平面机构自由度计算及结构分析
一、平面机构结构分析（15分）
1.计算图1所示机构的自由度，明确指出其中的复合铰链、局部自由度或虚约束；（7分）
2. 画出该机构图示瞬时除去虚约束后的低副替代机构示意图；（3分）
3. 取与机构自由度数相同且做定轴转动的连架杆为原动件，对低副替代机构进行结构分析。要求画出机构拆分后的驱动杆组（原动件和机架）和基本杆组，并确定机构的级别。（5分）
1.计算图1所示机构的自由度，明确指出其中的复合铰链、局部自由度或虚约束；
解：n=8，P L =11，P H =1,F= 3n-2P L -P H =3?8-2?11-1=1(4分)
3. 答案一：凸轮为原动件，每个组1分，三级机构(1分）
答案二：以右边的两个联架杆之一为原动件：原动件不计分，每个基本组1分，二级机构
(1
图1
虚约束(1分)
复合铰链(1分)
虚约束(1分)
答案三：以左边的联架杆为原动件：每个基本组1分，三级机构(1分）
二、平面机构结构分析（15分）
1.计算图1所示机构的自由度，明确指出其中的复合铰链、局部自由度或虚约束；（7分）
2. 画出该机构图示瞬时除去虚约束后的低副替代机构示意图；（3分）
3. 取与机构自由度数相同且做定轴转动的连架杆为原动件，对低副替代机构进行结构分析。
要求画出机构拆分后的驱动杆组（原动件和机架）和基本杆组，并确定机构的级别。（5分）
图1
Ⅲ级杆组（4个构件6个低副组成）Ⅱ级杆组（2个构件3个低副）
1． 计算齿轮机构的自由度. 解：由于B. C 副中之一为虚约束，计算机构自由度时，应将 C 副去除。即如下 图所示： 该机构的自由度1213233231=?-?-?=--=h p p n F 2. .机构具有确定运动的条件是什么如果不能满足这一条件，将会产生什么结果 机构在滚子B 处有一个局部自由度，应去除。 该机构的自由度017253231=-?-?=--=h p p n F 定轴轮系 A B C 1 2 3 4 图2－22 A B C D G E H F
当自由度F=1时,该机构才能运动, 如果不能满足这一条件,该机构无法运动。 该机构当修改为下图机构，则机构可动： N=4, PL=5, Ph=1; F=?-?-= 自由度342511 3. 计算机构的自由度. 1)由于机构具有虚约束, 机构可转化为下图机构。 F=?-?-= 自由度342511
2)由于机构具有虚约束, 机构可转化为下图机构。 F=?-?= 自由度31211 3)由于机构具有虚约束, 机构可转化为下图机构。 F=?-?= 自由度33241 第一章平面机构的运动简图及自由度 一、判断题（认为正确的，在括号内画√，反之画×） 1.机构是由两个以上构件组成的。（） 2.运动副的主要特征是两个构件以点、线、面的形式相接触。（） 3.机构具有确定相对运动的条件是机构的自由度大于零。（） 4.转动副限制了构件的转动自由度。（） 5.固定构件（机架）是机构不可缺少的组成部分。（） 个构件在一处铰接，则构成4个转动副。（） 7.机构的运动不确定，就是指机构不能具有相对运动。（） 8.虚约束对机构的运动不起作用。（） 二、选择题 1.为使机构运动简图能够完全反映机构的运动特性,则运动简图相对于与实际机构的（）应相同。 A.构件数、运动副的类型及数目 B.构件的运动尺寸 C.机架和原动件 D. A 和B 和C 2.下面对机构虚约束的描述中，不正确的是（）。 A.机构中对运动不起独立限制作用的重复约束称为虚约束，在计算机构自由度时应除去虚约束。 B.虚约束可提高构件的强度、刚度、平稳性和机构工作的可靠性等。 C.虚约束应满足某些特殊的凡何条件，否则虚约束会变成实约束而影响机构的正常运动。为此应规定相应的制造精度要求。虚约束还使机器的结构复杂，成本增加。 D.设计机器时，在满足使用要求的情况卜，含有的虚约束越多越好。 三、综合题
平面机构的自由度 【教学目的】 1、掌握运动链成为机构的条件。 2、熟练掌握机构自由度的计算方法。能自如地运用自由度计算公式计算机构自由度，尤其是平面机构的自由度。 【教学内容】 1、引出自由度的概念，明确自由度和约束的关系； 2、推导自由度计算公式，并加以举例说明； 3、学会利用公式计算平面机构的自由度。 【教学重点和难点】 1、机构自由度的计算 【教学方法】 1、课堂以讲授为主，结合实物文件进行分析讲解。 2、注重师生交流，提倡师生互动，上课时细心观察学生的反应，课间与学生交谈，了解学生的掌握情况，根据反馈的信息，适当地调整授课内容和方法等。【教学内容】 1、概念：平面机构的自由度——机构具有确定运动的独立运动参数称为机构的 自由度。 2、自由度的引入 构件的独立运动称为自由度。一个作平面运动的自由构件具有3个独立的运动，见图1。 图1 平面自由度 即沿x轴、y轴移动及绕垂直于xoy面的轴线的转动。 构件组成运动副后，其运动就受到了约束，其自由度数随之减少，不同类型的运动副带来的约束不同。 如图2移动副中，限制了2相对1沿垂直于导路的移动及相对限制转动，引入两个约束。 如图3中转动副限制了2相限制1沿x轴y轴移动，引入两个约束。
