C e n t r u m v o o r W i s k u n d e e n I n f o r m a t i c
a
Modelling, Analysis and Simulation
Two-point Taylor expansions of analytic functions
J.L. López, N.M. Temme
R EPORT MAS-R0211 A PRIL
30, 2002Modelling, Analysis and Simulation
CWI is the National Research Institute for Mathematics and Computer Science. It is sponsored by the Netherlands Organization for Scientific Research (NWO).
CWI is a founding member of ERCIM, the European Research Consortium for Informatics and Mathematics. CWI's research has a theme-oriented structure and is grouped into four clusters. Listed below are the names of the clusters and in parentheses their acronyms.
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Modelling, Analysis and Simulation (MAS)
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Telefax +31 20 592 4199
ISSN 1386-3703
1 Two-point Taylor Expansions of Analytic Functions
Jos′e L.L′o pez1and Nico M.Temme2
1Departamento de Mat′e matica e Inform′a tica,
Universidad P′u blica de Navarra,31006-Pamplona,Spain
2CWI,P.O.Box94079,1090GB Amsterdam,The Netherlands
e-mail:jl.lopez@unavarra.es,nicot@cwi.nl
ABSTRACT
Taylor expansions of analytic functions are considered with respect to two points.
Cauchy-type formulas are given for coe?cients and remainders in the expansions,and
the regions of convergence are indicated.It is explained how these expansions can be
used in deriving uniform asymptotic expansions of integrals.The method is also used
for obtaining Laurent expansions in two points.
2000Mathematics Subject Classi?cation:30B10,30E20,40A30.
Keywords&Phrases:two-point Taylor expansions,Cauchy’s theorem,analytic func-
tions,two-point Laurent expansions,uniform asymptotic expansions of integrals.
Note:Work carried out under project MAS1.2Analysis,Asymptotics and Comput-ing.This report has been accepted for publication in Studies in Applied
Mathematics.
1.Introduction
In deriving uniform asymptotic expansions of a certain class of integrals one encounters the problem of expanding a function,that is analytic in some domain?of the complex plane,in two points.The?rst mention of the use of such expansions in asymptotics is given in[1],where Airy-type expansions are derived for integrals having two nearby(or coalescing)saddle points.This reference does not give further details about two-point Taylor expansions,because the coe?cients in the Airy-type asymptotic expansion are derived in a di?erent way.
To demonstrate the application in asymptotics we consider the integral
F b(ω)=
1
2πi C eω(13z3?b2z)f(z)dz,(1)
whereωis a large positive parameter and b is a parameter that may assume small values.The contour starts at∞e?iπ/3and terminates at∞e iπ/3,and lies in a domain
2 where the function f is analytic.In particular,f is analytic in a domain that contains the saddle points±b of the exponent in the integrand.One method for obtaining an asymptotic expansion of F b(ω)that holds uniformly for small values of b is based on expanding f at the two saddle points:
f(z)=
∞
n=0A n(z2?b2)n+z∞ n=0B n(z2?b2)n,(2)
and substitute this expansion into(1).When interchanging summation and integration, the result is a formal expansion in two series in terms of functions related with Airy functions.A Maple algorithm for obtaining the coe?cients A n and B n,with applications to Airy-type expansions of parabolic cylinder functions,is given in[4].
In a future paper we use expansions like(2)in order to derive convergent expansions for orthogonal polynomials and hypergeometric functions that also have an asymptotic nature.The purpose of the present paper is to give details on the two-point Taylor expansion(2),in particular on the region of convergence and on representations in terms of Cauchy-type integrals of coe?cients and remainders of these expansions.Some information on this type of expansions is also given in[6],p.149,Exercise24.
Without referring to applications in asymptotic analysis we include analogous prop-erties of two-point Laurent expansions and of another related type,the two-point Taylor-Laurent expansion.
2.Two-point Taylor expansions
We consider the expansion(2)in a more symmetric form and give information on the coe?cients and the remainder in the expansion.
Theorem1.Let f(z)be an analytic function on an open set??C/and z1,z2∈?with z1=z2.Then,f(z)admits the two-point Taylor expansion
f(z)=N?1
n=0[a n(z1,z2)(z?z1)+a n(z2,z1)(z?z2)](z?z1)n(z?z2)n+r N(z1,z2;z),(3)
where the coe?cients a n(z1,z2)and a n(z2,z1)of the expansion are given by the Cauchy
integral
a n(z1,z2)≡
1
2πi(z2?z1)
C f(w)dw
(w?z1)(w?z2)
.(4)
The remainder term r N(z1,z2;z)is given by the Cauchy integral
r N(z1,z2;z)≡
1
2πi C f(w)dw
(w?z1)(w?z2)(w?z)
(z?z1)N(z?z2)N.(5)
