1. 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为l ，质量为 m ，竖直部分杆长为l 2，质
量为m 2，细杆可绕直角顶点处的固定轴O 无摩擦地转动，水平杆的未端与刚度系数为k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置.求杆作微小摆动时的周期.
解：依题意，由能量法求系统固有频率.
系统动能为222121ωωV H J J T +=
，其中水平部分杆的转动惯量为23
1
ml J H =，竖直部分杆的转动惯量为22
3
8)2)(2(31ml l m J V ==.
即2
2222222
323)3831(21θωω ml ml ml ml T ==+?=
以平衡位置为原点，计算系统的势能：竖直部分杆的重力势能为
)cos 1(2)cos 1(2
22θθ-=-?
=mgl l
mg U V ； 弹簧与水平部分杆组成的系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能，故这部
分的势能为221kx U S H =
+.当杆做微小摆动时有θl x ≈.因此222
1
θkl U S H =+. 所以2
22
1)cos 1(2θθkl mgl U U U S H V +-=+=+
. 由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0)2
1
)c o s 1(223(2222=+-+θθθkl mgl ml dt d
即0sin 2322=++θθθθθθ
kl mgl ml 当杆作微小摆动时，0≠θ
且θθ≈sin .上式整理得，032=++θθml
kl
mg
系统固有频率ml kl mg n 32+=
ω，系统微小摆动周期kl mg ml
T n
n +==2322πωπ. .
2.求如图所示的两种情况下的固有频率.
解：⑴如左图所示，悬臂梁与弹簧的受力相同，故而可视为两弹性体的串联.
当有集中力作用于悬臂梁的悬空端时，其刚度为3
3l EI
k b =
，因此整个系统的等效刚度为3
333333kl
EI EIk
k l
EI k l EI
k k k k k b b eq
+=+?=+?= 所以，忽略悬臂梁的质量得，系统固有频率)
3(33kl EI m EIk
m k eq n +=
=
ω
⑵如右图所示，悬臂梁与弹簧的变形相同，故而可视为三弹性体的并联. 当有集中力作用于悬臂梁的悬空端时，其刚度为33l
EI
k b =，因此整个系统的等效刚度为3
32l EI
k k k k k b eq +
=++=. 所以，忽略悬臂梁的质量得，系统固有频率3
3
23ml
kl EI m k eq n +=
=
ω
3.均质杆AB ，质量为M ，长为l 3，B 端刚性连接一质量为m 的 物体，其大小可略去不计.AB 杆在O 处用铰链连接，并用弹簧刚度系数均为k 的两弹簧加以约束，如图所示.试求系统自由振动的频率
.
解：依题意，由能量法求系统固有频率. 系统动能为222
1
21mv J T B +=
ω. 其中均质杆的转动惯量为2222
241432)3(12
1
Ml Ml Ml l M l M J B =+=??
?
???+=，均
质杆的转动角速度为θ
ω =； 集中质量m 的线速度为l l v ωω22=?= 即2
22222221221l m M l m l M T θωω ??
? ??+=+=
以平衡位置为原点，计算系统的势能：弹簧与杆组成的系统是受重力影响的弹性系统.
以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧
的单独弹性力的势能，故势能为()222
22
12θθkl l k kx U =≈?= 由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0)22
1(222222=++θθθkl ml Ml dt d 0≠θ
，整理得，042=++θθm
M k 即系统固有频率m
M k
n 42+=
ω
所以系统自由振动的频率m
M k
f n 4221
2+==ππω.
4.如图所示，质量为2m 的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为
I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率.
2
m
解：依题意，由能量法求系统固有频率：
系统的势能由两弹簧的弹性势能组成.右侧弹簧的弹性势能为2222
1
x k U =
；左侧弹簧的弹性势能为222
2112211121)(
21
x R R k x R R k U ==
.
故系统的势能为2
2122
2121)(21x k k R R U U U +=+=
系统的动能由小车平移的动能、圆盘平面运动的动能和鼓轮绕轴转动的动能组成. 其中，小车平移的动能为212112
1
21x
m v m T ==
； 圆盘平面运动的动能为
2222222222
222224
343))(21(21212121x m v m r v r m x
m w J v m T ==+=+=
鼓轮绕轴转动的动能为222222
3321)(2121R x I R v I Iw T ===（3w 为鼓轮转动的角速度）.
故系统的动能为22
22
221321214321R x I x m x m T T T T ++=++= 设位移x 的变化规律为)sin(θω+=t A x n ，则有)cos(θω+=t Aw x
n n . 因此系统最大势能为22122
2
1max
)(21A k k R R U +=; 系统最大动能为222
22
22221max
214321n n n R A I A m A m T ωωω++= 由能量守恒定律知，m ax m ax
U T =.整理得，I
R m R m R k R k n
232222
222212
2
22112+++=ω 即系统的固有频率为I
R m R m R k R k n 232222
222212
2
2211+++=
ω
5.在图示系统中以系统的平衡位置开始算起 , 盘的中央的位移当作广义坐标.假定盘很薄，并且做纯滚动.求系统的固有频率.
解：依题意，由能量法求系统固有频率：
系统的势能由两弹簧的弹性势能组成.（此系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能），故系统的势能为2222
9
)2(22121kx r r x k kx U p p =???+=
. 系统的动能由圆盘平面运动的动能、鼓轮绕轴转动的动能和重物竖直运动的动能组成.
其中圆盘平面运动的动能为2
22
2214343212121x
m mv r v mr mv T ==??
? ????? ??+=； 鼓轮绕轴转动的动能为222
22121
p
p p p r x I r v I T =???
?
???=； 重物竖直运动的动能为()22
23342221x m r r v m v m T p p =???
? ???=?=. 故系统的动能为222
32121419p
p r x I x m T T T T +=++= 由能量守恒定律知 0)(=+U T dt
d ，即0)2921419(2222
=++kx r x I x
m dt d p p 整理得，021992=++x r I m k
x p
p
所以系统的固有频率为22199p
p
n r I m k
+=
ω.
6.建立图示系统运动的微分方程.以θ作为广义坐标，并假定θ很小，试求系统的固有频率
.
