y =αsin ; r
x =αcos ; x
y =αtan ; y x =αcot ; x
r =αsec ;.
y
r =
αcsc .
5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
7. 三角函数的定义域:
8、同角三角函数的基本关系式:ααα
tan cos sin = αα
αcot sin cos = 1cot tan =?αα 1sin csc =α?α 1cos sec =α?α
1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式:
2
k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为: “奇变偶不变,符号看象限”
(3) 若 o ,则sinx 16. 几个重要结论: 三角函数的公式:(一)基本关系 公式组二 x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ 公式组三 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ 公式组五 x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六 公式组一sin x ·csc x =1tan x =x x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x = x x sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ (二)角及角之间的互换 公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= β αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α αα2 tan 1tan 22tan -= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2 cos 12sin α α-± = βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + 2 cos 12 cos αα+± = β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 公式组三 公式组四 公式组五 2 tan 12tan 2sin 2αα α+= 2tan 12tan 1cos 22 ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2 α αα-= 4 2675cos 15sin -= = , ,3275cot 15tan -== ,. 3215cot 75tan +== 4 2615cos 75sin += = ()()[]()()[]()()[] ()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++= cos cos 21sin sin cos cos 2 1 cos cos sin sin 21sin cos sin sin 2 1 cos sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=-α α αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -= +=+-± =α απsin )21 cos(-=+α απcos )2 1 sin(=+α απcot )21 tan(-=+α απsin )21 cos(=-α απcos )21 sin(=-α απcot )21 tan(=- 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: 注意:①x y sin -=及x y sin =的单调性正好相反;x y cos -=及x y cos =的单 调性也同样相反.一般地,若)(x f y =在],[b a )x 在 ],[b a 上递减(增). ②x y sin =及x y cos =的周期是π. ③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ω π2=T . 2 tan x y =的周期为2π(π ω π 2=?=T T ,如图,翻折无效). ④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2 ππ+=k x (Z k ∈),对称中心(0,πk ); ) cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈),对称中心(0,2 1ππ+k ); )tan(?ω+=x y 的对称中心( 0,2 π k ). x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称 ⑤当αtan ·,1tan =β)(2 Z k k ∈+=+ππβα;αtan ·,1tan -=β)(2 Z k k ∈+=-ππβα. ⑥x y cos =及?? ? ? ?++ =ππk x y 22sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数,则 )cos()2 1 sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=. ⑦函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇 偶性条件,偶函数:)()(x f x f =-,奇函数:)()(x f x f -=-) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:x y tan =是奇函数,)3 1tan(π+=x y 是 非奇非偶.(定义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .(x ?0的定义域,则无此性质) ⑨x y sin =不是周期函数;x y sin = x y cos =是周期函数(如图) ;x y cos =2 12cos + =x y 的周期为π(如图),并非所有周期函数都有最小正周期, 例如: R k k x f x f y ∈+===),(5)(. ⑩a b b a b a y = +++= +=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. y=|cos2x +1/2|图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数y =Asin (ωx +φ)的振幅|A|,周期2|| T πω=,频率1||2f T ωπ ==, 相位;x ω?+初相?(即当x =0时的相位).(当A >0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号), 由y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y =Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.(用y/A 替换y ) 由y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1||ω 倍,得到y =sin ω x 的图象, 叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.(用ωx 替换x) 由y =sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y =sin (x +φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移.(用x +φ替换x) 由y =sinx 的图象上所有的点向上(当b >0)或向下(当b <0)平行移动|b |个单位,得到y =sinx +b 的图象叫做沿y 轴方向的平移.(用y+(-b)替换y ) 由y =sinx 的图象利用图象变换作函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)(x ∈R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。 