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2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)

2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.(5分)已知集合A={x|﹣2<x<2},集合B为自然数集,则A∩B=.

2.(5分)若复数z=a2﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则a=.

3.(5分)在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的,且样本容量为160,则中间一组的频数为.

4.(5分)从2个红球,2个黄球,1个白球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是.5.(5分)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.

6.(5分)三棱锥S﹣ABC中,面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S﹣ABC的表面积是.

7.(5分)已知F为双曲线C:2x2﹣my2=4m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为.

8.(5分)与的大小关系是.(用“>”或“<”连接)

9.(5分)为了得到y=cos(﹣)的图象,只需将y=sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位,则φ的最小值为.

10.(5分)若函数f(x)=,在其定义域上恰有两个零点,则正实数a

的值为.

11.(5分)已知{a n},{b n}均为等比数列,其前n项和分别为S n,T n,若对任意的n∈N*,总有=,则=.

12.(5分)如图,在圆O:x2+y2=4上取一点A(﹣,1),E、F为y轴上的两点,且AE=AF,延长AE,AF分别与圆交于点MN.则直线MN的斜率为.

13.(5分)如图,AB=BC=1,∠APB=90°,∠BPC=45°,则?=.

14.(5分)已知正实数a、b、c满足+=1,++=1,则实数c的取值范围是.

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(14分)已知向量,,.

(1)若,求向量、的夹角θ;

(2)若,函数的最大值为,求实数λ的值.

16.(14分)如图,平面ABC⊥平面DBC,AB=AC,AB⊥AC,DB=DC;DE⊥平面DBC,BC=2DE,

(1)求证:DE∥平面ABC;

(2)求证:AE⊥平面ABC.

17.(14分)现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘,在OA、OB上分别取点C、D,作DE∥OA、

CF∥OB交弧AB于点E、F,且BD=AC,现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域.若OA=1km,,.(1)求区域Ⅱ的总面积;

(2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元,记年总收入为y万元.试问当θ为多少时,年总收入最大?

18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B分别是椭圆:+y2=1的左、右顶点,

P(2,t)(t∈R,且t≠0)为直线x=2上一动点,过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D,连结PO,直线PO分别和AC、AD连线交于E、F.

(1)当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时,求t的值;

(2)若t=﹣1,记直线AC、AD的斜率分别为k1,k2,求证:+定值;

(3)求证:四边形AFBE为平行四边形.

19.(16分)已知数列{a n},{b n}满足:对于任意的正整数n,当n≥2时,a n2+b n a n﹣12=2n+1.(1)若b n=(﹣1)n,求的值;

(2)若数列{a n}的各项均为正数,且a1=2,b n=﹣1.设S n=,T n=,试比较S n与T n的大小,并说明理由.

20.(16分)已知函数f(x)=x2,g(x)=alnx.

(1)若曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0,求实数a的值;(2)设h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不等的正数x1,x2,都有>

2恒成立,求实数a的取值范围;

(3)若在[1,e]上存在一点x0,使得f′(x0)+<g(x0)﹣g′(x0)成立,求实数a的取值范围.

[选修4-1:几何证明选讲](任选两个)

21.(10分)在圆O中,AB,CD是互相平行的两条弦,直线AE与圆O相切于点A,且与CD的延长线交于点E,求证:AD2=AB?ED.

[选修4-2:矩阵与变换]

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0,求矩阵A的逆矩阵A﹣1.

[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]

23.已知直线l:(t为参数)经过椭圆C:(φ为参数)的右焦

点F.

(Ⅰ)求m的值;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|?|FB|的最大值与最小值.

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知a,b,c均为正数,且a+2b+3c=9.求证:++≥.

解答题

25.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的准线l与x轴交于点M,过M的直线与抛物线交于A,B两点.设A(x1,y1)到准线l的距离为d,且d=λp (λ>0).

(1)若y1=d=1,求抛物线的标准方程;

(2)若+λ=,求证:直线AB的斜率为定值.

26.(10分)在自然数列1,2,3,…,n中,任取k个元素位置保持不动,将其余n﹣k个元素变动位置,得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为P n(k).

(1)求P3(1)

(2)求P4(k);

(3)证明kP n(k)=n P n﹣1(k),并求出kP n(k)的值.

2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)

参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.(5分)(2016?南通模拟)已知集合A={x|﹣2<x<2},集合B为自然数集,则A∩B= {0,1} .

【考点】交集及其运算.

【专题】集合思想;定义法;集合.