解：依题意，θ与x 的关系有，L x
L x 3443=
=θ，即43θL x = 对支点取矩有，)(43434343kx x c x M L L x c L kx L x M M O ++-=?-?-?-= 刚杆的转动惯量I 为：22163
)23(121mL L m I =?=
由动量矩定理知，)(4
3kx x c x M L M I O
++-== θ 将43θL x =代入上式整理得，03333=++++θθθM
m k M m c 所以系统的运动微分方程为：03333=++++θθθM
m k M m c .其无阻尼固有频率n
ω为：M
m k
n 33+=ω.
7.求图示系统微幅扭振的周期.两个摩擦轮可分别绕水平点1O 与2O 转动，互相吻合,不能相对滑动，在图示位置（半径A O 1与B O 2在同一水平线上），弹簧不受力，弹簧系数为1k 与2k , 摩擦轮可看为等厚均质圆盘，质量为1m 与2m .
解：依题意，此系统为单自由度系统，取两摩擦轮的转角21,θθ为坐标.由能量法求系统固有频率.
两摩擦轮互相吻合，不能滑动，所以2121,θθθθ B A B A r r r r ==.
重力势能无变化.故系统势能U 为：
2
1221222211)(2
1)(21)(21θθθA B A r k k r k r k U +=?+?=
两摩擦轮的转动惯量21,J J 分别为：2
2221121,21B A r m J r m J ==.所以系统动能T 为:
2122122222121222211)(4
1)21(21)21(212121θθθθθ A B A r m m r m r m J J T +=??+??=+=
由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0))(21)(41(2
122121221=+++θθA A r k k r m m dt d
整理得，0)
(212
1211
=+++θθm m k k
所以系统固有频率n ω为：2121)
(2m m k k n ++=
ω.
其微幅振动周期n T 为：)
(222212
1k k m m T n
n ++==π
ωπ
.
8.轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为0J ，轮缘绕有软绳，下端挂有重是P 的物体，绳与轮缘之间无滑动.在图示位置由水平弹簧维持平衡.半径R 与a 都是已知的.求微幅振动的周期.
解：依题意，由能量法求固有频率.选取轮子转动的角速度θ为坐标.
此系统是受重力影响的系统，故计算总势能可由平衡位置计算，不计重力势能.系统势能U 为：2222
1
)(21θθka a k U =?=
重物竖直运动的速度P v 为：θ
R v P =，所以系统的动能为： 2
0222022
1212121θθθ J g PR J v g P T P +?=+??=
由能量守恒定律知 0)(=+U T dt
d
，即0)212121(222022=++?
θθθka J g PR dt d 整理得，0022
=++θθJ g
PR
ka
所以系统固有频率n ω为：02
2
J g
PR
ka n +=
ω. 其微幅振动周期n T 为：2
02
22ka
J g
PR T n
n +==
π
ωπ
9.求图示两个弹簧在点O 的等值弹簧系数，刚杆AB 可以在图示平面内绕点O 偏转.
解：依题意，此系统为二自由度系统.取刚杆AB 两端竖直向下的方向为广义坐标21,x x ，点
O 处竖直向下为0x .则有)(1210x x b
a a
x x -++
=. 假设在点O 处有竖直向下的集中载荷0P ，则对点A 取矩有，
2
02220)(k P b a a
x b a x k a P ?+=
?+?=?； 对点B 取矩有，1
01110)(k P b a b
x b a x k b P ?+=?+?=? 所以
2
21222101020121210)()()(1)(b a k k b k a k P k P b a b
b k P b a a a b a b a bx ax x x b a a x x ++=
?+?+?+??+=++=-++=
等值弹簧系数0k 为：
2
2212
21222102210000)()()(b
k a k b a k k b k a k P b a k k P x P k ++=++==
10.
求图示系统的运动方程并求临界阻尼系数与有阻尼固有频率.
解：依题意，选取刚杆转动的角度θ为运动坐标.阻尼c 处速度为θ
a ，弹簧k 处位移为θ
b . 系统的转动惯量为：2
ma J =.
由动量矩定理得，a a c b b k J ??-??-=)()(θθθ
即θθθ
222ca kb ma --= 所以系统的运动方程为：02
2
=++θθθma kb m c
系统无阻尼固有频率为：2
2
ma
kb n =
ω. 临界阻尼系数为：km a b
ma kb m
m c n c 2222
2===ω 阻尼比ξ为：km
b ac
c c c 2==
ξ 系统有阻尼固有频率为：
2
2
2222
22
2)2(24)2(11m
c m k
a b am c a km b ma kb km
b ac
n d -??? ??=-=?-=?-=ωξω
11.图示系统，设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R ，质量为M ，重物质量m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率.
解：依题意，由能量法求固有频率.位移坐标x 方向如图所示.
轮子与绳间无滑动，其转动角速度w 为：R
x
w =
.轮子做平面复合运动，其动能M T 为 22224
3
)()21(2121x M R x MR x M T M =??+=
.所以系统动能T 为2
22143x m x M T T T m M +=+= 此系统是受重力影响的系统，故计算总势能可由平衡位置计算，不计重力势能. 系统势能U 为：222)2(21
kx x k U =?=
由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0)22143(22
2=++kx x m x
M dt d 整理得，0238=++x m
M k x . 此即所求微幅振动方程. 所以系统固有频率n ω为：m
M k
n 238+=
ω.
12.鼓轮：质量M ，对轮心回转半径ρ，在水平面上只滚不滑，大轮半径R ，小轮半径r ，弹簧刚度21,k k ，重物质量为m ，不计轮D 和弹簧质量，且绳索不可伸长.求系统微振动的固有频率.
解：依题意，由能量法求固有频率.鼓轮质心所在的位移坐标x 方向如图所示.
此系统是受重力影响的系统，故计算总势能可由平衡位置计算，不计重力势能.系统势
能U 为：221)(2
1
x k k U +=
.（两弹簧并联，等效刚度eq k 为：21k k k eq +=） 鼓轮在水平面上只滚不滑，因而其速度瞬心为鼓轮与水平面的接触点.所以鼓轮滚动的角速度ω为：R
x =
ω，绳子的线速度m v 为：x R r
R r R v m +=+=ω)(，鼓轮的转动惯量2ρM J C =,鼓轮做平面复合运动.