高中数学三角函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆及角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β) -β,β= 2β α+- 2β α-等。 (3)降次及升次。(4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定,?角的值由tan?= a b确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例1.已知2tan =θ,求(1) θ θθ θsin cos sin cos -+;(2) θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值. 解:(1) 2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=- + =++θθθ θθθθθθθ; (2) θ +θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222 2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3 24122221cos sin 2cos sin cos sin 2 222-=++-=+θ θ+θθ -θθ=. 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。 例2.求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。 解:设sin cos )[4 πt x x x =+=+∈,则原函数可化为 2213 1()24 y t t t =++=++ ,因为[t ∈,所以 当t = 时,max 3y =12t =-时,min 3 4 y =, 所以,函数的值域为3 [34 y ∈,。 例3.已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈,。 (1)求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合; (2)证明:函数()f x 的图像关于直线8 πx =-对称。 解:22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=-- 2sin 22cos 2)4 π x x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=,因为x R ∈, 所以,当2242 ππx k π-=+,即38 π x k π=+ 时,()f x 最大值为; (2)证明:欲证明函数()f x 的图像关于直线8 π x =-对称,只要证明对 任意x R ∈,有()()88 ππ f x f x --=-+成立, 因为 ())]2)28842ππππ f x x x x --=---=--=-, ())]2)28842ππππ f x x x x -+=-+-=-+=-, 所以()()88 ππf x f x --=-+成立,从而函数()f x 的图像关于直线8π x =-对 称。 例4. 已知函数y=2 1cos 2x+ 2 3 sinx ·cosx+1 (x ∈R ), (1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合; (2)该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:(1)y=21 cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x -1)+ 41+43(2sinx ·cosx )+1 =4 1 cos2x+ 43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6 π +sin2x ·co s 6π)+4 5 =21sin(2x+6π)+4 5 所以y 取最大值时,只需2x+6π=2π+2k π,(k ∈Z ),即 x=6 π+k π,(k ∈Z )。 所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为{x|x=6 π+k π,k ∈Z} (2)将函数y=sinx 依次进行如下变换: (i )把函数y=sinx 的图像向左平移6π,得到函数y=sin(x+6 π)的图像; (ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2 1倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+6 π)的图像; (iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变),得到函数y=2 1sin(2x+6 π)的图像; (iv )把得到的图像向上平移4 5 个单位长度,得到函数y=2 1sin(2x+6 π )+4 5的图像。 综上得到y=2 1 cos 2x+23sinxcosx+1的图像。 说明:本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+?)+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当cosx=0时,y=1;当cosx ≠0时, y=x x x x x 2 22cos sin cos sin 23cos 21+++1=x x 2tan 1tan 2321+++1 化简得:2(y -1)tan 2x -3tanx+2y -3=0 ∵tanx ∈R ,∴△=3-8(y -1)(2y -3) ≥0,解之得:43≤y ≤4 7 ∴y max =4 7,此时对应自变量x 的值集为{x|x=k π+6 π,k ∈Z} 例5.已知函数.3 cos 33cos 3sin )(2x x x x f += (Ⅰ)将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式,并求其图象对称中心的横 坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ,且边b 所对的角为x ,试求x 的范围及此时函数f(x)的值域. 解:2 3)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(233 2sin 2 1)(++=++=++ =πx x x x x x f (Ⅰ)由)332sin( π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ2 13)(332得 即对称中心的横坐标为z k k ∈-,π2 1 3 (Ⅱ)由已知b 2 =a c ,,,,,, 2 31)332sin( 31)3 32sin(3sin |295||23|953323301cos 212 1 2222cos 22222+≤+<∴≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴=-≥-+=-+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x 即)(x f 的值域为]2 3 1,3(+. 综上所述,]3 ,0(π ∈x , )(x f 值域为]2 3 1,3(+ . 说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 例6.在ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos 3cos C a c B b -= , (1)求sin B 的值; (2) 若b =a=c ,求ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及 cos 3cos C a c B b -=,有cos 3sin sin cos sin C A C B B -= , 即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-,所以sin()3sin cos B C A B +=, 又因为A B C π++=,sin()sin B C A +=,所以sin 3sin cos A A B =,因为 sin 0A ≠,所以1 cos 3 B =,又0B π<< ,所以sin 3B ==。 (2)在ABC 中,由余弦定理可得222323 a c ac +-=,又a c =, 所以有22432243 a a ==,即,所以ABC 的面积为 211 sin sin 22 S ac B a B = == 三角函数 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.