如图4高副中，限制了2相对1沿法线轴的移动，引入一个约束。 图4 高副及表示符号 3 自由度公式的推导 如设平面机构共有n 个活动构件（不包括机架），当此机构的各构件尚未通过运动副联接时，显然它们共有3n 个自由度。 当两构件构成运动副之后，它们的运动就将受到约束，其自由度将减少，假设各构件间共构成了L p 个低副和H p 个高副，自由度减少的数目等于运动副引入的约束（H L p p +2）。于是，该机构的自由度应为 ()H L H L p p n p p n F --=+-=2323 （1） 4 自由度的计算 图5 平面四连杆机构 图6 平面五连杆机构 （1）三个活动构件，四个低副，零个高副。 104233=-?-?=F （2）四个活动构件，五个低副，零个高副 342502F =??= 总结： 平面机构自由度的计算是教学中的重点和难点，计算自由度时需要找准活动构件的个数，注意低副和高副的约束，然后进行计算。
本课程是测控专业一门近机类课程，上课之前尤其要作专业引导工作，以树立对本课程的正确认识。课程安排：课堂教学60学时，实验教学12学时，共计72学时。 第一章平面机构运动简图与自由度计算 学时8 知识要点：运动副概念和分类、平面机构低副和高副、平面机构运动简图、平面机构自由度计算 难点：自由度计算和虚约束判断，结合多媒体重点讲解。 §1 概述 机构是按一定方式联接的构件组合，是用来转递运动和力或改变运动的形式。 研究机构的目的： ⑴探讨机构运动的可能性、具有确定运动的条件； ⑵将机构按特点分类，建立运动分析和动力分析的一般方法； ⑶学会关于运动简图的绘制。 (4)熟悉构件组成机构的规律，以合理设计和创新机构。 §2运动副及其分类 运动副：两构件直接接触，而又能产生一定相对运动的联接（可动联接）。?? 例如：滚珠轴承的滚珠与内外座圈之间为点接触；互相啮合的轮齿之间为点或线接触；而轴颈与
轴承或滑块与导槽之间为面接触。 运动副要素：构成运动副的点、线、面。 按运动情况可把运动副分为平面运动副和空间运动副。本节将主要讨论平面运动副。 构件作运动时，可分为三个独立的运动。当X或Y值变化时，构件将沿X或Y轴移动；当α值变化 。 2只能绕垂直于XOY平面的轴相对运动。 图4-1b，构件2沿Y轴相对移动和垂直于XOY平面的轴相对移动受约束，构件2相对于构件1只能 2沿公法线n-n A独立转
沿接触点公法线相对移动的可能性即被取消。因此，从相对运动来看，平面运动副有三种型式： ⑴具有一个独立相对转动的运动副（转动副）；F=1 ⑵具有沿一个方向独立相对移动的运动副（移动副）；F=1 ⑶具有一个独立移动和一个独立转动的运动副。F=2 按照接触的特性，通常把运动副分为高副和低副。 点接触或线接触的运动副称为高副；平面高副具有一个约束。F=2 面接触的运动副称为低副。平面低副具有两个约束。F=1 §3 平面机构的运动简图 机构运动简图：表明各机构间相对运动关系的简单图形。仅仅用简单的线条和符号来代表机构和运动副，并按照一定的比例表示各运动副间的相对位置，不考虑与运动无关的因素。 表4-1 绘制运动简图时，首先要搞清楚所要绘制机械的结构和运动原理，然后从原动件开始，按照运动传递的顺序，分析各构件相对运动的性质，确定运动副的类型和数目；并合理选择视图平面。选取适当的长度比例尺，按一定的顺序进行绘图，并将比例尺标注在图上。 例题4-1 试画出图4-4a所示油泵机构的运动简图。 解此机构主要由圆盘1、导杆2、摇块3和机架4等四个机构组成，其中构件1为原动件，构件4为机架。该机构的工作情况是：当回转副B在AC中心线的左边时，从机架4的右孔道吸油；当B在AC 中心线的右边时，经机架4的左孔道排油。 构件1与构件4和构件2、构件3与构件4分别在A、B、C点构成转动副，构件2与构件3组成移动副它们的导路沿BC方向。 现在选择适当的投影面和比例尺，定出各转动副的位置即可绘制出机构运动简图，如图4-4b所示。
