高考数学二轮复习专题八 排列组合与概率统计
【重点知识回顾】
1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.
⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.
⑶ 排列与组合的主要公式
①排列数公式：)1()1()!
(!
+-???-=-=
m n n n m n n A m
n (m≤n)
A n n =n! =n(n―1)(n―2) ...2·1. ②组合数公式：1
2)1()
1()1()!(!!??????-?+-???-=-=
m m m n n n m n m n C m
n (m≤n).
③组合数性质：①m n n m n C C -=(m≤n). ②n n
n n n n C C C C 2210=+???+++ ③1314202-=???++=???++n n n n n n C C C C C
2.二项式定理 ⑴ 二项式定理
(a +b)n =C 0n a n +C 1n a n －
1b+…+C r n a n －
r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开
式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a
n －
r b r
. ⑵ 二项展开式的通项公式
二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a
n －
r b r
(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 ⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即C r n = C r
n n - (r=0,1,2,…,n).
②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2n
n
；若n 是奇数，则中间两项(第21+n 项和第2
3
+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21
-n n = C 21
+n n .
③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C n n =2n
.
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n +…=2
n―1
. 3.概率
（1）事件与基本事件：
:S S S ??
????
??
随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件
基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基
本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．
（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件：
（4）古典概型与几何概型：
古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．
几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例． 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式：()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
．
几何概型的概率计算公式：
()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)
试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)
．
两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式
①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤． ②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A
B P A P B =+．
③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．
（7）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是p n (k) = C k
n p k (1―p)n―k . 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第k+1项.
（8）独立重复试验与二项分布 ①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立； ②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概
率为()(1)(012)k k n k
n P X k C p p k n -==-=，
，，，，．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．
4、统计
（1）三种抽样方法
①简单随机抽样
简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．
简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．
实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性． ②系统抽样
系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况． 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．
系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k ，当
N
n
（Ｎ为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，N k n =
；当N
n
不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n 整除，这时N k n
'
=；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l ，再按事先确定的规则
抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个编号()l k +，将()l k +加上k ，得到第3个编号(2)l k +，这样继续下去，直到获取整个样本． ③分层抽样
当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．
分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本． （2）用样本估计总体
样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．
①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图． ②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便． ③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程
度，其计算公式为s =． 有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．
（3）两个变量之间的关系 变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：
第一步：先把数据制成表，从表中计算出21
1
n
n
i i i i i x y x y x ==∑∑，，，；
第二步：计算回归系数的a ，b ，公式为
111
22
11()()()n n n
i i i i i i i n n
i i i i n x y x y b n x x a y bx =====?
-?
?=??-??=-??∑∑∑∑∑，；
第三步：写出回归直线方程y bx a =+．
（4）独立性检验
①22?列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22?列联表1
构造随机变量2
2
()()()())
n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）
得到2
K 的观察值k 常与以下几个临界值加以比较：
如果 2.706k >，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；
如果 3.841k > 就有0095的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果 6.635k > 就有0099的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；
如果低于 2.706k ≤，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系．
【典型例题】
考点一：排列组合 【方法解读】
1、解排列组合题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；
2、解排列组合题的基本方法： ① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； ② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结
论；注意：分类不重复不遗漏。 ④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；
在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排
好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑥ 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”
全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。 ⑦ 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数
比较少的问题。 【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。
例 1. （2010·天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ） A.288种 B.264种 C.240种 D.168种
【提示】(1)B,D,E,F 用四种颜色，则有4
41124A ??=种涂色方法；
(2)B,D,E,F 用三种颜色，则有33
4422212192A A ??+???=种涂色方法；
(3)B,D,E,F 用两种颜色，则有242248A ??=种涂色方法；
所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。故选B
例2、某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门
学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（B ） A ．120 B ．98 C ．63 D ．56
【提示】分两类：第一类A ，B ，C 三门课都不选，有37C ＝35种方案；第二类A ，B ，C 中选一门，剩余7门课中选两门，有13C 2
7C ＝63种方案．故共有35＋63＝98种方案．故选B
例3、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 ( A ) A ．504 B ．210 C ．336 D ．120 【提示】三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7,8,9种方法，∴插法种数为7×8×9＝
504或9
966
A A ＝504.故选A
考点二：二项式定理
【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种题型：
1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；
2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；
【命题规律】
历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。
例4、设88018(1),x a a x a x +=++
+则0,18,
,a a a 中奇数的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解：由题知)8,2,1,0(8 ==i C a i i ，逐个验证知18
808==C C ，其它为偶数，选A 。
例5、组合数C r
n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）
A ．r +1n +1C r -1n -1
B ．(n +1)(r +1)
C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1
D ．n r C r -1n -1
解：由1
1!(1)!!()!(1)![(1)(1)]!r
r n n n n n n C C r n r r r n r r
---=
==-----.