集合M ={x |x = kπ 2 ±π4 ,k ∈Z }及N ={x |x =kπ 4 ,k ∈Z }之间 的关系是 ( ) A.M N B.N M C.M =N D.M ∩N = 3.若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角度是 ( ) A.60° B.-60° C.30° D.-30° 4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°, 其中在第一象限的角是 ( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4) 5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 ( ) A. 25 B.-25 C. 1 5 D.-1 5 6.若cos(π+α)=-12 ,3 2 π<α<2π,则sin(2π-α)等于 ( ) A.-32 B. 32 C. 1 2 D.±3 2 7.若α是第四象限角,则π-α是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是 ( ) A.2 B. 2 sin1 C.2sin1 D.sin2 9.如果sin x +cos x =1 5 ,且0<x <π,那么cot x 的值是 ( ) A.-43 B.-43 或-34 C.-3 4 D. 43 或-3 4 10.若实数x 满足log 2x =2+sin θ,则|x +1|+|x -10|的值等于 ( ) A.2x -9 B.9-2x C.11 D.9 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11.tan300°+cot765°的值是_____________. 12.若sin α+cos αsin α-cos α =2,则sin αcos α的值是_____________. 13.不等式(lg20)2cos x >1,(x ∈(0,π))的解集为_____________. 14.若θ满足cos θ>-1 2 ,则角θ的取值集合是_____________. 15.若cos130°=a ,则tan50°=_____________. - 16.已知f (x )= 1-x 1+x ,若α∈(π 2 ,π),则f (cos α)+f (-cos α)可化简为___________. 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多少? 18.(本小题满分14分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x , 5 ),且cos α= 2 4 x ,求sin α及tan α的值. 19.(本小题满分14分)已知π2 ≤θ≤π,sin θ=m -3 m +5 ,cos θ= 4-2m m +5 ,求m 的值. 20.(本小题满分15分)已知0°<α<45°,且lg(tan α)-lg(sin α)=lg(cos α)-lg(cot α)+2lg3 -3 2 lg2,求cos 3α-sin 3α的值. 21.(本小题满分15分)已知sin(5π-α)= 2 cos(7 2 π+β)和 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值. 三角函数 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.下列函数中,最小正周期为π的偶函数是 ( ) A.y =sin2x B.y =cos x 2 C.y =sin2x +cos2x D.y =1-tan 2x 1+tan 2x 2 . 设 函 数 y =cos(sin x ),则 ( ) A.它的定义域是[-1,1] B.它是偶函数 C.它的值域是[-cos1,cos1] D.它不是周期函数 3.把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两倍,然后把图象向左平移 π 4 个单位.则所 得图象表示的函数的解析式为 ( ) A.y =2sin2x B.y =-2sin2x C.y =2cos(2x +π4 ) D.y =2cos(x 2 + π 4 ) 4.函数y =2sin(3x -π 4 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 ( ) A. π 3 B. 2π 3 C.π D. 4π 3 5.若sin α+cos α=m ,且- 2 ≤m <-1,则α角所在象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.函数y =|cot x |·sin x (0<x ≤3π 2 且x ≠π)的图象是 ( ) 7.设y =cos 2x 1+sin x ,则下列结论中正确的是 ( ) A.y 有最大值也有最小值 B.y 有最大值但无最小值 C.y 有最小值但无最大值 D.y 既无最大值又无最小值 8.函数y =sin ( π 4 -2x )的单调增区间是 ( ) A.[kπ-3π8 ,kπ+π 8 ](k ∈Z ) B.[kπ+ π 8 ,kπ+5π 8 ](k ∈Z ) C.[kπ-π 8 ,kπ+3π 8 ](k ∈Z ) D.[kπ+ 3π8 ,kπ+7π 8 ](k ∈Z ) 9.已知0≤x ≤π,且-1 2 <a <0,那么函数f (x )=cos 2x -2a sin x -1的最小值是 ( ) A.2a +1 B.2a -1 C.-2a -1 D.2a 10.求使函数y =sin(2x +θ)+ 3 cos(2x +θ)为奇函数,且在[0, π 4 ]上是增函数的θ的一个值为 ( ) A. 5π3 B. 4π3 C. 2π 3 D. π 3 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11.函数y =cos x 1+2cos x 的值域是_____________. 三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系: 商数关系: 平方关系: . 诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数 名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 其中的奇偶是指的奇偶倍数,变余不变试制三角函数的名称变化若变,则是正弦变余弦,正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋,来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终 边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数 值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得 到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终 边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负 值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角 的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项 数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2kπ+α)= sinα cos (2kπ+α)= cosα tan (2kπ+α)= tanα cot (2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)= -sinα cos (π+α)= -cosα tan (π+α)= tanα cot (π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin + sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 【立方计算公式,不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式: a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2) 立方差公式: a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式: a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式) 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式) 将正弦的和角、差角公式相加,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一) 同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 定义式 ) ct 函数关系 倒数关系:;; 商数关系:;. 