第1章绪论（无习题） 第2章平面体系的几何组成分析习题解答 习题2.1是非判断题 (1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。( ) (2) 若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。( ) (3) 若平面体系的计算自由度W＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。( ) (5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。( ) 习题2.1(5)图 (6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。( ) (7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( ) (a)(b)(c) 习题2.1(6)图 【解】（1）正确。 （2）错误。0 W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。（3）错误。 （4）错误。只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。 （5）错误。CEF不是二元体。 （6）错误。ABC不是二元体。 （7）错误。EDF不是二元体。 习题2.2填空 (1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图 (2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。 习题2-2(2)图 (3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。 习题2.2(3)图 (4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。 习题2.2(4)图 (5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。 习题2.2(5)图 (6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。 习题2.2(6)图 (7) 习题2.2(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
1. 2. 3. 4. 5. 6.
1.构件数n为7,低副p为9,高副pn为1,局部自由度为1,虚约束为0. E处为局部自由度,C处为复合铰链. F=3n-2p-pn=3*7-2*9-1=2（与原动件数目一致,运动确定） 2. B处有复合铰链，有2个转动副。 无局部自由度。 B点左侧所有构件和运动副带入的约束为虚约束，属于与运动无关的对称部分。n=5, PL=7, PH=0, F= 3n-2PL -PH=3×5-2×7-1×0=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 3.A处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 无虚约束。 n=6, PL=8, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×6-2×8-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 4. 没有复合铰链、局部自由度、虚约束。 n=4, PL=5, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×4-2×5-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 5. 计算自由度：n=4, P L=6, P H=0, F= 3n-2P L -P H=3×4-2×6-1×0=0，运动链不能动。修改参考方案如图所示。
6. F处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 移动副M、N中有一个为虚约束，属于两构件在多处组成运动副。 n=7, PL=9, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×7-2×9-1=2。 运动链没有确定运动，因为原动件数< 自由度数。