【分析】由A与B,求出两集合的交集即可.

【解答】解:∵A={x|﹣2<x<2},集合B为自然数集,

∴A∩B={0,1},

故答案为:{0,1}

2.(5分)(2016?南通模拟)若复数z=a2﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则a=1.【考点】复数的基本概念.

【专题】计算题.

【分析】根据纯虚数的定义,得到实部为0,虚部不为0列出不等式和方程,解不等式组求出a的值.

【解答】解:∵复数z=a2﹣1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数

∴解得

∴a=1

故答案为:1

3.(5分)(2016?南通模拟)在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的,且样本容量为160,则中间一

组的频数为32.

【考点】频率分布直方图.

【专题】计算题.

【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率,再由频率与频数的关系,中间一组的频数.

【解答】解:设中间一个小长方形的面积为x,其他10个小长方形的面积之和为y,

则有:,

解得:x=0.2,

∴中间一组的频数=160×0.2=32.

故填:32.

4.(5分)(2016?江苏模拟)从2个红球,2个黄球,1个白球中随机取出两个球,则两球

颜色不同的概率是.

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】概率与统计.

【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可.

【解答】解:从5个球中任意取两个共有C52=10种,

两球颜色相同的有2种,

两球颜色不同的概率是1﹣=,

故答案为:.

5.(5分)(2016?南通模拟)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为205.

【考点】顺序结构.

【专题】算法和程序框图.

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件i=2n+1,n∈N,i=i+2≥100时,S=2i+3的值

【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:

该程序的作用是输出满足条件i=2n+1,n∈N,i=i+2≥100时,

S=2i+3的值,

∵i+2=101时,满足条件,

∴输出的S值为S=2×101+3=205.

故答案为:205.

6.(5分)(2016?南通模拟)三棱锥S﹣ABC中,面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

【专题】计算题.

【分析】先求面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积,再求正三角形△ABC的面积,求解即可.

【解答】解:设侧棱长为a,则a=2,a=,

侧面积为3××a2=3,底面积为×22=,

表面积为3+.

故答案为:3+.

7.(5分)(2016?南通模拟)已知F为双曲线C:2x2﹣my2=4m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为2.

【考点】双曲线的简单性质.

【专题】转化思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求出双曲线的标准方程,根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b 进行求解即可.

【解答】解:双曲线的标准方程为﹣=1,

双曲线的焦点在x轴,则a2=2m,b2=4,

则b=2,

设焦点在x轴的双曲线的方程为=1,

设焦点F(c,0),双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx﹣ay=0

则点F到C的一条渐近线的距离d==2

故答案为:2

8.(5分)(2016?南通模拟)与的大小关系是>.(用“>”或“<”连接)

【考点】不等式比较大小.

【专题】转化思想;数学模型法;不等式.

【分析】由于=>=>,即可得出.

【解答】解:∵==>=>,

∴>,

故答案为:>.

9.(5分)(2016?南通模拟)为了得到y=cos(﹣)的图象,只需将y=sin的图象向

左平移φ(φ>0)个单位,则φ的最小值为.

【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的图像与性质.

【分析】将y=sinx化为y=cos[(x﹣π)],再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可.

【解答】解:∵y=sin=cos(﹣)=cos[(x﹣π)],

∴将y=sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得函数图象对于的解析式为:y=cos[(x ﹣π+φ)],

又∵y=cos(﹣)=cos[(x﹣)],

∴由题意可得:(x﹣π+φ)=(x﹣)+2kπ,k∈Z,

解得:φ=4kπ+,k∈Z,

∵φ>0

∴当k=0时,φ的最小值为.

故答案为:.

10.(5分)(2016?南通模拟)若函数f(x)=,在其定义域上恰有两个

零点,则正实数a的值为.

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】当x≤0时,f(x)=x+2x,单调递增,由f(﹣1)f(0)<0,可得f(x)在(﹣1,0)有且只有一个零点;x>0时,f(x)=ax﹣lnx有且只有一个零点,即有a=有且只有一个实根.令g(x)=,求出导数,求得单调区间,极值,即可得到a的值.

【解答】解:当x≤0时,f(x)=x+2x,单调递增,

f(﹣1)=﹣1+2﹣1<0,f(0)=1>0,

由零点存在定理,可得f(x)在(﹣1,0)有且只有一个零点;

则由题意可得x>0时,f(x)=ax﹣lnx有且只有一个零点,

即有a=有且只有一个实根.

令g(x)=,g′(x)=,

当x>e时,g′(x)<0,g(x)递减;

当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)递增.