系统动能T 为：
2222222)()(2121)(21212121R
x
M x M x
R r R m J x M mv T C m ?+++=++=
ρω 即2
2
2222)()(x R
R M r R m T ρ+++= 由能量守恒定律知
0)(=+U T dt
d
，即 0))(21
2)()((22122
222=+++++x k k x R R M r R m dt d ρ 整理得，0)
()()(2222
21=+++++x R M r R m R k k x ρ
所以系统固有频率n ω为：)
()()(2
222
21ρω++++=R M r R m R k k n .
13.试用m 的坐标与m 2的坐标写出振系的运动微分方程.刚杆AB 的重量可以不计.
解：依题意，整个系统的动能为：2
22122212
1)2(2121x m x m x m x m T +=?+=
整个系统的势能只计算弹性势能即可.故总势能为：
21222121222121)2(2
1
)2(21)(21)(21x x k x x k l l x x x k l l x x x k U -+-=?-++?--=
因此系统的质量矩阵M 为：
j
i ij x x T m m m ???= ??????=2200M 系统的刚度矩阵K 为：
j
i ij x x U
k k k k k ???= ????
??--=25445K 所以系统的运动微分方程为：
??
?
???=???????????
?--+????????????0054452002121x x k k k k x x m m
即
???=+-=-+0542045212211kx kx x
m kx kx x
m
14.刚杆本身的质量可略去不计.再设三个质量都只能沿x 方向运动。求系统的质量矩阵.
解：依题意，此系统为二自由度系统，选取21,x x 为广义坐标，如图所示有 )(2
1
213x x x +=
整个系统的动能为：
2132
232213123322221141)8121()8121(212121x x m x m m x m m x m x m x m T ++++=++=
因此系统的质量矩阵M
为：
j i ij x x T m m m m m m m ???= ?
???
??????++=2
32333141414141M
15.设在光滑水平面上有质点m ，分别由三个刚度各为k 的弹簧连结于三个固定点，静平衡时各弹簧无变形.试考察系统的主振型振动.
解：依题意，此系统是二自由度系统，坐标21,x x 如图所示.
整个系统的动能为：2
2212
121x m x m T +=
；整个系统的势能只计算弹性势能即可.故总势能为：)323(4
1)45cos 45cos (2121212
221212212221x x x x k x x k kx kx U ++=?+?++=
因此系统的质量矩阵M 为：
j i ij x x T m m m ???= ??
????=200M 系统的刚度矩阵K 为：
j
i ij x x U k k ???= ??????=231132K
由0)det(2
=-M K ω可得关于2ω的二次方程0232
242=+-k km m ωω 解得方程的两个根依次为：m
k
m k 2,222
1=
=ωω 将m
k =
2
ω代入{}{}0A M K =-)(2
ω整理得， ?
??
???=????????????0011112)1(2)1(1??k 则有，
{}?
??
???-=1
1)
1(?
同理，将m
k
22=
ω可得， {}
?
?????=11)
2(? 综上所述，系统的固有频率为m
k
m k
n n 2,21==
ωω，其对应的振型分别为： {}
??????-=11)
1(?，{}
?
?????=11)2(?.
16.三个质量由二根弹性梁对称地连结在一起，可粗略地作为飞机的简化模型。设中间的质量为M ，二端的质量都为m ，梁的刚度系数为k ，梁本身质量可略去不计.只考虑各个质量沿铅垂方向的运动，求系统的固有频率和主振型.
解：依题意，设三个质量所在的坐标依次为321,,x x x .则整个系统的动能为：
232
2212
12121x m x M x m T ++=
整个系统的势能只计算两弹性梁的弹性势能即可.故总势能为：
2
3122
3122
3122221221??? ?
?
+-=??? ??+-+??? ??+-=x x x k x x x k x x x k U
因此系统的质量矩阵M 为：
j
i ij x x T m m M
m ???= ????
?
?????=2000000M 系统的刚度矩阵K 为：
j i ij x x U k k ???= ????
?
?????----=21212421212K 由0)det(2
=-M K ω可得关于2ω的三次方程6
4)2(ωωmM kM km =+
解得方程的三个根依次为：Mm
k
M m )2(,0,02
32221+=
==ωωω
将02
=ω代入{}{}0A M K =-)(2
ω整理得，
??
????????=????????????????????----0001212421212)1(3)1(2)
1(1???k 则有
{}
{}
??
???
?????-= ??????????=101,111)2()
1(?? 同理，将Mm
k
M m )2(2
+=
ω代入可得，
{}
??
????????-= 121)
3(M m ? 综上所述，系统的固有频率为Mm
k
M m n n n )2(,0,0321+=
==ωωω，其对应的主振型
分别为{}{}{} ??
????????-= ???
??
?????-= ??????????=121,101,111)3()2()1(M m ???.
17.求图示系统的固有频率与振型.
解：依题意，系统的质量矩阵M 和刚度矩阵K 可直接写出，如下：
??????????=m m m 000000M ， ??
??
?
?????----=110121011k K
由0)det(2
=-M K ω可得关于2ω的三次方程0342
2462=+-ωωωk km m 解得方程的三个根依次为：m
k
m k 3,,0232
22
1=
=
=ωωω
将02
=ω代入{}{}0A M K =-)(2
ω整理得，
??
??
?
?????=????????????????????----000110121011)1(3)1(2)
1(1???k
则有
{}
??
???
?????=111)
1(? 同理，将m k =
2ω，m
k 32=ω依次代入，分别得 {}
{}
??
????????-= ??????????-=121,101)3()
2(??
综上所述，系统的固有频率为m
k
m k n n n 3,,0321==
=ωωω，其对应的主振型分别为{}
{}{}
??
?
??
?????-= ??????????-= ??????????=121,101,111)3()2()
1(???
18.质量可以不计的刚杆,可绕点转动,中点支以弹簧,求振系的固有频率.
解：依题意，此系统为二自由度系统.两小球所在的坐标分别为21,x x .其中2x 是相对1x 的坐标.