The contour of integration C is a simple closed loop which encircles the points z1and z2(for a n)and z,z1and z2(for r N)in the counterclockwise direction and is contained in?(see Figure1(a)).
3 The expansion(3)is convergent for z inside the Cassini oval(see Figure2)
O z
1,z2≡{z∈?,|(z?z1)(z?z2)| where r≡Inf w∈C/\?{|(w?z1)(w?z2)|}. In particular,if f(z)is an entire function(?=C/),then the expansion(3)converges?z∈C/. Proof.By Cauchy’s theorem, f(z)= 1 2πi C f(w)dw w?z,(6) where C is the contour de?ned above(Figure1(a)).Now we write 1 w?z = z+w?z1?z2 (w?z1)(w?z2) 1 1?u ,(7) where u≡(z?z1)(z?z2) (w?z1)(w?z2) .(8) Now we introduce the expansion 1 1?u = N?1 n=0u n+u N1?u(9) in(7)and this in(6).After straightforward calculations we obtain(3)-(5). For any z∈O z 1,z2,we can take a contour C in?such that|(z?z1)(z?z2)|< |(w?z1)(w?z2)|?w∈C(see Figure1(b)).In this contour|f(w)|is bounded by some constant C:|f(w)|≤C.Introducing these two bounds in(5)we see that lim N→∞r N(z1,z2;z)=0and the proof follows.?? (a)(b) Figure1.(a)Contour C in the integrals(3)-(5).(b)For z∈O z 1,z2,we can take a contour C in?which contains O z1,z2inside and therefore,|(z?z1)(z?z2)|<|(w?z1)(w?z2)|?w∈C. 4 (a)4r>|z1?z2|2(b)4r=|z1?z2|2(c)4r<|z1?z2|2 Figure2.Shape of the Cassini oval depending on the relative size of the parameter r and the focal distance|z1?z2|. 2.1.An alternative form of the expansion The present expansion of f(z)in the form(3)stresses the symmetry of the expansion with respect to z1and z2.In this representation it is not possible,however,to let z1and z2coincide,which causes a little inconvenience(the coe?cients a n(z1,z2)be-come in?nitely large as z1→z2;the remainder r N(z1,z2;z)remains well-de?ned).An alternative way is the representation(cf.(2)), f(z)= ∞ n=0[A n(z1,z2)+B n(z1,z2)z](z?z1)n(z?z2)n, and we have the relations A n(z1,z2)=?z1a n(z1,z2)?z2a n(z2,z1), B n(z1,z2)=a n(z1,z2)+a n(z2,z1), which are regular when z1→z2.In fact we have A n(z1,z2)= 1 2πi C w?z1?z2 [(w?z1)(w?z2)]n+1 f(w)dw, B n(z1,z2)= 1 2πi C f(w)dw [(w?z1)(w?z2)]n+1 . Letting z1→0and z2→0,we obtain the standard Maclaurin series of f(z)with even part(the A n series)and odd part(the B n series). 2.2.Explicit forms of the coe?cients De?nition(4)is not appropriate for numerical computations.A more practical formula to compute the coe?cients of the above two-point Taylor expansion is given in the following proposition. Proposition1.Coe?cients a n(z1,z2)in the expansion(3)are also given by the for-mulas: a0(z1,z2)= f(z2) z2?z1(10) 5 and,for n=1,2,3,..., a n(z1,z2)= n k=0(n+k?1)! k!(n?k)! (?1)n+1nf(n?k)(z2)+(?1)k kf(n?k)(z1) n!(z1?z2)n+k+1.(11) Proof.We deform the contour of integration C in equation(4)to any contour of the form C1∪C2also contained in?,where C1(C2)is a simple closed loop which encircles the point z1(z2)in the counterclockwise direction and does not contain the point z2(z1) inside(see Figure3(a)).Then, a n(z1,z2)= 1 2πi(z2?z1) C1f(w)(w?z2)n+1dw(w?z1)n+ C2f(w)(w?z1)n dw(w?z2)n+1 = 1 (z2?z1) 1(n?1)!d n?1dw n?1f(w)(w?z2)n+1 w=z1+1n!d n dw n f(w)(w?z1)n w=z2 . From here,equations(10)-(11)follows after straightforward computations.?? (a)(b)(c) Figure3.(a)The function(w?z2)?n?1f(w)is analytic inside C1,whereas(w?z1)?n f(w) is analytic inside C2.(b)The function(w?z2)?n?1g1(w)is analytic inside C1,whereas(w?z1)?n g2(w)is analytic inside C2.(c)The function(w?z2)?n?1g(w)is analytic inside C1, whereas(w?z1)?n f(w)is analytic inside C2. 2.3.Two-point Taylor polynomials Next we can de?ne the two-point Taylor polynomial of the function f(z)at in the following way: De?nition1.Let z be a real or complex variable and z1and z2(z1=z2)two real or complex numbers.If f(z)is n?1?times di?erentiable at those two points,we de?ne the two-point Taylor polynomial of f(z)at z1and z2and degree2n?1as P n(z1,z2;z)≡n?1 k=0[a k(z1,z2)(z?z1)+a k(z2,z1)(z?z2)](z?z1)k(z?z2)k, where the coe?cients a k(z1,z2)are given in(10)-(11). 6 Proposition 2.In the conditions of the above de?nition,de?ne the remainder of the approximation of f (z )by P n (z 1,z 2;z )at z 1and z 2as r n (z 1,z 2;z )≡f (z )?P n (z 1,z 2;z ). Then,(i)r n (z 1,z 2;z )=o (z ?z 1)n ?1as z →z 1and r n (z 1,z 2;z )=o (z ?z 2)n ?1as z →z 2.(ii)If f (z )is n ?times di?erentiable at z 1and/or z 2,then r n (z 1,z 2;z )=O (z ?z 1)n as z →z 1and/or r n (z 1,z 2;z )=O (z ?z 2)n as z →z 2. Proof.The proof is trivial if f (z )is analytic at z 1and z 2by using (5).In any case,for real or complex variable,the proof follows after straightforward computations by using l’H?o pital’s rule and (10)-(11).??Remark 1.Observe that the Taylor polynomial of f (z )at z 1and z 2and degree 2n ?1is the same as the Hermite’s interpolation polynomial of f (z )at z 1and z 2with data f (z i ),f ′(z i ),...,f (n ?1)(z i ),i =1,2. 