平面机构自由度的计算 1、单个自由构件的自由度为 3 如所示，作平面运动的刚体在空间的位置需要三个独立的参数（x ，y, θ）才能唯一确定。 2、构成运动副构件的自由度 图2—19运动副自由度 运动副 自由度数 约束数 回转副 1（θ） + 2（x ，y ） =3 移动副 1（x ） + 2（y ，θ） =3 高 副 2（x,θ） + 1（y ） =3 结论：构件自由度＝3－约束数 3、平面机构的自由度 1）机构的自由度：机构中活动构件相对于机架所具有的独立运动的数目。 2）.机构自由度计算公式 H P -=L 2P -3n F 式中： n-------活动构件数目（不包含机架） L P -----低副数目（回转副、移动副） H P ------高副数目（点或线接触的） 移动副 高副(点或线接触) 约束数为2 约束数为1
例题1： 计算曲柄滑块机构的自由度。 解：活动构件数n=3 低副数 PL=4 高副数 PH=0 H P -=L 2P -3n F 图 曲柄滑块机构 =3×3 － 2×4 =1 例题2：计算五杆铰链机构的自由度。 解：活动构件数n=4 低副数 PL=5 高副数 PH=0 H P -=L 2P -3n F 图 五杆铰链机构 =3×4 － 2×4 =2 例题3： 计算凸轮机构的自由度 解：活动构件数n=2 低副数 PL=2 高副数 PH=1 H P -=L 2P -3n F =3×2 －2×2－1 =1 图 凸轮机构 4．机构具有确定运动的条件 原动件的数目＝机构的自由度数F （F ＞0或F≥1）。 若 原动件数＜自由度数，机构无确定运动； 原动件数＞自由度数，机构在薄弱处损坏。 (a)两个自由度 (b)一个自由度 (c)0个自由度 图3-11 不同自由度机构的运动
平面机构自由度的计算 1、单个自由构件的自由度为 3 如所示，作平面运动的刚体在空间的位置需要三个独立的参 数（x ，y, θ）才能唯一确定。 2、构成运动副构件的自由度 图2—19运动副自由度 运动副 自由度数 约束数 回转副 1（θ） + 2（x ，y ） =3 移动副 1（x ） + 2（y ，θ） =3 高 副 2（x,θ） + 1（y ） =3 构件自由度＝3－约束数 3、平面机构的自由度 1）机构的自由度：机构中活动构件相对于机架所具有的独立运动的数目。 2）.机构自由度计算公式 H P -=L 2P -3n F 式中： n-------活动构件数目（不包含机架） L P -----低副数目（回转副、移动副） H P ------高副数目（点或线接 触的） 例题1： 计算曲柄滑块机构的自由度。 解：活动构件数n=3 低副数 PL=4 高副数 PH=0 H P -=L 2P -3n F 图 曲柄滑块机构 =3×3 － 2×4 =1 例题2：计算五杆铰链机构的自由度。 解：活动构件数n=4 低副数 PL=5 高副数 PH=0 H P -=L 2P -3n F 图 五杆铰链机构 =3×4 － 2×4 =2 例题3： 计算凸轮机构的自由度 解：活动构件数n=2 低副数 PL=2 高副数 PH=1 =3×2 －2×2－1 =1 图 运动 副 低副(面接触) 移动副 高副(点或线接触) 约束数为2 约束数为1
凸轮机构 4．机构具有确定运动的条件 原动件的数目＝机构的自由度数F（F＞0或F≥1）。 若原动件数＜自由度数，机构无确定运动； 原动件数＞自由度数，机构在薄弱处损坏。 (a)两个自由度(b)一个自由度 (c)0个自由度 图3-11 不同自由度机构的运动 5．计算机构自由度时应注意的事项 1）复合铰链：两个以上个构件在同一条轴线上形成的转动副。 由m个构件组成的复合铰链，共有(m-1)个转动副。 2）局部自由度：在某些机构中，不影响其他构件运动的自由度称为局部自由度局部自由度处理：将滚子看成与从动杆焊死为一体。 注意：在去除滚子的 同时，回转副也应同 时去除，这就相当于 使机构的自由度数减 少了一个，即消除了 局部自由度。 3）虚约束：重复而不起独立限制作用的约束称为虚约束 计算机构的自由度时，虚约束应除去不计。 几种常见虚约束可以归纳为三类： 第一类虚约束：两构件之间形成多个运动副，它们可以是移动副（图2-17）或转动副（图2-18），这类虚约束的几何条件比较明显，计算自由度的处理也较简单，两个构件之间只按形成一个运动副计算即可。 图3-14 导路重合的虚约束图3-15 轴线重合的虚约束第二类虚约束：机构中两构件上某两点的距离始终保持不变。如用一个附加杆件把这两点铰接，即形成虚约束。这两个点可以是某动点对某固定点的关系（如2-15中的E、F），也可以是两个动点之间的关系。这类虚约束常见于平行四边形机构，计算自由度时应撤去附加杆及其回转副。 第三类虚约束：机构中对运动不起作用的对称部分可产生虚约束（图2-19）。这类虚约束常见于多个行星齿轮的周转轮系，计算自由度时应只保留一个行星轮而撤去所有多余的行星轮及其有关运动副。 最后必须说明，虚约束是人们在工程实际中为改善机构或构件受力状况，在一定条件下所采取的