整个系统的动能为：22121)(2
1
21x x m x m T ++=
； 整个系统的势能只计算弹性势能即可.故总势能为： 2
2212
1)2(21kx x k U += 因此系统的质量矩阵M 为：
j i ij x x T m m m m m ???= ??
????=22M 系统的刚度矩阵K 为：
j
i ij x x U k k ???= ???
?????=21004
1K 由0)det(2
=-M K ω可得关于2
ω的二次方程04
1
492242=+-
k km m ωω 解得方程的两个根依次为：m
k m k ?+=?-=8659,86592
22
1ωω 所以系统的固有频率分别为：
m k
m k n 342.086591≈?-=
ω，m
k
m k n 460.186592≈?+=ω
19.求图示系统的固有频率与振型.其中m m m m k k k k ======321321,
解：依题意，系统的质量矩阵M 和刚度矩阵K 可直接写出，如下：
?????
?????=??????????=m m m m m m 0000000
00
00321
M ， ??
??
??????----=?????
?????--+--+=1101210120
032
3322
22
1k k k k k k k k k k K
由0)det(2
=-M K ω可得关于2
ω的三次方程0653
224263=-+-k m k km m ωωω 解得方程的三个根依次为：m
k
m k m k 247.3,555.1,198
.023222
1≈≈≈ωωω 所以系统固有频率为：m
k m k m k n n n 802.1,247.1,445.0321≈≈≈ωωω 将m
k 198
.02
=ω代入{}{}0A M K =-)(2
ω有， 2k
1m
2m
3m
3k
1
k
4
k ()
a 11
2
()
b -1
1()c -1
-1
2
{} ?
?????????=
247.2802.11296.91
)
1(?
同理，将m k 555
.12=ω，m
k 247.32=ω代入{}{}0A M K =-)(2
ω有， {}
?
?
????????-=802.0445.01837.11)
2(?
{}
?
?
?
???????-=555.0247.11863.21)
3(?
20.求系统自由振动通解.其中m m m m k k k k 2,,21321=====
解：依题意，系统的质量矩阵M 和刚度矩阵K 可直接写出，如下：
??????=??????=m m m m 2000021
M ，???
???-- =??
???
?+--+=211232222
1k k k k k k k K
由0)det(2
=-M K ω可得关于2
ω的二次方程03622
2
4
2
=+-k km m ωω 解得方程的两个根依次为：m
k m k ?+=?-=
233,233222
1ωω 将m
k
?-=
2332
ω代入{}{}0A M K =-)(2ω整理得， ???
???=??????????
?????
?---+00131121
3)1(2)
1(1??k 则有
{}
??
????????+=2131)
1(? 同理，将m
k
?+=
2332
ω
代入，得
{}
??
????????--=2131)
2(?
即系统的固有频率为m
k
m k n 7962.02331≈?-=
ω，m
k
m k n 5382.12332≈?+=
ω，其振型分别为： {}
??????≈ ??????????+=3660.112131)
1(?
，{}
????
??-≈??????????--=3660.012131)
2(?
所以系统自由振动的通解为： {}{}
)s i n ()s i n (22)2(11)
1(21θω?θω
?+?++?=?
????
?t B t A x x n n ，其中{}{}21)2()1(,,,n n ωω??如上所述.B A ,为任意常数，21,θθ为各振型的初始相位角. 21,,,θθB A 由初始条件确定.
21.求图示系统激振点的位移导纳.
解:依题意，系统运动微分方程为：
(a )
0)()c o s ()(122232222212111111 ???=-+++=-+++x x k x k x c x
m t F x x k x k x c x m ω )cos(t F ω可扩展为复数形式t Fe ωi ，有
b)(0)()(122322222i 221211111 ???=-+++=-+++x k x k k x c x
m Fe x k x k k x c x
m t ω
设系统的稳态相应为：
t t e X x e X x ωωi 22i 11,==
将稳态响应表达式代入b)(得，
c)(0)i ()i (23222
21222121121 ?
??
=+++-+-=-+++-X k k c m X k F X k X k k c m ωωωω
解上述关于21,X X 的线性方程组，得
)
i ()i )(i ()
i (322
22322221121322221k c m k k k c m k c m k k c m F X ++-++++-++-+++-=ωωωωωωωω 所以，
)
i ()i )(i (i )(3222232222112132222i i 1k c m k k k c m k c m k k c m Fe e X H t
t
d ++-++++-++-+++-==ωωωωωωωωωωω 即系统激振点的位移导纳为：
)
i ()i )(i (i )(322
223222211213
2222k c m k k k c m k c m k k c m H d ++-++++-++-+++-=ωωωωωωωωω
22.试求图示两个物体沿铅垂方向振动的固有频率及主振型的振幅比.滑轮、弹簧与软绳的质量以及阻力都可以不计，其中k k m m = =11,.
解：如图所示，1m 对应的坐标为1x ，m 对应的坐标为2x .整个系统的动能为： 2
221222112
1212121x m x m x m x m T +=+=
整个系统的势能只计算弹性势能即可.故总势能为：
()()
2
2
2121222211222
12121x x x x k kx x x k U +-=+-=
因此系统的质量矩阵M 为：
j
i ij x x T m m m ???= ??????=200M 系统的刚度矩阵K 为：
j
i ij x x U
k k k
k k ???= ????
