黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）
2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）
A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定
3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）
A．2B．2C．D．1
4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为，
则动点P的轨迹方程为（）
A．2x2+y2=1（x≠±1） B．x2+2y2=1（x≠±1） C．x2﹣2y2=1（x≠±1）D．2x2﹣y2=1
（x≠±1）
6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）
A．B．C．D．
7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0），则点
P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C相切于点P，则直线l的斜率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）
A．B． C．D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）
A．1B．C．D．2
11．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T 为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）
A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k=D．k的值不确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．
14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．
15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为．
16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；
③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；
④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．
其中正确命题的序号为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点
为（1，0）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．
18．（12分）已知P长轴长为6椭圆C上的任意一点，F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，O为标原点，=+，求动点Q的轨迹方程．
19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．
20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．
21．（12分）如图，已知抛线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求D的纵坐标y0的值；
（Ⅱ）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与直线y=y0相交于点
N2．求|MN2|2﹣|MN1|2的值．
22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）
（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．
（Ⅰ）求m的值和E1的方程；
（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．
黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）
考点：曲线与方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：直接把点的坐标代入方程，满足方程的点，在曲线上，否则不在曲线上．
解答：解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程x2﹣xy+y2﹣2=0，只有（0，）满足方程，
所以（0，）在曲线上．
故选：A．
点评：本题考查曲线与方程的对应关系，满足方程的解的实数对，对应的点在曲线上．
2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）
A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定
考点：圆的标准方程；点与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：求出圆的半径，比较半径与PA=的大小，即可判断选项．
解答：解：A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，
圆的半径为5，平面上点P满足PA=，
∵，
∴点P与圆A的位置关系是：点P在圆A内．
故选：B．
点评：本题考查点与圆的位置关系的判断，是基础题，由点到圆心的距离和圆半径的大小关系进行判断．
3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）
A．2B．2C．D．1
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离．
解答：解：双曲线﹣=1的焦点为（4，0）或（﹣4，0）．
渐近线方程为y=x或y=﹣x．
由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，
d==2．
故选A．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式．考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题．
4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）
A．B．C．D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题．
分析：将抛物线方程化为标准方程，确定焦点的位置，从而可求抛物线y=2x2的准线方程．解答：解：抛物线y=2x2可化为，焦点在y轴上，2p=，
∴
∴抛物线y=2x2的准线方程是
故选D．
点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题的关键是将方程化为标准方程，属于基础题．
5．（5分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（）