基本规律运用 1、求体系的计算自由度W，并对其进行结构分析。 解：混合系：W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b) m=1(FGHIJ),j=5(A、B、C、D、E) ,g=0,h=0，b=10（链杆）+6(支杆)=16 W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)=3×1+2×5-16=-3 构造分析：在刚片FGHIJ的基础上增加二元体得到整个体系有多个三个多余约束的几何不变体系。 2、试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。 解：（1）求解W 按照刚片系计算： W = 3m - 2h - 3g - b m=9 h=12 g=0 b=0 W = 3m - 2h - 3g - b =3×9-2×12=3 （2）构造分析。如图所示三刚片连接。三铰不共线组成几何不变体系且无多余约束。
3、试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。 解：(1)计算W:W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b) m=1(FGHIJ),j=5(A、B、C、D、E) ,g=0,h=0，b=10（链杆）+6(支杆)=16 W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)=3×1+2×5-16=-3 (2)结构构造分析 如图示体系内部（先撤除支座及地基）由三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 用三个瞬铰两两相连，且三个瞬铰在一直线上，为几何瞬变体系。 4、如图所示为三角形ABC及其他链杆所组成体系，试考察BC边上G铰不同位置与体系整体几何特性的关系，给出简要分析过程。 (a) (b) (c) (d)
解：（1）观察图（a）所示体系，△BEG直接与大地固定铰支，可以将B点看做铰结点，则BE，BG为链杆，因此，与大地直接相连的约束多余三根支杆，所以将大地必须看做是一个刚片。BG和CD与GC相连，BE和A支座与△AEF相连，通过“找对家”的思路可以找到如图所示三刚片。G铰位于BC中间时，三虚铰共线，组成瞬变体系。 （2）G铰在B点时，如图（c）所示，B-C-D可以看做直接添加在大地上的二元体，可以与大地看做一个刚片，△AEF看做另一个刚片，两刚片之间通过共线的三根链杆相连，组成瞬变体系。 （3）G铰在C点时，如图（d）所示，△AEF和大地通过四根连杆相连，其中EF、EC、CF不共线，也不全交于一点。因此体系是有一个多余约束的几何不变体系。 因此，G铰由B到C的过程中，提及的几何特性分别为瞬变、瞬变、有一个多余约束的几何不变体系。 5、试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。 (a) (b) 解：（1）计算W。 W = 3m - 2h - 3g–b m=5 g=0 h=5 b=4 W = 3m - 2h - 3g–b=3×5-2×5-4=1＞0 该体系缺少一个必要约束为几何可变。 （2）如图（b）所示，取刚片I，II，III，刚片I，III之间通过无穷远处的瞬铰O（1,3）相连，刚片II和III通过铰O（2,3）相连，如果没有铰A ，刚片I和II之
平面体系自由度和约束 自由度：所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标（或参变量）的个数。如果一个体系的自由度大于零，则该体系就是几何可变体系。 （1）点的自由度：平面内一动点A，其位置需用两个坐标x和y来确定，所以一个点在平面内有两个自由度。 1.swf （2）刚片的自由度：一个刚片在平面内运动时，其位置将由其上任一点A的坐标x、y 和过点A的任一直线AB的倾角φ来确定，因此，一个刚片在平面内有三个自由度。 2.swf 约束：约束是指能够减少自由度的装置（又称联系）。减少一个自由度的装置，就称为一个约束（或联系）。 约束有两大类：支座约束和刚片间的约束。 1. 支座约束 （1）滚轴支座：能限制刚片A点在垂直方向移动，但不能限制其水平方向移动和绕A 点的转动，减少了一个自由度，相当于一个约束。 