3.Two-point Laurent expansions In the standard theory for Taylor and Laurent expansions much analogy exists between the two types of expansions.For two-point expansions,we have a similar agreement in the representations of coe?cients and remainders. Theorem 2.Let ?0and ?be closed and open sets,respectively,of the complex plane, and ?0???C /.Let f (z )be an analytic function on ?\?0and z 1,z 2∈?0with z 1=z 2.Then,for any z ∈?\?0,f (z )admits the two-point Laurent expansion f (z )=N ?1 n =0[b n (z 1,z 2)(z ?z 1)+b n (z 2,z 1)(z ?z 2)](z ?z 1)n (z ?z 2)n + N ?1 n =0[c n (z 1,z 2)(z ?z 1)+c n (z 2,z 1)(z ?z 2)](z ?z 1)?n ?1 (z ?z 2)?n ?1+r N (z 1,z 2;z ), (12) where the coe?cients b n (z 1,z 2),b n (z 2,z 1),c n (z 1,z 2)and c n (z 2,z 1)of the expansion are given,respectively,by the Cauchy integrals b n (z 1,z 2)≡12πi (z 2?z 1) Γ1f (w )dw (w ?z 1)(w ?z 2)(13)and c n (z 1,z 2)≡1 2πi (z 2?z 1) Γ2 (w ?z 1)n +1(w ?z 2)n f (w )dw.(14)The remainder term r N (z 1,z 2;z )is given by the Cauchy integrals r N (z 1,z 2;z )≡12πi Γ1f (w )dw (w ?z 1)N (w ?z 2)N (w ?z )(z ?z 1)N (z ?z 2)N ?12πi Γ2(w ?z 1)N (w ?z 2)N f (w )dw w ?z 1(z ?z 1)N (z ?z 2)N .(15) 7 In these integrals,the contours of integrationΓ1andΓ2are simple closed loops contained in?\?0which encircle the points z1and z2in the counterclockwise direction.Moreover,Γ2does not contain the point z inside,whereasΓ1encirclesΓ2and the point z(see Figure4(a)). The expansion(12)is convergent for z inside the Cassini annulus(see Figure5) A z 1,z2≡{z∈?\?0,r2<|(z?z1)(z?z2)| r1≡Inf w∈C/\?{|(w?z1)(w?z2)|},r2≡Sup w∈?0{|(w?z1)(w?z2)|}. Proof.By Cauchy’s theorem, f(z)= 1 2πi Γ1f(w)dw w?z?12πi Γ2f(w)dw w?z,(17) whereΓ1andΓ2are the contours de?ned above.We substitute(7)-(8)into the?rst integral above and 1 w?z = z1+z2?z?w (z?z1)(z?z2) 1 1?u ,u≡ (w?z1)(w?z2) (z?z1)(z?z2) , into the second one.Now we introduce the expansion(9)of the factor(1?u)?1in both integrals in(17).After straightforward calculations we obtain(12)-(15). For any z verifying(16),we can take simple closed loopsΓ1andΓ2in?\?0such that |(z?z1)(z?z2)|<|(w?z1)(w?z2)|?w∈Γ1and|(z?z1)(z?z2)|>|(w?z1)(w?z2)|?w∈Γ2(see Figure4(b)).On these contours|f(w)|is bounded by some constant C:|f(w)|≤C.Introducing these bounds in(15)we see that lim N→∞r N(z1,z2;z)=0 and the proof follows.?? (a)(b) Figure4.(a)ContoursΓ1andΓ2in the integrals(12)-(15).(b)For z∈A z 1,z2,we can take a contourΓ2in?situated between?0and A z1,z2and a contourΓ1in?which contains A z1,z2 inside.Therefore,|(z?z1)(z?z2)|<|(w?z1)(w?z2)|?w∈Γ1and|(w?z1)(w?z2)|< |(z?z1)(z?z2)|?w∈Γ2. 8 (a)4r1>4r2>|z1?z2|2(b)4r1>|z1?z2|2=4r2(c)4r1>|z1?z2|2>4r 2 (d)4r1=|z1?z2|2>4r2(e)|z1?z2|2>4r1>4r2 Figure5.Shape of the Cassini annulus depending on the relative size of the parameters r1,r2 and the focal distance|z1?z2|. If the only singularities of f(z)inside?0are just poles at z1and/or z2,then an alternative formula to(13)and(14)to compute the coe?cients of the above two-point Laurent expansion is given in the following proposition. Proposition3.Suppose that g1(z)≡(z?z1)m1f(z)and g2(z)≡(z?z2)m2f(z)are analytic functions in?for certain m1,m2∈N|.Then,for n=0,1,2,...,coe?cients b n(z1,z2)and c n(z1,z2)in the expansion(12)are also given by the formulas: b n(z1,z2)= n+m1?1 k=0 n+m1?1k (?1)k+1(n+1)k g(n+m1?k?1) 1 (z1) (n+m1?1)!(z1?z2)n+k+2+ n+m2 k=0 n+m2k (?1)k(n)k g(n+m2?k) 2 (z2) (n+m2)!(z2?z1)n+k+1, (18) where(n)k denotes the Pochhammer symbol and c n(z1,z2)=? m1?n?2 k=0k! m1?n?2k n k (z1?z2)n?k?1g(m1?n?k?2) 1 (z1) (m1?n?2)!+ m2?n?1 k=0k! m2?n?1k n+1k (z2?z1)n?k g(m2?n?k?1) 2 (z2) (m2?n?1)!. (19) In these formulas,empty sums must be understood as zero.Coe?cients b n(z2,z1)and c n(z2,z1)are given,respectively,by(18)and(19)interchanging z1,g1and m1by z2, g2and m2respectively. 9 Proof.We deform both,the contourΓ1in equation(13)andΓ2in equation(14),to any contour of the form C1∪C2contained in?,where C1(C2)is a simple closed loop which encircles the point z1(z2)in the counterclockwise direction and does not contain the point z2(z1)inside(see Figure3(b)).Then, b n(z1,z2)= 1 2πi(z2?z1) C1g1(w) (w?z2)n+1 dw (w?z1)n+m1 + C2g2(w)(w?z1)n dw (w?z2)n+m2+1 = 1 z2?z1 1(n+m1 ?1)! d n+m1?1 dw1 g1(w) (w?z2) w=z1+ 1 (n+m2)! d n+m2 dw n+m2 g2(w) (w?z1)n w=z2 and c n(z1,z2)= 1 2πi(z2?z1) C1(w?z2)n g1(w) (w?z1)m1?n?1 dw+ C2(w?z1)n+1g2(w) (w?z2)m2?n dw = 1 z2?z1 d m1?n?2 dw1 (w?z2)n g1(w) (m1?n?2)! w=z1+d m2?n?1 dw2 (w?z1)n+1g2(w) (m2?n?1)! w=z2 From here,equations(18)and(19)follow after straightforward computations.??Remark2.Let z be a real or complex variable and z1,z2(z1=z2)two real or complex numbers.Suppose that g1(z)≡(z?z1)m1f(z)is n?times di?erentiable at z1 and g2(z)≡(z?z2)m2f(z)is n?times di?erentiable at z2.De?ne g(z)≡f(z)?M?1 n=0[c n(z1,z2)(z?z1)+c n(z2,z1)(z?z2)](z?z1)?n?1(z?z2)?n?1, where M≡Max{m1,m2}.Then,the thesis of Proposition2holds for f(z)replaced by g(z).Moreover,if(z?z1)m1(z?z2)m2f(z)is an analytic function in?,then the thesis of Theorem1applies to g(z). 