A．2x2+y2=1（x≠±1） B．x2+2y2=1（x≠±1） C．x2﹣2y2=1（x≠±1）D．2x2﹣y2=1
（x≠±1）
考点：轨迹方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设P（x，y）由题意可得，=，y≠0，整理可得点P得轨迹方程．
解答：解：设P（x，y），由题意可得，=，y≠0
整理可得点P得轨迹方程为x2+2y2=1（y≠0）
故选：B．
点评：本题考查轨迹方程的求法和直线方程的知识，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．
6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）
A．B．C．D．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题．
分析：把x与y满足的等式配方后，观察得到为一个圆的方程，设出圆的参数方程，得到x=cosα﹣1，y=sinα，代入所求的式子中，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得到x+y的最小值．
解答：解：把x2+y2+2x=0配方得：（x+1）2+y2=1，
显然，这是一个圆的方程，设x+1=cosα，y=sinα，
则x+y=cosα﹣1+sinα=（cosα+sinα）﹣1
=sin（）﹣1，
由sin（）∈，
所以x+y的最小值为：﹣﹣1．
故选B
点评：此题考查学生掌握圆的参数方程，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．本题的突破点是将已知的等式配方后得到一个圆的方程．
7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0），则点
P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
考点：轨迹方程．
专题：计算题．
分析：由于m+≥2=4，当m+=4时，满足|PF1|+|PF2|=|F1 F2|的点P的轨迹是线段F1F2，
m+＞4时，满足|PF1|+|PF2|=m+＞|F1 F2|的点P的轨迹是椭圆．
解答：解：∵m＞0，m+≥2=4．
故当m+=4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+=|F1 F2|的点P的轨迹是线段F1F2 ．
当m+＞4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0）的点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．故选D．
点评：本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现可分类讨论的数学思想，判断m+≥4是解题的关键．
8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C相切于点P，则直线l的斜率为（）
A．B．C．D．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出抛物线的方程，类比过二次函数图象上某点切线的斜率等于导函数的函数值，可得直线l的斜率．
解答：解：∵点P（8，8）在抛物线C：y2=2px，
∴64=2p×8，
解得：2p=8，
故抛物线C的标准方程为：y2=8x，
即x=y2，
则x′=y，
当y=8时，x′=2，
故过点P（8，8）与抛物线C相切的直线方程为：2（y﹣8）=x﹣8，
即y=x+4，
即直线l的斜率为，
故选：C
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中根据已知，求出抛物线的方程是解答的关键．
9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）
A．B． C．D．
考点：直线与圆的位置关系．
分析：设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．
解答：解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，
圆心到直线的距离小于等于半径，
得4k2≤k2+1，k2≤，
故选C．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，是基础题．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）
A．1B．C．D．2
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求得直线PF的方程，与y2=4x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵=3，
∴|PQ|=2d，
∴直线PF的斜率为±，
∵F（1，0），
∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），
与y2=4x联立可得x=，
∴||=d=1+=．
故选：B．
点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T 为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设双曲线的右焦点为F'，△PFF'中运用中位线定理得|MO|=|PF'|，化简得到|MT|=|PF|
﹣|FT|，结合双曲线的定义整理得|MO|﹣|MT|=|FT|﹣a，结合题中数据算出|FT|=且a=，可得本题答案．
解答：解：设双曲线的右焦点为F'，连结OT
∵O为FF'中点，M为PF中点，
∴MO为△PFF'的中位线，可得|MO|=|PF'|，|FM|=|PF|
又∵|MT|=|FM|﹣|FT|=|PF|﹣|FT|，
∴|MO|﹣|MT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=|FT|﹣a，
∵a=，|FT|==，
∴|MO|﹣|MT|=﹣．
故选：C
点评：本题给出双曲线上点P，P与左焦点连线PF与已知圆相切，求的|MO|﹣|MT|值．着重考查了三角形中位线定理、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC 的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）
A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k=D．k的值不确定
考点：椭圆的简单性质．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由点A（2，1）在椭圆=1上，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，
联立方程，求出B，C点的坐标，代入斜率公式，可得答案．
解答：解：∵点A（2，1）在椭圆=1上，
直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，
