控制工程基础
(第四章）
刘云峰 2011年春季学期
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第四章 控制系统的频率特性
? 基本要求
1. 掌握频率特性的定义和代数表示法以及其与传 递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互 关系；掌握频率特性和频率响应的求法。 2. 掌握频率特性的乃氏图和伯德图的组成原理， 熟悉典型环节的乃氏图和伯德图的特点及其绘制， 掌握一般系统的乃氏图和伯德图的特点和绘制。 3. 掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域 性能指标与系统性能的关系。 4. 了解最小相位系统和非最小相位系统的概念。
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第四章 控制系统的频率特性
? 本章重点
1. 频率特性基本概念、代数表示法及其特点。 2. 频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及 其特点和一般系统频率特性的两种图形的绘制。 3. 频域中的性能指标。
? 本章难点
1. 一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。 2. 频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。
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第四章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性的基本概念 4.2 频率特性图像 4.3 典型环节的频率特性 4.4 频率特性曲线与传递函数的对应关系 4.5 由单位脉冲响应求系统的频率特性 4.6 控制系统的闭环频响 4.7 机械系统动刚度的概念 4.8 MATLAB进行控制系统的频域响应分析
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4.1 频率特性的基本概念 ? 时域响应分析到频率响应分析 时域响应分析方法是分析控制系统的直接方法。 借助于拉氏变换与反变换直接求解微分方程得 到输出变量在时域内的函数表达式。
dn d n ?1 d x t a x t a xo (t ) + an xo (t ) ( ) + ( ) + " + o 1 o n ?1 dt n dt n ?1 dt dm d m ?1 d = b0 m xi (t ) + b1 m ?1 xi (t ) + " + bm ?1 xi (t ) + bm xi (t ) dt dt dt
时域响应函数（输入为单位阶跃时）
xo ( t ) = α + ∑ α j e
j =1 q - p jt
Xo (s) = G (s) Xi (s) b0 s m + b1s m ?1 + " + bm ?1s + bm Xi (s) = n n ?1 s + a1s + " + an ?1s + an
cos ωk 1- ζ
+ ∑ βk e
k =1
r
-ζ k ω k t
(
2
)t + ∑γ e
r k =1 k
-ζ k ω k t
sin ωk 1- ζ 2 t
(
)5
4.1 频率特性的基本概念
输入为任意函数时 时域响应函数
xi ( t )
t
g (t )
xo ( t )
xo ( t ) = ∫ xi (τ ) g ( t ? τ ) dτ
0
时域分析法优点：直观。 时域分析法缺点： 1）依赖于复杂的计算，分析高阶系统非常繁琐； 2）分析过程是基于具体输入信号的，不易全面把 握系统固有的运动响应特性； 3）不易分析系统各个部分（环节）运动特性对总 体性能的影响； 适合用于设计验证，系统参数设计的指导意义不强。 6
4.1 频率特性的基本概念
频率响应分析可以弥补上述不足，是工程上广泛应用的 分析和综合控制系统的间接研究方法之一。其基本思想 是把控制系统中的所有变量看成一些信号，而每个信号 又是由许多不同频率的正弦信号所合成；各个变量的运 动就是系统对各个不同频率信号的响应的总和。 频率响应分析的重要特点： 1）物理意义明确，便于区分影响系统性能的主要因素 和次要因素； 2）通过“频响”实验方法易于求出对象的数学模型； 3）与求解微分方程或时域响应函数的方法相比，计算 量显著减小，并且部分工作可用作图完成，直观性强。
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4.1.1 频率响应与频率特性的概念 1.频率响应 频率响应：线性定常系统对正弦输入信号的稳态 响应称为频率响应。频率响应是时间响应的特例。
波形简单，输入 频率响应的特点： 输出关系清晰！ （1）输出为与输入同频率的正弦信号； （2）输出信号的幅值和相位随输入信号频率变化而变化。
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4.1.1 频率响应与频率特性的概念 2.频率特性 频率特性：系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。包括幅频特性和相频特性。 3.频率特性分析法 频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频率特性 来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统 的稳定性、快速性和准确性等。 频域法的特点：
1）是图解分析方法，不直接求解输出的时域表达式； 2）可运用系统开环频率特性分析闭环系统的响应性能； 3）频域指标和时域指标有对应关系，可综合理解和运用； 4）使用曲线、图表及经验公式，使控制系统分析方便直观。 9
4.1.2 频率特性的物理意义 ? 频率特性的物理意义 一个控制系统的运动无非是信号在一个一个 环节之间依次传递的过程；每个信号又由一 些不同频率的正弦信号合成；在传递过程 中，这些正弦信号的振幅和相角依照严格的 函数关系变化，产生形式多样的运动。
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4.1.2 频率特性的物理意义 RC电路网络正弦输入的稳态响应
R
ui (t ) = sin(ωt ) 已知：
C
u i (t )
uo (t )
求稳态时 uo (t ) = ?