??--=22K 由0)det(2
=-M K ω可得关于2
ω的二次方程032
2
4
2
=+-k km m ωω
第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。
【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。
振动与波动习题与答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
第10章 振动与波动 一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν= 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π = 2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。
简谐运动，关于振子下列说法正确的是（ A. 在a 点时加速度最大，速度最大 B ?在0点时速度最大，位移最大 C ?在b 点时位移最大，回复力最大 D.在b 点时回复力最大，速度最大 5. 一质点在水平方向上做简谐运动。如图，是该质点在0 的振动图象，下列叙述中正确的是（ ） A. 再过1s ，该质点的位移为正的最大值 B ?再过2s ，该质点的瞬时速度为零 C. 再过3s ，该质点的加速度方向竖直向上 D. 再过4s ，该质点加速度最大 6. 一质点做简谐运动时，其振动图象如图。由图可知，在 时刻，质点运动的（ ） A.位移相同 B .回复力大小相同 C.速度相同 D .加速度相同 7. 一质点做简谐运动，其离开平衡位置的位移 与时间 如图所示，由图可知（ ） A.质点振动的频率为4 Hz B .质点振动的振幅为2cm C. 在t=3s 时刻，质点的速率最大 D. 在t=4s 时刻，质点所受的合力为零 8. 如图所示，为一列沿x 轴正方向传播的机械波在某一时刻的图像, 这列波的振幅A 、波长入和x=l 米处质点的速度方向分别为：（ 高二物理选修3-4《机械振动、机械波》试题 一、选择题 1. 关于机械振动和机械波下列叙述正确的是：（ ） A .有机械振动必有机械波 B .有机械波必有机械振动 C .在波的传播中，振动质点并不随波的传播发生迁移 D .在波的传播中，如振源停止振动，波的传播并不会立即停止 2. 关于单摆下面说法正确的是（ ） A. 摆球运动的回复力总是由摆线的拉力和重力的合力提供的 B. 摆球运动过程中经过同一点的速度是不变的 C. 摆球运动过程中加速度方向始终指向平衡位置 D. 摆球经过平衡位置时加速度不为零 3. 两个质量相同的弹簧振子，甲的固有频率是 3f .乙的固有频率是4f ,若它们 均在频率为5f 的驱动力作用下做受迫振动.则（ ） A 、振子甲的振幅较大，振动频率为3f B 、振子乙的振幅较大.振动频率为4f C 、振子甲的振幅较大，振动频率为5f D 、振子乙的振幅较大.振动频率为5f 班级: 姓名: 成绩: 4. 如图所示，水平方向上有一弹簧振子, 0点是其平衡位置，振子在a 和b 之间做 t 的关系 )
第10章振动与波动 一.基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度) =t A v - ω + ω sin(? 物体的振动加速度) =t A a2 cos(? - + ω ω 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件
确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν = 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π=2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。 7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相?，t=t 时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位?ω+t 。旋转矢量A ?的末端在x 轴上的投影点 的运动代表着质点的谐振动。 8. 简谐振动的能量 作谐振动的系统具有动能和势能，其 动能 )(sin ?+ωω==t A m m E k 22222 12 1v 势能 )(cos ?+ω==t kA kx E p 2222 12 1 机械能 22 1 kA E E E p k =+= 9. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成 其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅 初相 2 2112211?+??+?= ?cos cos sin sin tan A A A A （1）当两个简谐振动的相差),,,( Λ210212±±=π=?-?k k 时，合振动振幅最大，为 21A A +，合振动的初相为1?或2?。
大学物理学——振动和波 振 动 班级 学号 姓名 成绩 内容提要 1、简谐振动的三个判据 （1）；（2）；（3） 2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T 1= γ，πγπω22== T 3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法 4、简谐振动的速度和加速度：)2 cos()sin(v 00π ?ω?ωω+ +=+-== t v t A dt dx m ； a= ）（）（π?ω?ωω±+=+=0m 02 2 2 t a t cos -dt x d A 5、振动的相位随时间变化的关系： 6、简谐振动实例 弹簧振子：， 单摆小角度振动：， 复摆： 0mgh dt d 2 2 =+ θθJ ,T=2mgh J π 7、简谐振动的能量：2 22 m 21k 2 1A A E ω== 系统的动能为：）（?ωω+==t sin m 21mv 212 2 2 2 A E K ； 系统的势能为：）?ω+==t (cos k 2 1kx 2 122 2 A E P 8、两个简谐振动的合成 （1）两个同方向同频率的简谐振动的合成
合振动方程为：）（?ω+=t cos x A 其中，其中；。 ＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ= ＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成 合振动方程： ）（122 122 122 22 1 2-sin )(cos xy 2y x ????=-- + A A A A ，为椭圆方程。 练习一 一、 填空题 1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。 2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动 的三个特征量为：A ＝ ； =ω ;=? 。 3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。已 知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2 ml ，此摆作微小振动的周期 为 。 4．试在下图中画出谐振子的动能、振动势能和机械能随时间而变化的三条曲线（设t ＝0时物体经过平衡位置）。 5．图中所示为两个简谐振动曲线。若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为 。
机械振动测试题 第十一章机械振动章末综合检测 (时间:90分钟～满分:100分) 一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得5分，选对但不 全的得3分，有选错或不答的得0分) 1(关于做简谐运动的物体完成一次全振动的意义有以下说法，其中正确的是( ) A(回复力第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程 B(速度第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程 C(动能或势能第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程 D(速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向所经历的过程 2. 一个弹簧 振子在A、B间做简谐运动，如图所示，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点1(t,0)，经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么图中的四个x-t图象 能正确反映运4 动情况的是( ) 3.如图所示是一做简谐运动物体的振动图象，由图象可知物体速度最大的时刻 是( )
A(t B(t 12 C(t D(t 34 4(2011年3月11日14时46分，日本宫城县和岩手县等地发生9.0级地震，导致很多房屋坍塌，场景惨不忍睹，就此事件，下列说法正确的有( ) A(所有建筑物振动周期相同 B(所有建筑物振幅相同 C(建筑物的振动周期由其固有周期决定 D(所有建筑物均做受迫振动 5(如图所示为水平面内振动的弹簧振子，O是平衡位置，A是最大位移处，不计小球与轴的摩擦，则下列说法正确的是( ) A(每次经过O点时的动能相同 B(从A到O的过程中加速度不断增加 C(从A到O的过程中速度不断增加 D(从O到A的过程中速度与位移的方向相反 6(如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象(已知甲、乙两个振子质量相等，则( ) A(甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm B(甲、乙两个振子的相位差总为π C(前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值 D(第2秒末甲的速度最大，乙的加速度最大
大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和 T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为'T 1和'T 2。则有 ( B ) A ．'T T >11且 'T T >22 B ．'T T =11且 'T T >22 C ．'T T <11且 'T T <22 D ．'T T =11且 'T T =22 2．一物体作简谐振动，振动方程为cos 4x A t ?? =+ ?? ? πω，在4 T t = （T 为周期）时刻，物体的加速度为 ( B ) A. 2ω 2ω C. 2ω 2ω 3．一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A -，且向x 轴的正方向 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ( D ) A A A A A A C) A x x A A x A B C D 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 )cos(1αω+=t A x ．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二 个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 ( B ) A. )π21cos( 2++=αωt A x B. )π21 cos(2-+=αωt A x ． C. )π2 3 cos( 2-+=αωt A x D. )cos(2π++=αωt A x ．