4.Two-point Taylor-Laurent expansions Theorem3.Let?0and?be closed and open sets,respectively,of the complex plane, and?0???C/.Let f(z)be an analytic function on?\?0,z1∈?0and z2∈?\?0. Then,for z∈?\?0,f(z)admits the Taylor-Laurent expansion f(z)=N?1 n=0[d n(z1,z2)(z?z1)+d n(z2,z1)(z?z2)](z?z1)n(z?z2)n+ N?1 n=0e n(z1,z2)(z?z2)n(z?z1)?n?1+r N(z1,z2;z),(20) 10 where the coe?cients d n (z 1,z 2),d n (z 2,z 1)and e n (z 1,z 2)of the expansion are given by the Cauchy integrals d n (z 1,z 2)≡12πi (z 2?z 1) Γ1 f (w )dw (w ?z 1)(w ?z 2)(21) and e n (z 1,z 2)≡z 1?z 22πi Γ2(w ?z 1)n (w ?z 2)n +1f (w )dw.(22)The remainder term r N (z 1,z 2;z )is given by the Cauchy integrals r N (z 1,z 2;z )≡12πi Γ1f (w )dw (w ?z 1)N (w ?z 2)N (w ?z )(z ?z 1)N (z ?z 2)N ?1 2πi Γ2 (w ?z 1)N f (w )dw (w ?z 2)N (w ?z )(z ?z 2)N (z ?z 1)N .(23)In these integrals,the contours of integration Γ1and Γ2are simple closed loops contained in ?\?0which encircle ?0in the counterclockwise direction.Moreover,Γ2does not contain the points z and z 2inside,whereas Γ1encircles Γ2and the points z and z 2(see Figure 6(a)). The expansion (20)is convergent in the region (Figure 7) D z 1,z 2≡{z ∈?\?0,|(z ?z 1)(z ?z 2)| |(w ?z 2)(w ?z 1)?1| .Proof.By Cauchy’s theorem, f (z )=12πi Γ1f (w )dw w ?z ?12πi Γ2 f (w )dw w ?z ,(25) where Γ1and Γ2are the contours de?ned above.We substitute (7)-(8)into the ?rst integral above and 1w ?z =z 2?z 1(z ?z 1)(w ?z 2)11?u ,u ≡(w ?z 1)(z ?z 2) (z ?z 1)(w ?z 2)(26) into the second one.Now we introduce the expansion (9)of the factor (1?u )?1in both integrals in (25).After straightforward calculations we obtain (20)-(23). For any z verifying (24),we can take simple closed loops Γ1and Γ2in ?\?0such that |(z ?z 1)(z ?z 2)|<|(w ?z 1)(w ?z 2)|?w ∈Γ1and |(z ?z 1)(w ?z 2)|>|(w ?z 1)(z ?z 2)|?w ∈Γ2(see Figure 6(b)).On these contours |f (w )|is bounded by some constant C :|f (w )|≤C .Introducing these bounds in (23)we see that lim N →∞r N (z 1,z 2;z )=0and the proof follows.?? 11 (a)(b) Figure 6.(a)Contours Γ1and Γ2in the integrals (20)-(23).(b)For z ∈D z 1,z 2,we can take a contour Γ2situated between ?0and D z 1,z 2and a contour Γ1in ?which contains D z 1,z 2inside.Therefore,|(z ?z 1)(z ?z 2)|<|(w ?z 1)(w ?z 2)|?w ∈Γ1and |(w ?z 1)(z ?z 2)|<|(z ?z 1)(w ?z 2)|?w ∈ Γ2 . (a)4r 1>|z 1?z 2|2,r 2>1(b)4r 1 >|z 1?z 2|2,r 2=1 (c)4r 1 >|z 1 ?z 2|2,r 2<1(d)4r 1=|z 1?z 2| 2,r 2 >1(e)4r 1=|z 1?z 2|2,r 2=1(f)4r 1=|z 1?z 2|2,r 2<1 (g)4r 1<|z 1?z 2|2,r 2>1(h)4r 1<|z 1?z 2|2,r 2=1(i)4r 1<|z 1?z 2|2,r 2<1Figure 7.The region D z 1,z 2de?ned in Theorem 3is given by D z 1,z 2=D 1 D 2,where D 1is the Cassini oval of focus z 1and z 2and parameter r 1.On the other hand,for r 2<1(r 2>1),D 2 is the interior (exterior)of the circle of center z 1+(1?r 22)?1(z 2?z 1)=z 2+r 22(r 22?1)?1(z 1?z 2) and radius |z 1?z 2|r 2/|r 22?1|.For r 2=1,D 2is just the half plane |z ?z 2|<|z ?z 1|.The 12 shape of the Cassini annulus depends on the relative size of the parameters√r1,√r2and the focal distance|z1?z2|. If the only singularities of f(z)inside?0are just poles at z1,then an alternative formula to(21)-(22)to compute the coe?cients of the above two-point Taylor-Laurent expansion is given in the following proposition. Proposition4.Suppose that g(z)≡(z?z1)m f(z)is an analytic function in?for certain m∈N|.Then,coe?cients d n(z1,z2)and d n(z2,z1)in the expansion(20)are also given by the formulas: d0(z1,z2)= f(z2) z2?z1? m?1 k=01(m?k?1)!g(m?k?1)(z1) (z2?z1)k+2,(27) d0(z2,z1)= 1 m! g(m)(z1) z1?z2, and,for n=1,2,3..., d n(z1,z2)=?(?1)n n! m+n?1 k=0(n+k)! k!(m+n?k?1)! g(m+n?k?1)(z1) (z2?z1)n+k+2+ n n k=0(n+k?1)! k!(n?k)! f(n?k)(z2) (z1?z2) ,(28) d n(z2,z1)=?(?1)n n! n m+n k=0(n+k?1)! k!(m+n?k)! g(m+n?k)(z1) (z2?z1)+ n?1 k=0(n+k)! k!(n?k?1)! f(n?k?1)(z2) (z1?z2)n+k+2 .(29) For n=0,1,2,...,coe?cients e n(z1,z2)are given by e n(z1,z2)=(?1)n n! m?n?1 k=0(n+k)! k!(m?n?k?1)! g(m?n?k?1)(z1) (z2?z1)n+k.(30) Proof.We deform both,the contourΓ1in equation(21)and the contourΓ2in equation (22)to any contour of the form C1∪C2contained in?,where C1(C2)is a simple closed loop which encircles the point z1(z2)in the counterclockwise direction and does not 13 contain the point z2(z1)inside(see Figure3(c)).Then, d n(z1,z2)= 1 2πi(z2?z1) C1g(w)(w?z2)n+1dw(w?z1)n+m+ C2f(w)(w?z1)n dw(w?z2)n+1 = 1 (z2?z1) 1(n+m?1)!d n+m?1dw n+m?1g1(w) (w?z2)n+1 w=z1+ 1 n! d n dw f(w) (w?z1) w=z2 , an analog formula for d n(z2,z1),and e n(z1,z2)=z1?z2 2πi C1g(w)(w?z2)n+1dw(w?z1)m?n= (z1?z2)1 (m?n?1)! d m?n?1 dw g(w) (w?z2) w=z1. From here,equations(27)-(30)follow after straightforward computations.??Remark3.Let z be a real or complex variable and z1and z2(z1=z2)two real or complex numbers.Suppose that(z?z1)m f(z)is n?times di?erentiable at z1for certain m∈N|and f(z)is n?times di?erentiable at z2.De?ne g(z)≡f(z)?m?1 n=0e n(z1,z2)(z?z1)?n?1(z?z2)n. Then,the thesis of Proposition2holds for g(z).If moreover,(z?z1)m f(z)is an analytic function in?,then the thesis of Theorem1applies to g(z). 