ω U i (s) = 2 s + ω2
1 G ( s) = , T = RC Ts + 1
ω 1 ? U o ( s ) = U i ( s )G ( s ) = 2 2 s + ω Ts + 1 ω ωT 1 s Tω 1 = ? + 2 2 2 2 2 2 (ωT ) + 1 s + ω (ωT ) + 1 s + ω 1 + T 2ω 2 s + 1
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T
4.1.2 频率特性的物理意义
t ? T ω T uo (t ) = L?1[U o ( s )] = sin [ωt + φ (ω )] + e 2 2 2 + 1 T ω (ωT ) + 1
1
稳态时， lim uo (t ) = a (ω ) sin [ωt + φ (ω ) ]
t →∞
其中，
a (ω ) =
1 (ωT ) + 1
2
= G ( jω )
幅值增益 相位角
φ (ω ) = ? arctan(ωT ) = ∠G ( jω )
令 G ( j ω ) = G ( s ) s = jω 则
G ( jω ) = 1
1 1 = = Ts + 1 s = jω jω T + 1
2
(ωT ) + 1
; ∠G ( jω ) = ? arctan(ωT )
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4.1.3 幅频特性、相频特性与频率特性 1. 幅频特性
设系统传递函数为 G ( s )，定义系统输出信号 的稳态响应相对其正弦输入信号的幅值之比 A(ω ) = G ( jω ) 为系统的幅频特性。 幅频特性描述系统对不同频率正弦输入信号的 稳态响应输出幅值的增益特性（衰减或放大）。
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4.1.3 幅频特性、相频特性与频率特性 2. 相频特性
定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入 信号的相移 φ(ω) =∠G(jω) 为系统的相频特性。 相频特性描述系统对不同频率正弦输入信号的 稳态响应输出在相位上滞后（ φ < 0）或超前 （φ > 0）的特性。
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4.1.3 幅频特性、相频特性与频率特性 3. 频率特性
上述定义的幅频特性 A(ω ) = G ( jω ) 和相频特性 φ (ω ) = ∠G ( jω ) 统称为系统的频率特性，它描述 了系统对正弦输入的稳态响应。
G ( jω ) ——频率特性函数
数学依据：傅里叶变换
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4.1.4 傅里叶变换与非周期函数的频谱 1. 周期函数的傅里叶级数 当输入为非正弦的周期信号时，其输入可 利用傅里叶级数展开成正弦波的叠加，其输出 为相应的正弦波输出的叠加，如下图所示。
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4.1.4 傅里叶变换与非周期函数的频谱 2. 非周期函数的傅里叶变换 当输入为非周期信号时，可将该非周期 信号看做周期 T→∞ 的周期信号。 傅里叶正变换式
F [ x(t )] = X ( jω ) = ∫
傅里叶反变换式
?1
+∞
?∞
x(t )e
? jω t
dt
1 +∞ jω t F [ X ( jω )] = x ( t ) = X j ω e dω ( ) ∫ 2π ?∞ 傅里叶变换得到的象函数揭示了原函数所 含各种频率成分正弦波的幅值和相角信息，即 幅值、相角与角频率ω 的关系。傅里叶反变 换则是用这些正弦波叠加来还原原函数。
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4.1.4 傅里叶变换与非周期函数的频谱 3. 傅氏变换与拉氏变换的关系 傅氏正变换式 拉氏正变换式
X ( jω ) = ∫
0
+∞
?∞
x(t )e
? jω t
dt
X ( s ) = ∫ x(t )e ? st dt
+∞
傅氏变换与拉氏变换类似！ 除了积分下限不同外，只要 将 s 换成 jω ，就可将已知 的拉氏变换式变成相应的傅 氏变换式。