5．波源作简谐运动，其运动方程为t y π240cos 10 0.43 -?=，式中y 的单位为m ，t 的单 位为s ，它所形成的波形以s m /30的速度沿一直线传播，则该波的波长为 ( A ) A ．m 25.0 B ．m 60.0 C ．m 50.0 D ．m 32.0 6．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： ( B ) A ．cos x t ππ??=+ ???2 2233 B ．cos x t ππ??=+ ??? 42233 C ．cos x t ππ??=- ???22233 D ．cos x t ππ??=- ??? 42233 二． 填空题（每空2分） 1． 简谐运动方程为)4 20cos(1.0π π+ =t y （t 以s 计，y 以m 计） ，则其振幅为 0.1 m,周期为 0.1 s ；当t=2s 时位移的大小为205.0m. 2．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动 的初相为4 0π ?=，振动方程为_)4 cos(2π π+ =t y 。 3. 平面简谐波的波动方程为()x t y ππ24cos 08.0-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s ，则该波的振幅A= 0.08 ，波长=λ 1 ，离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差=?? -Л 。 4. 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s 时刻质点的位移为___0 ___，速度为：πω3=A ． t
《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动 选择题 1．如右图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、b 两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知( ) A ．振子的振动周期等于t 1 B ．在t ＝0时刻，振子的位置在a 点 C ．在t ＝t 1时刻，振子的速度为零 D ．从t 1到t 2，振子正从O 点向b 点运动 2．如图所示，在一条张紧的绳子上悬挂A 、B 、C 三个单摆，摆长分别为L 1、L 2、L 3，且L 1＜L 2＜L 3，现将A 拉起一较小角度后释放，已知当地重力加速度为g ，对释放A 之后较短时间内的运动，以下说法正确的是（ ） A ．C 的振幅比 B 的大 B ．B 和 C 的振幅相等 C ．B 的周期为2π 2 L g D ．C 的周期为2π 1 L g 3．如图所示的单摆，摆球a 向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b 发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不便．已知碰撞前a 球摆动的最高点与最低点的高度差为h ，摆动的周期为T ，a 球质量是b 球质量的5倍，碰撞前a 球在最低点的速度是b 球速度的一半．则碰撞后 A 56 T
B ．摆动的周期为 65 T C ．摆球最高点与最低点的高度差为0.3h D ．摆球最高点与最低点的高度差为0.25h 4．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（ ） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度 B ．甲的最大速度小于乙的最大速度 C ．甲的振幅大于乙的振幅 D ．甲的振幅小于乙的振幅 5．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m 的A 、B 两物体，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k ，则下列说法中正确的是（ ） A ．细线剪断瞬间A 的加速度为0 B ．A 运动到最高点时弹簧弹力为mg C ．A 运动到最高点时，A 的加速度为g D ．A 振动的振幅为 2mg k 6．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212()x x g L π- B ． 212()2x x g L π- C ． 212()4x x g L π- D ． 212()8x x g L π-
第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d ()d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 222d ()d cos x a A t t ωω?==-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 212 k E mv = · 弹簧的势能为 212 p E kx = · 振子总能量为 P 22222211 ()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+= ++ 3. 阻尼振动
· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 22 2d d 20d d x x x t t βω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 22 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m βωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 221112212()cos A A A A A ??=++-
振动和波动计算题 1..一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置 6 cm 处速度是24 cm/s ，求 (1)周期T； (2)当速度是12 cm/s 时的位移． 解：设振动方程为x A c os t ，则v A sin t (1) 在x = 6 cm，v = 24 cm/s 状态下有 6 12 cos t 24 12 sin t 解得4/ 3，∴T 2 / 3 / 2s 2.72 s 2 分 (2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t2，则由 v A sin t 得12 12 (4/ 3) sin t ， 2 解上式得sin t 0.1875 2 2 相应的位移为x cos 1 sin 10.8 cm 3 分 A t2 A t 2 2. 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为 4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并 使之静止，再把物体向下拉10 cm ，然后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程； (2) 物体在平衡位置上方 5 cm 时弹簧对物体的拉力； (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5 cm 处所需要的最短时间． 解：k = f/x =200 N/m ， k / m 7.07 rad/s 2 分 (1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示），t = 0 时，x0 = 10A c os ，v0 = 0 = - A sin ． 解以上二式得 A = 10 cm，= 0． 2 分 ∴振动方程x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1 分 (2) 物体在平衡位置上方 5 cm 时，弹簧对物体的拉力 f = m( g- a )，而 a = - 2x = 2.5 m/s2 ∴ f =4 (9.8－2.5) N= 29.2 N 3 分 5 c m O (3) 设t1 时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即 0 = Acos t1 或cos t1 = 0．
《机械振动》测试题(含答案)(2) 一、机械振动 选择题 1．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的图象如图乙所示．不计空气阻力，g 取10m/s 2．对于这个单摆的振动过程，下列说法中不正确的是（ ） A ．单摆的位移x 随时间t 变化的关系式为8sin(π)cm x t = B ．单摆的摆长约为1.0m C ．从 2.5s t =到 3.0s t =的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D ．从 2.5s t =到 3.0s t =的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 2．下列说法中 不正确 的是( ) A ．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大 B ．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍 C ．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变 D ．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变 3．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（ ） A ．甲的最大速度大于乙的最大速度 B ．甲的最大速度小于乙的最大速度 C ．甲的振幅大于乙的振幅 D ．甲的振幅小于乙的振幅 4．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m 的A 、B 两物体，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k ，则下列说法中正确的是（ ） A ．细线剪断瞬间A 的加速度为0 B ．A 运动到最高点时弹簧弹力为mg
一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，t= 0时刻的波形图如图所示，则P处介质质点的振动方程是（） } A.(SI) B.(SI) C.(SI) D.(SI) 答案:A 2.如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知，，两列波在P点发生相消干涉．若S1的振动方程为，则S2的振动方程为（） } A. B. C. D. 答案:D 3.两相干波源S1和S2相距，（为波长），S1的相位比S2的相位超前，在S1，S2的连线上，S1外侧各点（例如P点）两波引起的两谐振动的相位差是（） } B. C. D. 答案:C 4.在弦线上有一简谐波，其表达式为 (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在x= 0处为一波腹，此弦线上还应有一简 谐波，其表达式为（） } A.(SI) B.(SI) C.(SI) D.(SI) 答案:D 5.沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为 和． 在叠加后形成的驻波中，各处简谐振动的振幅是（） } C. D. 答案:D 6.{ 一平面余弦波在t= 0时刻的波形曲线如图所示，则O点的振动初相为（） } B. C. D.（或） 答案:D 7.{ 如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为），则B点的振动方程为（） } A. B.