3.swf （2）铰支座：能限制刚片A点在水平方向和竖直方向移动，但不能限制其绕A点的转动，减少了两个自由度，相当于两个约束。 4.swf （3）固定支座：能限制刚片在水平、竖直方向的移动和转动，使刚片的自由度减少为零，相当于三个约束。 5.swf 2. 刚片间的联结约束 （1）单铰约束：联结两个刚片的铰称为单铰。两刚片在平面内独立的自由度个数为六个，用一个铰将刚片Ⅰ、Ⅱ联结起来，对刚片Ⅰ而言，其位置可由A点的坐标x、y和AB 线的倾角φ1来确定，因此其有三个自由度，刚片Ⅱ相对刚片Ⅰ只能绕A点转动，即两刚片间只保留了相对转角φ2，则由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内有四个自由度，则一个单铰约束减少了二个自由度。一个单铰相当于两个约束。 6.swf
（2）复铰约束：用一个铰同时联结三个或三个以上的刚片，则这种铰称为复铰。设其中一刚片可沿x、y向移动和绕某点转动，则其余两刚片都只能绕其转动，因此各减少两个自由度。象这种联结三刚片的复铰相当于两个单铰的作用，由此可见，联结n个刚片的复铰，相当于（n－1）个单铰的作用。 7.swf
§2-3 平面杆件体系的计算自由度 1. 教学要求 掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。 2. 本节目录 ?1. 实际自由度S和计算自由度W ?2. 部件和约束 ?3. 平面体系的计算自由度W的求法(1) ?4. 平面体系的计算自由度W的求法(2) ?5. 思考与讨论 3. 参考章节 1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.28-32。 2. §2-1 基本概念 2.3.1 实际自由度S 和计算自由度W S= （各部件自由度总和a）－（非多余约束数总和c）--- (2-1) S：体系是由部件加上约束组成的。首先假设体系中各个约束都不存在，在此情况下计算各部件的自由度数的总和为a；其次在全部约束中确定非多余约束数c；最后将两个数相减得出体系的自由度数s。 图2-32S = 1×１－１= 0， 非多余约束数 c = 2 ， 多余约束数n = １， 但是复杂情况难以找全多余约束。 在复杂体系中很难分清全部约束中哪些是多余约束和非多余约束。因此引入计算自由度的概念W。
W = （各部件自由度总和 a ）－ （全部约束数总和 d ） --- (2-2) 由于全部约束数d 与非多余约束c 的差数是多余约束n ，则 n W S =- （2－3） 对于自由度S 与多余约束都不是负数即：0,0≥≥n S ，因此： W S ≥， W n -≥ 即W 是自由度数S 的下限，而－W 则是多余约束数n 的下限。 2.3.2 部件和约束 1. 部件可以是点，也可以是刚片 在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束。 图2-32a 图2-32b 图2-32c 图2-32d 一根链杆 一个铰 一个刚结 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多余约束。 2. 约束可分为单约束和复约束 在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。 图2-33a 图2-33b (图中复铰相当两个单铰)
2.4 平面杆件体系的自由度计算 教学要求 掌握实际自由度分析方法,了解计算自由度的计算方法。 2.4.1 平面杆件体系自由度 （1）实际自由度S（即前面讲的“运动自由度”）：体系运动时，可以独立变化的几何参数数目，也就是确定该体系运动所需要的独立参数数目。之所以称之为实际自由度，是为了与下面讲的计算自由度相区别。 S = （各部件自由度总和a）－（必要约束数总和c）（2-1）（2）计算自由度W W = （各部件自由度总和a）－（全部约束数总和d）（2-2） 由上式可见，计算自由度是由体系部件的自由度和全部约束计算而得，但没有区别非多余约束和多余约束。因此，一般地说，计算自由度不一定就是实际自由度。 多余约束数n：等于实际自由度与计算自由度之差，即： n = S －W （2-3） 图2-25 分析： 自由度S=a－c=2－2=0；计算自由度W=a－d=2－4=－2 ［讨论］： W > 0 则S > 0 几何可变 W = 0 则S = n 若n = 0 几何不变 W = 0 则S = n 若n > 0 几何可变 W < 0 则n > 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。 结论： W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。 各部件自由度总和a=2（1个自由点）；约束总数d=4；其中：非多余约束c=2； 2.4.2 约束的计算 （1）刚片内部多余约束。