例6、在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4
x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274
解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。故含4
x 的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-
例7、若(x +12x
)n
的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6
(B)7
(C)8
(D)9
解：因为1()2n x x +
的展开式中前三项的系数0n C 、112
n C 、214n C 成等差数列，所以
02114
n n n C C C +=，即2
980n n -+=，解得：8n =或1n =（舍）。
88218811
()()22
r r r r r r r T C x C x x --+==。令82
4r -=可得，2r =，所以4x 的系数为2281
()72
C =，故选B 。 考点三：概率
【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。
【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
解：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此2
144
16
P ππ
?==
?。
答案
16
π
点评：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。
例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为
(A)
184
(B)
121
(C)
25
(D)
35
解：354101
21
C P C ==，故选B 。
点评：本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。
例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为
（A ）
511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408
1
解：基本事件总数为31817163C =??。
选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法； 12a =时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法；13a =时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。
4441
.1716368
P ++=
=??
点评：本题考查古典概型及排列组合问题。 例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为
4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）
A.
16
625
B.
96625
C. 192
625
D.
256
625
解：独立重复实验4(4,)5B ，2
2
244196(2)55625
P k C ????=== ? ????? 例12、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标
得1~i (1
23)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
解： （Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A =
=
，，
()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为
00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=?+?+?+?=.
例13、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解：ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ==
=，50
(2)0.25200
P ξ=== 20(1)0.1200P ξ==
=，4
(2)0.02200
P ξ=-== 故ξ的分布列为：
（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为
()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤
依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3% 考点四：统计
【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本．会用样本频率分布估计总体分布．会用样本数字特征估计总体数字特征．会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。
【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
例14、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生
产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y 关于x 的线性回归方程Y=bx+a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：32．5+43+54+64．5=66.5)
解：(1)散点图略.
(2)
4
1
66.5i i i x y ==∑, 463x y ?=,
4
21
86i i x ==∑, 2
481x =
由所提供的公式可得0.7b =0.35a =,故所求线性回归方程为0.70.35y x =+10分
(3)100(0.71000.35)29.65-?+=吨.
例15、为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{}n a 的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{}n b 的前六项． (Ⅰ)求等比数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ)求等差数列{}n b 的通项公式；
(Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率μ的大小.
解：由题意知：1a ，
20.30.1100 3.a =??=
∵数列{}n a 是等比数列，∴公比2
1
3,a q a == ∴1113n n n a a q --== . ∵123a a a ++=13,
∴126123100()87b b b a a a ++
+=-++=，
∵数列{}n b 是等差数列，∴设数列{}n b 公差为d ，则得， 1261615b b b b d +++=+ ∴1615b d +＝87， 2741==a b ，∴5-=d ， ∴n b n 532-= μ=12312340.91100a a a b b b b
++++++=,
(或μ=5
6
10.91100
b b +-=) 答:估计该校新生近视率为91%.
例16、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验. (Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分) (Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回
归方程y bx a =+；(6分)
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为
得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分)
(参考公式: 11
2
2
2
1
1
()()
,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b a y bx x
nx
x x ====---=
=
=---∑∑∑∑)
解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选 取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 所以3
1
155P (A)==
(Ⅱ)由数据求得11,24x y ==
由公式求得18
7b =
再由30
7
a y bx =-=-
所以y 关于x 的线性回归方程为1830
77
y x =-
(Ⅲ)当10x =时,1507y =
, 150
|
22|27-<； 同样, 当6x =时,787y =, 78
|
14|27
-< 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.
四、复习建议
1. 对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等，应注意弄清它们之间的联系与区别.
2. 复习中，对于排列组合应用题，注意从不同的角度去进行求解，以开阔思维，提高解题能力.
3. 注意体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法.