答案:D 8.{ 如图，一平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，O为坐标原点．已知P点的振动方程为，则（） } 点的振动方程为 B.波的表达式为 C.波的表达式为 点的振动方程为 答案:C 9.一声波在空气中的波长是 m，传播速度是340 m/s，当它进入另一介质时，波长变成了 m，它在该介质中传播速度为______________． 答案:503 m/s 10.一平面简谐波的表达式为(SI)，其角频率=_____________，波速u=_______________，波长= _________________．答案:125 rad/s|338 m/s | m 11.图为t=T/ 4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波的表达式为________________________． 答案:(SI) 12.一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波长为．若如图P1点处质点的振动方程为，则P2点处质点的振动方程为 _________________________________；与P1点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________． 答案:|(k=±1，±2，…） 13.如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波长为，若P处质点的振动方程是，则该波的表达式是 _______________________________；P处质点____________________________时刻的振动状态与O处质点t1时刻的振动状态相同． 答案:|，k= 0，±1，±2,…[只写也可以] 14.如图所示，波源S1和S2发出的波在P点相遇，P点距波源S1和S2的距离分别为和，为两列波在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，则两波在P点的振动频率___________，波源S1的相位比S2的相位领先_______． 答案:相同．|． 15.在固定端x= 0处反射的反射波表达式是.设反射波无能量损失，那么入射波的表达式是y1= ________________________；形成的驻波的表达式是y= ________________________________________． 答案:| 16.如果入射波的表达式是，在x= 0处发生反射后形成驻波，反射点为波腹．设反射后波的强度不变，则反射波的表达式y2= _______________________________；在x=处质点合振动的振幅等于______________________． 答案:|A 17.如图，一平面波在介质中以波速u=20 m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为(SI)． (1) 以A点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A点5 m处的B点为坐标原点，写出波的表达式． 答案: 解:(1)坐标为x点的振动相位为 2分 波的表达式为(SI) 2分 (2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 (SI) 2分 波的表达式为(SI) 2分 18.如图所示，两相干波源在x轴上的位置为S1和S2，其间距离为d=30 m，S1位于坐标原点O．设波只沿x轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变．x1=9 m和x2=12 m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差． 答案:{ 解:设S1和S2的振动相位分别为和．在x1点两波引起的振动相位差 即① 2分 在x2点两波引起的振动相位差 即② 3分
第一章检测题） 命题人：张雨萌检测人：刘军录 一、命题意图说明：这套试题本着“重视基础，考查能力，体现导向，注重发展”的命题原则，并结合教学实际和学生实际，立足基础，难易适中，做到思想性、科学性、技术性的统一，体现了先进的教学理念，注重基础知识的巩固，从现有能力水平和学生发展潜力角度，全面关注学生的学习。体现课程标准的理念，检测学科核心知识与能力，对学科教学有较好的引导作用，体现了评价功能，贴近学生的生活，充分考虑学生的认知水平，具有鲜明的时代感。本套试题覆盖选修3-4 第一章的所有内容。 二、试卷结构特点： 1．试卷结构（时间60 分钟，全卷共100 分） 2．试卷的基本技术指标 （1）题型及比例 基础知识性试题在试卷总分值中约占60％，中等难度试题在试卷总分值中约占30％，开放性试题的比例约为试卷总分值的10％。 （2）试题的难度简单题占60％，中等题占30％，难题占10％。 （3）试题的数量 第一卷共10道题，第二卷共7 道题，全卷共三道大题，17道小题。 三、试题简说：在本套试卷中，按照选择题和非选择题分类，由易而难，紧扣教材，灵活多样，充分体现了新课程理念，这种考查方式有利于调动学生的学习兴趣，培养和提高参与物理活动的能力。例如第5 小题，考查简谐运动的特点，就是针对机械振动部分的教学内容，让学生学有所获，注重积累，与课本知识联系紧密。第17 小题，考查简谐运动在力学问题上的应用，与必修一、二所学知识相联系，注重探究过程，体现了新课程的教学理念。第一课件网第一课件网 ．选择题（共10个小题，每题4 分，共40分。在下列各题中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。全部选对的得4 分，漏选的得2 分，错选、不选的得0 分) 1.关于简谐振动的加速度，下列说法正确的是( ) A.大小与位移成正比，方向一周期变化一次 B.大小不变，方向始终指向平衡位置 C.大小与位移成正比，方向始终指向平衡位置
机械振动与机械波(计算题) 1．(16分)如图甲是某简谐横波在t=0时刻的图像，如图乙是A 点的振动图像，试求： （1）A 点的振幅多大、此时振动的方向如何？ （2）该波的波长和振动频率。 （3）该波的波速的大小及方向如何？ 2．（10分）如图1所示，一列简谐横波沿x 轴正方向传播，波速为v = 80m/s 。P 、S 、Q 是波传播方向上的三个质点，已知距离PS = 0.4m 、SQ = 0.2m 。在t = 0的时刻，波源P 从平衡位置（x = 0，y = 0）处开始向上振动（y 轴正方向），振幅为15cm ，振动周期T = 0.01s 。 （1）求这列简谐波的波长λ ； （2）在图2中画出质点P 的位移—时间图象（在图中标出横轴的标度，至少画出一个周期）； （3）在图3中画出波传到Q 点时的波形图（在图中标出横轴的标度）。 v 图1 x - -×甲 乙
3．(9分) (1)下列说法中正确的是________． A ．水面上的油膜在阳光照射下会呈现彩色，这是由光的衍射造成的 B ．根据麦克斯韦的电磁场理论可知，变化的电场周围一定可以产生变化的磁场 C ．狭义相对论认为：不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 D ．在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，测量单摆周期应该从小球经过最大位移处开始计时，以减小实验误差 (2)如图9所示，一个半径为R 的14 透明球体放置在水平面上，一束蓝光从A 点沿水平方向射入球体后经B 点射出，最后射到水平面上的C 点．已知OA ＝ 2 R ，该球 体对蓝光的折射率为.则它从球面射出时的出射角β＝________；若换用一束红光同样从A 点射向该球体，则它从球体射出后落到水平面上形成的光点与C 点相比，位置________(填“偏左”、“偏右”或“不变”)． (3)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，周期为2 s ，t ＝0时刻的波形如图10所示．该列波的波速是________m/s ；质点a 平衡位置的坐标x a ＝2.5 m ，再经________s 它第一次经过平衡位置向y 轴正方向运动． 4．如图12－2－12甲所示，在某介质中波源A 、B 相距d ＝20 m ，t ＝0时两者开始上下振动，A 只振动了半个周期，B 连续振动，所形成的波的传播速度都为v ＝1.0 m/s ，开始阶段两波源的振动图象如图乙所示． (1)定性画出t ＝14.3 s 时A 波所达位置一定区域内的实际波形； (2)求时间t ＝16 s 内从A 发出的半波前进过程中所遇到的波峰个数． y /c t/ × 0 15 －15 图2 y /c x/m 0 15 －15 图3