即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为,

如图g(x)的图象,当直线y=a(a>0)与g(x)的图象

只有一个交点时,则a=.

故答案为:.

11.(5分)(2015?淮安模拟)已知{a n},{b n}均为等比数列,其前n项和分别为S n,T n,若对任意的n∈N*,总有=,则=9.

【考点】数列的求和.

【专题】等差数列与等比数列.

【分析】设{a n},{b n}的公比分别为q,q′,利用=,求出q=9,q′=3,可得=3,

即可求得结论.

【解答】解:设{a n},{b n}的公比分别为q,q′,

∵=,

∴n=1时,a1=b1.

n=2时,.

n=3时,.

∴2q﹣5q′=3,7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0,

解得:q=9,q′=3,

∴.

故答案为:9.

12.(5分)(2016?南通模拟)如图,在圆O:x2+y2=4上取一点A(﹣,1),E、F为y 轴上的两点,且AE=AF,延长AE,AF分别与圆交于点MN.则直线MN的斜率为﹣.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.

【分析】不适一般性,取特殊点,即可得出结论.

【解答】解:由题意,取M(0,2),AM的斜率为,

∵AE=AF,

∴AN的斜率为﹣,过原点,

∴N((,﹣1),

∴直线MN的斜率为=﹣.

故答案为:﹣.

13.(5分)(2016?南通模拟)如图,AB=BC=1,∠APB=90°,∠BPC=45°,则?=﹣

【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】综合题;转化思想;综合法;平面向量及应用.

【分析】取PC中点D,连结BD,设BD=x.利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质,算出∠BDC=135°,CD=PD=x.在△BCD中利用余弦定理,结合题中数据

建立关于x的方程,解出x,从而得出PA,PC.最后利用数量积的公式加以计算,可得则

?的值

【解答】解:取PC中点D,连结BD.设BD=x,

∵BD是△PAC的中位线,∴BD∥PA且BD=PA.

∵∠APB=90°,∴△PBD中,∠PBD=∠APB=90°,

∵∠BPD=45°,BD=x,∴PD=x,CD=PD=x,

△BDC中,∠BDC=∠APC=90°+450°=130°,BC=1,

由余弦定理,得BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC=1,

即x2+2x2﹣2x?xcos135°=1,解之得x=,即BD=,

∴PA=2BD=,PC=2×=,

∴?=||?||cosAPC=××(﹣)=﹣,

故答案为:﹣

14.(5分)(2016?南通模拟)已知正实数a、b、c满足+=1,++=1,则实数c 的取值范围是(1,] .

【考点】基本不等式.

【专题】不等式的解法及应用.

【分析】由于+=1,++=1,可得,化为.由于正实数a、b满足+=1,利用基本不等式的性质可得ab≥4,据此可得c的取值范围.

【解答】解:∵++=1,∴,化为.

∵正实数a、b满足+=1,∴,化为ab≥4.

则c==1+,ab﹣1≥3,

则1<c≤.

故答案为:(1,].

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(14分)(2011?宝山区二模)已知向量,,

(1)若,求向量、的夹角θ;

(2)若,函数的最大值为,求实数λ的值.

【考点】数量积表示两个向量的夹角;数量积的坐标表达式;平面向量数量积的运算.【专题】计算题;综合题.

【分析】(1)当时,求出向量、,利用数量积的坐标运算求出向量?,从而求出向量、的夹角θ;(2)向量,,代入函数

,利用三角函数的诱导公式进行化简,转化为三角函数在定区间上的最值,即可求得结果.

【解答】解:(1)当时,,

所以,

因而;

(2),

因为,

所以,

当λ>0时,,即,

当λ<0时,,即,

所以.

16.(14分)(2016?南通模拟)如图,平面ABC⊥平面DBC,AB=AC,AB⊥AC,DB=DC;DE⊥平面DBC,BC=2DE,

(1)求证:DE∥平面ABC;

(2)求证:AE⊥平面ABC.

【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

【专题】证明题;空间位置关系与距离.

【分析】(1)取BC中点F,连结AF,可证AF⊥BC,由平面ABC⊥平面DBC,且交线为BC,可证AF⊥平面DBC,从而AF∥DE,即可证明DE∥平面ABC.

(2)连结DF,可证DF⊥平面ABC,AE∥DF,从而有AE⊥平面ABC.