4、注意复习求线性回归方程的方法，回归分析方法，独立性检验的方法及其应用问题。
【模拟演练】 计数原理部分： 1.(2010 ·湖南 )在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A ．10 B.11 C.12 D.15 【提示】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有24C 6＝（个） 第二类: 与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4＝（个） 第三类: 与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有04C 1＝
（个） 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同信息有6+4+1=11故选B
2．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 ( C ) A ．6个 B ．9个 C ．18个 D ．36个
【提示】由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．故选C 3．(2011·淮阴一模)已知集合M ∈{1，－2,3}，N ∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ( D ) A ．18 B ．10 C ．16 D ．14
【提示】M 中的元素作点的横坐标，N 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N 中的元素作点的横坐标，M 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个).故选D 4.(2010·本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P —ABC 与正三棱柱ABC —A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有__12__种．
提示：先涂三棱锥P —ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有13C ×12C ×11C ×12
C ＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．
5．设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程
22
1x y m n
+=表示焦点在x 轴上的椭圆有 ( D )
A ．6个
B ．8个
C ．12个
D ．16个
【提示】因为椭圆的焦点在x 轴上，所以当m ＝4时，n ＝1,2,3；当m ＝3时， n ＝1,2；当m ＝2时，n ＝1.即满足条件的椭圆共有3＋2＋1＝6个．故选D
6．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有 ( C ) A ．21种 B ．315种 C ．143种 D ．153种 【提示】111111597795143C C C C C C ?+?+?=故选C
6．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ( B )
A ．40种
B ．60种
C ．100种
D ．120种 【提示】由题意可列式为 42254260()C C A =种故选B
7．（2010 全国卷1理）某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ( A ) A .30种 B.35种 C.42种 D.48种 【提示】用间接法33374330C C C --=种,故选A
8．（2010·广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ C ）
A 、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 【提示】每次闪烁时间5秒，共5×120=600s ，每两次闪烁之间的间隔为5s ，共5×（120-1）=595s ．总共就有600+595=1195s ．故选C 9．（2010·全国卷1）某学校开设A 类选修课3门，
B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种 30 .(用数字作答)
【提示】可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有
1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门有21
34C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +21
34181230C C =+=种.
10．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1 458），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为 1359 .
【提示】 渐升数由小到大排列，形如的渐升数共有：6+5+4+3+2+1=21（个），如123×，个位可从4，5，6，7，8，9六个数字选一个，有6种等；
形如的渐升数共有5个；形如的
渐升数共有4个，故此时共有21+5+4=30个，因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359，所以应填1 359.
11．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．
(1)若n＝6，则为甲图着色的不同方法共有__480__种；
(2)若为乙图着色时共有120种不同方法，则n＝__5__.
【提示】(1)由分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，
共有6×5×4×4＝480种方法．
(2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步乘法计数原理，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，n2－3n＋12＝0(舍去)，
解得n＝5，n＝－2(舍去)．
12．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__13_种．
【提示】每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落．因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24－3＝13种情况．
13．现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：(1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；
第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；
第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；
第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，
所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法
N＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：
从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法； 从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法， 从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法； 从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法； 从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法， 所以共有不同的选法N ＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)． 概率统计部分：
1．在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问1人，上学之前吃过早餐的概率是（ ）
A ．0.85
B ．0.085
C ．0.1
D ．850
2．一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为（ ）
A ．825
B ．15
C ．1225
D ．1325
3．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（ ）
A ．1100
B ．11000
C ．110000
D ．11110000
4．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A ．25
B ．310
C ．320
D ．15
5．军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（ ）
A ．56
B ．13
C ．15
D ．16
6．甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规定：甲学生抛出两个正面得1分；乙学生抛出一正一反得1分．那么各抛掷100次后他们的得分情况大约应为（ ）
A ．甲→25分，乙→25分
B ．甲→25分，乙→50分
C ．甲→50分，乙→25分
D ．甲→50分，乙→50分 二、填空题
1．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，
随机从口袋中
A B
任取一只球，取到黄球的概率是________．
2． 一个口袋中有4个白球，1个红球，7个黄球．搅匀后随机从袋中摸出1个是白球的概率是_________．
3．2006年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、34、30、32、31，这组数据的中位数是__________.