第4章 振动与波动题目无答案 一、选择题 1. 已知四个质点在x 轴上运动, 某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是 [ ] (A) abx F = (B) abx F -= (C) b ax F +-= (D) a bx F /-= 2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是 [ ] (A) 摩擦阻力及其它阻力略去不计 (B) 弹簧本身的质量略去不计 (C) 振子的质量略去不计 (D) 弹簧的形变在弹性限度内 4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是 [ ] (A) 振幅 (B) 角频率 (C) 初相位 (D) 振幅、圆频率和初相位 5. 如T4-1-5图所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) 3T (D) 6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质 量为m 的物体, 但放置情况不同．如T4-1-6图所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 7. 如T4-1-7图所示，升降机中有一个做谐振动的单摆, 当升降机静止时, 其振动周期为2秒; 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ] (A) 增大 (B ) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 T 4-1-6图 T 4-1-7图 T 4-1-5图
《机械振动》单元测试题(含答案) 一、机械振动选择题 1．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（） A．甲的速度为零时，乙的速度最大 B．甲的加速度最小时，乙的速度最小 C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同 D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙=1：2 E.两个振子的振幅之比为A甲：A乙=2：1 2．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（） A．甲的最大速度大于乙的最大速度 B．甲的最大速度小于乙的最大速度 C．甲的振幅大于乙的振幅 D．甲的振幅小于乙的振幅 3．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知 A．甲、乙两单摆的周期之比是3:2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3 C．t b时刻甲、乙两摆球的速度相同D．t a时刻甲、乙两单摆的摆角不等 4．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为() A．T=2GM l B．T=2 l GM
C ．T = 2πGM r l D ．T =2πl r GM 5．用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体带动纸带一起向左运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点分别为A 、B 、C 、D ，用刻度尺测出A 、B 间的距离为x 1；C 、D 间的距离为x 2。已知单摆的摆长为L ，重力加速度为g ，则此次实验中测得的物体的加速度为（ ） A ． 212 ()x x g L π- B ． 212 ()2x x g L π- C ． 212 ()4x x g L π- D ． 212 ()8x x g L π- 6．如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A 、B 、C 三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D ，其中甲是从圆心A 出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B 到达最低点D ，丙沿圆弧轨道从C 点运动到D ，且C 点很靠近D 点，如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ） A ．丙球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 B ．甲球最先到达D 点，乙球最后到达D 点 C ．甲球最先到达 D 点，丙球最后到达D 点 D ．甲球最先到达D 点，无法判断哪个球最后到达D 点 7．如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉下一段距离A ，由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x 轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，则（ ） A ．1t 时刻钢球处于超重状态
叮叮小文库 机械振动与机械波 (计算题 ) 1． (16 分) 如图甲是某简谐横波在 t=0 时刻的图像，如图乙是 A 点的振动图像，试求： （ 1） A 点的振幅多大、此时振动的方向如何？ （ 2）该波的波长和振动频率。 （ 3）该波的波速的大小及方向如何？ y /cm y /cm 5 5 0 A 0 4 t / × 10-2 s 26 10 x/m -5 2 -5 甲 乙 2．（ 10 分）如图 1 所示，一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，波速为 v = 80m/s 。 P 、S 、 Q 是波传播方向上的三个质点，已知距离 PS = 0.4m 、 SQ = 0.2m 。在 t = 0 的时刻，波 源 P 从平衡位置（ x = 0 ， y = 0 ）处开始向上振动（ y 轴正方向），振幅为 15cm ，振动周期 T = 0.01s 。 v P S Q x 图 1 （ 1）求这列简谐波的波长 λ ； （ 2）在图 2 中画出质点 P 的位移—时间图象（在图中标出横轴的标度，至少画出一个周期）； （ 3）在图 3 中画出波传到 Q 点时的波形图（在图中标出横轴的标度） 。 y/c y/c 15 15 t/ × x/ m － 15 －15 图 2 图 3 3． (9 分 ) (1)下列说法中正确的是 ________． A ．水面上的油膜在阳光照射下会呈现彩色，这是由光的衍射造成的 B ．根据麦克斯韦的电磁场理论可知，变化的电场周围一定可以产生变化的磁场 C ．狭义相对论认为：不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 D ．在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，测量单摆周期应该从小球经过最大位 移处开始计时，以减小实验误差 (2) 如图 9 所示，一个半径为 R 的 1 透明球体放置在水平面上，一束蓝光从 A 点沿水平 4