5.Acknowledgements J.L.L′o pez wants to thank the C.W.I.of Amsterdam for its scienti?c and?nancial support during the realization of this work.The?nancial support of the saving bank Caja Rural de Navarra is also acknowledged. 14 References [1] C.Chester,B.Friedman,and F.Ursell,An extension of the method of steep- est descent,Proc.Cambridge Philos.Soc.,53(1957)599–611. [2]Jos′e L.Lopez and Nico M.Temme,Asymptotic expansions of Charlier,Laguerre and Jacobi polynomials.Submited,2002. [3]Jos′e L.Lopez and Nico M.Temme,Two-point Taylor expansions of analytic functions.Submited,2002. [4]Raimundas Vidunas and Nico M.Temme,Symbolic evaluation of coe?cients in Airy-type asymptotic expansions.CWI Report MAS-R0118.Accepted for publi-cation in Journal of Mathematical Analysis and Applications(2001). [5]J.L.Walsh,Interpolation and Approximation by rational functions in the complex domain,American Mathematical Society,Providence,1969. [6] E.T.Whittaker and G.N.Watson,A course of modern analysis,Cambridge University Press,London and New York,1927. [7]R.Wong,Asymptotic Approximations of Integrals,Academic Press,New York,1989. 高三文科数学模拟试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数31i i ++（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2 B ．1- C ．2i D ．i - 2．已知集合{3,2,0,1,2}A =--，集合{|20}B x x =+<，则()R A C B ?=（ ） A ．{3,2,0}-- B ．{0,1,2} C ． {2,0,1,2}- D ．{3,2,0,1,2}-- 3．已知向量(2,1),(1,)x ==a b ，若23-+a b a b 与共线，则x =（ ） A ．2 B ． 12 C ．1 2 - D ．2- 4．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那 么这个几何体的表面积为（ ） A ．4π B ． 3 2 π C .3π D .2π 5．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6 π 个单位，得到函数 () y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．(,0)2π - B . (,0)6π- C . (,0)6π D . (,0) 3π 6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ．10- B ．3- C ． 4 D ．5 7. 已知圆22 :20C x x y ++=的一条斜率为1的切线1l ，若 与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（ ） A. 10x y -+= B. 10x y --= C. 10x y +-= D. 10x y ++= 8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a Λ， 则65a a ?的最大值是( ) A ． 94 B ．6 C ．9 D ．36 正视图 侧视图 俯视图 1k k =+结束 开始 1,1 k s ==5?k < 2s s k =- 输出s 否 是 期货模拟实验报告记录完整版 作者: 日期: 实验报告 2016年1月 、注册 本文报告撰写所使用的模拟软件为期货交易系统国海良时，注册的帐号为 XXX ，密码为XXXX 。 本文选择沪铜1604（ CU1604）进行期货模拟交易。 二、基本分析 1.2015世界经济增长强势 2015年全球经济呈现出强劲的增长势头，经济增长率高于 期的平均水平，创造了过去 20年来的最高纪录。2015年美日欧三大经济体的增长速度普遍 提高，美日经济增长势头强劲， 除此之外，主要发展中国家的经济均呈现出强势的增头，东 亚地区将作为一个经济整体继续成为全球经济增长率最高的国家和地区, 政年度的经济增长率为 10.4%，首次超过中国成为世界第一。 2.2016经济增长放缓，增速适中 球的差异性也将进一步拉大：美国经济有望继续稳定增长，欧洲主要国家有望从经济衰退的 阴影中逐渐走出，迎来经济稳中有升的局面， 但是仍然面临诸多内外困难， 复苏不会一帆风 顺，特别是难民危机如不能妥善解决， 可能造成深远的影响； 亚洲和新兴市场的经济可能面 临不利的局面，而大宗商品价格不断走低， 对于以其为经济支柱的国家来说无疑是雪上加霜; 全球的市场波动性可能进一步增加，总体而言，国际金融危机后的世界经济是向前发展的。 3.2016有色金属价格拐点将现，铜需求上涨 2014-2015年，全球大宗商品市场经历了连续两年的熊市， 直到目前也没有见底的迹象。 根据历史经验，在美国历次加息周期中，大宗商品表现最好，年回报超过 着铜价的持续走低，智刟等主要铜产地开始减产， 全球铜供给趋于平衡， 铜库存开始出现减 少。2016 年随着全球经济弱复苏，铜需求有望进一步上升，有望带动铜库存进一步下降, 铜价有望迎来拐点。 数据显示，12 月底伦铜库存为236225吨，上月末为243350吨，增加 7125吨。本月底上海期货交易所铜库存继续上涨，统计为 吨。 期货模拟实验报告 20世纪90年代高速增长时 2015年，印度财 在2015年10月国际货币基金组织（IMF ） 发布的全球经济展望显示：扣除通货膨胀因素 后，2016年全球经济预计将增长 3.6%，比起 2015年的增长率预期3.1%有显著提高；然而 发达国家和发展中国家面临的局面却迥然不同, 各国增长前景则有可能出现显著的分化， 全 25%，2015 年随 177854吨，上月末为 187152 实验报告 课程名称：期货理论与实务 实验项目：期货交易模拟实验 学生姓名：xx 学号：2012xx 班级：金融1201班 专业：金融学 指导教师：xxxx 2016年1月 一、注册 本文报告撰写所使用的模拟软件为期货交易系统国海良时，注册的帐号为xxx，密码为xxxx。 本文选择沪铜1604（cu1604）进行期货模拟交易。 二、基本分析 1.2015世界经济增长强势 2015年全球经济呈现出强劲的增长势头，经济增长率高于20世纪90年代高速增长时期的平均水平，创造了过去20年来的最高纪录。2015年美日欧三大经济体的增长速度普遍提高，美日经济增长势头强劲，除此之外，主要发展中国家的经济均呈现出强势的增头，东亚地区将作为一个经济整体继续成为全球经济增长率最高的国家和地区，2015年，印度财政年度的经济增长率为10.4%，首次超过中国成为世界第一。 2.2016经济增长放缓，增速适中 在2015年10月国际货币基金组织(IMF)发布的全球经济展望显示：扣除通货膨胀因素后，2016年全球经济预计将增长3.6%，比起2015年的增长率预期3.1%有显著提高；然而发达国家和发展中国家面临的局面却迥然不同，各国增长前景则有可能出现显著的分化，全球的差异性也将进一步拉大：美国经济有望继续稳定增长，欧洲主要国家有望从经济衰退的阴影中逐渐走出，迎来经济稳中有升的局面，但是仍然面临诸多内外困难，复苏不会一帆风顺，特别是难民危机如不能妥善解决，可能造成深远的影响；亚洲和新兴市场的经济可能面临不利的局面，而大宗商品价格不断走低，对于以其为经济支柱的国家来说无疑是雪上加霜；全球的市场波动性可能进一步增加，总体而言，国际金融危机后的世界经济是向前发展的。 3.2016有色金属价格拐点将现，铜需求上涨 2014-2015年，全球大宗商品市场经历了连续两年的熊市，直到目前也没有见底的迹象。根据历史经验，在美国历次加息周期中，大宗商品表现最好，年回报超过25%，2015年随着铜价的持续走低，智刟等主要铜产地开始减产，全球铜供给趋于平衡，铜库存开始出现减少。2016年随着全球经济弱复苏，铜需求有望进一步上升，有望带动铜库存进一步下降，铜价有望迎来拐点。数据显示，12月底伦铜库存为236225吨，上月末为243350吨，增加7125吨。本月底上海期货交易所铜库存继续上涨，统计为177854吨，上月末为187152吨。 期货模拟交易报告账号：1102093927 期货概述 （一）期货交易 期货交易是由买卖双方预先签订产品买卖合同，而货款的支付和货物的交割在约定的远期进行的一种贸易方式。 期货交易通常是在交易所由众多的买家和卖家，按约定的规则，用喊价和借助各种手势进行讨价还价的方式，或用计算机终端敲键的方式，通过激烈的竞争而成交的。期货本质上是一种标准化的远期合约。 （二）期货交易与远期交易的区别 期货合约与远期合约两者均为买卖双方约定于未来某一特定时间以约定的价格买入与卖出一定数量商品的契约，都具有套期保值和投机的双重功能。