4．为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业． 在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表：
则该县这10个区域降雨量的众数为_______(mm)；平均降雨量为___________（mm ）．
5．一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、3、4、5，投掷一次，向上的面出现数字3的概率是_____．
6．某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如下，请根据该图回答下列问题：
（1）学生会共抽取了______份调查报告；
（2）若等第A 为优秀，则优秀率为_____________ ；
（3）学生会共收到调查报告1000 份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E ?7．有100张已编号的卡片（从1号到100
号）从中任取1张，计算卡片是奇数的概率是_______，卡片号是7的倍数的概率是________．
8．掷一枚正六面体的骰子，掷出的点数不大于3的概率是_________． 三、解答题
1．小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天每天行驶的路程．
请你用统计初步的知识，解答下列问题：(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)要行驶多少千米?(2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升3．45元．请你求出小谢家一年(一年按12个月计算)的汽油费是多少元?
第6题
2．今年“五一黄金周”期间，花果山风景区共接待游客约22.5万人．为了了解该景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查，请他们对景区的服务质量进行评分，评分结果的统计数据如下表：
根据表中提供的信息，回答下列问题：
（1）所有评分数据的中位数应在第几档内？
（2）若评分不低于70分为“满意”，试估计今年“五一黄金周”期间对花果山景区服务“满意”的游客人数．
3．在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：
（1）根据图①提供的信息补全图②；
（2）参加崂山景区登山活动的12000 余名市民中，哪个年龄段的人数最多？
（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过30字）
4．袋中装有编号为1、2、3的三个形状大小相同的小球，从袋中随意摸出1球．并且随意抛掷一个面上标有1，2，3，4，5，6各一数字的正方体均匀骰子．
（1）如果摸出1号球和骰子朝上的数字为1则甲胜；如果摸出2号球和骰子朝上的数字为2，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？
（2）如果摸出的球编号为奇数和骰子朝上的数字为奇数则甲胜；如果摸出的球编号为偶数和木块朝上的数字为偶数，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A （提示：100人中吃早餐的概率85÷100=0.85，可以代表1000名学生吃早餐的概率）
2．D （提示：P （摸出的是黑球）=1212851225=
++，所以P （摸出的不是黑球）=1－1225=13
25）
3．C （提示：共有10000张奖券，其中一等奖10个，购物100元，可得一张奖券，故P （中一等奖）=110000
4．B （提示：P （A 指奇数）=35，P （B 指奇数）=2142=
，所以P （A 、B 同时指奇数）=35×12=3
10） 5．D （提示：P （两支红色水笔）111
236=?=
）
6．B （提示：抛掷两枚硬币的所有可能是正正、正反、反正、反反．所以P （甲抛出两个正
面）=14，P （乙抛出一正一反）=12，各抛100次后，甲得分100×14=25（分），乙得分100×12=50
（分）） 二、填空题
1．11
14 （提示：实验中，我们关注的结果的次数是11，所有等可能出现的结果的次数是14，故取到黄球的概率11
14
）
2．13
（提示：P （白球）=
441
417123==++） 3．31（提示：将这组数据按从小到大排列为30、31、31、31、32、34、35，则位于中间位置的一个数为31，即这组数据的中位数是31）
4．14，14（提示：14出现次数最多，平均降雨量是把各区域降雨量相加再除以10）
5．13（提示：P （向上数字为3）=21
63=
）
6．50，0.16，40（提示：共抽查8+20+15+5+2=50；优秀率为8÷50=0.16；等第为E 的报告
有
2
10004050?
=）
7．12，750（提示：1到100中奇数有50个，P （卡片是奇数）=501
1002=
；7的倍数有100÷714，所以P （卡片号是7的倍数）=147
10050=
）
8．1
2（提示：点数不大于3的数字有1、2、3，所以P （点数不大于3）=31
62
=）
三、解答题
1．解：(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为50(千米)． ∴每月行驶的路程为30×50=l 500(千米)． 答：小谢家小轿车每月要行驶1500千米． (2)小谢一家一年的汽油费用是4 968元．
2．解:（1）所有评分数据的中位数应在第三档内.
（2）根据题意，样本中不小于70的数据个数为73+147+122=342， 所以，22.5万游客中对花果山景区服务“满意”的游客人数约为1.175.22450
342
=?（万）. 3．解：（1）略 （2）60－69岁
（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想合理即可． 4．解：①公平 因为获胜概率相同都等于118
； ②不公平；因为甲获胜概率为
31，乙获胜概率为6
1．
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?