∴设直线AB的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），直线AC的方程为：y﹣1=k2（x﹣2）=﹣k1（x﹣2），即直线AB的方程为：y=k1（x﹣2）+1，直线AC的方程为：y=﹣k1（x﹣2）+1，
将y=k1（x﹣2）+1，代入=1得：（）x2﹣x+=0，由A的横坐标为2，结合韦达定理可得B点的横坐标为：﹣2=，则B点的纵坐标为，即B点坐标为：（，），同理可得：C点的坐标为：（，）
故BC的斜率k==，
故选：C
点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，其中求出B，C两点坐标的运算量比较大，本题也可用特殊值代入的方法排除错误答案．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设双曲线C：，焦点F（c，0），由题设知=2a=2a，由此能够推导出C的离心率．
解答：解：设双曲线C：，焦点F（c，0），，焦点F（c，0），对称轴y=0，
由题设知=2a=
b2=2a2，
c2﹣a2=2a2，
c2=3a2，
∴e==．
故答案为：．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．
考点：抛物线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设出抛物线方程，利用经过点（2，2），求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．解答：解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），
设标准方程为y2=2px，
因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，
所以p=1，
所以所求抛物线方程为：y2=2x．
故答案为：y2=2x．
点评：本题是基础题，考查抛物线的标准方程的求法，注意标准方程的形式，是易错题，考查计算能力．
15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为0＜k ＜4．
考点：椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先把方程整理成椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出＞求得k的范围，进而根据k＞0综合可得k的范围．
解答：解：椭圆方程4x2+ky2=1化为，
由于椭圆的焦点在y轴上，则＞，即0＜k＜4，
故答案为：0＜k＜4．
点评：本题主要考查了椭圆的定义．解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．
16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；
③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；
④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．
其中正确命题的序号为①③④．
考点：命题的真假判断与应用．
分析：对于①根据两圆心距与两圆的半径之和之间的关系判断即可．
对于②要根据两圆的位置关系判断，只有两圆外切时才有4条切线．
对于③直线l是直线系，恒过一个定点，只需判断此点与圆的位置关系即可．
对于④其两动点间最值画两个相外切的圆数形结合即可．
解答：解：对于①结论是正确的，由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1可知两圆圆心分别为C1（2cosθ，2sinθ）与C2（0，0），半径分布为r1=1，r2=1∴圆心距|C1
C2|==2，
|C1C2|=r1+r2，故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
对于②结论是不正确的，由①可知两圆向外切，只有3条公切线．
对于③结论是正确的，由直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0可化为：m（2x+3y ﹣2）+6x+2y﹣5=0
解方程组，得交点M（，），|MO|==＜1，故点M
在圆C2内，所以直线l与圆C2一定相交于两个不同的点．
对于④结论是正确的，如下图所示，当P，Q两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=（r1+r2）
=4
综上，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④
点评：本题考查了直线与圆，圆与圆的位置关系，所以基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点
为（1，0）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由双曲线的渐近线方程为：y=±x，得到=，又a=1，即可得到双曲线的
方程；
（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，
则由题意得，=，a=1，解得b=，
则双曲线的方程为：x2﹣=1；
（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，
，消去y，得2x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则判别式△=4m2+8（m2+3）＞0，x1+x2=m，
中点M的x0=，y0=x0+m=m，
则有=3．
点评：本题考查双曲线的方程和性质及运用，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理及中点坐标公式解题，考查运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知P长轴长为6椭圆C上的任意一点，F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，O为标原点，=+，求动点Q的轨迹方程．
考点：轨迹方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：P为长轴长为6椭圆C上的任意一点，F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦
点，可得椭圆方程为，设Q（x，y），P（a，b），利用=+，可得（x，y）
=2（﹣a，﹣b），即可求出动点Q的轨迹方程．
解答：解：∵P为长轴长为6椭圆C上的任意一点，F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C的两个焦点，
∴椭圆方程为，
设Q（x，y），P（a，b），则
∵=+，
∴（x，y）=2（﹣a，﹣b），
∴a=﹣，b=﹣，
∴．
点评：本题考查椭圆方程，考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．
19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．