平方关系:;;.诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用: 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。 三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y = αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan 或tg) 余切(cot 或ctg) 正割(sec) 余割(csc) 函数关系 倒数关系: 商数关系: 平方关系: . 诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 其中的奇偶是指的奇偶倍数,变余不变试制三角函数的名称变化若变,则是正弦变余弦,正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋,来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终 边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数 值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得 到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终 边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负 值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角 的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要项数要 最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 基本信息 ?中文名称 三角函数 ?外文名称 相关概念 余切:cotangent(简写cot)['k?u't?nd??nt] 正割:secant(简写sec)['si:k?nt] 余割:cosecant(简写csc)['kau'si:k?nt] 正矢:versine(简写versin)['v?:sain] 余矢:versed cosine(简写vercos)['v?:s?:d][k?usain] 直角三角函数 直角三角函数(∠α是锐角) 三角关系 倒数关系:cotα*tanα=1 商的关系:sinα/cosα=tanα 平方关系:sin2α+cos2α=1 三角规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 三角函数本质: 根据三角函数定义推导公式根据下图,有sinθ=y/ r;cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来, 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 三角函数是数学中常见的一类关于 角度的函数。三角函数将 直角三角形 的内角和它的两个边 的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三 角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究 周期性现象的基础数学工具 ⑴。在数学 分析中,三角函数也被定义为 无穷级数 或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实 数值,甚至是复数值。 常见的三角函数包括正弦函数(sin )、余弦函数(cos )和正切函数(tan 或者tg )。在航 海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如 余切函数、正割函数、余割函数、正矢 函数、半正矢函数 等其他的三角函数。 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计 算得出,称为三角恒等式。 三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方 面都有广泛的用途。另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数, 叫做双曲函数[2] 。 常见的双曲函数也被称为双曲 正弦函数、双曲余弦函数等等。 直角三角形中的定义 右直供二闻张中仅苕期 伙水左画90至力间的录)二角藝的宦义[叩?络匡F 锐甬机可 以滋出一牛直集二角形,庚再其申的一个内芻是和设連个三甬殛孔9旳对匹需也和得世长度 g afliSE 是更迎弓痔辺的毗面冋百?: &抽余弦是澤边与斜辺的乂道;| ft H 制正切灵对迥与糾盅柏"■宜 伽 e ¥ b &的余切是嘟边2舛边的比■包co tfi = - q &闌正甥足斜辺弓押辺的比朗 ; &的余割是斜边与对边的比值!宀诃二2 a 标系中的奩义【姗< iftH 吟F 】是平面直角H 标菇咕的一牛知声是欖轴正向程时计疑術I 励 方向驱aeiJS, F = C +扌A 礎序 順点涮柜离?刚砒林三 JB 曲隸定 义 为【口 12#可?帅7血划腹圧駆定三三角血也雪主意知:也LL 却宦汩頤左定>朮 自盍買的时僕成立-比如逋当■ = &的时僂.世和二自漲由盍乩 遞说朗对丹幢 正花;B 口 0—1.正切; -■耀h 三角函数与反三角函数 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ·半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ)(tanφ=B/A) Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ)(tanφ=A/B) ·万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) ·降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ -tanγ·tanα) ·和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。依据: ①边的关系:2 22c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注 意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin (α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos (α+β)=cosαcosβ-s inαsinβ cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 三角函数公式汇总1 :i h l =h l α 高考冲刺 三角函数公式及应用 编稿:孙永钊 审稿:张林娟 【高考展望】 高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题,无论是小题还是大题中出现都是较容易的.