n=0 n=1 n=2 n=3 图2-8 刚片内部多余约束 ［注释］自由端n=0；一根链杆n=1；一个铰n=2；一个刚结n=3； （2）单约束和复约束 a．铰结点 图2-9a 单铰图2-9b 复铰 1单铰=2个约束复铰=（n－1）单铰＝2（n－1）个约束 b．刚结点 图2-11a 单链图2-11b 复链 1单链杆=1个约束1复链杆= （2×n-3）单链=（2×n-3）个约束杆 2.4.3 平面体系的计算自由度W 的求法 （1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。 刚片数m ； 约束数：单铰数h ，简单刚结数g ，单链杆数b 。 W = 3m - 2h - 3g - b （2-4） （2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。 结点数j ； 约束数：链杆（含支杆）数b 。 W = 2j – b （2-5） （3）组合算法 约束对象：刚片数m ，结点数j 约束条件：单铰数h ，简单刚结数g ，单链杆（含支杆）数b
平面机构自由度计算思考题和习题 1、思考题 什么是构件、运动副、运动链自由度？它们有何异同点？ 什么是运动副约束？平面运动副中最多约束数为多少？为什么？ 试写出计算平面运动链自由度公式，并从物理概念简述其推演过程。 计算运动链自由度的目的何在？ 机构具有确定运动的条件是什么？如果不满足该条件可能会出现哪些情况？ 什么是虚约束？总结归纳出现虚约束的几种情 况。 2、习题 1）通过自由度计算判断图示运动链是否有确定运动 （图中箭头所示构件为原动件）。如果不满足有确 定运动的条件，请提出修改意见并画出运动简图。 2）计算下列各运动链的自由度，并指出其中是否有复合铰链、局部自由度、虚约束。最后判断该机构是否有确定运动（图中箭头所示构件为原动件），为什么？ （A） (B) (C) (D)
3、习题答案 1）计算自由度：n=4, P L=6, P H=0, F= 3n-2P L -P H=3×4-2×6-1×0=0，运动链不能动。修改参考方案如图所示。 2）答案 (A）没有复合铰链、局部自由度、虚约束。 n=4, PL=5, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×4-2×5-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 （B）A处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 无虚约束。 n=6, PL=8, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×6-2×8-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 (C) F处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 移动副M、N中有一个为虚约束，属于两构件在多处组成运动副。 n=7, PL=9, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×7-2×9-1=2。 运动链没有确定运动，因为原动件数< 自由度数。 (D) B处有复合铰链，有2个转动副。 无局部自由度。 B点左侧所有构件和运动副带入的约束为虚约束，属于与运动无关的对称部分。n=5, PL=7, PH=0, F= 3n-2PL -PH=3×5-2×7-1×0=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。