【解答】解:(1)取BC中点F,连结AF,

因为AB=AC,所以,AF⊥BC,

又因为平面ABC⊥平面DBC,且交线为BC,

所以,AF⊥平面DBC,

因为DE⊥平面DBC,所以,AF∥DE,

而AF在平面ABC内,DE在平面ABC外,所以,DE∥平面ABC;

(2)连结DF,

∵DB=DC,F为BC中点,

∴DF⊥BC,

∵平面ABC⊥平面DBC,DF?平面DBC,

可证DF⊥平面ABC,

∵AE∥DF,

∴AE⊥平面ABC.

17.(14分)(2016?南通模拟)现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘,在OA、OB上分别取点C、D,作DE∥OA、

CF∥OB交弧AB于点E、F,且BD=AC,现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域.若OA=1km,,.

(1)求区域Ⅱ的总面积;

(2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元,记年总收入为y万元.试问当θ为多少时,年总收入最大?

【考点】在实际问题中建立三角函数模型.

【专题】导数的综合应用;三角函数的图像与性质.

【分析】(1)根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积;

(2)建立三角函数关系式,求函数的导数,利用导数研究函数的最值即可.【解答】解:(1)因为BD=AC,OB=OA,所以OD=OC.

因为,DE∥OA,CF∥OB,

所以DE⊥OB,CF⊥OA.

又因为OE=OF,所以Rt△ODE≌Rt△OCF.

所以.…(2分)

所以.

所以,

所以,.…(6分)

(2)因为,

所以.

所以=

,…(10分)

所以,

令y'=0,则.…(12分)

当时,y'>0,当时,y'<0.

故当时,y有最大值.

答:当θ为时,年总收入最大.…(15分)

18.(16分)(2016?南通模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B分别是椭圆:+y2=1

的左、右顶点,P(2,t)(t∈R,且t≠0)为直线x=2上一动点,过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D,连结PO,直线PO分别和AC、AD连线交于E、F.

(1)当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时,求t的值;

(2)若t=﹣1,记直线AC、AD的斜率分别为k1,k2,求证:+定值;

(3)求证:四边形AFBE为平行四边形.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】(1)由题意得l:y=﹣x+1,由此能求出t的值.

(2)直线AC:y=k1(x+2),与联立得C:,同理得D:,

由此能证明=﹣4(定值).

(3)要证四边形AFBE为平行四边形,即只需证E、F的中点即点O.

【解答】(1)解:由题意:椭圆:+y2=1上顶点C(0,1),

右焦点E(﹣,0),

所以l:y=﹣x+1,

令x=2,得t=1﹣.…(2分)

(2)证明:直线AC:y=k1(x+2),与联立

得C:,同理得D:,…(4分)

由C,D,P三点共线得:k CP=k DP,得=﹣4(定值).…(8分)

(3)证明:要证四边形AFBE为平行四边形,即只需证E、F的中点即点O,

设点P(2,t),则OP:y=x,

分别与直线AC:y=k1(x+2)与AD:y=k2(x+2)联立得:

x E=,x F=,下证:x E+x F=0,即+=0

化简得:t(k1+k2)﹣4k1k2=0…(12分)

由(2)知C:,D:,

由C,D,P三点共线得:k CP=k DP,

得t(k1+k2)﹣4k1k2=0,

所以四边形AFBE为平行四边形.…(16分)

19.(16分)(2016?南通模拟)已知数列{a n},{b n}满足:对于任意的正整数n,当n≥2时,a n2+b n a n﹣12=2n+1.

(1)若b n=(﹣1)n,求的值;

(2)若数列{a n}的各项均为正数,且a1=2,b n=﹣1.设S n=,T n=,

试比较S n与T n的大小,并说明理由.

【考点】数列递推式;数列与函数的综合.

【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.

(1)根据数列的递推关系时,即可得到a22+a12=5,a42+a32=9,a62+a52=13,…a182+a172=37,【分析】

累加即可,

(2)根据数列的递推关系求出a n=n+1,n∈N,再分别表示出S n与T n,分别计算它们的平

方,n=1,2,3,4,5,6,当n≥6时,构造数列c n=,利用换元法和作差法得到数列

{c n}为递增数列,问题得以解决.