主要有三种可能: (1)以小题形式直接考查:利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简; (2)以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式; (3)以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查,对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题,主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力 复习时,要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析,提高公式选择的恰当性,还要重视相关的思想方法,如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用,这有利于缩短运算程序,提高解题效率 【知识升华】 1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择,要认真分析所给式子的整体结构,分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础,是恰当寻找解题思维起点的关键所在 (1)化简,要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求出值来; (2)求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围 (3)证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行变换使其左右相等 2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路,从而清晰地“看出”它们之间的联系,它们的变化形式.如 tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+, 2 21cos 1cos cos ,sin 2 222 α ααα +-= = 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式;三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。 3.三角函数恒等变形的基本策。 ①常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx 2cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项:222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; ^ 三角函数公式大全锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinACosA ] Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 】 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A [ Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α $ 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a 高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 三角函数定义 把角度θ作为自变量,在直角坐标系里画个半径为1的圆(单位圆),然后角的一边与X轴重合,顶点放在圆心,另一边作为一个射线,肯定与单位圆相交于一点。这点的坐标为(x,y)。 sin(θ)=y; cos(θ)=x; tan(θ)=y/x; 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2 A--Sin2 A=2Cos2A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3; cos3A = 4(cosA)3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ? tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积 sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差 sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2-a) = cos(a) cos(π/2-a) = sin(a) sin(π/2+a) = cos(a) cos(π/2+a) = -sin(a) sin(π-a) = sin(a) cos(π-a) = -cos(a) sin(π+a) = -sin(a) cos(π+a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA 倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+cot^2(α)=csc^2(α) tan α *cot α=1 一个特殊公式 (sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 =Cos^2(a)-Sin^2(a) =1-2Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A)) 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式 ta n(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 三角函数的二倍角公式及应用 一. 考点要求 1、 熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能灵活应用; 2、 领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美 3、 公式应用的方法与技巧。 二、公式再现; 1、二倍角公式; sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 2 2cos 1 α-= 21sin α- tan2a= 2 2tan 1tan αα - 2、降幂公式; 2 2cos 1sin , 22cos 1cos 2 2 α αα α-= += 三;闯关训练 A 、类型一 公式逆用 逆用公式,换个角度豁然开朗,逆过来看茅塞顿开,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现; 1、求下列各式的值 ();??cos15sin15 1 ()8 s i n 8 c o s 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ; ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用 从题设条件出发,顺着问题的线索,正用三角公式,通过对信息的感 知、加工、转换,运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3sin - =-απ求α 2cos 的值。 3、已知? ? ? ??∈-=ππααα,2,sin 2sin ,求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4 4 41sin cos ;2cos sin a a θθ +-、 四.能力提升; 1, 已知,128,5 48cos παπα <<- =求4 tan ,4 cos ,4 sin α α α 的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<= 求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 111sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θ θ - -+ 4. x x - 5. 求值:(1)0000sin13cos17cos13sin 17+ (2) 00 1tan 751tan 75 +- (3)2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ,β都是锐角,cosa=17 ,cos ()αβ+=1114 -,求cos β的值。 7、 已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值000 tan 70tan 1070tan 10 -- 9、.已知函数2cos cos x x x +,求函数f(x)的最小正周期及单调 递增区间。 五;高考链接三角函数公式大全81739
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