第2章 平面体系的几何组成分析习题解答 习题2.3 对习题2.3图所示各体系进行几何组成分析。 (a) (b) 由铰A 和支杆①相联组成几何不变的部分；再与刚片BC 由铰B 和支杆②相联，故原体系几何不变且无多余约 束。 习题解2.3(a)图 （2）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A 、B 、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，组成几何不变的部分，如习题解 2.3(b)图所示。在此部分上添加二元体C-D-E ，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解2.3(b)图 习题解2.3(c)图 习题解2.3(d)图 （5）如习题解2.3(e)图所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成几何不变且无多余约束的体系，为一个大刚片；该大刚片与地基之间由平行的三根杆①、②、③相联，故原体系几何瞬变。 习题解2.3(e)图 （6）如习题解2.3(f)图所示，由三刚片规则可知，刚片Ⅰ、Ⅱ及地基组成几何不变且无多余约束的体系，设为扩大的地基。刚片ABC 与扩大的地基由杆①和铰C 相联；刚片CD 与扩大的地基由杆②和铰C 相联。故原体系几何不变且无多余约束。 Ⅱ
习题解2.3(f)图 （7）如习题解2.3(g)图所示，上部体系与地面之间只有3根支杆相联，可以仅分析上部体系。去掉二元体1，刚片Ⅰ、Ⅱ由铰A和不过铰A的链杆①相联，故原体系几何不变且无多余约束。 习题解2.3(g)图 （8）只分析上部体系，如习题解2.3(h)图所示。去掉二元体1、2，刚片Ⅰ、Ⅱ由4根链杆①、②、③和④相联，多余一约束。故原体系几何不变且有一个多余约束。 习题解2.3(h)图 （9）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、C组成无多余约束的几何不变部分，该部分再与地基由共点三支杆①、②、③相联，故原体系为几何瞬变体系，如习题解2.3(i)图所示。 习题解2.3(i)图 （10）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线三铰两两相连，故体系几何瞬变，如习题解2-3(j)图所示。
百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 平面机构虚约束的分析 机构是由若干构件组成的，是实现机械预期运动的装置，这些“预期运动”都是在原动 件的驱动下实现的，而其原动件的数目必须等于它的自由度。由此可见，准确计算机构的自由度对于正确分析和设计机构至关重要。在各种实际机构中，为了改善构件的受力情况，增加机构的刚度，或保证机构运动的顺利，往往要多增加一些构件与运动副（1）这些运动副中往往包括虚约束。 在计算平面机构自由度时，最常用的公式是契贝舍夫公式，简称契氏公式（2）： W=3n-2P L-P H 现计算下图所示机构的自由度： 可知，n=4， P L=6， P H=0，所以W=3*4-2*6=0 显然答案是错误的，原动件个数是1。这是因为该机构中出现了虚约束。所谓虚约束，笔者认为就是指不产生约束的约束，也即是所引入的构件由于几何尺寸满足一定的规律，不会对所在机构产生约束。 在机构自由度计算中．产生虚约束的情况有4种情况（3）： (1)如果将机构的某个运动副拆开，机构被拆开的两部分在原联接点的运动轨迹仍相互重合，则产生虚约束。 (2)在机构运动过程中，如果某两构件上两点之间的距离始终保持不变．那么，若将此两点以构件相连，则因此而引入的约束必为虚约束。 (3)如果两构件在几处接触而构成移动副，且各接触处两构件的相对运动方向一致；或者两构件在几处配合而构成转动副，且各配合处的轴线重合，则只应考患一处运动副引入的约束，其他各处为虚约束。 (4)机构中对运动不起作用的对称部分亦是虚约束。 笔者认为，在分析机构是否含有虚约束时，最好的方法是先分析该构件的功能，特别是“可疑”构件的作用，然后试着去掉该构件，看该机构还能否实现所期待的功能，因为引入虚约束的目的是为了改善构件的受力情况，增加机构的刚度，或保证机构运动的顺利，且不影响机构的运动规律。例如以上机构的虚约束的作用是约束下面的导杆在水平方向运动，如果去掉E，，该机构的运动规律并没有发生改变，就可以断定E，是虚约束。 在机械设计中，虚约束往往是“点睛之笔”，它能够使机械变得更加科学、实用。学会分析虚约束的最终目的是在自己设计机械机构的时候能够“因地适宜”、灵活地运用虚约束。能否熟练实用虚约束是判断机械设计者是否合格的重要标准。—————————————————————————————————————— 参考文献 （1）徐锦康．机械原理[M]．北京：机械工业出版社 （2）李学荣．四连杆机构综合概论(第一册)[M]．北京：机械工业出版 社。1985． （3）孙桓，陈作模机械原理(第5版)[MJ北京：高等教育出 版社，1996． 电气工程及自动学院 胡佳男