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4.1.4 傅里叶变换与非周期函数的频谱 拉氏变换可看作是一种单边的广义的傅氏 变换，其积分区间是从 0 到 +∞。 拉氏变换的适用条件比傅氏变换的条件弱 一些，因此适合函数的范围也宽一些。 大多数机电系统可简单地将拉氏变换 G ( s ) 中的 s 换成 jω 直接得到相应的傅氏变换式。 阶跃函数1(t)没有傅氏变换式； 在复平面的虚轴或右半平面上有极点的函 数没有傅氏变换式。
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4.1.5 频率特性函数 1. 定义 线性定常系统在零初值条件下输出量的傅 里叶变换象函数与输入量的傅里叶变换象函数 之比称为系统的频率特性函数。
X o ( jω ) G ( jω ) = X i ( jω )
在线性对象的传递函数 G ( s ) 中用 jω 替换自 变量 s 就得到其频率特性函数 G ( jω ) 。
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2007机械工程控制基础第四章习题答案 第4章 频率特性分析 4.1什么是系统的频率特性？ 答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。 4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(?ω+t B 。求该系统的频率特性。 解：由系统频率特性的定义知：?ωj e A B j G = )( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与 相频特性。 解：由已知条件得：s s X i 1)(=，9 8 .048.11)(+++-=s s s s X o 得系统传函为：) 9)(4(36)()()(++== s s s X s X s G i o 得系统频率特性：) 9)(4(36 )(ωωωj j j G ++= ，其中 幅频特性为：2 2 811636 )()(ω ωωω+?+= =j G A 相频特性为：9 arctan 4 arctan )(ω ω ω?--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)2 2sin(π -=t x oss 。试确定k 和c 。 解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为： k cs s s G ++= 2 1 )(，得系统频率特性为： ω ωωjc k j G +-= 21 )(。 图（题4.6）
第四章：控制系统的频率特性 4．1 解： (1) 2 ) 30(15)(ωω+=A ωω?30)(arctg -= 2)30(15)(ωω+= U 2 ) 30(130)(ωω ω+-=V (2) 2 ) 1.0(11 )(ωωω+= A ωω?1.090)(arctg -?-= 201.011)(ωω+- =U 3 01.01 )(ωωω+-=V 4．3 下面的各传递函数能否在图中找到相应的奈氏曲线 (1) ) 14.0() 14(2.0)(2 1++= s s s s G (c) 2 22)4.0(1)4(12.0)(w w w w A ++= w a r c t g w a r c t g w 4.04180)(-+-= ? f e d c b a
(2) ) 13.0() 159(14.0)(2 22+++=s s s s s G 2 22 22)3.0(1)5(])3(1[14.0)(w w w w w A ++-= w a r c t g w w a r c t g w 3.0) 3(15180)(2 --+-= ? (3) ) 1() 11.0()(3++= s s s K s G (e) 2 2 1)1.0(1)(w w w K w A ++= arctgw w arctg w -+-=1.090)( ? (4) ) 3)(2)(1()(4+++= s s s K s G (a) 2 22)3 1(1)5.0(116 )(w w w K w A +++= w arctg w arctg arctgw w 3 15.0)(---=? (5) ) 15.0)(1()(5++= s s s K s G 2 2)5.0(11)(w w w K w A ++= w a r c t g a r c t g w w 5.090)(---= ? (6) ) 2)(1()(6++= s s K s G 2 2 ) 5.0(112)(w w K w A ++= w a r c t g a r c t g w w 5.0)(--=? (2)