期货交易是由远期发展而来的，但与远期合同有很大的区别： 期货的交易主体是套期保值者、经纪商和投机者，而远期的交易主体是生产者和消费者；期货交易是为了利用期货市场价格的波动套期保值或投机获利，而远期交易的目的是为了稳定商品产销关系，生产者能从中获得稳定的销路，消费者能从中获得稳定的货源；期货合约是标准化的，如交易品种、规格、质量、交货时间地点都明确标明在合约上，而远期不是规的。期货需预付一定的保证金，而远期不需要；期货的商品价格在订立合约时即确定，远期的商品价格在实行商品所有权转移时才确定。 （三）期货市场 现代规化的期货交易是商品交易者委托经纪公司代理，在期货交易所按照一定的规则和程序，依法通过公平竞争来进行，并且经清算所确认，有保证金作保障，最终得以完成的一种交易活动，相应地，期货市场在其发展过程中就形成了适应这种交易的市场组织结构。期货市场主要由期货交易所、期货交易参加者和清算所三大部分组成。期货交易所(Futures Exchanges或Exchonges)指的是法律允许的具体买卖期货合约的场所。期货交易所既不参与期货交易，也不参与期货价格的确定，它的主要职能是：(1) 提供交易场所，确定交易时间； (2) 制订期货交易规则；(3) 负责监督和执行交易规则；(4) 设计和制订标准的期货合约；(5) 设立仲裁机构，解决交易争议，保证期货合约顺利履行；(6) 收集并向公众传播信息。期货交易参与者包括场经纪人（Floor Brokers）、期货佣金商（FCM期货经纪人/行/公司）、专业投机商（Day Traders）、套期保值者（Hedgers）和大众交易者。清算所指的是对期货交易所中交易的期货合约负责对冲、交割和统一清算结算的机构。目前清算所的组织形式有两种：一种是独立的清算机构；另一种是附属于期货交易所的清算所。清算所是期货市场的核心组成部分，期货市场只有存在完善的清算制度，才能成为真正的期货市场。 （四）期货品种 期货包括商品期货、利率期货、短期利率期货、中长期利率期货、欧洲美元期货合约、外汇期货和股票指数期货。现在，被作为商品的实物资产围十分广大，一般可分为以下几大类：①金属：黄金、铜、 一、选择题： 1. 10i 2-i = A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i 解：原式10i(2+i) 24(2-i)(2+i) i = =-+.故选A. 2. 设集合{}1|3,| 04x A x x B x x -?? =>= A. 10 10 B. 15 C. 310 10 D. 35 解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B 与BE 所成的角。在1A BE ?中由余弦定理易得1310 cos A BE ∠=。故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =?=+=，则||b = A. 5 B. 10 C.5 D. 25 解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。故选C 7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则 A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 解：322log 2log 2log 3b c <<∴> 2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8. 若将函数()tan 04y x πωω??=+> ? ? ? 的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω?? =+ ?? ? 的图像重合，则ω的最小值为 A ．1 6 B. 14 C. 13 D. 12 解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π ππππωωω??? ?=+?????? →=-=+ ? +? ????向右平移个单位 1 64 ()6 62k k k Z π π ωπωπ += ∴=+∈∴ - ， 又min 1 02 ωω>∴=.故选D 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线 2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点， 课程名称:《金融工程》 期货模拟交易实验报告 学院: 经济管理学院 授课时间: 2013-2014学年第二学期(64课时) 专业与班级: 姓名（学号）: 任课教师: 尹常玲 提交日期: 2014年6月19日 期货模拟交易实验报告 一、实验名称 期货模拟交易 二、实验时间 2014年4月-2014年6月 三、实验内容 运用钱龙金融教学系统，进行期货品种的开仓、平仓等操作，通过设置行情选中自己感兴趣的期货进行实时关注。同时每次的期货交易可以根据自己对市场行情的理解及预测选择“做空”及“做多”即具体对期货的买卖操作。在模拟操作中，如何看待选定期货的历史信息而进行有策略的投资选择是十分重要的。在期货市场中，虽然可以“以小搏大”，“空手买卖”，但是每次模拟操作的买卖方向直接决定了收益情况，因此要把握好市场行情，谨慎选择操作方向。我国的期货市场主要包括上海、郑州及大连期货交易市场，主要经营的期货产品分为工业产品、农产品及贵金属三大类。在决定每一次的持仓操作时，不仅要在分析国际国内期货市场的基础上合理选择持仓期货商品，还要通过部分期货的市场变化相关性，构造合理的投资组合，以防范可能的市场风险并控制内部的操作风险。 四、实验目的 通过实践了解期货的产生，综合分析宏观和微观因素对期货市场的影响；实际了解期货价格走势，了解其价格与成交量之间的走势，并学习尝试进一步判断其未来走势；熟悉期货操作的基本分析方法，灵活运用基本面分析和技术面分析；模拟投资，熟悉交易过程，提高理论联系实际的能力，将课上所学习的投机策略具体运用于实践中；学会选择合理适当的期货品种进行操作。 五、实验过程 高三数学模拟试卷 选择题（每小题5分，共40分） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(eU N )＝（ ） A. {1,2} B.｛4,5｝ C.｛3｝ D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. - i 3．正项数列{a n }成等比，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是（ ） A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A. 23 B. 43 π C. 23+ 43 π D. 5434327π+ 5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ） A. 22 B. 2+1 C. 2 D. 1 6．在四边形ABCD 中，“AB u u u r =2DC u u u r ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．设P 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2+px +1=0有实根的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2 π ) 的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ） A ．f (x )=5sin( 6πx +6π) Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π) Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ．f (x )=5sin(3πx -6 π ) 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9.直线y =kx +1与A （1,0），B （1,1）对应线段有公 共点，则k 的取值范围是_______. 10．记n x x )12(+ 的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 11．设函数 3 1 ()12 x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，则 1234()f x x x x =+++ ； 12、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 11.2 1 1 lim ______34 x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中 x －5 y O 5 2 5 一、目的 实际了解期货价格走势，了解其价格与成交量之间的走势。熟悉期货的基本面分析法与常见的技术分析法。理解并掌握期货交易的主要原则和规则：期货交易规则应包括开市、闭市、报价、成交、记录、停板、交易的结算和保证、交割、纠纷处理及违约处罚等内容。期货交易规则仍然是一种总的规定，根据业务管理的需要，交易所又制定了各种细则和管理办法，如交割细则，套期保值管理规定，定点仓库管理规定，仓单管理办法等。期货合约也是规则的组成部分。制定期货交易规则的目的是为了维持正常交易秩序，保护平等竞争，惩罚违约、制止垄断、操纵市场等不正当的交易行为。商品期货交易的了结（即平仓）一般有两种方式，即对冲平仓和实物交割。自己模拟投资，熟悉交易过程，提高理论联系实际的能力。运用课程讲授的分析方法及操作方式，通过模拟操作，提高自己对期货市场的分析能力以及实际操盘能力，并且巩固学习的知识，达到温故而知新的效果。 在整个期货模拟交易的过程中，我主要购买了白糖和豆油这两种产品。由于自身经验不足，对期货交易的整个过程只有理论知识的了解，所以真正的去操作起来就没那么容易了，所以在进行期货模拟交易的这段日子里，很遗憾的，我并没有“赚到钱”，反而还亏损了，但我觉得这并不是重点，在这整个过程中我所学到东西，才是真正重要的。 二、内容 （1）对期货模拟交易的认识： 期货模拟交易是按照真实期货交易的流程以及操作方法，但是不需注入保证金的情况下进行的模拟交易，对于打算入市交易的投资者而言，模拟交易能够使我们熟悉交易系统，熟悉交易模式以及对期货交易产生初步概念。 （2）模拟交易的过程： 由于我进行模拟交易的时候事情较多，也没有一直关注各个期货产品的实时情况，因此就不一一地进行分析解释，只对于模拟交易的各个步骤进行举例分析说明。 ①软件介绍 赢顺模拟版软件支持国内四家期货交易所的模拟交易、夜盘仿真交易，以及境外的 期货模拟交易报告 账号：1102093927 期货概述 （一）期货交易 期货交易是由买卖双方预先签订产品买卖合同，而货款的支付和货物的交割在约定的远期进行的一种贸易方式。 期货交易通常是在交易所由众多的买家和卖家，按约定的规则，用喊价和借助各种手势进行讨价还价的方式，或用计算机终端敲键的方式，通过激烈的竞争而成交的。