考点：直线和圆的方程的应用．
专题：综合题；直线与圆．
分析：（1）首先求出曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点坐标，进一步利用三点的坐标用待定系数法，求出圆的一般式方程．
（2）根据（1）的结论x2+y2﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）2+（y﹣3）2=13，进一步利用点（2，4）与圆心（3，3）的距离为＜，所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为﹣1，进一步求出k．从而求出直线方程为：x﹣y+2=0．进
一步利用圆心（3，3）到直线的距离为：d==，利用l2+d2=r2解得半弦长，从而
求出弦长．
解答：解：（1）曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴x轴的交点，
令x2﹣6x+5=0，解得：A（1，0），B（5，0），
与y轴的交点C（0，5），
设圆的一般式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：，
解得D=﹣6，E=﹣6，F=5，
圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣6y+5=0；
（2）根据（1）的结论x2+y2﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）2+（y﹣3）2=13，
点（2，4）与圆心（3，3）的距离为＜，
所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为﹣1．
所以k=1，
进一步求出直线方程为：x﹣y+2=0．
所以圆心（3，3）到直线的距离为：d==，
设半弦长为l，则：l2+d2=r2，
解得：l=，则弦长为2l=2．
点评：本题考查的知识要点：用待定系数法求圆的一般式，点与圆的位置关系的判定，最短弦与弦心距之间的关系及相关的运算问题．
20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF2面积取最大值，此时|AB|=，AB边上的高为2c，结合椭圆C的离心率e==和a2=b2+c2，可得椭圆C的方程．
解答：解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF2面积取最大值，
此时|AB|=，
AB边上的高为2c，
∵此时△ABF2面积为3，
故××2c=3，
又∵椭圆C的离心率e==，
又由a2=b2+c2，
解得：a2=6，b2=3，
故椭圆C的方程为：．
点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，由已知构造方程，求出a2=6，b2=3，是解答的关键．
21．（12分）如图，已知抛线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求D的纵坐标y0的值；
（Ⅱ）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与直线y=y0相交于点N2．求|MN2|2﹣|MN1|2的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设出直线AB的方程，与抛物线x2=4y联立，求出x1x2，利用A，B的坐标写出直线AO与BC的直线方程，解出点D的坐标，消去参数x1，x2，y1，y2，能求出D的纵坐标y0=﹣2．
（2）设出切线l的方程，利用直线与抛物线相切，简化切线l的方程，进而求出N1，N2的坐标，由此能求出|MN2|2﹣|MN1|2的值．
解答：解：（1）依题意可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，
得x2=4（kx+2），即x2﹣4kx﹣8=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=﹣8．
直线AO的方程为y=，BD的方程为x=x2，
解得交点D的坐标为，
x1x2=﹣8，=4y1，
∴y==﹣=﹣2，
∴点D在定直线y=﹣2上，（x≠0），
∴D的纵坐标y0=﹣2．
（2）依题意，切线l的斜率存在且不等于0．
设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y，得x2=4（ax+b），
即x2﹣4ax﹣4b=0．
由△=0得（4a）2+16b=0，化简整理得b=﹣a2．
故切线l的方程可写为y=ax﹣a2．
分别令y=2，y=﹣2，得N1，N2的坐标为N1（+a，2），N2（﹣+a，﹣2）
则|MN2|2﹣|MN1|2==8．
点评：本题考查点的纵坐标的求法，考查|MN2|2﹣|MN1|2的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）
（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．
（Ⅰ）求m的值和E1的方程；
（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）△PF1Q的周长4a=20，进而可得E1的方程，将y=﹣2代入可得m的值；（Ⅱ）过P（5，﹣1）点的直线为：x﹣5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，代入y2=4x得y2﹣4my﹣8m﹣20=0，利用以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x+x1x2﹣（y1+y2）y+y1y2=0，结合韦达定理，可得关于m的方程4m2（1﹣x）+4m（3﹣x﹣y）+x2+y2﹣10x+5=0，利用关于m的方程有无数解，即可得出结论．
解答：解：（Ⅰ）△PF1Q的周长4a=20，
∴a=5，a2=75，
故椭圆E1的方程为：=1，
将P（m，﹣2）代入=1得：
m2=25，
∵m＞0，
∴m=5，
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
过P（5，﹣1）点的直线为：x﹣5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，
代入y2=4x得：y2﹣4my﹣8m﹣20=0
而以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x+x1x2﹣（y1+y2）y+y1y2=0，
x2+y2﹣x+﹣（y1+y2）y+y1y2=0，
整理得x2+y2﹣4my﹣（4m2+4m+10）x+4m2+12m+5=0，
整理成关于m的方程4m2（1﹣x）+4m（3﹣x﹣y）+x2+y2﹣10x+5=0
由于以上关于m的方程有无数解，故1﹣x=0且3﹣x﹣y=0且x2+y2﹣10x+5=0，
由以上方程构成的方程组有唯一解x=1，y=2．
由此可知，以线段AB为直径的圆必经过定点（1，2）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的简单性质，考查恒过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．