【解答】解:(1)由题意可得a22+a12=5,a42+a32=9,a62+a52=13,…a182+a172=37,

将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189,

(2)∵a n2+b n a n﹣12=2n+1,a1=2,b n=﹣1

∴a n2﹣a n﹣12=2n+1,n≥2,

∴a22﹣a12=5,a32﹣a22=7,a42﹣a32=9,a n2﹣a n﹣12=2n+1,

将上面的式子相加得到a n2﹣a12=,

∴a n2=(n+1)2,n≥2,

∵数列{a n}的各项均为正数,

∴a n=n+1,

当n=1时,也成立,

∴a n=n+1,n∈N*,

∴S n==2n﹣1,T n==,

下面比较S n与T n的大小,

取n=1,2,3,4,5,6,

∴S12<T12,S22>T22,S32>T32,S42>T42,S52>T52,S62<T62,

当n≥6时,令c n=,

则=

设2n=t≥64,

则(n+2)(2n﹣1)2﹣(2n+1﹣1)2=8(t﹣1)2﹣(2t﹣1)2=4t2﹣12t+7>0

∴当n≥6时,数列{c n}为递增数列,

∴c n≥c6=>1,

∴n≥6时,S n2<T n2,

综上所述:当n=2,3,4,5时,S n>T n,当n=1,n≥6时,S n<T n.

20.(16分)(2016?南通模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=alnx.

(1)若曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0,求实数a的值;(2)设h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不等的正数x1,x2,都有>

2恒成立,求实数a的取值范围;

(3)若在[1,e]上存在一点x0,使得f′(x0)+<g(x0)﹣g′(x0)成立,求实

数a的取值范围.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.

【专题】分类讨论;分析法;导数的综合应用;不等式的解法及应用.

【分析】(1)求出函数y的导数,可得切线的斜率,由切线方程可得a的方程,解得a即可;

(2)由题意可得即为>0,令m(x)=h(x)﹣2x,可

得m(x)在(0,+∞)递增,求出导数,令导数大于等于0,分离参数a,由二次函数的最值,即可得到a的范围;

(3)原不等式等价于x0+<alnx0﹣,整理得x0﹣alnx0+<0,设m(x)=x﹣alnx+

,求得它的导数m'(x),然后分a≤0、0<a≤e﹣1和a>e﹣1三种情况加以讨论,分别解关于a的不等式得到a的取值,最后综上所述可得实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(,+∞).

【解答】解:(1)y=f(x)﹣g(x)=x2﹣alnx的导数为x﹣,

曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线斜率为k=1﹣a,

由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0,可得1﹣a=3,

解得a=﹣2;

(2)h(x)=f(x)+g(x)=x2+alnx,

对任意两个不等的正数x1,x2,都有>2恒成立,即为

>0,

令m(x)=h(x)﹣2x,可得m(x)在(0,+∞)递增,

由m′(x)=h′(x)﹣2=x+﹣2≥0恒成立,

可得a≥x(2﹣x)的最大值,由x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1可得最大值1,

则a≥1,即a的取值范围是[1,+∞);

(3)不等式f′(x0)+<g(x0)﹣g′(x0)等价于x0+<alnx0﹣,

整理得x0﹣alnx0+<0,设m(x)=x﹣alnx+,

则由题意可知只需在[1,e]上存在一点x0,使得m(x0)<0.

对m(x)求导数,得m′(x)=1﹣﹣==,

因为x>0,所以x+1>0,令x﹣1﹣a=0,得x=1+a.

①若1+a≤1,即a≤0时,令m(1)=2+a<0,解得a<﹣2.

②若1<1+a≤e,即0<a≤e﹣1时,m(x)在1+a处取得最小值,

令m(1+a)=1+a﹣aln(1+a)+1<0,即1+a+1<aln(1+a),

可得<ln(a+1)

考察式子<lnt,因为1<t≤e,可得左端大于1,而右端小于1,所以不等式不能成立③当1+a>e,即a>e﹣1时,m(x)在[1,e]上单调递减,只需m(e)<0,得a>,又因为e﹣1﹣=<0,则a>.

综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(,+∞).

[选修4-1:几何证明选讲](任选两个)

21.(10分)(2016?南通模拟)在圆O中,AB,CD是互相平行的两条弦,直线AE与圆O 相切于点A,且与CD的延长线交于点E,求证:AD2=AB?ED.

【考点】与圆有关的比例线段.

【专题】选作题;推理和证明.

【分析】连接BD,证明△EAD∽△DBA.即可证明AD2=AB?ED.

【解答】证明:连接BD,

因为直线AE与圆O相切,所以∠EAD=∠ABD.…(4分)

又因为AB∥CD,所以∠BAD=∠ADE,

所以△EAD∽△DBA.…(8分)

从而=,所以AD2=AB?ED.…(10分)

[选修4-2:矩阵与变换]

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