期货本质上是一种标准化的远期合约。 （二）期货交易与远期交易的区别 期货合约与远期合约两者均为买卖双方约定于未来某一特定时间以约定的价格买入与卖出一定数量商品的契约，都具有套期保值和投机的双重功能。期货交易是由远期发展而来的，但与远期合同有很 大的区别： 期货的交易主体是套期保值者、经纪商和投机者，而远期的交易主体是生产者和消费者；期货交易是为了利用期货市场价格的波动套期保值或投机获利，而远期交易的目的是为了稳定商品产销关系，生产者能从中获得稳定的销路，消费者能从中获得稳定的货源；期货合约是标准化的，如交易品种、规格、质量、交货时间地点都明确标明在合约上，而远期不是规的。期货需预付一定的保证金，而远期不需要；期货的商品价格在订立合约时即确定，远期的商品价格在实行商品所有权转移时才确定。 （三）期货市场 现代规化的期货交易是商品交易者委托经纪公司代理，在期货交易所按照一定的规则和程序，依法通过公平竞争来进行，并且经清算所确认，有保证金作保障，最终得以完成的一种交易活动，相应地，期货市场在其发展过程中就形成了适应这种交易的市场组织结构。期货市场主要由期货交易所、期货交易参加者和清算所三大部分组成。期货交易所(Futures Exchanges或Exchonges)指的是法律允许的具体买卖期货合约的场所。期货交易所既不参与期货交易，也不参与期货价格的确定，它的主要职能是：(1) 提供交易场所，确定交易时间；(2) 制订期货交易规则；(3) 负责监督和执行交易规则；(4) 设计和制订标准的期货合约；(5) 设立仲裁机构，解决交易争议，保证期货合约顺利履行；(6) 收集并向公众传播信息。期货交易参与者包括场经纪人（Floor Brokers）、期货佣金商（FCM期货经纪人/ 高三数学模拟试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}1Z x x x ≤∈，，B ＝{}02x x ≤≤，则A I B ＝ ． 答案：{0，1} 考点：集合的运算 解析：∵A ＝{}1Z x x x ≤∈， ∴A ＝{﹣1，0，1} ∵B ＝{}02x x ≤≤ ∴A I B ＝{0，1} 2．已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虛部相等，则实数a 的值为 ． 答案：﹣3 考点：复数的运算 解析：z ＝(1＋2i)(a ＋i)＝a ﹣2＋(2a ＋1)i 由z 的实部与虛部相等得：a ﹣2＝2a ＋1，解得a 的值为﹣3． 3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 ． 答案：18 考点：系统抽样方法 解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知 其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18． 4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 ． 答案：13 考点：古典概型 解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得 特等奖有2种情况，所以P ＝2 6 ＝13 ． 5．函数2()log (1)f x x x =+-的定义域为 ． 答案：[0，1) 考点：函数的定义域 解析：由题意得：0 10x x ≥??->? ，解得0≤x ＜1，所以函数的定义域为[0，1)． 6．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值为 ． 答案：3 考点：算法初步 解析：n 取值由13→6→3→1，与之对应的k 为0→1→2→3，所以当n 取1时， 期货模拟交易报告账号：27 期货概述 （一）期货交易 期货交易是由买卖双方预先签订产品买卖合同，而货款的支付和货物的交割在约定的远期进行的一种贸易方式。 期货交易通常是在交易所内由众多的买家和卖家，按约定的规则，用喊价和借助各种手势进行讨价还价的方式，或用计算机终端敲键的方式，通过激烈的竞争而成交的。期货本质上是一种标准化的远期合约。 （二）期货交易与远期交易的区别 期货合约与远期合约两者均为买卖双方约定于未来某一特定时间内以约定的价格买入与卖出一定数量商品的契约，都具有套期保值和投机的双重功能。期货交易是由远期发展而来的，但与远期合同有很大的区别： 期货的交易主体是套期保值者、经纪商和投机者，而远期的交易主体是生产者和消费者；期货交易是为了利用期货市场价格的波动套期保值或投机获利，而远期交易的目的是为了稳定商品产销关系，生产者能从中获得稳定的销路，消费者能从中获得稳定的货源；期货合约是标准化的，如交易品种、规格、质量、交货时间地点都明确标明在合约上，而远期不是规范的。期货需预付一定的保证金，而远期不需要；期货的商品价格在订立合约时即确定，远期的商品价格在实行商品所有权转移时才确定。 （三）期货市场 现代规范化的期货交易是商品交易者委托经纪公司代理，在期货交易所内按照一定的规则和程序，依法通过公平竞争来进行，并且经清算所确认，有保证金作保障，最终得以完成的一种交易活动，相应地，期货市场在其发展过程中就形成了适应这种交易的市场组织结构。期货市场主要由期货交易所、期货交易参加者和清算所三大部分组成。期货交易所(Futures Exchanges或Exchonges)指的是法律允许的具体买卖期货合约的场所。期货交易所既不参与期货交易，也不参与期货价格的确定，它的主要职能是：(1) 提供交易场所，确定交易时间；(2) 制订期货交易规则；(3) 负责监督和执行交易规则；(4) 设计和制订标准的期货合约；(5) 设立仲裁机构，解决交易争议，保证期货合约顺利履行；(6) 收集并向公众传播信息。期货交易参与者包括场内经纪人（Floor Brokers）、期货佣金商（FCM期货经纪人/行/公司）、专业投机商（Day Traders）、套期保值者（Hedgers）和大众交易者。清算所指的是对期货交易所中交易的期货合约负责对冲、交割和统一清算结算的机构。目前清算所的组织形式有两种：一种是独立的清算机构；另一种是附属于期货交易所的清算所。清算所是期货市场的核心组成部分，期货市场只有存在完善的清算制度，才能成为真正的期货市场。 （四）期货品种 期货包括商品期货、利率期货、短期利率期货、中长期利率期货、欧洲美元期货合约、外汇期货和股票指数期货。现在，被作为商品的实物资产范围十分广大，一般可分为以下几大类：①金属：黄金、铜、 高三数学模拟试题及答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则 2. 计算： A. B.- C. 2 D. -2 3. 已知是奇函数，当时，，则 A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知向量 ,则的充要条件是 A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论正确的是 A. 此函数的图象关于直线对称 B. 此函数的最大值为1 C. 此函数在区间上是增函数 D. 此函数的最小正周期为 8. 已知、满足约束条件， 若，则的取值范围为 A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3] 第二部分非选择题共100分 二、填空题本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分。 一必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。 9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = . 10. 计算 . 11. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线方程为 . 12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . 13. 已知 依此类推，第个等式为. 二选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。 14. 坐标系与参数方程选做题已知曲线C的参数方程为θ为参数，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题满分12分 某连锁超市有、两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：分店的销售量为200件和300件的天数各有15天; 分店的统计结果如下表： 销售量单位：件 200 300 400 天数 10 15 5 1根据上面统计结果，求出分店销售量为200件、300件、400件的频率; 2已知每件该商品的销售利润为1元，表示超市、两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且、两分店的销售量相互独立，求的分布列和数学期望. 19.本小题满分14分 已知数列中，，且当时，， . 记的阶乘 ! 1求数列的通项公式;2求证：数列为等差数列; 3若，求的前n项和. 20.本小题满分14分 已知椭圆：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 . 1求椭圆的方程; 2设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程; 3设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标. 21.本小题满分14分 期货套利交易模拟实验报告 期货套利交易模拟实验报告 一、实验名称：牛市套利模拟实验 二、实验目的：了解期货合约，学会分析期货市场行情，熟悉期货套利方法的运用与操作流程。三、实验方法： a) 使用软件：“金博士” 模拟期货客户端b) 使用方法：牛市套利四、实验内容 （一）交易内容，如下表： 表一： 委托时间合约号方向买入卖出卖出买入开平开仓开仓平仓平仓成交量成交价10 10 10 10 2556 2489 2573 2503 平仓盈亏170 -140 手续费38 38 39 39 201412241118 RB1501 201412241121 RB1503 201412260905 RB1501 201412240904 RB1503 （二）套利过程分析 图一：RB1501价格走势图 图二：RB1503价格走势图 1、图一、图二分别为RB1501和RB1503的价格走势图。分析图一、图二可知，RB1501前期资金不断入注，而22日螺纹钢价格大幅度下跌，23日下跌幅度缩小，实体短影线长，价格波动剧烈，预期价格有望回升，且近期合约价格高于远期合约，预计基差扩大，故进行买近卖远交易。买进10手RB1501合约，单价为2556元/手，卖出10手RB1503合约，单价为2489元/手，基差为67元/手。 