第十三章概率与统计本章知识结构图
第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.
()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的
全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1
11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p
统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t
高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
第16讲概率与统计 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一“非等可能”与“等可能”混同 例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ． 类型二“互斥”与“对立”混同 例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对 立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同 例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的 概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中 两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰 好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指 两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个 事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关 系是根本不同． 解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独 立， 则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同 例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次， 求第二次才取到黄色球的概率． 错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析 本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用
18题-高考数学概率与统计知识点
高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结
的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个 随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的 分布列如下： 称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机
【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
辅导讲义：概率与统计 一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量： 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n (3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点： 它的总体个数有限的； 它是逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等概率抽样． 10、系统抽样： 将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。 注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤： （1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。 （2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容 量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整 除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，， 的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？ 简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。 系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法 有限性 高三数学概率统计知识 点归纳 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明． 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题． 极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差 在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标 题高考数学概率与统计 知识点 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8 高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 2.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值 i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 为随由概 率的性质可知，任一离散型随机变量的 分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 2017年高考数学—概率统计（解答+答案） 1.（17全国1理19．（12分）） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)N μσ． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． 用样本平均数x 作为μ的估计值?μ ，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2 (,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2=0.09≈． 2.（17全国1文19．（12分）） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212 s ==≈，18.439≈，16 1 ()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑， 其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． （1）求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产 线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()() n i i x x y y r --= ∑， 0.09≈． 大题专项：统计与概率问题 一、解答题 1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解：(1)由已知,有P (A )= C 22C 32+C 32C 3 2C 8 4=6 35. 所以,事件A 发生的概率为6 35. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=k )= C 5k C 3 4-k C 8 4(k=1,2,3,4). 所以,随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望E (X )=1×1 14+2×3 7+3×3 7+4×1 14=5 2. 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk =1”表示第k 类电影得到人们喜欢,用“ξk =0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D (ξ1),D (ξ2),D (ξ3),D (ξ4),D (ξ5),D (ξ6)的大小关系. 解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A , 第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部). P (A )=50 140+50+300+200+800+510=50 2 000=0.025. 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质 ?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 ． [解答过程]1 . 20提示: 51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热 反应的概率为__________.（精确到0.01） [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力. [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为 33244555550.800.200.800.200.800.94 C C C ??+??+?=. 故填0.94. 离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……， ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 鑫榜教育概率与统计（理） 江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______ 安徽理（20）（本小题满分13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超 过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p , p , p ，假设p , p ,p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立. （Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q ，其中q,q ,q 是p,p , p的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； （Ⅲ）假定p p p ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达 到最小。 北京理17．本小题共13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。 （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果X=9 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。 12 2 2 （注：方差s2x1 x x2 x K x n x ，其中x为x1，x2，??x n的平均数） n 福建理13．盒中装有形状、大小完全相同的5 个球，其中红色球3 个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2 个球颜色不同的概率等于__________ 。 福建理19．（本小题满分13 分）某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数X 依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准 A ，X≥为标准B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数X1 的概率分布列如下所示： x15678 P0．4a b0．1 且X1 的数字期望EX1=6，求 a，b 的值； II ）为分析乙厂产品的等级系数X2 ， 从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据 如 下： 3533855634 6347534853 8343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2 的数学期望． III ）在（I）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 专题十二概率统计大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年的全国新课标1理数试卷，发现8年8考，每年1题．以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，位置为18题或19题，难度为中档题.2019年仍将以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，难度仍为中档题. （二）历年试题比较： 的最大值点 ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 个零件中其尺寸在 ．是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ． ，确定 y w 8 2 1 () i i x x =-∑ 6 3 （Ⅰ）根据散点图判断，y=a 二乘估计分别为：测量这些产品的一项质量指标值， 区间 ， 作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 【解析与点睛】 （2018年（20）【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此 . 的最大值点为 （2）由（1 （i180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即 所以 . （ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. . 点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论. （2017年）【解析】 试题分析：（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在 （ii ）由 ，得μ的估计值为?9.97μ =，σ的估计值为?0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 ，因此μ的估计高三数学概率统计知识点归纳
题 高考数学概率与统计知识点
2017年高考数学—概率统计(解答+答案)
2020高考理科数学大题专项练习：统计与概率问题
高考数学概率与统计知识点
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高考数学复习+概率统计大题-(理)
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