2、持仓两日后，期货价格如预期上涨，且3月份螺纹钢期货合约价格的上升幅度小于1月份的上升幅度，基差扩大，故抛售期货，实现套利收益。卖出10手RB1501合约，单价为2573元/手，买入10手RB1503合约，单价为2503元/手，基差为70元/手。 3、买卖RB1501合约，实现大盈利170元；买卖RB1503合约，实现小亏损-140元.最终实现盈利30元。五、实验结果及分析： 实验最终盈利30元，取得成功。在实验过程中，熟悉牛市套利原理，掌握套利操作流程，将套利原理与期货技术分析方法相结合，并灵活运用，实现对期货的正确预期与及时交易操作，即可实现套利收益。 高三数学模拟试题（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知x x x f 2)(2 -=，且{}0)(<=x f x A ，{} 0)(>'=x f x B ，则B A I 为（ ） A ．φ B ．{}10< 模拟期货实习报告 作为一名学经济的学生，期货知识必不可少。通过本次的期货学习，在老师悉心的教导下，我深入了解了期货的基本知识。通过模拟实训，自己亲身真实的参加期货的实际操作，与自己所学的期货知识理论相结合，让我不仅对自己所掌握的方法进行了验证，也让我对期货有了新的认识。 在期货实验操作上，我操作的合约大多以做多为主，即“低买高卖”，当价格开始上涨的时候我会找时机抛出，当价格下跌的时候，我会根据自己的判断进行止损或平均买高。课后，我大概了解了一些期货交易具体时间，抽课余时间时不时进行一些交易。虽然老师给了1000万元的资金量，但是我觉得初入门的人在刚开始的时候应该少操作以保证盈利，因为期货的手续费是非常高的。因此我在第一次操作时，仅买了100只期货。由于第一次进行期货实习交易，弄不懂买空和买多，胡乱买了一通。运气还算不错，小赚了一把。后来，慢慢摸索，取得一些经验，在文华随身行中买了PTA1505、鸡蛋1505、郑醇1506这三支期货，发现了一些规律，低价买进高价卖出，因此赚了十多万。因此，我认为在进行期货操作时，技术分析也是非常重要的。技术分析时并不需要关注价位为何变动，只关心价位怎样变动。期货市场不同于股票市场，股票市场及时止损的话，不会有太大亏损，但是期货市场止损后，就会有很大的亏损。其后交易，是实行保证金制度的比率通常相当于合约总值的百分之十左右。价格波动大一点，两三个涨停板或跌停板就亏过头了。所以，在资金运用的过程中，必 须留有余地，量力而为。要分段入市，事先要作好打算，订好计划。 短线操作的时候精神必须高度集中,稍有犹豫或耽搁都有可能导致亏损，更会因此打乱节奏，或使心态变坏。所以必须严格止损，最好当日以单纯做一个方向为主。选择方向是交易成败的关键。期货还是短线交易，尤其是日内交易最容易控制住风险，也最能体现出期货的魅力和特点。只有确保日内赢利，才能很好的在这个市场里操作好。日内的好处在于：你有主动权控制，你有权利选择参与或不参与交易，你可以安稳地休息，你可以明确的控制止损。在期货投资这样的高风险投资中，短线是最灵活和最安全的方法，短线交易者就不一样了，他们没有太多时间思考，一开仓单入市后，马上就要执行平仓指令，所以执行交易指令一定要坚决。在普通的趋势交易中，犹豫几分钟可能不会影响交易的结果，但短线交易几秒钟的犹豫就会错过平仓的机会，短线交易的平仓指令是跟随市场的下一个波动做出的，在开仓的同时就已经决定了必须在市场下一个跳动价位平仓，短线交易赚取也正是价格随机波动带来的利润，一旦没有及时跟随市场的节奏平仓，哪怕只有一次犹豫，这一天就可能全盘皆输。市场永远是在无序的波动之中，炒手对于买入卖出的方向性选择不是靠对长期趋势的判断，而是靠自己对于价位下一次波动的预期。短线炒手赚取的是当天交易的波动利润，绝对不能隔夜持仓。短线交易一但亏损立即止损出局，每笔交易的亏损尽量不要超过一个波动价位，必须把短线炒作和普通趋势投资严格区别开来。只有把握了市场的方向，顺势做，盈利的可能性才更大。把握好止损。即使你没有交易经 数 学 选择题部分（共40分） 一、选择题 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B e= A ．{}1- B ．{}0,1? C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3- 2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥?? --≤??+≥? ，则z =3x +2y 的最大值是 A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到到柱体体积公式V 柱体 =Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 5．若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +)，(a >0且a ≠0)的图像可能是 7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是 则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大 B ．D （X ）减小 C ． D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大 8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 9．已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b ＞0 D ．a ＞-1，b <0 10．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则 A ．当b =，a 10＞10 B ．当b =，a 10＞10 C ．当b =-2，a 10＞10 D ．当b =-4，a 10＞10 期货模拟交易实验报告书 一、实验项目名称 期货模拟交易 二、实验条件 电脑设备、互联网、智胜云金融投资实战云平台 三、实验目的及要求 1.登录智盛云平台，熟悉智盛云系统的使用，并会获取证券信息的渠道和 手段； 2.观测各类证券数据，了解并分析市场行情。比如期货，普通股，基金ETF， 期货，期权，外汇协议； 3.熟悉证券及期货交易制度，比如：集合竞价，除权及报价，指数及其分 类，涨跌幅限制，保证金交易等； 4.通过互联网了解国内期货及期权市场的基本情况。登录并浏览相关网站， 包括期货期权市场的监管机构、自律组织（中国期货业协会）、交易所 （比如中金所、上交所、上期所及上期能源、郑商所、大商所）、期货 经纪公司的官方网站； 5.熟悉期货价格走势的基本分析方法、技术分析方法； 6.分析期货市场行情，进行期货模拟交易； 7.对交易决策进行细致分析。 （以100万元作为投资启动金） 四、期货交易分析报告 1.实验过程 因为对于股票指数相对熟悉，因此，在实验过程中以股指期货交易为主，同时进行了沥青、乙醇等的少量小额交易，受到新冠疫情的影响，全球股市出现不同程度跳水，因此购入了黄金多头，并获得一定利润。 交易前期，整体上以看多为主，并利用T+0的交易制度，进行了大量投机交易；交易中期，随着A股股指反复震荡，因认为指数回升需要一定时间，故在2800、2900点左右进行了大量的看空交易，并适当减少了投机操作。 交易后期，认为指数位置相对偏高，因此持续看空，并坚定持有，尽量不因单日指数变化而进行跟风操作。 2.实验结果与分析（盈亏状况、实验中的不足、实验经验及改进措施等实验心得） 本次最终交易结果为亏损8%左右。实验过程中，自身心态不好是较为明显的弱点，没有给市场充足的时间来验证自己的判断。尤其是在操作前期，投机交易特征明显，以追求短线利益为主，往往需要花费大量的时间盯盘，且不能取得较好的收益。 交易中期，投资心态有所好转。由于已经意识到投机行为并不会为自身带来额外收益，因此，开始选择稳定持有。但由于前期亏损较多，实际操作中的逐利心理十分明显，一旦相应操作不能在两三天甚至一个交易日内为自身带来收益时，便会怀疑自身判断，转而进行反向操作，进一步加重亏损。 交易后期，因亏损额已远超15%，处于半放弃状态，索性选择相信自己，最终选择坚定持有。市场走势验证了自身判断，并获得了一定的收益，整体收益率从-23%回升至-8%左右。尽管仍处于亏损状态，但已弥补了前期的部分损失。整个实验过程中虽在不断发现自身的不足，并积极改进，仍然未能较好的克服自身心态浮躁的问题。尤其是在实验前期，对于走势判断也缺乏理性，容易受到当日走势的影响，不够独立客观。随着实验的逐步推进，逐渐趋于理性，形成了自身的判断，并尝试等待，让时间证明自己的判断。本次实验也进一步加深了自己对于期货市场的认识，投资需谨慎！ 上海市北郊高级中学高三高考模拟试卷 数学 班级_____姓名_________学号_________ 一、填空题（每小题4分，满分48分） 1．若53)sin(-=+απ，??? ??∈ππα,2，则tan 2α的值是__________． 2．函数13cos 22-??? ? ? +=πx 的最小正周期是________________． 3．已知数列{}n a ，???????>-+≤≤=101,3 211001,1 n n n n n a n ，=∞ →n n a lim _______________． 4．如果复数2()3bi b R i -∈+的实部与虚部互为相反数,则________b =． 5．函数x x f 12 )(=的值域为_____________． 6．函数)2lg(2 x x y -=的单调递增区间是__________________________． 7．把函数x y 2sin =的图象向左、向上分别分别平移1个单位后，得到函数)(x f 的图象，则=)(x f _________________________． 8．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人.为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是________。 9．在ABC ?中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则 2ab c 的最大值为 . 10．已知数列{}n a ，121+=+n n a a ，且11=a ，则5a =________________． 11．已知(4,3),||5a b =-=，且0=?b a ，则向量b =__________． 12．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:3325??? 37 3911 ????? 3131541719 ??????? ….仿此,若3 m 的“分裂数”中有一个是59,则m 的值为 .高三文科数学模拟试题含答案知识分享
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